Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

246 IES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIOUE
145. - On comprend comment, desespérant de fonder sur des
principes intrinsèques et autonomes le calcul de l'infini, les
mathématiciens du xvmne siècle se sont repliés sur les notions
plus simple de la gComftie et de l'algièbre,
D'A.lem bert fait.appel a l'image géométrique de la-limite; mais,
outre la difficult d'appliquer exactement dans tos les cas le langage de la géomnétrie, on sexpose en prenant cette notion telle
qu'elle est présent,ée par l'imagination à introduire dans l'exposé
du principe sinon la contradiction du moins une reserve qui en
affaiblit singulièrement la portée: l'ininni tel que l'analyse le
considère est proprement la limited du fini, c'est-a-dire le terme
auquel le fini tend toujours sans jamais y arriver, mais don't on
peut supposer qu'il approche toujours de plus en plus, quoiqu'il
n'y atteigne jamais2. )
146. -. Lagrang'ir e recourt aux opérations de l,'algèbre. IBroo;
Taylor avait faith connaatre, dans sa l[elihodus Incremnentorun
direc1a ef iwversa 3, "l'égalité fournissant ce qu'on appellera plus
tard le développement en seri e de Taylor; E tant l'accroissement
d'une variable x, on a l'expression suivante pour f(x -- [):
gAi2-1 27m!'( _ -(x) ') /:I
où les functions successives de x, f'-(x*), f" (x), etc. (auxquelles
Lagrangeo donnera les noms de dérivée pretrmire, dr;,icde.seconle, etc.) sonl ot)ltenues 'epar un proc,;édé régulier de formation. Or, la fonction f.n'est pas autre chose que la limiie de
af(x -+-J) — fx e
la fraction i — -- f pour =0. Elle marque la limite
de l'accroissement d'une fonction par rapport à l'accroissement
de la variable, c'est-à-dire qu'elle est le quotient diffJrentiel.
On pourra donc, à l'aide des seules lois de l'algèbre, définir les
Une quantité est quelque chose ou rien; si elle est quelque Chose, elle
p'est p.as encore évanouie, si eile n'est rien elle est évanouie tout à fait. ~
Eclaircissenme~ts sur les éléments de philosophie, XIV. Mélanges de littérature, d'histoire et dc philosophie,. t. V, 1767, p. 249.
1., La sous-tangente, remarque à ce propos Lagrange, n'est pas à la
rigueur la limited des sous-sécantes, parce que rien n'empche la sous-sécanie
de croître encore lorsqu'elle est devenue sous-tangente. ~ (Euvres, Ed. Serret,
I. VII, 1877, p. 324.
2. Op. cit., p. 240.
3. Londres. 115, prop. VII, Thétor. 111, p. 21.