Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

HYPOTHESES.

Hypoth. I.

Causas rerum naturalium non plures admitti debere, quàm quae & vera sint & earum Phaenomenis explicandis sufficiunt.

Natura enim simplex est & rerum causis superfluis non luxuriat.

Hypoth II.

Ideoque effectuum naturalium ejusdem generis eaedem sunt causae.

Uti respirationis in Homine & in Bestia; descensûs lapidum in Europa & in America; Lucis in Igne culinari & in Sole; reflexionis lucis in Terra & in Planetis.

Hypoth. III.

Corpus omne in alterius cujuscunque generis corpus transformari posse, & qualitatum gradus omnes intermedios successivè in∣duere.

Hypoth. IV.

Centrum Systematis Mundani quiescere.

Hoc ab omnibus concessum est, dum aliqui Terram alii Solem in centro quiescere contendant.

Hypoth. V.

Planetas circumjoviales, radiis ad centrum Iovis ductis, areas describere temporibus proportionales, eorumque tempora periodica esse in ratione ses quialtera distantiarum ab ipsius centro.

Constat ex observationibus Astronomicis. Orbes horum Pla∣netarum non differunt sensibiliter à circulis Jovi concentricis, & motus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur. Tempo∣ra verò periodica esse in ratione sesquialtera semidiametrorum or∣bium consentiunt Astronomici: & Flamstedius, qui omnia Mi∣crometro & per Eclipses Satellitum accuratius definivit, literis ad me datis, quinetiam numeris suis mecum communicatis, significavit rationem illam sesquialteram tam accurateè obtinere, quàm sit pos∣sibile sensu deprehendere. Id quod ex Tabula sequente manife∣stum est.

Satellitum tempora periodica.

1d. 18h. 28'⅗.

3d. 13h. 17'9/10.

7d. 3h. 59'⅗.

16d. 18h. 5'⅕.

Distantiae Satellitum à centro Iovis.

Ex Observationibus	1.	2	3	4
Cassini	5.	8.	13.	23. Semidiam. Jovis.
Borelli	5 ⅔.	8 ⅔.	14.	24 ⅔. Semidiam. Jovis.
Tounlei per Micromet-	5, 51.	8, 78.	13, 47.	24, 72. Semidiam. Jovis.
Flamstedii per Microm.	5, 31.	8, 85.	13, 98.	24, 23. Semidiam. Jovis.
Flamst. per Eclips. Satel.	5, 578.	8, 876.	14, 159.	24, 903. Semidiam. Jovis.
Ex temporibus periodicis.	5, 578.	8, 878.	14, 168.	24, 968.

Hypoth. VI.

Planetas quinque primarios Mercurium, Venerem, Mar∣tem, Iovem & Saturnum Orbibus suis Solem cingere.

Mercurium & Venerem circa Solem revolvi ex eorum phasibus lunaribus demonstratur. Plenâ facie lucentes ultra Solem siti sunt, dimidiatâ è regione Solis, falcatâ cis Solem; per discum ejus ad mo∣dum macularum nonnunquam transeuntes. Ex Martis quoque plena facie prope Solis conjunctionem, & gibbosa in quadraturis, certum est quod is Solem ambit. De Jove etiam & Saturno idem ex eorum phasibus semper plenis demonstratur.

Hypoth. VII.

Planetarum quinque primariorum, & (vel Solis cir∣ca Terram vel) Terrae circa Solem tempora periodica esse in ratione ses∣quialtera mediocrium distantiarum à Sole.

Haec à Keplero inventa ratio in confesso est apud omnes. Ea∣dem utique sunt tempora periodica, eaedem{que} orbium dimensiones, sive Planetae circa Terram, sive iidem circa Solem revolvantur. Ac de mensura quidem temporum periodicorum convenit inter Astro∣nomos universos. Magnitudines autem Orbium Keplerus & Bul∣lialdus omnium diligentissimè ex Observationibus determinaverunt: & distantiae mediocres, quae temporibus periodicis respondent, non

differunt sensibiliter à distantiis quas illi invenerunt, suntque inter ipsas ut plurimum intermediae; uti in Tabula sequente videre li∣cet.

Planetarum ac Telluris Distantiae mediocres à Sole.

	♄	♃	♂	♁	♀	☿
Secundum Keplerum	951000.	519650.	152350.	100000.	72400.	38806.
Secundum Bullialdum	954198.	522520.	152350.	100000.	72398.	38585.
Secundum tempora periodica	953806.	520116.	152399.	100000.	72333.	38710.

De distantiis Mercurii & Veneris à Sole disputandi non est lo∣cus, cum hae per eorum Elongationes à Sole determinentur. De distantiis etiam superiorum Planetarum à Sole tollitur omnis dispu∣tatio per Eclipses Satellitum Jovis. Etenim per Eclipses illas deter∣minatur positio umbrae quam Jupiter projicit, & eo nomine ha∣betur Jovis longitudo Heliocentrica. Ex longitudinibus autem Heliocentrica & Geocentrica inter se collatis determinatur distantia Jovis.

Hypoth. VIII.

Planetas primarios radiis ad Terram ductis areas de∣scribere temporibus minimè proportionales; at radiis ad Solem ductis areas temporibus proportionales percurrere.

Nam respectu terrae nunc progrediuntur, nunc stationarii sunt, nunc etiam regrediuntur: At Solis respectu semper progrediuntur, idque propemodum uniformi cum motu, sed paulo celerius tamen in Periheliis ac tardius in Apheliis, sic ut arearum aequabilis sit descri∣ptio. Propositio est Astronomis notissima, & in Jove apprimè de∣monstratur per Eclipses Satellitum, quibus Eclipsibus Heliocentricas Planetae hujus longitudines & distantias à Sole determinari diximus.

Hypoth. IX.

Lunam radio ad centrum terrae ducto aream tempori proportionalem describere.

Patet ex Lunae motu apparente cum ipsius diametro apparente collato. Perturbatur autem motus Lunaris aliquantulum à vi Solis, sed errorum insensibiles minutias Physicis in hisce Hypothe∣sibus negligo.

Prop. I. Theor. I.

Vires, quibus Planetae circumjoviales perpetuo retrahuntur à motibus re∣ctilineis & in orbibus suis retinentur, respicere centrum Iovis, & esse reciproce ut quadrata distantiarum locorum ab eodem centro.

Patet pars prior Propositionis per Hypoth. V. & Prop. II. vol III. Lib. I. & pars posterior per Hypoth. V. & Corol. 6. Prop. IV. ejusdem Libri.

Prop. II. Theor. II.

Vires, quibus Planetae primarii perpetuo retrahuntur à motibus rectilineis, & in Orbibus suis retinentur, respicere Solem, & esse reciproce ut qua∣drata distantiarum ab ipsius centro.

Patet pars prior Propositionis per Hypoth. VIII. & Prop. II. Lib. I. & pars posterior per Hypoth. VII. & Prop. IV. ejusdem Libri. Accuratissimè autem demonstratur haec pars Propositionis per quie∣tem Apheliorum. Nam aberratio quam minima à ratione dupli∣cata (per Coral. I. Prop. XLV. Lib. I.) motum Apsidum in singu∣lis revolutionibus notabilem, in pluribus enormem efficere deberet.

Prop. III. Theor. III.

Vim qua Luna retinetur in Orbe suo respicere terram, & esse reciprocò ut quadratum distantiae locorum ab ipsius centro.

Patet assertionis pars prior, per Hypoth. IX. & Prop. II. vol III. Lib. I. & pars posterior per motum tardissimum Lunaris Apogaei. Nam motus ille, qui singulis revolutionibus est graduum tantum trium in consequentia, contemni potest. Patet enim, per Corol 1. Prop. XLV. Lib. I. quod si distantia Lunae à centro Terrae dica∣tur

D, vis à qua motus talis oriatur, sit reciproce ut D 2 4/243, id est re∣ciprocè ut ea ipsius D dignitas, cujus index est 2 4/243, hoc est in ratione distantiae paulo majore quam duplicata inverse, sed quae vicibus 60¾ propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit. Tantil∣lus autem accessus meritò contemnendus est. Oritur verò ab acti∣one Solis (uti posthac dicetur) & propterea hic negligendus est. Restat igitur ut vis illa, quae ad Terram spectat, sit reciprocè ut D2; id quod etiam plenius constabit, conferendo hanc vim cum vi gravitatis, ut fit in Propositione sequente.

Prop. IV. Theor. IV.

Lunam gravitare in terram, & vi gravitatis retrahi semper à motu rectilineo, & in orbe suo retineri.

Lunae distantia mediocris à centro Terrae est semidiametrorum terrestrium, secundum plerosque Astronomorum 59, secundum Vendelinum 60, secundum Copernicum 60⅓, secundum Kirche∣rum 62½, & secundum Tychonem 56½. Ast Tycho, & quot∣quot ejus Tabulas refractionum sequuntur, constituendo refracti∣ones Solis & Lunae (omnino contra naturam Lucis) majores quam fixarum, idque scrupulis quasi quatuor vel quinque, auxerunt Pa∣rallaxin Lunae scrupulis totidem, hoc est quasi duodecima vel de∣cima quinta parte totius parallaxeos. Corrigatur iste error, & distantia evadet quasi 61 semidiametrorum terrestrium, fere ut ab aliis assignatum est. Assumamus distantiam mediocrem sexaginta semidiametrorum; & Lunarem periodum respectu fixarum com∣pleri diebus 27, horis 7, minutis primis 43, ut ab Astrono∣mis statuitur; atque ambitum Terrae esse pedum Parisiensium 123249600, uti à Gallis mensurantibus nuper definitum est: & si Luna motu omni privari fingatur, ac dimitti ut, urgente vi illa omni qua in Orbe suo retinetur, descendat in terram; haec spatio mi∣nuti primi cadendo describet pedes Parisienses 15 1/12. Colligitur

hoc ex calculo, vel per Propositionem xxxvi Libri primi, vel (quod eodem recedit) per Scholium Propositionis quartae ejusdem Libri, confecto. Unde cum vis illa accedendo ad terram augeatur in duplicata distantiae ratione inversâ, adeoque ad superficiem Terrae major sit vicibus 60×60 quam ad Lunam, corpus vi illa in regio∣nibus nostris cadendo describere deberet spatio minuti unius primi pedes Parisienses 60×60×15 1/12, & spatio minuti unius secundi pedes 15 1/12. Atqui corpora in regionibus nostris vi gravitatis cadendo describunt tempore minuti unius secundi pedes Parisienses 15 1/12, uti Hugenius, factis pendulorum experimentis & computo inde inito, demonstravit: & propterea vis qua Luna in orbe suo retinetur, illa ipsa est quam nos gravitatem dicere solemus. Nam si gravitas ab ea diversa est, corpora viribus utrisque conjunctis Terram petendo duplo velocius descendent, & spatio minuti unius secundi cadendo describent pedes Parisienses 30⅙: omnino contra experientiam.

Calculus hic fundatur in Hypothesi quod Terra quiescit. Nam si Terra & Luna circa Solem moveantur, & interea quoque circa commune gravitatis centrum revolvantur: distantia centrorum Lunae ac Terrae ab invicem erit 60½ semidiametrorum terrestrium; uti computationem (per Prop. LX. Lib. I.) ineunti patebit.

Prop. V. Theor. V.

Planetas circumjoviales gravitare in Iovem, & circumsolares in Solem, & vi gravitatis suae retrahi semper à motibus rectilineis, & in orbibus curvilineis retineri.

Nam revolutiones Planetarum circumjovialium circa Jovem, & Mercurii ac Veneris reliquorumque circumsolarium circa Solem sunt Phaenomena ejusdem generis cum revolutione Lunae circa Ter∣ram; & propterea per Hypoth. II. à causis ejusdem generis de∣pendent: praesertim cùm demonstratum sit quod vires, à quibus revolutiones illae dependent, respiciant centra Jovis ac Solis, & re∣cedendo 〈2 pages missing〉〈2 pages missing〉

centri Orbis Satellitis à Sole minor foret quàm distantia centri Jovis à Sole in ratione illa dimidiata. Igitur si in aequalibus à Sole di∣stantiis, gravitas acceleratrix Satellitis cujusvis in Solem major esset vel minor quàm gravitas acceleratrix Jovis in Solem, parte tantum millesima gravitatis totius; foret distantia centri Orbis Satellitis à Sole major vel minor quàm distantia Jovis à Sole parte 1/2600 distan∣tiae totius, id est parte quinta distantiae Satellitis extimi à cen∣tro Jovis: Quae quidem Orbis excentricitas foret valde sensibilis. Sed Orbes Satellitum sunt Jovi concentrici, & propterea gravitates acceleratrices Jovis & Satellitum in Solem aequantur inter se. Et eodem argumento pondera Saturni & Comitis ejus in Solem, in aequalibus à Sole distantiis, sunt ut quantitates materiae in ipsis: Et pondera Lunae ac Terrae in Solem vel nulla sunt, vel earum massis accuratè proportionalia.

Quinetiam pondera partium singularum Planetae cujusque in ali∣um quemcunque sunt inter se ut materia in partibus singulis. Nam si partes aliquae plus gravitarent, aliae minus, quàm pro quantitate materiae, Planeta totus, pro genere partium quibus maximè abun∣det, gravitaret magis vel minus quàm pro quantitate materiae toti∣us. Sed nec refert utrum partes illae externae sint vel internae. Nam si verbi gratia corpora Terrestria, quae apud nos sunt, in Orbem Lu∣nae elevari fingantur, & conferantur cum corpore Lunae: Si horum pondera essent ad pondera partium externarum Lunae ut quantitates materiae in iisdem, ad pondera verò partium internarum in majori vel minori ratione, forent eadem ad pondus Lunae totius in majori vel minori ratione: contra quam supra ostensum est.

Corol. 1. Hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis & texturis. Nam si cum formis variari possent, forent majora vel minora pro varietate formarum in aequali materia: omninò con∣tra experientiam.

Corol. 2. Igitur corpora universa quae circa Terram sunt, gravia sunt in Terram; & pondera omnium, quae aequaliter à centro Ter∣rae distant, sunt ut quantitates materiae in iisdem. Nam si aether

aut corpus aliud quodcunque vel gravitate omnino destitueretur vel pro quantitate materiae suae minus gravitaret, quoniam id non dif∣fert ab aliis corporibus nisi in forma materiae, posset idem per mu∣tationem formae gradatim transmutari in corpus ejusdem conditio∣nis cum iis quae pro quantitate materiae quam maximè gravitant, (per Hypoth. III.) & vicissim corpora maxime gravia, formam il∣lius gradatim induendo, possent gravitatem suam gradatim amittere. Ac proinde pondera penderent à formis corporum, possentque cum formis variari, contra quam probatum est in Corollario superiore.

