Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

0oe 1 'LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE
guée CD; la caractéristique de. la figure, ce sera le rapport
constant. entre le carré de la corde CD, et le produit des deux
segments AC et CB du diamètre 1. La méthode d'Apollonius
consiste à représenter cette relation, que nous traduirons
aujourd'hui en termes algébriques, par la construction d'une
figure auxiliaire. J'élève en A et en C les perpendiculaires au
diamètre, je donne à AE la longueur 2 p, je joins E à B; EB
coupe en F la perpendiculaire êlevée en C. La similitude des
deux triangles AEB, CFB me donne la proportion
CF _ A__E_p
CB — AB - 2a
d'où CF P CB.
L'équation CD2 - AC.CB
prendra donc la forme: CD, =AC. CF
On voit'immédiatement que la corde CD et le segment AC
qu'elle détermine sur le diamètre sont
~< ^\ ~ les éléments variables d'une relation qui
est générale et qui s'exprime par l'équi-.A- valence du rectangle AC. CF au carré
ayant pour c té la corde CD. Or, comme
Apollonius applique cette relation, mutai s mutandis, à l'hyperbole et à la para~ >~/ ~ bole, on est autorisé ' dire qu'il a tracé
la figure convenant ù la représentation
IE Lt et à la solution de l'équation du second
Fig.. degré; nous pouvons attribuer aux élémients qui servent de point de depart à
cette relati.on, corde conjuguée et segment priest sur le diami tre,
le rô e dc vé ritables coo ardonnées.
6(. e — - Seulement, si 1a généralieté de cete relation est paper e
aussi n.tetemenit qu'il est possible, elle n'est pas dégagee sous
une forme explicite; la construction auxiliaire, le rectangle de
référence, demeurent des parties int6grantes de la solution; de
sorte q:'il fa ut un théorème distinct pour chaque cas particulie.r et que d'autre part des combinaisons multiples s' éablissent
suivanlt les expr'essi8ons de Zeutheni, entre le moyen et l'objet de
1. Voir Zeuthen, tr. Masart., p, 167 et fig. 20.
2. Ibid., p, 169.