Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LA DÉCOUVERTE LEIBNIZIENNE t 73
AC; cl la louczhane DE, clans laquelle soient pris les points E
où l' on1 voiu ra, d'où soient menées les perpenldiculaires ER sur
le rayon AC je dis qze le e rectangle compr. is du sinus DI et de la
louchante EE, est égal au r ectangle- compris de la portion de la
base (eeferméee en're les parallèles) et du rayon AB.,> La
drmon-stlration est immédiate si l'on considère les ~ triangles
rectangles et semblables DIA, EKE, l'angle E
EEl(- ou EDI étant égalà l'angle DAI' ~.
Seulement la proposition ainsi démontrée
n'est, aux yeux de Pascal, qu'un lemme destiné à établir ce théorlèe que ~ la somme ~
des perpendiculaires élevées sur la base,
ou, cortmne dit Pascal,,~ des sinus d'un arc [ __.
quelconque du quart de cercle, est égale à I
la portion de la base comprise entre les Fig. 8.
sinus extrênies multipliée parle rayon ~. La
considération du triangle EKE n'est donc qu'un emprunt de
la géométrie des indivisibles à la géométrie ordinaire, un
moment de la preuve qui ne survit pas à l'achèvement de ia,démonst.ration.
Au contraire Leibniz considère ce triangle EKE pour luimaene. Les points E ayant Lté pris, ~ où l'on voudra ~, les côtés
du triangle peuvent devenir aussi petits que l'on voudra; mais',
alors même qu'ils deviennent inassignables, ils demeurent parfaitement déterminés par la similitude du triangle inassignable
EKE au triangle assignable DIA. Or cette détermination subsistera, en dehors du cas particulièrement simple où. la normale
aiu point de contact est un rayon du cercle. Il suffit d'expliciter
les éléments des deux triangles, inassignable et assignable, pour
apercevoir ce qui était demeuré caché a Pascal ~ les yeux ferm>s
par une espèce de sort ~: la possibilité de traiter commne un
élement caractéristique de la courbe le triangle constitué par
une partie infiniment petite de la tangente, et les portions:iiniment petites des parallèles à l'abscisse et à l'ordonnée. La
considération du ~e triangle caractéristique ~ est le premier pas
fait par Leibniz en dehors de la méthode vulgaire des indivisibles. Ait point de vue théorique cette considération permet de
rétablir i'homogér.sit6', rompue en apparence par les sousentendus de Cavalieri, entre les éléments des sommes et les
sommes elles-mêmes; la surface sera composée de petite
t. tt. Bossut, t. V, p. 331.
2. Breuillon d te letter pour Jacques Bernoulli, 1703, M, III, p. 72 et suiv.