Corol. 3. Itaque Vacuum necessariò datur. Nam si spatia omnia plena essent, gravitas specifica fluidi quo regio aeris impleretur, ob summam densitatem materiae, nil cederet gravitati specificae argenti vivi, vel auri, vel corporis alterius cujuscunque densissimi; & pro∣pterea nec aurum neque aliud quodcunque corpus in aere descen∣dere posset. Nam corpora in fluidis, nisi specificè graviora sint, minimè descendunt.

Corol. 4. Gravitatem diversi generis esse à vi magnetica. Nam attractio magnetica non est ut materia attracta. Corpora aliqua magis trahuntur, alia minus, plurima non trahuntur. Estque vis magnetica longe major pro quantitate materiae quam vis gravitatis: sed & in eodem corpore intendi potest & remitti; in recessu verò à magnete decrescit in ratione distantiae plusquam duplicata; propte∣rea quod vis longe fortior sit in contactu, quam cum attrahentia vel minimum separantur ab invicem.

Prop. VII. Theor. VII.

Gravitatem in corpora universa fieri, eamque proportionalem esse quanti∣tati materiae in singulis.

Planetas omnes in se mutuò graves esse jam ante probavimus, ut & gravitatem in unumquemque seorsim spectatum esse reciprocè ut quadratum distantiae locorum à centro Planetae: Et inde consequens

est, (per Prop. LXIX. Lib. I. & ejus Corollaria) gravitatem in om∣nes proportionalem esse materiae in iisdem.

Porrò cum Planetae cujusvis A partes omnes graves sint in Plane∣tam quemvis B, & gravitas partis cujusque sit ad gravitatem to∣tius, ut materia partis ad materiam totius, & actioni omni reactio (per motus Legem tertiam) aequalis sit; Planeta B in partes omnes Planetae A vicissim gravitabit, & erit gravitas sua in partem unam∣quamque ad gravitatem suam in totum, ut materia partis ad mate∣riam totius. Q.E.D.

Corol. 1. Oritur igitur & componitur gravitas in Planetam totum ex gravitate in partes singulas. Cujus rei exempla habemus in attractionibus Magneticis & Electricis. Oritur enim attractio om∣nis in totum ex attractionibus in partes singulas. Res intelligetur in gravitate, concipiendo Planetas plures minores in unum Glo∣bum coire & Planetam majorem componere. Nam vis totius ex viribus partium componentium oriri debebit. Siquis objiciat quod corpora omnia, quae apud nos sunt, hac lege gravitare deberent in se mutuò, cùm tamen ejusmodi gravitas neutiquam sentiatur: Re∣spondeo quod gravitas in haec corpora, cum sit ad gravitatem in Terram totam ut sunt haec corpora ad Terram totam, longe mi∣nor est quam quae sentiri possit.

Corol. 2. Gravitatio in singulas corporis particulas aequales est reciprocè ut quadratum distantiae locorum à particulis. Patet per Corol. 3. Prop. LXXIV. Lib. I.

Prop. VIII. Theor. VIII.

Si Globorum duorum in se mutuò gravitantium materia undique, in regio∣nibus quae à centris aequaliter distant, homogenea sit: erit pondus Globi alterutrius in alterum reciprocè ut quadratum distantiae inter centra.

Postquam invenissem gravitatem in Planetam totum oriri & componi ex gravitatibus in partes; & esse in partes singulas reciprocè

proportionalem quadratis distantiarum à partibus: dubitabam an reciproca illa proportio duplicata obtineret accuratè in vi tota ex viribus pluribus composita, an verò quam proximè. Nam fieri posset ut proportio illa in majoribus distantiis satis obtineret, at prope superficiem Planetae, ob inaequales particularum distantias & situs dissimiles, notabiliter erraret. Tandem verò, per Prop. LXXV. Libri primi & ipsius Corollaria, intellexi veritatem Propositionis de qua hic agitur.

Corol. 1. Hinc inveniri & inter se comparari possunt pon∣dera corporum in diversos Planetas. Nam pondera corporum aequalium circum Planetas in circulis revolventium sunt (per Prop. IV. Lib. I.) ut diametri circulorum directè & quadrata temporum periodicorum inversè; & pondera ad superficies Pla∣netarum aliasve quasvis à centro distantias majora sunt vel mi∣nora (per hanc Propositionem) in duplicata ratione distantiarum inversa. Sic ex temporibus periodicis Veneris circa Solem dierum 224⅔, Satellitis extimi circumjovialis circa Jovem dierum 16¾, Sa∣tellitis Hugeniani circa Saturnum dierum 15 & horarum 22⅔, & Lunae circa Terram 27 dier. 7 hor. 43 min. collatis cum distantia mediocri Veneris à Sole; cum Elongatione maxima Heliocentrica Satellitis extimi circumjovialis, quae (in mediocri Jovis à Sole distantia juxta observationes Flamstedii) est 8'.13"; cum elongatione maxi∣mae Heliocentrica Satellitis Saturnii 3'.20"; & cum distantia Lunae à Terra, ex Hypothesi quod Solis parallaxis horizontalis seu semi∣diameter Terrae è Sole visae sit quasi 20"; calculum ineundo inve∣ni quod corporum aequalium & à Sole, Jove, Saturno ac Terra aequaliter distantium pondera in Solem, Jovem, Saturnum ac Ter∣ram forent ad invicem ut 1, 1/1100, 2/2360 & 1/28700 respectiveè. Est au∣tem Solis semidiameter mediocris apparens quasi 16'.6". Illam Jovis è Sole visam Flamstedius, ex umbrae Jovialis diametro per Eclipses Satellitum inventa, determinavit esse ad elongationem Satellitis extimi ut 1 ad 24, 9 adeoque cum. elongatio illa sit 8'. 13" semidiameter Jovis è Sole visi erit 19"¾. Diameter Saturni

est ad diametrum Annuli ejus ut 4 ad 9, & diameter annuli è Sole visi (mensurante Flamstedio) 50", adeoque semidiameter Sa∣turni è Sole visi 11". Malim dicere 10" vel 9", propterea quod globus Saturni per lucis inaequalem refrangibilitatem nonnihil di∣latatur. Hinc inito calculo prodeunt verae Solis, Jovis, Saturni ac Terrae semidiametri ad invicem ut 10000, 1063, 889 & 208. Unde cum pondera aequalium corporum à centris Solis, Jovis, Sa∣turni ac Telluris aequaliter distantium sint in Solem, Jovem, Sa∣turnum ac Terram ut 1, 1/1100, 1/2360, 1/28700 respective, & auctis vel diminutis distantiis diminuuntur vel augentur pondera in duplicata ratione; erunt pondera eorundem aequalium corporum in Solem, Jovem, Saturnum & Terram, in distantiis 10000, 1063, 889, & 208 ab eorum centris, atque adeo in eorum superficiebus versanti∣um, ut 10000, 804½, 536 & 805½ respectivè. Pondera cor∣porum in superficie Lunae ferè duplo minora esse quam pondera corporum in superficie Terrae dicemus in sequentibus.

Corol. 2. Igitur pondera corporum aequalium, in superficiebus Terrae & Planetarum, sunt fere in ratione dimidiata diametrorum apparentium è Sole visarum. De Terrae quidem diametro è Sole visa nondum constat. Hanc assumpsi 40", propterea quod obser∣vationes Kepleri, Riccioli & Vendelini non multo majorem esse per∣mittunt; eam Horroxii & Flamstedii observationes paulo minorem adstruere videntur. Et malui in excessu peccare. Quòd si fortè diameter illa & gravitas in superficie Terrae mediocris sit inter di∣ametros Planetarum & gravitatem in eorum superficiebus: quo∣niam Saturni, Jovis, Martis, Veneris & Mercurii è Sole visorum diametri sunt 18", 39"½, 8",28", 20" circiter, erit diameter Terrae quasi 24", adeoque Parallaxis Solis quasi 12", ut Hor∣roxius & Flamstedius propemodum statuere. Sed diameter paulo major melius congruit cum Regula hujus Corollarii.

Corol. 3. Innotescit etiam quantitas materiae in Planetis singu∣lis. Nam quantitates illae sunt ut Planetarum Vires in distan∣tiis à se aequalibus; id est in Sole, Jove, Saturno ac Terra ut 1,

1/1100, 1/2360, 1/28700 respectivè. Si Parallaxis Solis statuatur minor quàm 20", debebit quantitas materiae in Terra diminui in tripli∣cata ratione.

Corol. 4. Innotescunt etiam densitates Planetarum. Nam cor∣porum aequalium & homogeneorum pondera in Sphaeras homo∣geneas in superficiebus Sphaerarum, sunt ut Sphaerarum diametri per Prop. LXXII. Lib. I. ideoque Sphaerarum heterogenearum den∣sitates sunt ut pondera applicata ad diametros. Erant autem verae Solis, Saturni, Jovis ac Terrae diametri ad invicem ut 10000, 889, 1063 & 208, & pondera in eosdem ut 10000, 536, 804½ & 805½, & propterea densitates sunt ut 100, 60, 76, 387. Densitas autem Terrae, quae hic colligitur, non pendet à Pa∣rallaxi Solis, sed determinatur per parallaxin Lunae, & propterea hic recte definitur. Est igitur Sol paulo densior quàm Jupiter, & Terra multo densior quàm Sol.

Corol. 5. Planetarum autem densitates inter se fere sunt in rati∣one composita ex ratione distantiarum à Sole & ratione dimidiata diametrorum apparentium è Sole visarum. Nempe Saturni, Jo∣vis, Terrae & Lunae densitates 60, 76, 387 & 700, fere sunt ut distantiarum reciproca 1/9538, 1/5201, 1/1000 & 1/1000, ducta in radices dia∣metrorum apparentium 18", 39"½, 40", & 11". Diximus uti∣que, in Corollario secundo, gravitatem ad superficies Planetarum esse quam proximè in ratione dimidiata apparentium diametro∣rum è Sole visarum; & in Lemmate quarto densitates esse ut gra∣vitates illae applicatae ad diametros veras: ideoque densitates fere sunt ut radices diametrorum apparentium applicatae ad diame∣tros veras, hoc est reciproce ut distantiae Planetarum à Sole du∣ctae in radices diametrorum apparentium. Collocavit igitur Deus Planetas in diversis distantiis à Sole, ut quilibet pro gradu densitatis calore Solis majore vel minore fruatur. Aqua nostra, si Terra locaretur in orbe Saturni, rigesceret, si in orbe Mercurii in vapores statim abiret. Nam lux Solis, cui calor proportionalis est, septuplo densior est in orbe Mercurii quàm apud nos: & Ther∣mometro

expertus sum quod septuplo Solis aestivi calore aqua ebullit. Dubium verò non est quin materia Mercurii ad calorem accommodetur, & propterea densior sit hac nostra; cum materia omnis densior ad operationes Naturales obeundas majorem calo∣rem requirat.

Prop. IX. Theor. IX.

Gravitatem pergendo à superficiebus Planetarum deorsum decrescere in ratione distantiarum à centro quam proximè.

Si materia Planetae quoad densitatem uniformis esset, obtineret haec Propositio accuratè: per Prop. LXXIII. Lib. I. Error igitur tantus est, quantus ab inaequabili densitate oriri possit.

Prop. X. Theor. X.

Motus Planetarum in Coelis diutissimè conservari posse.

In Scholio Propositionis XL. Lib. II. ostensum est quod globus Aquae congelatae in Aere nostro, liberè movendo & longitudinem semidiametri suae describendo, ex resistentia Aeris amitteret motus sui partem 1/32000. Obtinet autem eadem proportio quam proximè (per Prop. XL. Lib. II.) in globis utcunque magnis & velocibus. Jam verò Globum Terrae nostrae densiorem esse quam si totus ex Aqua constaret, sic colligo. Si Globus hicce totus esset aqueus, quaecunque rariora essent quàm aqua, ob minorem specificam gra∣vitatem emergerent & supernatarent. Eaque de causa Globus terreus aquis undique coopertus, si rarior esset quam aqua, emer∣geret alicubi, & aqua omnis inde defluens congregaretur in regione opposita. Et par est ratio Terrae nostrae maribus magna ex parte circumdatae. Haec si densior non esset, emergeret ex maribus, & parte sui pro gradu levitatis extaret ex Aqua, maribus omnibus in

regionem oppositam confluentibus. Eodem argumento maculae Solares leviores sunt quàm materia lucida Solaris cui supernatant. Et in formatione qualicunque Planetarum, materia omnis gravior, quo tempore massa tota fluida erat, centrum petebat. Unde cum Terra communis suprema quasi duplo gravior sit quam aqua, & paulo inferius in fodinis quasi triplo vel quadruplo aut etiam quin∣tuplo gravior reperiatur: verisimile est quod copia materiae totius in Terra quasi quintuplo vel sextuplo major sit quàm si tota ex aqua constaret; praesertim cum Terram quasi quintuplo den∣siorem esse quàm Jovem jam ante ostensum sit. Igitur si Jupiter paulo densior sit quàm aqua, hic spatio dierum viginti & unius, quibus longitudinem 320 semidiametrorum suarum describit, amitteret in Medio ejusdem densitatis cum Aere nostro motus sui partem fere decimam. Verum cum resistentia Mediorum minuatur in ratione ponderis ac densitatis, sic ut aqua, quae vi∣cibus 13⅔ levior est quàm argentum vivum, minus resistat in eadem ratione; & aer, qui vicibus 800 levior est quàm aqua, mi∣nus resistat in eadem ratione: si ascendatur in coelos ubi pondus Medii, in quo Planetae moventur, diminuitur in immensum, resi∣stentia prope cessabit.

Prop. XI. Theor. XI.

Commune centrum gravitatis Terrae Solis & Planeta∣rum omnium quiescere.

Nam centrum illud (per Legum Corol. 4.) vel quiescet vel progredietur uniformiter in directum. Sed centro illo semper progrediente, centrum Mundi quoque movebitur contra Hypo∣thesin quartam.

