Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

1 84 LES ÉTAPES DE LA 1PHILOSOPHIE Mt'ATÉIEMATIQUE
faisait défaut, et. qu'il ne pouvait pas s'-introduire tant que les
relations noni algébriques ne pouva ient, êtie fig ures que geéométr.-iquerment ou suca aiquement'. C'est précisfément cette
lacurne que VW'aliis cimme:nra de cr prmb'le par ia p ratique de
t(indteizoi - non pas de ~ l'induchon conmplte f qui. est une
forrme spécifiqu e ea- deduction mlathinmatique - i mas de
l induction centendue au sens strict des pihsiciens.
L'induc[tio. d.e W\allis porte 'directement sur la réalité, elle
tire de i'observ ation dei cas pa rtic.x:le.rs une.règle universelle
'r Simnplicissimus investigandi nodus, remarque Wallis dès la
premiere p position de l.A'i iAimeicLa dinfi.tZForlum (.655), est
rean ipsam nati qlousque prlqstouqre, et ratiores prodeuntes obsevare atqume invicem comparare; ut imnductione tandem universalis
proposition inotescat. ~ Or la rtai.'.t qui, excluant -toute équivoque et toute indétermination., devient la matière privilégiée de
cette observation méthodique, ic e sont les'relations numériques.
'Walis tr'aduit:en termes aritlhmnqtiqies les proobilèmries géométriques de quadrature; selon!'heureuse expression de Buffon,
il applique réellemenl t 'A rithmétique aux idea's de 1'Infinli Pre.nons l'exenmple le plus simple. So't une.érie de fractions don't
le numérateur est la sonmme (des carré,s des nombres naturels
écrits à partir de zéro, dont lé dénominateur est le dernier des
termes du numérateur multiplié par le nombre de ces termes:
-+1 0- +4. 0i -i- 4- —. 9. 0 -1 - t-. -4-+-9 -+ i6
i > ' 4X 3 9x ' 4 6 16<
Les diverses fractions equivalent respectivement à
i I t I I ' *i i 1.
3- 6 3i+; 3 +;s 3 24
La consideration de ces résultats permnet de dégager une règle
qui fournit les sommes de fractions foYreées successivement
suivant le imême procédé. A mesure que le nombre des termes
augmente, l'excès de ces sommes sur, diminue suivant une
loi ré,gulière; d'où l'on peut conclure que si le num(rateur et le
dénominateur comrportent une infinite de termes posés suivant.
la loi ré,gulière qui vient d'être indiquée, leur rapport sera
exprimé par la fraction -. ( Facto enim experiment, dit Wallis,
i Bulletin des Sciences mathématiques, i 88,. 281,
2, Vide lnfra, ~ 298.