Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES SElRIES INFINIES 487
de son élève Newton qui avait obtenu suivant une méthode
semblable des résutlats plus généraux, et l'envoi qu'il fit aussitôt
à Collins du traiée De Anaiysi per oequaliones umtero terminorurnm infinitas (31 juillet 1669).
Comme la quadrature de l'hyperbole de Mercator, les premiers
travaux de Newton dérivent de l'Airithmnétique des tIfinis. La
genèse de ces travaux a été retrace par Newton lui-même dans
une lettre écrite à O1denburg pour Leibniz,. du 24 octobre
1676. Il commença par reprlendre les méthodes d'infercalation
exposes par Wallis; il considérait le déveioppetrent en série
des expressions telles que
14~ ~~ 3,~ 54.
(i, —:-) (1t — x)â (i - ( 1-z) (l1 -- ' -)~ i x)'
et en chercXant les relations qui unissent les termes de mrnme
rang, il obtenait une loi générale de formation pour les coefficients successifs du développement de binômres semblables. Par
exetmple,
(, z2\) -_.... _ t 6 e Ct.
(1 t - 4 * — ' ' - " r> - e8. 1
(1 - x2)If i- |^ —,X X XIX etc.
Ces rLésultats suggèrent naturellement l'idée d'une vérification
à l'aidede e l'Arithmé6tique vulgaire. Multiplions par elle-même
la série equivalent à (i ---xa2); il ne subsiste plus que les deux
terms i et - — x; tous les antres terms sont éliminés par
application des règles ordinaires du calcul. Il en sera de même
pour la série (t - x). élevée a taoisième puissance. Dès lors,
puisque 'élévation aux puissances réussit, l'extraction des
racines réussira également; ce qui était moyen de contrôle
ouvre la voie ' l'opération directed qui dispense de l'analogie et
de l'induction. Newton retrouve la division de Mercator; mais il
ne se content plus -de l'appliquer au succès d'une quadrature,
il en fait une métlor.e générale appuyée sur la connexion des
différents procédés qui ont été employs dans le calcul abstrait:
il la présiente come la base originale- fundamnenia magis
1. Voir IRosenilrger, îsaac ANewton und seinephysikalischen Principien, Leipzig,
i895, p. 433.