〈2 pages missing〉〈2 pages missing〉 Huic autem differentiae proportionalis est maxima Saturni efficacia ad perturbandum motum Jovis, & propterea perturbatio orbis Jo∣vialis longe minor est quàm ea Saturnii. Reliquorum orbium per∣turbationes sunt adhuc longe minores.

Prop. XIV. Theor. XIV.

Orbium Aphelia & Nodi quiescunt.

Aphelia quiescunt, per Prop. XI. Lib. I. ut & orbium plana, per ejusdem Libri Prop. I. & quiescentibus planis quiescunt Nodi. At∣tamen à Planetarum revolventium & Cometarum actionibus in se invicem orientur inaequalitates aliquae, sed quae ob parvitatem con∣temni possunt.

Corol. 1. Quiescunt etiam Stellae fixae, propterea quod datas ad Aphelia Nodosque positiones servant.

Corol. 2. Ideoque cum nulla sit earum parallaxis sensibilis ex Terrae motu annuo oriunda, vires earum ob immensam corporum distantiam nullos edent sensibiles effectus in regione Systematis no∣stri.

Prop. XV. Theor. XV.

Invenire Orbium transversas diametros.

Capiendae sunt hae in ratione sesquialtera temporum periodico∣tum, per Prop. XV. Lib. I. deinde sigillatim augendae in ratione summae massarum Solis & Planetae cujusque revolventis ad primam duarum mediè proportionalium inter summam illam & Solem, per. Prop. LX. Lib. 1.

Prop. XVI. Prob. I.

Invenire Orbium Excentricitates & Aphelia.

Problema confit per Prop. XVIII. Lib. I.

Prop. XVII. Theor. XVI.

Planetarum motus diurnos uniformes esse, & librationem Lunae ex ipsius motu diurno oriri.

Patet per motus Legem I, & Corol. 22. Prop. LXVI. Lib. I. Quoniam verò Lunae, circa axem suum uniformiter revolventis, dies menstruus est; hujus facies eadem ulteriorem umbilicum orbis ipsius semper respiciet, & propterea pro situ umbilici illius devia∣bit hinc inde à Terra. Haec est libratio in longitudinem. Nam li∣bratio in latitudinem orta est ex inclinatione axis Lunaris ad pla∣num orbis. Porrò haec ita se habere, ex Phaenomenis manifestum est.

Prop. XVIII. Theor. XVII.

Axes Planetarum diametris quae ad eosdem axes normaliter ducuntur minores esse.

Planetae sublato omni motu circulari diurno figuram Sphaericam, ob aequalem undique partium gravitatem, affectare deberent. Per motum illum circularem fit ut partes ab axe recedentes juxta aequa∣torem ascendere conentur. Ideoque materia si fluida sit ascensu suo ad aequatorem diametros adaugebit, axem verò descensu suo ad polos diminuet. Sic Jovis diameter (consentientibus observationi∣bus Cassini & Flamstedii) b••evior deprehenditur inter polos quàm ab oriente in occidente〈…〉〈…〉 Eodem argumento, nisi Terra nostra.

paulò altior esset sub aequatore quàm ad polos, Maria ad polos subsiderent, & juxta aequatorem ascendendo, ibi omnia inundarent.

Prop. XIX. Prob. II.

Invenire proportionem axis Planetae ad diametros eidem perpendiculares.

Ad hujus Problematis solutionem requiritur computatio multi∣plex, quae facilius exemplis quàm praeceptis addiscitur. Inito igitur calculo invenio, per Prop. IV. Lib. I. quod vis centrifuga partium Terrae sub aequatore, ex motu diurno oriunda, sit ad vim gravita∣tis ut 1 ad 290⅘. Unde si APBQ figuram Terrae designet revo∣lutione Ellipfeos circa axem minorem PQ genitam; sitque ACQqca canalis aquae plena, à polo Qq ad centrum Cc, & inde ad aequa∣torem Aa pergens: debebit pondus aquae in canalis crure ACca esse ad pondus aquae in crure altero QCcq ut 291 ad 290, eò quòd

[illustration]

vis centrifuga ex circulari motu orta par∣tem unam è ponderis partibus 291 susti∣nebit & detrahet, & pondus 290 in alte∣ro crure sustinebit partes reliquas. Porrò (ex Propositionis XCI. Corollario secun∣do, Lib. I.) computationem ineundo, in∣venio quod si Terra constaret ex unifor∣mi materia, motuque omni privaretur, & esset ejus axis PQ ad diametrum AB ut 100 ad 101: gravitas in loco Q in Terram, foret ad gravitatem in eodem loco Q in sphaeram centro C radio PC vel QC descriptam, ut 126 2/15 ad 125 2/••5. Et eodem ar∣gumento gravitas in loco A in Sphaeroidem, convolutione Ellipseos APBQ circa axem AB descriptam, est ad gravitatem in eodem loco A in Sphaeram centro C radio AC descriptam, ut 125 2/15 ad 126 2/15. Est autem gravitas in loco A in Terram, media proportionalis inter gravitates in dictam Sphaeroidem & Sphaeram, propterea quod

Sphaera, diminuendo diametrum PQ in ratione 101 ad 100, vertitur in figuram Terrae; & haec figura diminuendo in eadem ratione di∣ametrum tertiam, quae diametris duabus AP, PQ perpendicularis est, vertitur in dictam Sphaeroidem, & gravitas in A, in casu utro∣que, diminuitur in eadem ratione quam proximè. Est igitur gravi∣tas in A in Sphaeram centro C radio AC descriptam, ad gravitatem in A in Terram ut 126 ad 125½, & gravitas in loco Q in Sphaeram centro C radio QC descriptam, est ad gravitatem in loco A in Sphae∣ram centro C radio AC descriptam, in ratione diametrorum (per Prop. LXXII. Lib. I.) id est ut 100 ad 101: Conjungantur jam hae tres rationes, 126 2/15 ad 125 2/15, 125½ ad 126 & 100 ad 101 & fiet gravitas in loco Q in Terram ad gravitatem in loco A in Terram, ut 126×126×100 ad 125×125½×101, seu ut 501 ad 500.

Jam cum per Corol. 3. Prop. XCI. Lib. I. gravitas in canalis crure utrovis ACca vel QCcq sit ut distantia locorum à centro Terrae; si crura illa superficiebus transversis & aequidistantibus di∣stinguantur in partes totis proportionales, erunt pondera partium singularum in crure ACca ad pondera partium totidem in crure al∣tero, ut magnitudines & gravitates acceleratrices conjunctim; id est ut 101 ad 100 & 500 ad 501, hoc est ut 505 ad 501. Ac pro∣inde si vis centrifuga partis cujusque in crure ACca ex motu diur∣no oriunda, fuisset ad pondus partis ejusdem ut 4 ad 505, eò ut de pondere partis cujusque, in partes 505 diviso, partes quatuor detra∣heret; manerent pondera in utroque crure aequalia, & propterea fluidum consisteret in aequilibrio. Verum vis centrifuga partis cu∣jusque est ad pondus ejusdem ut 1 ad 290. Hoc est, vis centripeta quae deberet esse ponderis pars 4/505 est tantum pars 1/290, & propterea dico, secundum Regulam auream, quod si vis centrifuga 4/505 faciat ut altitudo aquae in crure ACca superet altitudinem aquae in crure QCcq parte centesima totius altitudinis: vis centrifuga 1/290 faciet ut excessus altitudinis in crure ACca sit altitudinis in crure altero QCcq pars tantum 3/689. Est igitur diameter Terrae secundum aequatorem

ad ipsius diametrum per polos ut 692 ad 689. Ideoque cùm Ter∣rae semidiameter mediocris, juxta nuperam Gallorum mensuram, sit pedum Parisiensium 19615800 seu milliarium 3923 (posito quod milliare sit mensura pedum 5000;) Terra altior erit ad aequa∣torem quàm ad polos, excessu pedum 85200 seu milliarium 17.

Si Planeta vel major sit vel densior, minorve aut rarior quàm Terra, manente tempore periodico revolutionis diurnae, manebit proportio vis centrifugae ad gravitatem, & propterea manebit etiam proportio diametri inter polos ad diametrum secundum aequato∣rem. At si motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel re∣tardetur, augebitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa ratione, & propterea differentia diametrorum augebitur in eadem duplicata ratione. Unde cum Terra respectu fixarum revolvatur horis 23, 56', Iupiter autem horis 9, 56', sintque temporum qua∣drata ut 29 ad 5, differentia diametrorum Iovis erit ad ipsius dia∣metrum minorem ut 29×3/5×689 ad 1, seu 1 ad 39⅗. Est igitur diameter Iovis ab oriente in occidentem ducta, ad ipsius diametrum inter polos ut 40⅗ ad 39⅗ quam proximè. Haec ita se habent ex Hypo∣thesi quod uniformis sit Planetarum materia. Nam si materia den∣sior sit ad centrum quàm ad circumferentiam, diameter, quae ab oriente in occidentem ducitur, erit adhuc major.

Prop. XX. Prob. III.

Invenire & inter se comparare pondera corporum in regionibus diversis.

Quoniam pondera inaequalium crurum canalis aqueae ACQqca aequalia sunt; & pondera partium, cruribus totis proportionalium & similiter in totis sitarum, sunt ad invicem ut pondera totorum, adeoque etiam aequantur inter se; erunt pondera aequalium & in cruribus similiter sitarum partium' reciprocè ut crura, id est reciprocè ut 692 ad 689. Et par est ratio homogeneorum & aequalium quo∣rumvis & in canalis cruribus similiter sitorum corporum. Horum

pondera sunt reciprocè ut crura, id est reciprocè ut distantiae corpo¦rum à centro Terrae. Proinde si corpora in supremis canalium par∣tibus, sive in superficie Terrae consistant; erunt pondera eorum ad invicem reciprocè ut distantiae eorum à centro. Et eodem argu∣mento pondera, in aliis quibuscunque per totam Terrae superficiem regionibus, sunt reciprocè ut distantiae locorum à centro; & propte∣rea, ex Hypothesi quod Terra Sphaerois sit, dantur proportione.

Unde tale confit Theorema, quod incrementum ponderis, per∣gendo ab Aequatore ad Polos, sit quam proximè ut Sinus versus la∣titudinis duplicatae, vel quod perinde est ut quadratum Sinus recti Latitudinis. Exempli gratia, Latitudo Lutetiae Parisiorum est 48 gr. 45': Ea Insulae Goree prope Cape Verde 14 gr. 15': ea Cayennae ad littus Guaianae quasi 5 gr. ea locorum sub Polo 90 gr. Duplorum 97½ gr. 28½ gr. 10 gr. & 180 gr. Sinus versi sunt 11305, 1211, 152, & 20000. Proinde cum gravitas in Polo sit ad gravitatem sub Aequatore ut 692 ad 689, & excessus ille gravitatis sub Polo ad gravitatem sub Aequatore ut 3 ad 689; erit excessus gravitatis Lutetiae, in Insula Goree & Cayennae, ad gravitatem sub aequa∣tore ut 3×11305/20000, 3×1211/20000 & 2×152/20000 ad 689, seu 33915, 3633, & 456 ad 13780000, & propterea gravitates totae in his locis erunt ad invi∣cem ut 13813915, 13783633, 13780456. & 13780000. Quare cum longitudines Pendulorum aequalibus temporibus oscil∣lantium sint ut gravitates, & Lutetiae Parisiorum longitudo pen∣duli singulis minutis secundis oscillantis sit pedum trium Parisien∣sium & 17/24 partium digiti; longitudines Pendulorum in Insulâ Go∣ree, in illâ Cayennae & sub Aequatore, minutis singulis secundis oscillantium superabuntur à longitudine Penduli Parisiensis excessi∣bus 81/1000, 89/1••00 & 90/1000 partium digiti. Haec omnia ita se habebunt, ex Hypothesi quod Terra ex uniformi materia constat. Nam si ma∣teria ad centrum paulò densior sit quàm ad superficiem, excessus illi erunt paulò majores; propterea quod, si materia ad centrum redundans, qua densitas ibi major redditur, subducatur & seorsim spectetur, gravitas in Terram reliquam uniformiter densam erit

reciprocè ut distantia ponderis à centro; in materiam verò redun∣dantem reciprocè ut quadratum distantiae à materia illa quam pro∣ximè. Gravitas igitur sub aequatore minor erit in materiam illam redundantem quàm pro computo superiore, & propterea Terra ibi propter defectum gravitatis paulò altius ascendet quàm in prae∣cedentibus definitum est. Jam verò Galli factis experimentis in∣venerunt quod Pendulorum minutis singulis secundis oscillantium longitudo Parisiis major sit quàm in Insula Goree, parte decima di∣giti, & major quàm Cayennae parte octava. Paulò majores sunt hae differentiae quam differentiae 81/1000 & 89/1000 quae per computationem su∣periorem prodiere: & propterea (si crassis hisce Observationibus satìs confidendum sit) Terra aliquanto altior erit sub aequatore quàm pro superiore calculo, & densior ad centrum quàm in fodi∣nis prope superficiem. Si excessus gravitatis in locis hisce Borea∣libus supra gravitatem ad aequatorem, experimentis majori cum diligentia institutis, accuratè tandem determinetur, deinde excessus ejus ubique sumatur in ratione Sinus versi latitudinis duplicatae; determinabitur tum Mensura Universalis, tum Aequatio temporis per aequalia pendula in locis diversis indicati, tum etiam propor∣tio diametrorum Terrae ac densitas ejus ad centrum; ex Hypothesi quod densitas illa, pergendo ad circumferentiam, uniformiter de∣crescat. Quae quidem Hypothesis, licet accurata non sit, ad ineun∣dum tamen calculum assumi potest.

Prop. XXI. Theor. XVIII.

Puncta Aequinoctialia regredi, & axem Terrae singulis revolutionibus nu∣tando bis inclinari in Eclipticam & bis redire ad positionem priorem.

Patet per Corol. 20. Prop. LXVI. Lib. I. Motus tamen iste nu∣tandi perexiguus esse debet, & vix aut ne vix quidem sensibilis.

Prop. XXII. Theor. XIX.

Motus omnes Lunares, omnesque motuum inaequalitates ex allatis Prin∣cipiis consequi.

