Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

L'ANALYSE NEWTONIENNE 189
l'exactitude que les anciens avaient apportée dans la géométrie
du fini, sans aucune approximation. C'est seulement dans la
seconde partie du raisonnement, après. toutes les reductions
faites sur l'équation, que le moment pourra décroître à l':ifini et
s'évanouir. Mais dans l'Analysis qui, d'après la Recensio, suit
une méthode d'investigation plûtôt que de demonstration, et
afin d'abréger, Newton suppose le moment infiniment petit,
il le néglige dans les écritures et se sert de tous les modes
d'approximation qu'il sait n'entraîner aucune erreur dans la
conclusion.
Voici la forme que revêt la démonstration, allant cette fois, de
la mesure de l'aire à la détermination de y. Posons ---
m _- n=
m -+- n =-p; nous avons alors cxn =.z, out c'"x'- z1. Substituons
maintenant d'une part x ~ o à x; d'autre part z — o, ou ce qui
revient au même, dit Newton 2, z +- oy à z. Nous sommes en
présence de l'équation c'"(x —. o)l'- (z -- roy), dont le théeorme
du binôme nous fournira le développement. En laissant de côté
les termes contenant les puissances de o, qui devront finalement
s'évanouir quand on posera o= O, il reste
cnX'- + C)poxp-I Z"n q- noyz7-1
ou, puisque les deux premiers termes de chaque membre sont
égaux,
cnpx,- i_ nz'-l y,
Nous obtenons ainsi3 une expression qui permet les transformations suivantes:
Clpx-___ CpX"- Z _ cxz i pxpZ _p p cx"'.
J z- 1 r1 nz cnx nx nx
et si nous rétablissons les signes initiaux
in-+-n
na x n
g (inm -- ) - -- ou encore axn'.
m -t- n nx
I M. Mansion a attiré l'attention sur le passage de la Recensio (Edit. Biol;
et Lefort, 1856, p. 18), dans le très substantiel Appendice à son' iérudé du
cours d'analyse infinitésimale de l'Université de Gand, 1887, p. 210, note t18
2. Cette substitution ést conforme à la dernière règle de la méthode des tangentes de Barrow. ~ Quod si calculum ingrediatur curve cujuspiarn indefltnta
particula: substituatur ejus loco tangentis particula rite sumpta; vel ei qulevis
(ob indefinitami curvi parvitatem) oequipollens recta. ~ (Lectiones geometricoe
1670, p. 81).
3. Cf. Cantor, II12, p. 157.