Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.

LA PaORTEE PHILOSOPHIQUE DES ~ ELEMENTS ~ o9
temnent mise en lumière, les Grecs, pour fonder d'unec façon
positive les raisonnements relatifs aux paralltles, ont besoin
d'une proposition d'existence; or le postulat des parallètes chez
Eul.ilide est un théeorème imdiquat. les conditions dans lesquelles il exisie unl. oint d'intersection entre- deux droites rencontrées par une,trù isrième: ~( Qu'il soit demand que si une
~droite renconlirSntt deiux droites (situé es dans un mêmne plan)
fait d'un même 6côt:des angles intérieurs doit.la some soit
moindrc que deiux droits, les deux droites' prolongées indfiniiment se rencontrent du côté dont la somme est inférieure à
(deux droits 2 ).
LA PORTÉE 'PHlLOSOPHIQUE DES E~ itLMENTS ~
a. -L Les poslulati sont des faits natuelse; et, du ^ins dans
les (qlatrpe prem.ie rs l-vre des es @'ments la géomé6triea le carac'tèroC dune science natdtrelle sexln:l'expression employée 'par
JAuguste Com. te. Les dleux prem. ers livres glnt pour instrument
la cc'nsLtuctioln des figurs'e t lur transformation par des tracés
aiuithiires, pour but la demonstration de l'égalité de surfaces
d iff rentes: recta 7ges, par allhlogra mes ou t riangles, le troisième le e quatrieème éudient le cer'le, et. i'inscription des
polygones ré,gu.liers dan.s le cercleo
Avec le cinquime iivre il semble qu'une science nouvelle
commnen e, qui a pour objet la comparaison des grandeurs
prises eni général. L'élétment est alors le rapport des grandeurs 3,
et les jugements constitutifs de la science sont ceux qui posent
la similitude (nous dirii ons aujourd'hui l'égalité) des rapports
entre deux grande'urs, c'est-à-dire qui définissent des propor.fions. La théorie des proportions a ses origines dans la similitude géomeitrique. Le manuel d'Ahm.smontre comment, sans
énoncer de doctrines généraies, les Egvptien s s'inspiraient dans
la pratique du sentiment de la similitude.,Mais nous savons
que dès le ïvl sicle' Eudoxe de Caide, dans le dessein sans
dout.e d'échapper Aaux embarras que la découverte des incomh ArLt. ité, p. 225 et suiv..
2. -Postulat V, KAt àv Eil eUo0 e.,eOaf s etIe, s;^'T.,roUac Tàs.ixvro& aoclt,ti T.
0UraM E~p"<Q YtiOVïosç êyo opO\v è)vai'yCovaç. sptlî, l*xpat)Vî>pvcc ç ra<; '5vo e MOE za ' êîç'
aCrtCSioY tv '.ViwTEtYL ' I C.PI,")1a e i nv TCU'V o Ep(Ov F_ ~Xâer^ûV~<'
3.- Dc f;s,- a-Iiî~R A v gçi E L IV '0,XEY y é[iQ'}t 'ù' CTsy i4T& t( o i q cr. r iç,;-. Cainto3r, P, -.I-p -a...:L P. Tannery, La. Géométrie grecque, 1887, p. 92, et
ZeuthenI, Histoire des Mathérmctiquues dannsVlAnsiquité, tr. Mascart, p. 4.