Planetas majores, interea dum circa Solem feruntur, posse alios minores circum se revolventes Planetas deferre, & minores illos in Ellipsibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere patet per Prop. LXV. Lib. I. Actione autem Solis perturbabuntur eorum motus multimode, iisque adficientur inaequalitatibus quae in Luna nostra notantur. Haec utique (per Corol. 2, 3, 4, & 5 Prop. LXVI.) velocius movetur, ac radio ad Terram ducto descri∣bit aream pro tempore majorem, orbemque habet minus curvam, atque adeò propius accedit ad Terram, in Syzygiis quàm in Qua∣draturis, nisi quatenus impedit motus Excentricitatis. Excentricitas enim maxima est (per Corol. 9. Prop. LXVI.) ubi Apogaeum Lu∣nae in Syzygiis versatur, & minima ubi idem in Quadraturis con∣sistit; & inde Luna in Perigaeo velocior est & nobis propior, in Apogaeo autem tardior & remotior in Syzygiis quàm in Quadraturis. Progreditur insuper Apogaeum, & regrediuntur Nodi, sed motu in∣aequabili. Et Apogaeum quidem (per Corol. 7 & 8 Prop. LXVI.) velocius progreditur in Syzygiis suis, tardius regreditur in Quadratu∣ris, & excessu progressus supra regressum annuatim fertur in con∣sequentia. Nodi autem (per Corol. 11. Prop. LXVI.) quiescunt in Syzygiis suis, & velocissimè regrediuntur in Quadraturis. Sed & major est Lunae latitudo maxima in ipsius Quadraturis (per Co∣rol. 10. Prop. LXVI.) quàm in Syzygiis: & motus medius velo∣cior in Perihelio Terrae (per Corol. 6. Prop. LXVI.) quàm in ipsius Aphelio. Atque hae sunt inaequalitates insigniores ab Astronomis notatae.

Sunt etiam aliae quaedam nondum observatae inaequalitates, qui∣bus motus Lunares adeò perturbantur, ut nulla hactenus lege ad Re∣gulam

aliquam certam reduci potuerint. Velocitates enim seu mo∣tus horarii Apogaei & Nodorum Lunae, & eorundem aequationes, ut & differentia inter excentricitatem maximam in Syzygiis & mini∣mam in Quadraturis, & inaequalitas quae Variatio dicitur, augentur ac diminuuntur annuatim (per Corol. 14. Prop. LXVI.) in tripli∣cata ratione diametri apparentis Solaris. Et Variatio praeterea au∣getur vel diminuitur in duplicata ratione temporis inter quadratu∣ras quam proximè (per Corol. 1 & 2. Lem. X. & Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I.) Sed haec inaequalitas in calculo Astronomico, ad Prostaphaeresin Lunae referri solet, & cum ea confundi.

Prop. XXIII. Prob. IV.

Motus inaequales Satellitum Iovis & Saturni à motibus Lunaribus derivare.

Ex motibus Lunae nostrae motus analogi Lunarum seu Satelli∣tum Jovis sic derivantur. Motus medius Nodorum Satellitis exti∣mi Jovialis est ad motum medium Nodorum Lunae nostrae, in ra∣tione composita ex ratione duplicata temporis periodici Terrae circa Solem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Lunae circa Terram: (per Co∣rol. 16. Prop. LXVI.) adeoque annis centum conficit Nodus iste 9 gr. 34'. in antecedentia. Motus medii Nodorum Satellitum in∣teriorum sunt ad motum hujus, ut illorum tempora periodica ad tempus periodicum hujus, per idem Corollarium, & inde dantur. Motus autem Augis Satellitis cujusque in consequentia est ad mo∣tum Nodorum ipsius in antecedentia ut motus Apogaei Lunae no∣strae ad hujus motum Nodorum (per idem Corol.) & inde datur. Diminui tamen debet motus Augis sic inventus in ratione 5 ad 9 vel 1 ad 2 circiter, ob causam quam hic exponere non vacat.

Aequationes maximae Nodorum & Augis Satellitis cujusque fere sunt ad aequationes maximas Nodorum & Augis Lunae respectivè, ut motus Nodorum & Augis Satellitum, tempore unius revolutionis aequationum priorum, ad motus Nodorum & Apogaei Lunae tem∣pore unius revolutionis aequationum posteriorum. Variatio Satel∣litis è Jove spectati, est ad Variationem Lunae ut sunt toti motus Nodorum temporibus periodicis Satellitis & Lunae ad invicem, per idem Corollarium, adeoque in Satellite extimo non superat 6".22'''. Parvitate harum inaequalitatum & tarditate mortuum fit ut motus Satellitum summè regulares reperiantur, utque Astronomi recenti∣ores aut motum omnem Nodis denegent, aut asserant tardissimè re∣trogradum. Nam Flamstedius collatis suis cum Cassini Observatio∣nibus Nodos tarde regredi deprehendit.

Prop. XXIV. Theor. XX.

Fluxum & refluxum Maris ab actionibus Solis ac Lunae oriri debere.

Mare singulis diebus tam Lunaribus quàm Solaribus bis intumes∣cere debere ac bis defluere patet per Corol. 19. Prop. LXVI. Lib. I. ut & aquae maximam altitudinem, in maribus profundis & liberis, appulsum Luminarium ad Meridianum loci minori quàm sex hora∣rum spatio sequi, uti fit in Maris Atlantici & Aethiopici tractu toto orientali inter Galliam & Promontorium Bonae Spei, ut & in Maris Pacifici littore Chilensi & Peruviano: in quibus omnibus littoribus aestus in horam circiter tertiam incidit, nisi ubi motus per loca va∣dosa propagatus aliquantulum retardatur. Horas numero ab ap∣pulsu Luminaris utriusque ad Meridianum loci, tam infra Horizon∣tem quàm supra, & per horas diei Lunaris intelligo vigesimas quartas partes temporis quo Luna motu apparente diurno ad Me∣ridianum loci revolvitur.

Motus autem bini, quos Luminaria duo excitant, non cernentur distinctè, sed motum quendam mixtum efficient. In Luminarium

Conjunctione vel Oppositione conjungentur eorum effectus, & com∣ponetur fluxus & refluxus maximus. In Quadraturis Sol attollet aquam ubi Luna deprimit, deprimetque ubi Sol attollit; & ex ef∣fectuum differentia aestus omnium minimus orietur. Et quoniam, experientia teste, major est effectus Lunae quàm Solis, incidet aquae maxima altitudo in horam tertiam Lunarem. Extra Syzygias & Quadraturas, aestus maximus qui sola vi Lunari incidere semper de∣beret in horam tertiam Lunarem, & sola Solari in tertiam Solarem, compositis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod tertiae Lunari propinquius est; adeoque in transitu Lunae à Syzygiis ad Quadraturas, ubi hora tertia Solaris praecedit tertiam Lunarem, maxima aquae altitudo praecedet etiam tertiam Lunarem, idque maximo intervallo paulo post Octantes Lunae; & paribus interval∣lis aestus maximus sequetur horam tertiam Lunarem in transitu Lu∣nae à Quadraturis ad Syzygias. Haec ita sunt in mari aperto. Nam in ostiis Fluviorum fluxus majores caeteris paribus tardius ad 〈 in non-Latin alphabet 〉〈 in non-Latin alphabet 〉 venient.

Pendent autem effectus Luminarium ex eorum distantiis à Ter∣ra. In minoribus enim distantiis majores sunt eorum effectus, in majoribus minores, idque in triplicata ratione diametrorum appa∣rentium. Igitur Sol tempore hyberno, in Perigaeo existens, majo∣res edit effectus, efficitque ut aestus in Syzygiis paulo majores sint, & in Quadraturis paulo minores (caeteris paribus) quàm tempore aestivo; & Luna in Perigaeo singulis mensibus majores ciet aestus quàm ante vel post dies quindecim, ubi in Apogaeo versatur. Unde fit ut aestus duo omnino maximi in Syzygiis continuis se mutuo non sequantur.

Pendet etiam effectus utriusque Luminaris ex ipsius Declinatione seu distantia ab Aequatore. Nam si Luminare in polo constitue∣retur, traheret illud singulas aquae partes constanter, absque actionis intensione & remissione, adeoque nullam motus reciprocationem cieret. Igitur Luminaria recedendo ab aequatore polum versus ef∣fectus suos gradatim amittent, & propterea minores ciebunt aestus

in Syzygiis Solstitialibus quàm in Aequinoctialibus. In Quadratu∣ris autem Solstitialibus majores ciebunt aestus quàm in Quadraturis Aequinoctialibus; eò quod Lunae jam in aequatore constitutae effe∣ctus maxime superat effectum Solis. Incidunt igitur aestus maximi in Syzygias & minimi in Quadraturas Luminarium, circa tempora Aequinoctii utriusque. Et aestum maximum in Syzygiis comitatur semper minimus in Quadraturis, ut experientiâ compertum est. Per minorem autem distantiam Solis à Terra, tempore hyberno quàm tempore aestivo, fit ut aestus maximi & minimi saepius praecedant Aequinoctium vernum quàm sequantur, & saepius sequantur au∣tumnale quàm praecedant.

Pendent etiam effectus Luminarium ex locorum latitudine. De∣signet ApEP Tellurem aquis profundis undique coopertam; C centrum ejus; Pp, polos; AE Aequatorem; F locum quemvis ex∣tra Aequatorem; Ff parallelum loci; Dd parallelum ei respon∣dentem ex altera parte aequatoris; L locum quem Luna tribus an∣te horis occupabat; H locum Telluris ei perpendiculariter subje∣ctum; h locum huic opposi∣tum;

[illustration]

K, k loca inde gradi∣bus 90 distantia, CH, Ch Maris altitudines maximas mensuratas à centro Telluris; & CK, Ck altitudines mini∣mas: & si axibus Hh, Kk describatur Ellipsis, deinde Ellipseos hujus revolutione circa axem majorem Hh de∣scribatur Sphaerois HPKhpk; designabit haec figuram Maris quam proximè, & erunt CF, Cf, CD, Cd altitudines Maris in lo∣cis F, f, D, d. Quinetiam si in praefata Ellipseos revolutione pun∣ctum quodvis N describat circulum NM, secantem parallelos Ff, Dd in locis quibusvis R, T, & aequatorem AE in S; erit CN al∣titudo Maris in locis omnibus R, S, T, sitis in hoc circulo. Hinc in

revolutione diurna loci cujusvis F, affluxus erit maximus in F, hora tertia post appulsum Lunae ad Meridianum supra Horizontem; po∣stea defluxus maximus in Q hora tertia post occasum Lunae; dein affluxus maximus in f hora tertia post appulsum Lunae ad Meridi∣anum infra Horizontem; ultimò defluxus maximus in Q hora ter∣tia post ortum Lunae; & affluxus posterior in f erit minor quàm affluxus prior in F. Distinguitur enim Mare totum in duos omni∣no fluctus Hemisphaericos, unum in Hemisphaerio KHkC ad Bo∣ream vergentem, alterum in Haemisphaerio opposito KhkC; quos igitur fluctum Borealem & fluctum Australem nominare licet. Hi fluctus semper sibi mutuò oppositi veniunt per vices ad Meridianos locorum singulorum, interposito intervallo horarum Lunarium duo∣decim. Cumque regiones Boreales magis participant fluctum Bo∣realem, & Australes magis Australem, inde oriuntur aestus alternis vicibus majores & minores, in locis singulis extra aequatorem. Aestus autem major, Lunâ in verticem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam post appulsum Lunae ad Meridianum supra Hori∣zontem, & Lunâ declinationem mutante vertetur in minorem. Et fluxuum differentia maxima incidet in tempora Solstitiorum; prae∣sertim si Lunae Nodus ascendens versatur in principio Arietis. Sic experientiâ compertum est, quod aestus matutini tempore hyberno superent vespertinos & vespertini tempore aestivo matutinos, ad Ply∣muthum quidem altitudine quasi pedis unius, ad Bristoliam verò al∣titudine quindecim digitorum: Observantibus Colepressio & Sturmio.

Motus autem hactenus descripti mutantur aliquantulum per vim illam reciprocationis aquarum, qua Maris aestus, etiam cessantibus Luminarium actionibus, posset aliquamdiu perseverare. Conser∣vatio haecce motus impressi minuit differentiam aestuum alternorum; & aestus proximè post Syzygias majores reddit, eosque proximè post Quadraturas minuit. Unde fit ut aestus alterni ad Plymuthum & Bristoliam non multo magis differant ab invicem quàm altitudine pedis unius vel digitorum quindecim; utque aestus omnium maxi∣mi in iisdem portubus non sint primi à Syzygiis sed tertii. Retardan∣tur

etiam motus omnes in transitu per vada, adeò ut aestus omnium maximi, in fretis quibusdam & Fluviorum ostiis, sint quarti vel eti∣am quinti à Syzygiis.

Porrò fieri potest ut aestus propagetur ab Oceano per freta diver∣sa ad eundem portum, & citius transeat per aliqua freta quàm per alia, quo in casu aestus idem, in duos vel plures successive adveni∣entes divisus, componere possit motus novos diversorum generum. Fingamus aestus duos aequales à diversis locis in eundem portum ve∣nire, quorum prior praecedat alterum spatio horarum sex, incidat∣que in horam tertiam ab appulsu Lunae ad Meridianum portus. Si Luna in hocce suo ad Meridianum appulsu versabatur in aequa∣tore, venient singulis horis senis aequales affluxus, qui in mutuos re∣fluxus incidendo eosdem affluxibus aequabunt, & sic spatio diei il∣lius efficient ut aqua tranquillè stagnet. Si Luna tunc declinabar ab Aequatore, fient aestus in Oceano vicibus alternis majores & minores, uti dictum est; & inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini majores & bini minores, vicibus alternis. Affluxus autem bini majores component aquam altissimam in medio inter utrumque, affluxus major & minor faciet ut aqua ascendat ad me∣diocrem altitudinem in Medio ipsorum, & inter affluxus binos mi∣nores aqua ascendet ad altitudinem minimam. Sic spatio viginti quatuor horarum, aqua non bis ut fieri solet, sed semel tantum per∣veniet ad maximam altitudinem & semel ad minimam; & altitu∣do maxima, si Luna declinat in polum supra Horizontem loci, in∣cidet in horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu Lunae ad Me∣ridianum, atque Lunâ declinationem mutante mutabitur in deflu∣xum. Quorum omnium exemplum, in portu regni Tunquini ad Batsham, sub latitudine Boreali 20 gr. 50 min. Halleius ex Nauta∣rum Observationibus patefecit. Ibi aqua die transitum Lunae per Aequatorem sequente stagnat, dein Lunâ ad Boream declinante in∣cipit fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed semel singulis diebus; & aestus incidit in occasum Lunae, defluxus maxi∣mus in ortum. Cum Lunae declinatione augetur hic aestus, usque ad

diem septimum vel octavum, dein per alios septem dies iisdem gradibus decrescit, quibus antea creverat; & Lunâ declinationem mutante cessat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim subinde defluxus in occasum Lunae & affluxus in ortum, donec Luna ite∣rum mutet declinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet, alter ab Oceano Sinensi inter Continentem & Insulam Luconiam, alter à Mari Indico inter Continentem & Insulam Borneo. An aestus spatio horarum duodecim à Mari Indico, & spatio hora∣rum sex à Mari Sinensi per freta illa venientes, & sic in horam ter∣tiam & nonam Lunarem incidentes, componant hujusmodi motus; sitne alia Marium illorum conditio, observationibus vicinorum littorum determinandum relinquo.

