Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES SÉRIES INFINIES 183
infinitésimal, celle mlême o on a cru voir quelquefois le secret
de la découverte de Newton et de Leibniz. Le rapport entre ce
qui sera le calcul différentiel et ce qui sera le calcul integral est
marqué par la recherche d'une ~ converse ~ pour la règle des
tangentes. Et ainsi, quoique les operations équivalentes à l'intégration eussent été pratiquées dans l'antiquité, c'est la voie
tenant de la différenciation à l'intégration qui a été reconnue
la premiere.
Il est vrai que les mathématiciens français n'ont pas réussi à
parcourir effectivement cette voie. 11 leur eût fallu pour cela
poser sur le terrain de l'analyse abstraite les problèrmes qui jusqu'ici avaient été résolus par les méthodes mécaniques ou géométriques d'intégration. Or cela dépassait les ressources des
savants de la premiere moitié du xvIIe siècle; ils ne soupçonnaient pas, en effet, que la connaissance des fonctions transcendantes était en réalité acquise à la science depuis la découverte
des logarithmes; ils ne voyaient dans les tables de Neper ou de
Briggs qu'un travail de praticien, une technique utilitaire, comparable à ce qu'était au temps de Pythagore la logistique pour
les théoriciens de l'arithmétique, destinée à demeurer dans
l'ombré alors même qu'elle a été utilisée pour la découverte ou
la vErification.
Voilà pourquoi l'étude des séries infinies se trouva décisive
pour la découverte du calcul infinitesimal. Non que la sommation d'une sêrte infinie constitue déjà une intégration. - ~J'ai
observé, écrit Leibniz à Fontenelle, qu'il y a deux manières de
venir aux sommes des aires ou aux rectifications des courbes
par l'infini: l'une par les infiniment petits, ou quantités élémentaires, dont on clherche la somme; l'autre par une progression
des termes ordinaires dont on cherche ou la somme ou la terminaison lorsqu'elle se termine enfin dans ce qui enveloppe
l'infini..., et cette méthode diffère toto genere de notre calcul des
differences, des sommes2. ~ - Mais la méthode par les séries
apportait aux mathématiciens la certitude que l'infini était susceptible d'être manié sans qu'on eût à passer par le détour de
l'image spatiale (~ Nous pouvons certainement concevoir aujourd'hui, dit Paul Tannery, la notation de Leibniz développée et
applique sans l'emploi des series; mais au xvil siècle la chose
n'était pas possible, parce que le concept général de fonction.. Loc. cit. AT, 1I, 5i4,
2. Lettre du 12 juillet 1702. Lettres et opuscules inddits, publiés par Foucher
de Careil, 1854. p. 213.