Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

1 80 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE
position, ~ fondée sur la façon de démontrer qui réduit à l'impossible, et qui est la moins estimée et la moins ingénieuse de
toutes celles dont on se sert en mathématiques 1,.
Selon Descartes la véritable méthode pour la résolution du
problème est a priori; elle se déduit de la conception générale
qui a inspiré la géométrie, comme un cas particulier de la conjonction entre la nature de la courbe et la forme de l'expression
algébrique. Si l'on procède par ordre, si l'on considère la course
la plus simple, qui est la circonférence, on s'aperçoit que la tangente y est déterminde d'une façon uniforme comme perpendiculaire au rayon. Or, conformément à cette ~ métaphysique de
la géométrie2 ~, que Descartes avait malencontreusement
applique à la règle de Fermat, mais qui demeure pour lui le
secret de l'invention mathématique, cette caractéristique de la
tangente à la circonférence sera universalisée, La détermination de la tangente aux courbes en général se ramène à donner
( la façoon de tirer des lignes droites qui tomnbent à angles droits
sur tel ou tel de leurs points qu'on voudra choisir. Et j'ose dire,
ajoute Descartes, que c'est ceci le problème le plus utile et le
plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie'
désiré de savoir en géométrie3..
La métlhode générale de la solution est contenue dans la. position mème des termes du problème. Une courbe queltonque
étant donnée, traçons d'un point intérieur à la courbe un cercle
qui la rencontre au moins en deux points. A la courbe donnée
et au cercle auxiliaire correspondent analytiquement deux équations; rapportées à un même système de coordonnées, elles
auront au moins deux racines communes. Faisons décroître
maintenant le rayon du cercle, deux des points d'intersection
vont se rapprocher jusqu'à ce qu'enfin ils coïncident en un seul
en ce point le rayon sera perpendiculaire à la courbe et à a tangente par rapport la courbe. Ce point de coïncidence joue donc
le rôle de point limited; mais il est déterminée idéndépndamment
de toute consideration infinitésimale: c'est celui pour lequel les
valeurs communes à l'équation de la circonférence sont égales,
et la méthode des coefficients indétermzin'és fournira la solution
algébrique du problème.
Ainsi pas un seul instant la pensée de Descartes ne s'est aventurée hors du domaine ou intelligence et intuition se prêtent un
i. Lettre à Mersenne, datée approximnativement de javier 1038, A7T, t. I,
p. 490.
2. Ci. Lettre à Mersenne, du 9 janvier 1639, AT, 1l, 490.
3. AT, VI, 413.