Hactenus causas motuum Lunae & Marium reddidi. De quan∣titate motuum jam convenit aliqua subjungere.

Prop. XXV. Prob. V.

Invenire vires Solis ad perturbandos motus Lunae.

Designet Q Solem, S Terram, P Lunam, PADB orbem Lunae. In QP capiatur QK aequalis QS; sitque QL ad QK

[illustration]

in duplicata ratione QK ad QP, & ipsi PS agatur paral∣lela LM; & si gravitas acceleratrix Terrae in Solem ex∣ponatur per distan∣tiam QS vel QK, erit QL gravitas ac∣celeratrix Lunae in Solem. Ea componitur ex partibus QM, LM, quarum LM & ipsius QM pars SM perturbat motum Lunae, ut in Libri primi Prop. LXVI. & ejus Corollariis expositum est.

Quatenus Terra & Luna circum commune gravitatis centrum re∣volvuntur, perturbabitur motus Terrae circa centrum illud à viri∣bus consimilibus; sed summas tam virium quàm motuum referre licet ad Lunam, & summas virium per lineas ipsis analogas SM & ML designare. Vis ML (in mediocri sua quantitate) est ad vim gravitatis, qua Luna in orbe suo circa Terram quiescentem ad distantiam PS revolvi posset, in duplicata ratione temporum pe∣riodicorum Lunae circa Terram & Terrae circa Solem, (per Co∣rol. 17. Prop. LXVI. Lib. 1.) hoc est in duplicata ratione dierum 27. hor. 7. min. 43. ad dies 365. hor. 6. min. 9. id est ut 1000 ad 178725, seu 1 ad 178 8/11. Vis qua Luna in orbe suo circa Ter∣ram quiescentem, ad distantiam PS semidiametrorum terrestrium 60½ revolvi posset, est ad vim, qua eodem tempore ad distantiam semidiametrorum 60 revolvi posset, ut 60½ ad 60; & haec vis ad vim gravitatis apud nos ut 1 ad 60×60. Ideoque vis mediocris ML est ad vim gravitatis in superficie Terrae, ut 1×60½ ad 60×60×60×178 8/11 seu 1 ad 638092, 6. Unde ex proportione linearum SM, ML, datur etiam vis SM: & hae sunt vires Solis quibus motus Lunae perturbantur. Q.E.I.

Prop. XXVI. Prob. VI.

Invenire incrementum areae quam Luna radio ad Ter∣ram ducto describit.

Diximus aream, quam Luna radio ad Terram ducto describit, esse tempori proportionalem, nisi quatenus motus Lunaris ab actio∣ne Solis turbatur. Inaequalitatem momenti (vel incrementi horarii) hic investigandam proponimus. Ut computatio facilior reddatur, fingamus orbem Lunae circularem esse, & inaequalitates omnes ne∣gligamus, ea sola excepta, de qua hic agitur. Ob ingentem verò Solis distantiam ponamus etiam lineas QP, QS sibi invicem pa∣rallelas esse. Hoc pacto vis LM reducetur semper ad mediocrem

suam quantitatem SP, ut & vis SM ad mediocrem suam quanti∣tatem 3 PK. Hae vires, per Legum Corol. 2. componunt vim SL; & haec vis, si in radium SP demittatur perpendiculum LE, resolvitur in vires SE, EL, quarum SE, agendo semper secundum radium SP, nec accelerat nec retardat descriptionem areae QSP

[illustration]

radio illo SP factam; & EL agendo secundum perpendiculum, accelerat vel retardat ipsam, quantum accelerat vel retardat Lunam. Acceleratio illa Lunae, in transitu ipsius à Quadratura C ad conjun∣ctionem A, singulis temporis momentis facta, est ut ipsa vis acce∣lerans EL, hoc est ut 3 PK×SK / SP. Exponatur tempus per motum me∣dium Lunarem, vel (quod eodem fere recidit) per angulum CSP, vel etiam per arcum CP. Ad CS erigatur Normalis CG ipsi CS aequalis. Et diviso arcu quadrantali AC in particulas innumeras aequales Pp &c. per quas aequales totidem particulae temporis ex∣poni possint, ductâque pk perpendiculari ad CS, jungatur SG ipsis KP, kp productis occurrens in F & f; & erit Kk ad PK ut Pp ad Sp, hoc est in data ratione, adeoque FK×Kk seu area FKkf ut 3 PK×SK / SP id est ut EL; & compositè, area tota GCKF ut

summa omnium virium EL tempore toto CP impressarum in Lu∣nam, atque adeò etiam ut velocitas hac summâ genita, id est, ut acceleratio descriptionis areae CSP, seu incrementum momenti. Vis qua Luna circa Terram quiescentem ad distantiam SP, tempore suo periodico CADBC dierum 27. hor. 7. min. 43. revolvi posset, efficeret ut corpus, tempore CS cadendo, describeret longitudinem ½ CS, & velocitatem simul acquireret aequalem velocitati, qua Lu∣na in orbe suo movetur. Patet hoc per Schol. Prop. IV. Lib. I. Cum autem perpendiculum Kd in SP demissum sit ipsius EL pars tertia, & ipsius SP seu ML in octantibus pars dimidia, vis EL in Octantibus, ubi maxima est, superabit vim ML in ratione 3 ad 2, adeoque erit ad vim illam, qua Luna tempore suo periodico circa Terram quiescentem revolvi posset, ut 100 ad ⅔×17872½ seu 11915, & tempore CS velocitatem generare deberet quae esset pars 100/11915 velocitatis Lunaris, tempore autem CPA velocitatem majo∣rem generaret in ratione CA ad CS seu SP. Exponatur vis maxi∣ma EL in Octantibus per aream FK×Kk rectangulo ½ SP×Pp aequalem. Et velocitas, quam vis maxima tempore quovis CP genera∣re posset, erit ad velocitatem quam vis omnis minor EL eodem tem∣pore generat ut rectangulum ½ SP×CP ad aream KCGF: tempore autem toto CPA, velocitates genitae erunt ad invicem ut rectangulum ½ SP×CA & triangulum SCG, sive ut arcus quadrantalis CA ad radium SP. Ideoque (per Prop. IX. Lib. V. Elem.) velocitas po∣sterior, toto tempore genita, erit pars 100/11915 velocitatis Lunae. Huic Lunae velocitati, quae areae momento mediocri analoga est, adda∣tur & auferatur dimidium velocitatis alterius; & si momentum me∣diocre exponatur per numerum 11915 summa 11915+50 seu 11965 exhibebit momentum maximum areae in Syzygia A, ac differentia 11915−50 seu 11865 ejusdem momentum minimum in Quadraturis. Igitur areae temporibus aequalibus in Syzygiis & Quadraturis descriptae, sunt ad invicem ut 11965 ad 11865. Ad momentum minimum 11865 addatur momentum, quod sit ad mo∣mentorum differentiam 100 ut trapezium FKCG ad triangulum

SCG (vel quod perinde est, ut quadratum Sinus PK ad quadra∣tum Radii SP, id est ut Pd ad SP) & summa exhibebit mo∣mentum areae, ubi Luna est in loco quovis intermedio P.

Haec omnia ita se habent, ex Hypothesi quod Sol & Terra quies∣cunt, & Luna tempore Synodico dierum 27. hor. 7. min. 43. re∣volvitur. Cum autem periodus Synodica Lunaris verè sit dierum 29. hor. 12. & min. 44. augeri debent momentorum incrementa in ratione temporis. Hoc pacto incrementum totum, quod erat pars 100/11915 momenti mediocris, jam fiet ejusdem pars 100/11023. Ideoque momentum areae in Quadratura Lunae erit ad ejus momentum in Syzygia ut 11023−50 ad 11023+50, seu 10973 ad 11073, & ad ejus momentum, ubi Luna in alio quovis loco intermedio P ver∣satur, ut 10973 ad 10973+Pd, existente videlicet SP aequali 100.

Area igitur, quam Luna radio ad Terram ducto singulis tempo∣ris particulis aequalibus describit, est quam proximè ut summa nu∣meri 219 46/100 & Sinus versi duplicatae distantiae Lunae à Quadratura proxima, in circulo cujus radius est unitas. Haec ita se habent ubi Variatio in Octantibus est magnitudinis mediocris. Sin Variatio ibi major sit vel minor, augeri debet vel minui Sinus ille versus in ea∣dem ratione.

Prop. XXVII. Prob. VII.

Ex motu horario Lunae invenire ipsius distantiam à Terra.

Area, quam Luna radio ad Terram ducto, singulis temporis mo∣mentis, describit, est ut motus horarius Lunae & quadratum di∣stantiae Lunae à Terrâ conjunctim; & propterea distantia Lunae à Terrâ est in ratione compositâ ex dimidiatâ ratione Areae directè & dimidiatâ ratione motus horarii inversè. Q.E.I.

Corol. 1. Hinc datur Lunae diameter apparens: quippe quae sit reciprocè ut ipsius distantia à Terra. Tentent Astronomi quàm probè haec Regula cum Phaenomenis congruat.

Corol. 2. Hinc etiam Orbis Lunaris accuratiùs ex Phaenomenis quàm antehac definiri potest.

Prop. XXVIII. Prob. VIII.

Invenire diametros Orbis in quo Luna absque excentricitate moveri deberet.

Curvatura Trajectoriae, quam mobile, si secundum Trajectoriae illius perpendiculum trahatur, describit, est ut attractio directè & quadratum velocitatis inversè. Curvaturas linearum pono esse in∣ter se in ultima proportione Sinuum vel Tangentium angulorum contactuum ad radios aequales, ubi radii illi in infinitum diminuun∣tur. Attractio autem Lunae in Terram in Syzygiis est excessus gravitatis ipsius in Terram supra vim Solarem 2 PK (Vide Figur. pag. 434.) qua gravitas acceleratrix Lunae in Solem superat gravi∣tatem acceleratricem Ter∣rae

[illustration]

in Solem. In Quadratu∣ris autem attractio illa est summa gravitatis Lunae in Terram & vis Solaris KS, qua Luna in Terram tra∣hitur. Et hae attractiones, si AS+CS/2 dicatur N, sunt ut 178725/ASq.−2000/CS×N & 178725/CSq.+1000/AS×N quam proxime; seu ut 178725 N in CSq.−2000 ASq. in CS, & 178725 N in ASq.+1000 CSq.×AS. Nam si gravitas acceleratrix Terrae in Solem exponatur per nume∣rum 178725, vis mediocris ML, quae in Quadraturis est PS

vel SK & Lunam trahit in Terram, erit 1000, & vis me∣diocris SM in Syzygiis erit 3000; de qua, si vis mediocris ML subducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis distrahi∣tur à Terra, quamque jam ante nominavi 2 PK. Velocitas au∣tem Lunae in Syzygiis A & B est ad ipsius velocitatem in Quadra∣turis C & D ut CS, ad AS & momentum areae quam Luna radio ad Terram ducto describit in Syzygiis ad momentum ejusdem areae in Quadraturis conjunctim; id est ut 11073 CS ad 10973 AS. Sumatur haec ratio bis inversè & ratio prior semel directè, & fiet Curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejusdem Curvaturam in Quadraturis ut 120407×178725 ASq.×CSq.×N−120407×2000 ASqq.×CS ad 122611×178725 ASq.×CSq.×N+122611×1000 CSqq.×AS, id est ut 2151969 AS×CS×N−24081 AS cub. ad 2191371 AS×CS×N+12261 CS cub.

Quoniam figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice assumamus Ellipsin DBCA, in cujus centro S Terra collocetur, & cujus axis major DC Quadraturis, minor AB Syzygiis interjaceat. Cum au∣tem planum Ellipseos hujus motu angulari circa Terram revolva∣tur, & Trajectoria, cujus Curvaturam consideramus, describi de∣bet in plano quod motu omni angulari omnino destituitur: con∣sideranda erit figura, quam Luna in Ellipsi illa revolvendo descri∣bit in hoc plano, hoc est Figura Cpa, cujus puncta singula p inve∣niuntur capiendo punctum quodvis P in Ellipsi, quod locum Lunae representet, & ducendo Sp aequalem SP, ea lege ut angulus PSp aequalis sit motui apparenti Solis à tempore Quadraturae C confecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus CSp sit ad angulum CSP ut tempus revolutionis Synodicae Lunaris ad tempus revolutionis Periodicae seu 29 d. 12. h. 44', ad 27 d. 7 h. 43'. Capiatur igitur angulus CSa in eadem ratione ad angulum rectum CSA, & sit longitudo Sa aequalis longitudini SA; & erit a Apsis ima & C Ap∣sis summa orbis hujus Cpa. Rationes autem ineundo invenio quod differentia inter curvaturam orbis Cpa in vertice a, & curvaturam circuli centro S intervallo SA descripti, sit ad differentiam inter

curvaturam Ellipseos in vertice A & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp; & quod curva∣tura Ellipseos in A sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ra∣tione SA ad SC; & curvatura circuli illius ad curvaturam cir∣culi centro S intervallo SC descripti ut SC ad SA; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipseos in C in duplicata ratione SA ad SC; & differentia inter curvaturam Ellipseos in vertice C & curvaturam circuli novissimi, ad differentiam inter curvaturam figurae Spa in vertice C & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp. Quae quidem rationes ex Si∣nubus angulorum contactus ac differentiarum angulorum facilè col∣liguntur. Collatis autem his rationibus inter se, prodit curvatura figurae Cpa in a ad ipsius curvaturam in C, ut AS cub.+16824/100000CSq.×AS ad CS cub.+16824/100000 ASq.×CS. Ubi numerus 16824/100000 designat differentiam quadratorum angulorum CSP & CSp applicatam ad Quadratum anguli minoris CSP, seu (quod perinde est) differen∣tiam Quadratorum temporum 27 d. 7 h. 43', & 29 d. 12 h. 44', applicatam ad Quadratum temporis 27 d. 7 h. 43'.

