Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

9 4 LES ÉTAPES DE LA. PIILOSOPHIE MATUEMATkIQUE
nenlsurables avait entraînés, se donna la tache d'extraire de
Ensemble des vérités alors connues de la géométrie les é1éments de la théorie des proportions, et de les r 'aMr er 1u corps
de doctrine autonomei. Loeuvrc d'Eudox;s explique. 'ordonnance des lEe',enis. Enclide sépare avec soein,.a: mo-ns dana
l'exposition de la géométrie plane, ce que nous appelleroDs la
géoomntrie métrique directe, et la théori.e de s-poporiqos,0 D une
part dans les quatre premiers livres il s'est ni'ri t -t ir mode
de d.émonstration-qui impliquerait un appe à la simlri' tu.d
ggéométrique; il a refait, à ce point de vue, la dénonstration
tralditionnelle du théor6me de Pythagore2. 'D'autre; par, eni
réservant la similitude des triangles, des paralllogrammnes, tc.,
pour le livre VI, qusu uit immédiatement le IrV. sara les proportions, il semble faire d e u cette Ltude e puremet éonométriqte
l'application d'une scienc de a p^rooreloîait- en gdn ral.
Ce nest pas tout- au livre V, les terms des pop oriio'ns t.airent
fig.urés par des lines, sans qu'i f't temz co.t e pite de la diférence entre grandeurs comme ensura.bles -et grandeur i comrme.s rabies. Au livre VIi, trade e des proportions est repise,,
mais sur:l terrain proprement nurmérique., ~es pr.opositoris'
sur les proportions y preenent. un nou-meau se-ns parice qiue
ici il ne s'agit pas seulement de,égalité des rapports, mais
aussi de la possibility de les réduite a-ux minmes' pi'as petits
termles 3 ~.
Avec le livre X, Euclide aborde les'icomm-ens-'rd.bies'.1
expose le classement des irrationnelles fournies. < par les con,
structions géométtriques... avec leurs propriétés non seulem.ert
pour l'équation du second degré et pour l'équation bi-carrée à
coefficients rationnels, mais rmême en parties pour 'IéquatGion tri>
carrée ~,~, Cete tude est comanme e li'o o uct on p our a emrétrie dans l'espace,- à laquelle so-,.s.t,eS,/' s ivrs ag -
v ants La determination des 6élém eei s de po lédres rgu lier au
livre XIII, fournira l'application de la thé.o -rie des irrati neiiaes,
qui a été posée au livre Xa
6. -- Sous le désordre apparent de e'xpo n 5 a ' s' ence
euclidienne implique une théorie Egéna.ie des'gaTni'deur, ire
1. Gantor, 1, p. 238 et, suiv.
2. Proclus, éd. cit., ad. I, 47, p. 420. Cif. Zeuthe, M itr'e u secon, rCn.n.,gis
internalioral de Philosophie, p. 848.
3. zeutthen, Sur la constit.ticn des iivres arithimétques d t ".î e. ien. '. c'.
Bulietii de l'ca.déamie de Danenmrk,:1090, p. '0i2.
4. Paul Tannery. La Géoté trie grecque, p. i01.
5. 5bid.