Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE. MATHEMATIQUE
physique. La divination d'Aristote, qui aurait donné le moyen
de poser le problème scientifique, ne sert en fait qu'. montrer
'irmpossibilité de le résoudre. S'il y a lieu de faire intervenir la
pensée d'Aristote dans le domaine de l'infinitésimal, c'est que
l'autorit de son génie encyclopédique. et classificateur consacre
pour des siècles le traité de partage qui abandonne le discret et
le fini aux combinaisons de la science,. qui reserve aux spécula'fions de la métaphysique la virtualiîé du: continu et de l'infiAn
ARCHIMEDE
97. -D'autant que la géométrie grecque demeure assujettie
danrs la théorie à la loi de cette équilibre, il est plus inrstructif
de suivre dans la pratique le mouvement de l'inteligence pour
tourner cet obstacle factice. Déjà ce movement était dessiné
dans les premières tentàtives pour résoudre le problème de la
quiadrature du cercle. Assiurment Bryson. d'Héraclée avait tort
de croire qu'il suffisait de constater que la surface du cercle est
intermédiaire entre le polygone inscrit et le polygone circonscrlt, pour conclure que la surface du cercle: est la moyenne
arithmétiique de ces deux surfaces. Mais que l on prenne pour
ce qu'elles valent les considerations dont pi'ocde ete conclusion, et le passage va s'ouyrir d'une argumentation suspected d(
sephistique à la mathématique proprement dite. On ne traitera
plus comme équivalentes toutes les grandeurs- intermédiaires
entire deux figures données; on mesurera l'écart de ces figures,
on Xe fera diminuer progressivement. Si on double sans cease
e nombre des côtés des polygones-réguliers qui sont ou inscrits
on circonscrits au cercle, leur surface se rapproche sans cesse
de la surface du cercle, et la difference devient plus petite que
'oimporte quelle quantity donnée.
A.insi se constituera une science nouvelle, qui à l'aide d'inégalités décroissantes fournit de l'égalité une approximation aussi
étroite que l'on voudra. Ainsi se constituera une logique de i'rngalitd, dont les géomètres du Ve siècle ontt dégagé les principes
avec une irréprochable netteté. Leur méthode, appelée mnéhode
d'exhaustion, est exprimée dans le premier théorèm a du Xc livre
des Élérnents: < tant données deuxgrandeurs inégales, si on
retranche plus de la moitié de la plus grande, puis plus de la
moiti6 de la quantité restante, et toujours ainsi, le reste de la
i. Voir les textes recueillis par Brandis Schtoliina AritOtetm (1836), 2i11l
et. auiv. et 306a 5. Cf. Cantor. I13 p. 203.