Igitur cum a designet Syzygiam Lunae, & C ipsius Quadraturam, proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvaturae Orbis Lunae in Syzygiis ad ejusdem curvaturam in Quadraturis, quam supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio CS ad AS, du∣co extrema & media in se invicem. Et termini prodeuntes ad AS×CS applicati, fiunt 2062, 79 CSqq.−2151969 N×CS cub.+368682 N×AS×CSq.+36342 ASq.×CSq.−362046 N×ASq.×CS+2191371 N×AS cub.+4051, ₄ ASqq.=0. Hic pro terminorum AS & CS semisummâ N scribo 1, & pro eo∣rundem semidifferentia ponendo x, fit CS=1+x, & AS=1−x: quibus in aequatione scriptis, & aequatione prodeunte reso∣lutâ, obtinetur x aequalis 0, 0072036, & inde semidiameter CS fit 1,0072, & semidiameter AS 0, 9928, qui numeri sunt ut 69 11/12 & 68 11/12 quam proximè. Est igitur distantia Lunae à Terra in Syzy∣giis ad ipsius distantiam in Quadraturis (seposita scilicet excentricita∣tis consideratione) ut 68 11/12 ad 69 11/12, vel numeris rotundis ut 69 ad 70.

Prop. XXIX. Prob. IX.

Invenire Variationem Lunae.

Oritur haec inaequalitas partim ex forma Elliptica orbis Lunaris, partim ex inaequalitate momentorum areae, quam Luna radio ad Terram ducto describit. Si Luna P in Ellipsi DBCA circa Ter∣ram in centro Ellipseos quiescentem moveretur, & radio SP ad Terram ducto describeret aream CSP tempori proportionalem;

[illustration]

esset autem Ellipseos semidi∣ameter maxima CS ad semi∣diametrum minimam SA ut 69 10/11 ad 68 10/11: foret Tangens anguli CSP ad Tangentem anguli motus medii à qua∣dratura C computati, ut El∣lipseos semidiameter SA ad ejusdem semidiametrum SC seu 68 10/11 ad 69 10/11. Debet au∣tem descriptio areae CSP, in progressu Lunae à Quadratu∣ra ad Syzygiam, ea ratione accelerari, ut ejus momentum in Syzygia Lunae sit ad ejus momentum in Quadratura ut 11073 ad 10973, utabque; ex∣cessus momenti in loco quovis intermedio P supra momentum in Quadratura sit ut quadratum Sinus anguli CSP. Id quod satis ac∣curatè fiet, si tangens anguli CSP diminuatur in dimidiata ratione numeri 10973 ad numerum 11073, id est in ratione numeri 68 5958/10000 ad numerum 68 11/12. Quo pacto tangens anguli CSP jam erit ad tangentem motus medii ut 68 5958/10000 ad 69 11/12, & angulus CSP

in Octantibus, ubi motus medius est 45 gr. invenietur 44 gr. 27'.29": qui subductus de angulo motus medii 45 gr. relinquit Variationem 32'.31". Haec ita se haberent si Luna, pergendo à Quadratura ad Syzygiam, describeret angulum CSA graduum tantum nonaginta. Verum ob motum Terrae, quo Sol in antecedentia motu apparente transfertur, Luna, priusquam Solem assequitur, describit angulum CSa angulo recto majorem in ratione revolutionis Lunaris Syno∣dicae ad revolutionem periodicam, id est in ratione 29 d. 12 h. 44'. ad 27 d. 7 h. 43'. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum S di∣latantur in eadem ratione, & Variatio quae secus esset 32'.31". jam aucta in eadem ratione, fit 35'.9". Haec ab Astronomis con∣stituitur 40', & ex recentioribus Observationibus 38'. Halleius autem recentissimè deprehendit esse 38' in Octantibus versus op∣positionem Solis, & 32' in Octantibus Solem versus. Unde me∣diocris ejus magnitudo erit 35': quae cum magnitudine à nobis in∣venta 35'.9" probe congruit. Magnitudinem enim mediocrem computavimus, neglectis differentiis, quae à curvaturâ Orbis mag∣ni, majorique Solis actione in Lunam falcatam & novam quam in Gibbosam & plenam, oriri possint.

Prop. XXX. Prob. X.

Invenire motum horarium Nodorum Lunae in Orbe circulari.

Designet S Solem, T Terram, P Lunam, NPn Orbem Lu∣nae, Npn vestigium Orbis in plano Eclipticae; N, n, Nodos, nTNm lineam Nodorum infinite productam, PI, PK; perpen∣dicula demissa in lineas ST, Qq; Pp perpendiculum demissum in planum Eclipticae; Q, q Quadraturas Lunae in plano Eclipticae & pK perpendiculum in lineam Qq Quadraturis intrajacentem. Et vis Solis ad perturbandum motum Lunae (per Prop. XXV.) du∣plex erit, altera lineae 2 IT vel 2 Kp, altera lineae PI proportiona∣lis. Et Luna vi priore in Solem, posteriore in lineam ST trahitur.

Componitur autem vis posterior PI ex viribus IT & PT, qua∣rum PT agit secundum planum orbis Lunaris, & propterea situm plani nil mutat. Haec igitur negligenda est. Vis autem IT cum vi 2 IT componit vim totam 3 IT, qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et haec vis per Prop. XXV. est ad vim qua Luna in

[illustration]

circulo circa Terram quiescentem tempore suo periodico revolvi posset, ut 3 IT ad Radium circuli multiplicatum per numerum 178, 725, sive ut IT ad Radium multiplicatum per 59, 575. Cae∣terum in hoc calculo & eo omni qui sequitur, considero lineas om∣nes à Luna ad Solem ductas tanquam parallelas lineae quae à Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum ferè minuit effectus omnes in aliquibus casibus, quantum auget in aliis; & No∣dorum motus mediocres quaerimus, neglectis istiusmodi minutiis, quae calculum nimis impeditum redderent.

Designet jam PM arcum, quem Luna dato tempore quam mi∣nimo describit, & ML lineolam quam Luna, impellente vi prae∣fata 3 IT, eodem tempore describere posset. Jungantur PL, MP, & producantur eae ad m & l, ubi secent planum Eclipticae; inque Tm demittatur perpendiculum PH. Et quoniam ML parallela est ipsi ST, si ml parallela sit ipsi ML, erit ml in plano Eclipticae, & contra. Ergo ml, cum sit in plano Eclipticae, parallela erit ipsi ML, & similia erunt triangula LMP, Lmp. Jam cum MPm sit in plano Orbis, in quo Luna in loco P movebatur, incidet pun∣ctum m in lineam Nn per Orbis illius Nodos N, n, ductam. Et quoniam vis qua lineola LM generatur, si tota simul & semel in loco P impressa esset, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus Chorda esset LP, atque adeò transferret Lunam de plano MPmT in planum LPlT; motus Nodorum à vi illa genitus aequalis erit angulo mTl. Est autem ml ad mP ut ML ad MP, adeoque cum MP ob datum tempus data sit, est ml ut rectangulum ML×mP, id est ut rectangulum IT×mP. Et angulus mTl, si modo angulus Tml rectus sit, est ut ml / Tm, & propterea ut IT×Pm / Tm id est (ob proportionales Tm & mP, TP & PH) ut IT×PH / TP, adeo∣que ob datam TP, ut IT×PH. Quod si angulus Tml, seu STN obliquus sit, erit angulus mTl adhuc minor, in ratione Si∣nus anguli STN ad Radium. Est igitur velocitas Nodorum ut IT×PH & Sinus anguli STN conjunctim, sive ut contentum sub sinubus trium angulorum TPI, PTN & STN.

Si anguli illi, Nodis in Quadraturis & Luna in Syzygia existen∣tibus, recti sint, lineola ml abibit in infinitum, & angulus mTl evadet angulo mPl aequalis. Hoc autem in casu, angulus mPl est ad angulum PTM, quem Luna eodem tempore motu suo ap∣parente circa Terram describit ut 1 ad 59, 575. Nam angulus mPl aequalis est angulo LPM, id est angulo deflexionis Lunae à. recto tramite, quam praefata vis Solaris 3 IT dato illo tempore ge∣nerare possit; & angulus PTM aequalis est angulo deflexionis

Lunae à recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe suo re∣tinetur, eodem tempore generat. Et hae vires, uti supra diximus, sunt ad invicem ut 1 ad 59, 575. Ergo cum motus medius horari∣us Lunae (respectu fixarum) sit 32'.56".27'''.12^iv ½, motus horarius Nodi in hoc casu erit 33".10'''.33^iv.12^v. Aliis autem in casibus motus iste horarius erit ad 33".10'''.33^iv.12^v. ut contentum sub sinibus angulorum trium TPI, PTN, & STN (seu distantia∣rum Lunae à Quadratura, Lunae à Nodo & Nodi à Sole) ad cubum Radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in nega∣tivum, deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus re∣gressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari. Un∣de fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam al∣terutram & Nodum Quadraturae proximum versatur. Aliis in ca∣sibus regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum, sin∣gulis mensibus feruntur in antecedentia.

Corol. 1. Hinc si a dati arcus quam minimi PM terminis P & M ad lineam Quadraturas jungentem Qq demittantur perpendicula PK, Mk, eademque producantur donec secent lineam Nodorum

[illustration]

Nn in D & d; 3erit motus ho∣rarius Nodorum ut area MPDd & quadratum lineae AZ con∣junctim. Sunto enim PK, PH & AZ praedicti tres Sinus. Nem∣pe PK Sinus distantiae Lunae à Quadratura, PH Sinus distantiae Lunae à Nodo, & AZ Sinus distantiae Nodi à Sole: & erit velocitas Nodi ut contentum PK×PH×AZ. Est

autem PT ad PK ut PM ad Kk, adeoque ob datas PT & PM est Kk ipsi PK proportionalis. Est & AT ad PD ut AZ ad PH, & propterea PH rectangulo PD×AZ proportionalis, & conjunctis rationibus, PK×PH est ut contentum Kk×PD×AZ, & PK×PH×AZ ut Kk×PD×AZ qu. id est ut area PDdM, & AZ qu. conjunctim. Q.E.D.

Corol. 2. In data quavis Nodorum positione, motus horarius mediocris est semissis motus horarii in Syzygiis Lunae, ideoque est ad 16".35'''.16^iv.36^v. ut quadratum Sinus distantiae Nodorum à Syzygiis ad quadratum Radii, sive ut AZ qu. ad AT qu. Nam si Luna uniformi cum motu perambulet semicirculum QAq, summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna pergit à Q ad M, erit area QMdE quae ad circuli tangentem QE terminatur; & quo tempore Luna attingit punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam linea PD describit; dein Luna pergente ab n ad q, linea PD cadet extra circulum, & aream nqe ad circuli tangentem qe terminatam describet; quae, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam verò progrediuntur, subduci debet de area priore, & cum aequa∣lis sit areae QEN, relinquet semicirculum NQAn. Igitur summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna semicirculum de∣scribit, est area semicirculi; & summa omnium quo tempore Luna circulum describit est area circuli totius. At area PDdM, ubi Luna versatur in Syzygiis, est rectangulum sub arcu PM & radio MT; & summa omnium huic aequalium arearum, quo tempore Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum sit aequale duobus circulis, duplo majus est quàm rectangulum prius. Proinde Nodi, eâ cum velocitate uniformiter continuatâ quam habent in Syzygiis Lunari∣bus, spatium duplo majus describerent quàm revera describunt; & propterea motus mediocris quocum, si uniformiter continuaretur, spatium à se inaequabili cum motu revera confectum describere pos∣sent, est semissis motus quem habent in Syzygiis Lunae. Unde cum motus horarius maximus, si Nodi in Quadraturis vertantur, sic 33".10'''.33^•,12^•, motus mediocris horarius in hoc casu erit

16".35'''.16^iv.36^v. Et cum motus horarius Nodorum semper sit ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, & propterea motus ho∣rarius Nodorum in Syzygiis Lunae ut AZ qu. & area PDdM con∣junctim, id est (ob datam aream PDdM in Syzygiis descriptam) ut AZ qu. erit etiam motus mediocris ut AZ qu. atque adeo hic mo∣tus, ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad 16".35'''.16^iv.36^v. ut AZ qu. ad AT qu. Q.E.D.

Prop. XXXI. Prob. XI.

Invenire motum horarium Nodorum Lunae in Orbe Elliptico.

Designet Qpmaq Ellipsim, axe majore Qq, minore ab de∣scriptam, QAq circulum circumscriptum, T Terram in utriusque

[illustration]

centro communi, S Solem, p Lunam in Ellipsi moventem, & pm arcum quem data temporis particula quam minima describit, N & n

Nodos linea Nn junctos, pK & mk perpendicula in axem Qq de∣missa & hinc inde producta, donec occurrant circulo in P & M, & lineae Nodorum in D & d. Et si Luna, radio ad Terram ducto, aream describat tempori proportionalem, erit motus Nodi in El∣lipsi ut area pKkm.

