Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

i' 0S LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE
lui-même a distingué une morale ~ par provision. ~ de ce qui
aurait, au terime de sa philosophie, constitué sa morale définitive, il y a lieu de' distinguer une méthode par provision,
c'est —dire un artifice destiny à transposer les problèmes quels
qu'ils soient dans un cadre adapté aux fonctions de l'esprit,
et une méthode définitive, appuyée sur la relation généarale de
l'esprit avec les choses, et qui implique suivant Descartes une
théorie exacte de Dieu.
Cette rmthode définitive se fonde sur l'espace en tant que
l'espace est adéquat à la réalité des choses. Or cette adéquation
sera obtenue effectivement, a la condition que l'espace ait subi
une élaboration qui en simplifie et en généralise la notion.
L'cspace, tel que l'avaient envisagé les géomètres anciens, est
un système defigures susceptibles d'être mesurées suivant trois
dimensions; grâce à l'énumération.de ces dimensions les problèmes de la géométrie sont aisés à déterminer facilement.
D'autre part, les grandeurs dans l'espace représentent les trois
premiers degrés des grandeurs arithmétiques ou algébriques:
~ la quantity simple [dite du premier degré dans l'algèbre
moderne] s'appelle racine; la seconde s'appelle carré; la troisième cube, la quatrième bi-carré, etc. t ~ La simplicité iinaginative de cette correspondance est séduisante, et Descartes
avoue en avoir été lui-même dupe pendant longtempr. Pourtant
elle est trompeuse. En effet les degrés des grandeurs ne sont
jamais que des relations à une unité donnée; la quantité du
premier degré, ~ la racine, est une première proportionnelle; le
carré est une seconde proportionnelle, etc. ~ Or, suivant la
Rgyle XV, l'unité peut être à volonté ou surface ou longueur ou
poini. L'essentiel, c'est la représentation d'un élément étendu
qui se prête dans tous les sens à une extension illimitée.
Descartes, il est.vrai, n'ajoute pas ici, ce qu'on attend qu'il
dise, et ce qu'il dit de fait dans la Géométrie, que la composi1. Reg. XVI, AT, X, 456.
2. AT, X, 453: ~ primo unitatem pingemus tribus modis, nempe per quadratum, [, si attendamus ad illam ut longani et latain, vel per lineam, —,
si consideremus tantum ut longam, vel denique per punctum,, si non aliud
speetermus quam quod ex illa componatur multitudo; at quocumque modo
pingatur et concipiatur, intelligemus semper eamdem esse subjeçtum ornimode extensum et inflnitarum dimensionum capax. ~ Ce passage permet
d'expliquer le début de la Reg. XVI, où Descartes recommande de remiplacer
les figures entières par des signes très cou-rts, per brevissimas notas. Ces signes
rte sont pas nécessairement des ~ chiffres ~, comme dans le passage corres.
pondant du Discours de la Méthode (Cf. Hamelin: Le système de Descartes;-1910,
p. 68, n. 2); iiS peuvent être des points.