Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

A 86 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE
eifectue directement suivant l es r s ordinaires du calcul la
division du numérateur par le dénomiinateur; il obtient, par la
continuation de l'opération, uae série infinie ~: ~ Ita, continualta
operation, ---- î= 1 — a-r - - aa a -4- a' (etc.)1 ~>. Avec cette
formule nous passons en quelque sorte de l'aiizîmrtique de.l'infini à!'algèbre de l'iinini; au nieu de manier des quantités
détierminées pour en observer du dehors les propriéttés,s Mercat.or
donee directement la loi de formation d'oÙ drive une suite
infinie die quantités. La régularité de cette formation suffit pour
exprimer l'infinité de ce's quantités; l fraction Â-? - est le
point de départ, au point d'arr ivée est la série nrlfnie. Dans le
ca.s o; a est plus petit que l'unié, - remarque que nous ne
trouvons pas, il est vrai, dans F oeuvre de Mereator; mais la
notion eL lIexpression de convergence figurent, appliquées au
rapport des polygones inscrits et du cercle, dans un écrit de
James Gregory public à Padoue en 1667 la Vera circuli et
hyperboht quadratura -- il n'y a pas de difference appréciable
entre ia fraction qui représente les deux termes de la division
et ie quotient exprimé par la série, La notion de lFinfi ni prise
souss fa orme analytique acquiert droit de cité dans la science,
àI titre d'expression exacte et intelligible; le paradoxe de Z6non
d'"ieé.e est, définitivement résolu pour l'esprit humain 2. La voie
est ouverte aux représentations de fonctions par les séries, qui
implicitement ou explicitement sont appelées à jouer dans
l'analyse un rôle prépondérant. Et voilà pourquoi la naïveté qui,
suivant expression curieuse de Cantor, caractérise l'opération
de Mercator, est bien celle o;ù l'on reconnaît le plus sûrement la
marque du génie.
141. - Historiquement la portée immédiate de la Logarithmotechnia se trouve soulignée par un incident significatif: l'inquiétude que Barrow conçut de la publication de Mercator au sujet
1. Prop. XV, p. 30.
2. Par exemple, dit Leibniz dans le De vera proportione circuli ad quadratum Circn7 urcripultn in numel2is rationalibus (1682), si le diamètre est pris pour
unit, 1'aire du cercle est - + 1 + o: Tota ergo
series continue ones appropincnqatîiones simul sive valores justo majores
etjiisto minores: prout enini longe continuata in elIigitur, erit error minor
fraction data, ac proinde et minor daLa quavis quantitate. Quare tota series
exactuin exprinit valorem. Et.licet uno 'numero summa ejus seriei exprimi
non possit, et series in infinitum producatur, quoniam tamen una lege progressioois constat, tota satis mente percipitur. ~ M, V, 120.