Nam si PF tangat circulum in P, & producta occurrat TN in F, & pf tangat Ellipsin in p & producta occurrat eidem TN in f, conveniant autem hae Tangentes in axe TQ ad Y; & si ML de∣signet spatium quod Luna in circulo revolvens, interea dum descri∣bit arcum PM, urgente & impellente vi praedicta 3 IT, motu transverso describere posset, & ml designet spatium quod Luna in Ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3 IT, descri∣bere posset; & producantur LP & lp donec occurrant plano Ec∣lipticae in G & g; & jungantur FG & fg, quarum FG producta secet pf, pg & TQ in c, e & R respectivè, & fg producta secet TQ in r: Quoniam vis 3 IT seu 3 PK in circulo est ad vim 3 IT seu 3 pK in Ellipsi, ut PK ad pK, seu AT ad aT; erit spatium ML vi priore genitum, ad spatium ml vi posteriore genitum, ut PK ad pK, id est ob similes figuras PYKp & FYRc, ut FR ad cR. Est autem ML ad FG (ob similia triangula PLM, PGF) ut PL ad PG, hoc est (ob parallelas Lk, PK, GR) ut pl ad pe, id est (ob similia triangula plm, cpe) ut lm ad ce; & inversè ut LM est ad lm, seu FR ad cR, ita est FG ad ce. Et prop∣terea si fg esset ad ce ut fY ad cY, id est ut fr ad cR, (hoc est ut fr ad FR & FR ad cR conjunctim, id est ut fT ad FT & FG ad ce conjunctim,) quoniam ratio FG ad ce utrinque abla∣ta relinquit rationes fg ad FG & fT ad FT, foret fg ad FG ut fT ad FT; propterea quod anguli, quos FG & fg subtenderent ad Terram T, aequarentur inter se. Sed anguli illi (per ea quae in praecedente Propositione exposuimus) sunt motus Nodorum, quo tempore Luna in circulo arcum PM, in Ellipsi arcum pm percur∣rit: & propterea motus Nodorum in Circulo & Ellipsi aequarentur inter se. Haec ita se haberent, si modo fg esset ad ce ut fY ad cY,

id est si fg aequalis esset ce×fY / cY. Verum ob similia triangula fgp, cep, est fg ad ce ut fp ad cp; ideoque fg aequalis est ce×fp / cp, & propterea angulus, quem fg revera subtendit, est ad angulum pri∣orem, quem FG subtendit, hoc est motus Nodorum in Ellipsi ad motum Nodorum in Circulo, ut haec fg seu ce×fp / cp ad priorem fg seu ce×fY / cY, id est ut fp×cY ad cp×fY, seu fp ad fY & cY ad cp; hoc est, si pb ipsi TN parallela occurrat FP in b, ut Fb ad FY & FY ad FP; hoc est ut Fb ad FP seu Dp ad DP, adeoque ut area Dpmd ad aream DPmd. Et propterea, cum area posterior proportionalis sit motui Nodorum in Circulo, erit area prior pro∣portionalis motui Nodorum in Ellipsi. Q.E.D.

Corol. Igitur cum, in data Nodorum positione, summa omnium arearum pDdm, quo tempore Luna pergit à Quadratura ad locum quemvis m, sit area mpQEd, quae ad Ellipseos Tangentem QE terminatur; & summa omnium arearum illarum, in revolutione integra, sit area Ellipseos totius: motus mediocris Nodorum in Ellipsi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo, ut Ellipsis ad circulum, id est ut Ta ad TA, seu 68 11/12 ad 69 11/12. Et propterea, cum motus mediocris horarius Nodorum in circulo sit ad 16".35'''.16^iv.36^v. ut AZ qu. ad AT qu. si capiatur angulus 16".21'''.2^iv.36^v. ad angulum 16".35'''.16^iv.36^v. ut 68 11/12 ad 69 11/12, erit motus me∣diocris horarius Nodorum in Ellipsi ad 16".21'''.2^iv.36^v. ut AZq. ad ATq.; hoc est ut quadratum Sinus distantiae Nodi à Sole ad quadratum Radii.

Caeterum Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius descri∣bit in Syzygiis quàm in Quadraturis, & eo nomine tempus in Sy∣zygiis contrahitur, in Quadraturis producitur; & una cum tem∣pore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem mo∣mentum areae in Quadraturis Lunae ad ejus momentum in Syzygiis ut 10973 ad 11073; & propterea momentum mediocre in Octan∣tibus est ad excessum in Syzygiis, defectumque in Quadraturis, ut numerorum semisumma 11023 ad eorundem semidifterentiam 50.

Unde cum tempus Lunae in singulis Orbis particulis aequalibus sit reciprocè ut ipsius velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad excessum temporis in Quadrantibus, ac defectum in Syzygiis, ab hac causa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo autem à Quadraturis ad Syzygias, invenio quod excessus momento∣rum areae in locis singulis, supra momentum minimum in Quadra∣turis, sit ut quadratum Sinus distantiae Lunae à Quadrantibus quam proximè; & propterea differentia inter momentum in loco quo∣cunque & momentum mediocre in Octantibus, est ut differentia in∣ter quadratum Sinus distantiae Lunae à Quadraturis & quadratum Si∣nus graduum 45, seu semissem quadrati Radii; & incrementum temporis in locis singulis inter Octantes & Quadraturas, & decre∣mentum ejus inter Octantes & Syzygias est in eadem ratione. Mo∣tus autem Nodorum, quo tempore Luna percurrit singulas Orbis particulas aequales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis. Est enim motus iste, dum Luna percurrit PM, (caeteris paribus) ut ML, & ML est in duplicata ratione temporis. Qua∣re motus Nodorum in Syzygiis, eo tempore confectus quo Luna datas Orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione numeri 11073 ad numerum 11023; estque decrementum ad mo∣tum reliquum ut 100 ad 10973, ad motum verò totum ut 100 ad 11073 quam proximè. Decrementum autem in locis inter Octantes & Syzygias, & incrementum in locis inter Octantes & Quadraturas, est quam proxime ad hoc decrementum, ut motus to∣tus in locis illis ad motum totum in Syzygiis & differentia inter quadratum Sinus distantiae Lunae à Quadratura & semissem quadrati Radii ad semissem quadrati Radii, conjunctim. Unde si Nodi in Quadraturis versentur, & capiantur loca duo aequaliter ab Octante hinc inde distantia, & alia duo à Syzygiâ & Quadraturâ iisdem in∣tervallis distantia, deque decrementis motuum in locis duabus inter Syzygiam & Octantem, subducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quae sunt inter Octantem & Quadraturam; decre∣mentum reliquum aequale erit decremento in Syzygia: uti ratio∣nem

ineunti facilè constabit. Proindeque decrementum mediocre, quod de Nodorum motu mediocri subduci debet, est pars quarta decrementi in Syzygia. Motus totus horarius Nodorum in Syzy∣giis (ubi Luna radio ad Terram ducto aream tempori proportio∣nalem describere supponebatur) erat 32".42'''.5^iv.12^v. Et decre∣mentum motus Nodorum, quo tempore Luna jam velocior de∣scribit idem spatium, diximus esse ad hunc motum ut 100 ad 11073; adeoque decrementum illud est 17'''.43^iv.10^v, cujus pars quarta 4'''.25^iv.48', motui horario mediocri superius invento 16".21'''.2^iv.36^v. subducta, relinquit 16".16'''.36^iv.48^v. motum mediocrem horarium correctum.

Si Nodi versantur extra Quadraturas, & spectentur loca bina à Syzygiis hinc inde aequaliter distantia; summa motuum Nodorum, ubi Luna versatur in his locis, erit ad summam motuum, ubi Lu∣na in iisdem locis & Nodi in Quadraturis versantur, ut AZ qu. ad AT qu. Et decrementa motuum, à causis jam expositis oriunda, erunt ad invicem ut ipsi motus, adeoque motus reliqui erunt ad invicem ut AZ qu. ad AT qu. & motus mediocres ut motus reli∣qui. Est itaque motus mediocris horarius correctus, in dato quo∣cunque Nodorum situ, ad 16".16'''.36^iv.48^v. ut AZ qu. ad AT qu.; id est ut quadratum Sinus distantiae Nodorum à Syzygiis ad qua∣dratum Radii.

Prop. XXXII. Prob. XII.

Invenire motum medium Nodorum Lunae.

Motus medius annuus est summa motuum omnium horariorum mediocrium in anno. Concipe Nodum versari in N, & singulis horis completis retrahi in locum suum priorem, ut non obstante motu suo proprio, datum semper servet situm ad Stellas Fixas. In∣terea verò Solem S, per motum Terrae, progredi à Nodo, & cur∣sum annuum apparentem uniformiter complere. Sit autem Aa arcus datus quam minimus, quem recta TS ad Solem semper ducta,

intersectione sua & circuli NAn, dato tempore quam minimo de∣scribit: & motus horarius mediocris (per jam ostensa) erit ut AZq. id est (ob proportionales AZ, ZY) ut rectangulum sub AZ & ZY, hoc est ut area AZYa. Et summa omnium horariorum mo∣tuum mediocri∣um

[illustration]

ab initio, ut summa omnium arearum aYZA, id est ut area NAZ. Est autem maxima AZYa aequalis rectangulo sub arcu Aa & ra∣dio circuli; & propterea sum∣ma omnium re∣ctangulorum in circulo toto ad summam totidem maximorum, ut area circuli totius ad rectangulum sub circumferentia tota & ra∣dio; id est ut 1 ad 2. Motus autem horarius, rectangulo maximo respondens, erat 16".16'''.36^iv.48^v. Et hic motus, anno toto si∣dereo dierum 365.6 hor. 9 min. fit 39 gr. 38'.5".39'''. Ideoque hu∣jus dimidium 19 gr. 49'.2".49'''½ est motus medius Nodorum circulo toti respondens. Et motus Nodorum, quo tempore Sol pergit ab N ad A, est ad 19 gr. 49'.2".49'''½ ut area NAZ ad cir∣culum totum.

Haec ita se habent, ex Hypothesi quod Nodus horis singulis in locum priorem retrahitur, sic ut Sol anno toto completo ad No∣dum eundem redeat à quo sub initio digressus fuerat. Verum per motum Nodi fit ut Sol citius ad Nodum revertatur, & compu∣tanda jam est abbreviatio temporis. Cum Sol anno toto conficiat 360 gradus, & Nodus motu maximo eodem tempore conficeret 39 gr. 38'.5".39''' seu 39, 6349 gradus; & motus mediocris. Nodi

in loco quovis N sit ad ipsius motum mediocrem in Quadraturis suis, ut AZq. ad ATq. erit motus Solis ad motum Nodi in N, ut 360 ATq. ad 39, 6349 AZq.; id est ut 9, 0829032 ATq. ad AZq. Unde si circuli totius circumferentia NAn dividatur in particulas aequales Aa, tempus quo Sol percurrat particulam Aa, si circulus quiesceret, erit ad tempus quo percurrit eandem particulam, si cir∣culus una cum Nodis circa centrum T revolvatur, reciprocè ut 9, 0829032 ATq. ad 9, 0829032 ATq.+AZq. Nam tempus est reciprocè ut velocitas qua particula percurritur, & haec velocitas est summa velocitatum Solis & Nodi. Igitur si tempus, quo Sol abs∣que motu Nodi percurreret arcum NA, exponatur per Sectorem NTA, & particula temporis quo percurreret arcum quam mini∣mum Aa, exponatur per Sectoris particulam ATa; & (perpendi∣culo aY in Nn demisso) si in AZ capiatur dZ, ejus longitudinis ut sit rectangulum dZ in ZY ad Sectoris particulam ATa ut AZq. ad 9, 0829032 ATq.+AZq. id est ut sit dZ ad ½AZ ut ATq. ad 9, 0829032 ATq.+AZq.; rectangulum dZ in ZY designabit decrementum temporis ex motu Nodi oriundum, tempore toto quo arcus Aa percurritur. Et si punctum d tangit curvam NdGn, area curvilinea NdZ erit decrementum totum, quo tempore ar∣cus totus NA percurritur; & propterea excessus Sectoris NAT su∣pra aream NdZ erit tempus illud totum. Et quoniam motus Nodi tempore minore minor est in ratione temporis, debebit etiam area AaYZ diminui in eadem ratione. Id quod fiet si capiatur in AZ longitudo eZ, quae sit ad longitudinem AZ ut AZq. ad 9, 0829032 ATq.+AZq. Sic enim rectangulum eZ in ZY erit ad aream AZYa ut decrementum temporis, quo arcus Aa percur∣ritur, ad tempus totum, quo percurreretur si Nodus quiesceret: Et propterea rectangulum illud respondebit decremento motus No∣di. Et si punctum e tangat curvam NeFn, area tota NeZ, quae summa est omnium decrementorum, respondebit decremento toti, quo tempore arcus AN percurritur; & area reliqua NAe respon∣debit motui reliquo, qui verus est Nodi motus quo tempore arcus

totus NA, per Solis & Nodi conjunctos motus, percurritur. Jam verò si circuli radius AT ponatur 1, erit area semicirculi 1, 570796; & area figurae NeFnT, per methodum Serierum infinitarum quae∣sita, prodibit 0, 1188478. Motus autem qui respondet circulo toti erat 19 gr. 49'.2".49'''½; & propterea motus, qui figurae NeFnT duplicatae respondet, est 1 gr. 29'.57".51'''½. Qui de motu pri∣ore subductus relinquit 18 gr. 19'.4".58'''. motum totum Nodi in∣ter sui ipsius Conjunctiones cum Sole; & hic motus de Solis motu annuo graduum 360 subductus, relinquit 341 gr. 40'.55".2'''. motum Solis inter easdem Conjunctiones. Iste autem motus est ad motum annuum 360 gr. ut Nodi motus jam inventus 18 gr. 19'.4".58'''. ad ipsius motum annuum, qui propterea erit 19 gr. 18'.0".22'''. Hic est motus medius Nodorum in anno sidereo. Idem per Tabulas Astronomicas est 19 gr. 20'.31".1'''. Differen∣tia minor est parte quadringentesima motus totius, & ab Orbis Lunaris Excentricitate & Inclinatione ad planum Eclipticae oriri videtur. Per Excentricitatem Orbis motus Nodorum nimis acce∣leratur, & per ejus Inclinationem vicissim retardatur aliquantulum, & ad justam velocitatem reducitur.

Prop. XXXIII. Prob. XIII.

Invenire motum verum Nodorum Lunae.

