Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

ARCHIMEDE 1 7
plus grande des quantités données sera plus petit que la plus
petite de ces quantités i. ~ La démonstration du théorème repose
sur urie très remarquable propriété introduite à titre de définition dans le e livré des Elénments, et qui joue, comme lilbert l'a
fait voir 2, un rôle fondamental dans la structure de, la géométie:: < Deux grandeurs sont dites comporter un rapport lorsque,
étant multiplies, elles peuvent se dépasser l'une l'autre.- AOy&ov
EIft V Oq;0 a)CX) ~%a et SÔi. X&'eratt. à &uvr iY T'Y. a Xt- \y 0 C1.rna Svva à oiv
ptCEpstv 3.
La subtilité logique des Grecs semble ainsi avoir triomphé
des obstacles que leur rigueur logique avait suscités. Grâce à
une ruse tactique le sens et la portée de l'argument ont été
comme retournés. Pour recomposer un mouvement total, il'
fallait posséder un élément initial, et la dichotomie m.otra.t
'imrposssbilité de fixer cet élément initial. Au contraire, que
l'onn-it devant: soi une difference entre deux grandeurs données,
que l'on- enlève à cette difference sa majeure partie, 'puis au
reste sa majeure partie, suivant un rythme visiblement imité du
procédé de la. dichotomie, la répétition illimitée de l'opération
permettra d'approcher autant que l'on voudra d'une solution
exacte -du problème La mêre démarche de pulvérisation intellectuelle, qui avait créé un abime entre l'intuition du mouvement
total et l'intuition des parties de l'étendue, apporte une justification logique à la série des théorèmes qui concernent les sr'faces circulaires ou les corps ronds.
98. - Mais il faut comprendre de quel prix la victoire devait
etre achetée. L'artifice par lequel les créateurs de la rméthode
d'exhaustion, Antiphon et Eudoxe, avaient réussi à adapter la
dialectique discursive de Zénon à l'exposition des découvertes
qui étaient nées du développement direct de la science mathlématique, détourne l'attention du progrès intérieur de l'esprit
pour la porter sur la forme externe de l'exposition. L'inconvénient n'était pas seulement de superposer au problème résolu
par l'intelligence un second problème qui ne concernait que le
cliscours; il était encore, sinon pour les maîtres eux-mêmes, du
moins pour les disciples qui s'initiaient.à la recherche par
l'étude de leurs euvres, de subordonner nettement l'intelligence.a u discours.
De là,les deux aspects sous lesquels il convient d'envisager la
1. Cf. Heiberg, EuctidiS Elementa, t. III, 1886, p. 4.
2. Voir le 9 groupe V d'axiomes: axiomes de la continuity (axiome d'Archimède)
Les principes fondamentaux de la géométrie, trad. Laugel, 1900, p. 24.
3. Déf. IV, -bid., t. Il, 1884, p. 2: