Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

158 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE
pensée d'Archimède. Nul, certes, ne porte plus haut la puissance de l'abstraction intellectuelle. Archimède ramène les problèmes de quadrature ou de cubature à la détermination d'une
aire ou d'un volume compris entre deux sommations de surfaces
ou de volumes élémentaires. Ces sommations elles-mêmes, il
les fait reposer Sur des relations qui, prises en soi, sont d'ordre
analytique. C'est ainsi par exemple que dans le Traité des
Conoïdes et des Sphéroïdes' il fait intervenir l'inégalité suivante,
tirée des propriétés depuis longtemps connues des progressions
arithmétiques,
Sh h + - + 3h n/i. h
Une telle formule ouvre la voie à ce que Zeuthen appelle une
intégration veritable 2. Si on fait tourner une parabole autour de
son axe, on engendre le corps qu'Archimède nommait conoide
parabolique. Je trace des plans perpendiculaires-à l'axe et
équidistants, je détermine une série de volumes élémentaires
auxquels je peux inscrire ou circonscrire une série de cylindres
de même hauteur. Le volume du conoïde parabolique sera compris entre deux sonmmes de cylindres, les uns circonscrits, les
autres inscrits; il est loisible de faire en sorte que la difiérence
de ces deux sommes soit équivalente au plus grand cylindre
circonscrit, et, la hauteur de ce cylindre étant d'ailleurs indéterrninée, il peut devenir plus petit qu'une quantité donnée.
Ce n'est là qu'un premier pas: dans le traits de la Quadrature de la Parabole, Archimède substitue à cet élément qui
demeure homogène à la figure totale un élément qui a
une dimension de moins que le tout; l'étude d'une surface se
ramène alors à la considération des lignes que l'on peut tracer
dans cette surface. Ayant ainsi franchi les bornes de l'intuition
géométrique, Archimède dépasse le domaine de la géométrie
elle-même. Pour résoudre un problème de quadrature, il fait
appel à des considérations de statique, ~ d'une statique tout
intellectuelle )> suivant l'expression curieuse qu'emploie ici Montucla4. I1 a, par exemple, à comparer un segment parabolique
1. Archimedis Opera, Éd. Heiherg, t. I, 1880, p. 290. Voir l'étudc de Ileiberg
sur les progressions arithmétiques chez Archimède, dans les Quoestiones Archimedeo, 1879, p. 51 et suiv.
2. Op, cit., p. 149.
3. Voir darts Montucla Histoire des Mathématiques, Part. I., liv. IV, la note E.;
Ed. de '1799, t. I, p. 282.
4. Ibid., p. 235.