In tempore quod est ut area NTA−NdZ, (in Fig. praeced.) motus iste est ut area NAeN, & inde datur. Verum ob nimi∣am calculi difficultatem, praestat sequentem Problematis con∣structionem adhibere. Centro C, intervallo quovis CD, describa∣tur circulus BEFD. Producatur DC ad A, ut sit AB ad AC ut motus medius ad semissem motus veri mediocris, ubi Nodi sunt in Quadraturis: (id est ut 19 gr. 18'.0".22'''. ad 19 gr. 49'.2".49'''½, atque adeo BC ad AC ut motuum differentia 0 gr. 31'.2".27'''½, ad motum superiorem 19 gr. 49'.2".49'''½, hoc est, ut 1

ad 38⅓) dein per punctum D ducatur infinita Gg, quae tangat cir∣culum in D; & si capiatur angulus BCE vel BCF aequalis semissi

[illustration]

distantiae Solis à loco Nodi, per motum medium invento; & aga∣tur AE vel AF secans perpendi∣culum DG in G; & capiatur an∣gulus qui sit ad motum Nodi inter ipsius Syzygias (id est ad 9 gr. 10'.40".) ut tangens DG ad circuli BED circumferentiam totam, atque angulus iste ad motum medium Nodorum addatur; habebitur eorum motus verus. Nam motus verus sic inventus congruet quam proximè cum motu vero qui prodit exponendo tempus per aream NTA−NdZ, & mo∣tum Nodi per aream NAeN; ut rem perpendenti constabit. Haec est aequatio annua motus Nodorum. Est & aequatio menstrua, sed quae ad inventionem Latitudinis Lunae minimè necessaria est. Nam cum Variatio inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticae du∣plici inaequalitati obnoxia sit, alteri annuae, alteri autem menstruae; hujus menstrua inaequalitas & aequatio menstrua Nodorum ita se mutuò contemperant & corrigunt, ut ambae in determinanda Lati∣tudine Lunae negligi possint.

Corol. Ex hac & praecedente Propositione liquet quod Nodi in Syzygiis suis quiescunt, in Quadraturis autem regrediuntur motu horario 16".18'''.41^iv½. Et quod aequatio motus Nodorum in Octantibus sit 1 gr. 30'. Quae omnia cum Phaenomenis coelestibus probè quadrant.

Prop. XXXIV. Prob. XIV.

Invenire Variationem horariam inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticae.

Designent A & a Syzygias; Q & q Quadraturas; N & n No∣dos; P locum Lunae in Orbe suo; p vestigium loci illius in pla∣no Eclipticae, & mTl motum momentaneum Nodorum ut supra. Et si ad lineam Tm demittatur perpendiculum PG, jungatur pG,

[illustration]

& producatur ea donec occurrat Tl in g, & jungatur etiam Pg: erit angulus PGp inclinatio orbis Lunaris ad planum Eclipticae, ubi Luna versatur in P; & angulus Pgp inclinatio ejusdem post mo∣mentum temporis completum, adeoque angulus GPg Variatio

momentanea inclinationis. Est autem hic angulus GPg ad an∣gulum GTg ut TG ad PG & Pp ad PG conjunctim. Et prop∣terea si pro momento temporis substituatur hora; cum angulus GTg (per Prop. XXX.) sit ad angulum 33".10'''.33^iv. ut IT×PG×AZ ad AT cub. erit angulus GPg (seu inclinationis horaria Variatio) ad angulum 33".10'''.33^iv. ut IT×AZ×TG×Pp / PG ad AT cub. Q.E.I.

Haec ita se habent ex Hypothesi quod Luna in Orbe circulari uniformiter gyratur. Quod si orbis ille Ellipticus sit, motus me∣diocris Nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majo∣rem; uti supra expositum est. Et in eadem ratione minuetur eti∣am Sinus IT. Inclinationis autem Variatio tantum augebitur per decrementum Sinus IT, quantum diminuitur per decrementum motus Nodorum; & propterea idem manebit atque prius.

Corol. 1. Si ad Nn erigatur perpendiculum TF, sitque pM mo∣tus horarius Lunae in plano Eclipticae; & perpendicula pK, Mk in QT demissa & utrinque producta occurrant TF in H & h: erit Kk ad Mp ut pK seu IT ad AT, & TZ ad AT ut TG ad Hp; ideoque IT×TG aequale Kk×Hp×TZ / Mp, hoc est aequale areae HpMh ductae in rationem TZ / Mp: & propterea inclinationis Varia∣tio horaria ad 33".10'''.33^•v. ut HpMh ducta in AZ×TZ / Mp×Pp / PG ad AT cub.

Corol. 2. Ideoque si Terra & Nodi singulis horis completis re∣traherentur à locis suis novis, & in loca priora in instanti semper reducerentur, ut situs eorum, per mensem integrum periodicum, datus maneret; tota Inclinationis Variatio tempore mensis illius fo∣ret ad 33".10'''.33^iv, ut aggregatum omnium arearum HpMh, in revolutione puncti p genetarum, & sub signis propriis + & − conjunctarum, ductum in AZ×TZ×Pp / PG, ad Mp×AT cub. id est ut circulus totus QAqa ductus in AZ×TZ×Pp / PG ad Mp×AT

cub. hoc est ut circumferentia QAqa ducta in AZ×TZ×Pp / PG ad 2 Mp×PT quad.

Corol. 3. Proinde in dato Nodorum situ, Variatio mediocris ho∣raria, ex quâ per mensem uniformiter continuatâ Variatio illa menstrua generari posset, est ad 33".10'''.33^iv. ut AZ×TZ×Pp / PG ad 2 ATq. id est (cum Pp sit ad PG ut Sinus Inclinationis prae∣dictae ad Radium, & AZ×TZ / AT sid ad ½AT ut sinus duplicati anguli ATn ad Radium) ut inclinationis ejusdem Sinus ductus in Sinum duplicatae distantiae Nodorum à Sole, ad quadruplum quadratum Radii.

Corol. 4. Quoniam inclinationis horaria Variatio, ubi Nodi in Quadraturis versantur, est (per Propositionem superiorem) ad an∣gulum 33".10'''.33^iv. ut IT×AZ×TG×Pp / PG ad AT cub. id est ut IT×TG / AT×Pp / PG ad AT; hoc est ut Sinus duplicatae distantiae Lunae à Quadraturis ductus in Pp / PG ad radium duplicatum: summa omni∣um Variationum horariarum, quo tempore Luna in hoc situ No∣dorum transit à Quadratura ad Syzygiam, (id est spatio horarum 177⅙,) erit ad summam totidem angulorum 33".10'''.33^iv. seu 5878" ½, ut summa omnium sinuum duplicatae distantiae Lunae à Quadraturis ducta in Pp / PG ad summam totidem diametrorum; hoc est ut diameter ducta in Pp / PG, ad circumferentiam; id est si inclinatio sit 5 gr. 2', ut 7×876/10000 ad 22, seu 279 ad 10000. Proindeque Variatio tota, ex summa omnium horariarum Variationum tem∣pore praedicto conflata, est 164", seu 2'.44".

Prop. XXXV. Prob. XV.

Dato tempore invenire Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Eclipticae.

Sit AD Sinus inclinationis maximae, & AB Sinus Inclinationis minimae. Bisecetur BD in C, & centro C, intervallo BC, descri∣batur

[illustration]

Circulus BGD. In AC capiatur CE in ea ratione ad EB quam EB habet ad 2 BA: Et si dato tempore constituatur angulus AEG aequalis duplicatae distantiae Nodorum à Quadraturis, & ad AD demittatur perpendiculum GH: erit AH Sinus inclinationis quaesitae.

Nam GEq. aequale est GHq.+HEq.=BHD+HEq. =HBD+HEq.−BHq.=HBD+BEq.−2BH×BE=BEq.+2EC×BH=2EC×AB+2EC×BH=2EC×AH. Ideoque cum 2 EC detur, est GEq. ut AH. Designet jam AEg distantiam Nodorum à Quadraturis post datum aliquod momentum temporis completum, & arcus Gg, ob datum angu∣lum GEg, erit ut distantia GE. Est autem Hh ad Gg ut GH ad GC, & propterea Hh est ut contentum GH×Gg seu GH×GE; id est ut GH / GE×GE qu. seu GH / GE×AH, id est ut AH & sinus an∣guli AEG conjunctim. Igitur si AH in casu aliquo sit Sinus in∣clinationis, augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis, per Corol. 3. Propositionis superioris, & propterea sinui illi aequalis semper manebit. Sed AH ubi punctum G incidit in punctum al∣terutrum B vel D huic Sinui aequalis est, & propterea eidem sem∣per aequalis manet. Q.E.D.

In hac demonstratione supposui angulum BEG, qui distantia est Nodorum à Quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes in∣aequalitatum minutias expendere non vacat. Concipe jam angulum BEG rectum esse, & Gg esse augmentum horarium distantiae Nodorum & Solis ab invicem; & inclinationis Variatio horaria (per Corol. 3. Prop. novissimae) erit ad 33".10'''.33^iv. ut conten∣tum sub inclinationis Sinu AH & Sinu anguli recti BEG, qui est duplicata distantia Nodorum à Sole, ad quadruplum quadratum Radii; id est ut mediocris inclinationis Sinus AH ad radium qua∣druplicatum; hoc est (cum inclinatio illa mediocris sit quasi 5 gr. 8 ½.) ut ejus Sinus 896 ad radium quadruplicatum 40000, sive ut 224 ad 10000. Est autem Variatio tota, Sinuum differentiae BD respondens, ad variationem illam horariam ut diameter BD ad arcum Gg; id est ut diameter BD ad semicircumferentiam BGD & tempus horarum 2080, quo Nodus pergit à Quadraturis ad Syzygias, ad horam unam conjunctim; hoc est ut 7 ad 11 & 2080 ad 1. Quare si rationes omnes conjungantur, fiet Variatio tota BD ad 33".10'''.33^iv. ut 224×7×2080 ad 110000, id est ut 2965 ad 100, & inde Variatio illa BD prodibit 16'.24".

Haec est inclinationis Variatio maxima quatenus locus Lunae in Orbe suo non consideratur. Nam inclinatio, si Nodi in Syzygiis versantur, nil mutatur ex vario situ Lunae. At si Nodi in Quadra∣turis consistunt, inclinatio major est ubi Luna versatur in Syzygiis, quàm ubi ea versatur in Quadraturis, excessu 2'.44"; uti in Pro∣positionis superioris Corollario quarto indicavimus. Et hujus exces∣sus dimidio 1'.22" Variatio tota mediocris BD in Quadraturis Lunaribus diminuta fit 15'.2", in ipsius autem Syzygiis aucta fit 17'.46". Si Luna igitur in Syzygiis constituatur, Variatio tota, in transitu Nodorum à Quadraturis ad Syzygias, erit 17'.46". adeo∣que si Inclinatio, ubi Nodi in Syzygiis versantur, sit 5 gr. 17'.46". eadem, ubi Nodi sunt in Quadraturis, & Luna in Syzygiis, erit 5 gr. Atque haec ita se habere confirmatur ex Observationibus. Nam statuunt Astronomi Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Eclip∣ticae,

ubi Nodi sunt in Quadraturis & Luna in oppositione Solis, esse quasi 5 gr. Ubi verò Nodi sunt in Syzygiis, eandem docent esse 5 gr. 17'½ vel 5 gr. 18'.

Si jam desideretur Orbis Inclinatio illa, ubi Luna in Syzgiis & Nodi ubivis versantur; fiat AB ad AD ut Sinus 5 gr. ad Sinum

[illustration]

5 gr. 17.46", & capiatur angulus AEG aequalis duplicatae distan∣tiae Nodorum à Quadraturis; & erit AH Sinus In∣clinationis quaesitae. Huic Orbis Inclinationi aequalis est ejusdem In∣clinatio, ubi Luna distat 90 gr. à Nodis. Aliis in Lunae locis inae∣qualitas menstrua, quam Inclinationis variatio admittit, in calculo Latitudinis Lunae compensatur & quodammodo tollitur per inae∣qualitatem menstruam motus Nodorum, (ut supra diximus) adeo∣que in calculo Latitudinis illius negligi potest.

Scholium.

Hactenus de motibus Lunae quatenus Excentricitas Orbis non consideratur. Similibus computationibus inveni, quod Apogaeum, ubi in Conjunctione vel Oppositione Solis versatur, progreditur sin∣gulis diebus 23' respectu Fixarum; ubi verò in Quadraturis est, re∣greditur singulis diebus 16⅓ circiter: quodque ipsius motus medius annuus sit quasi 40 gr. Per Tabulas Astronomicas à Cl. Flamstedio ad Hypothesin Horroxii accommodatas, Apogaeum in ipsius Syzygiis progreditur cum motu diurno 24'.28", in Quadraturis autem re∣greditur cum motu diurno 20'.12", & motu medio annuo 40 gr. 41' fertur in consequentia. Quod differentia inter motum diur∣num progressivum Apogaei in ipsius Syzygiis, & motum diur∣num regressivum in ipsius Quadraturis, per Tabulas sit 4'.16", per computationem verò nostram 6'⅔, vitio Tabularum tribuendum esse

suspicamur. Sed neque computationem nostram satis accuratam esse putamus. Nam rationem quandam ineundo prodiere Apogaei motus diurnus progressivus in ipsius Syzygiis, & motus diurnus re∣gressivus in ipsius Quadraturis, paulo majores. Computationes autem, ut nimis perplexas & approximationibus impeditas, neque satis accuratas, apponere non lubet.

Prop. XXXVI. Prob. XVI.

Invenire vim Solis ad Mare movendum.

Solis vis ML seu PS, in Quadraturis Lunaribus, ad perturban∣dos motus Lunares, erat (per Prop. XXV. hujus) ad vim gravita∣tis apud nos ut 1 ad

[illustration]

638092, 6. Et vis SM−LM seu 2 PK in Syzygiis Lunari∣bus est duplo major. Hae autem vires, si descendatur ad su∣perficiem Terrae, di∣minuuntur in ratio∣ne distantiarum à centro Terrae, id est in ratione 60½ ad 1; adeo∣que vis prior in superficie Terrae est ad vim gravitatis ut 1 ad 38604600. Hac vi Mare deprimitur in locis quae 90 gr. distant à Sole. Vi alterâ quae duplo major est Mare elevatur, & sub Sole & in regione Soli opposita. Summa virium est ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200. Et quoniam vis eadem eundem ciet motum, sive ea deprimat Aquam in regionibus quae 90 gr. distant à Sole, sive elevet eandem in regionibus sub Sole & Soli oppositis, haec summa erit tota Solis vis ad Mare agitandum; & eundem habebit effectum ac si tota in regionibus sub Sole & Soli oppositis mare ele∣varet, in regionibus autem quae 90 gr. distant à Sole nil ageret.

Corol. Hinc cum vis centrifuga partium Terrae à diurno Terrae motu oriunda, quae est ad vim gravitatis ut 1 ad 291, efficiat ut al∣titudo Aquae sub Aequatore superet ejus altitudinem sub polis men∣sura pedum Parisiensium 85200, vis Solaris, de qua egimus, cum sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, atque adeo ad vim illam centrifugam ut 291 ad 12868200 seu 1 ad 44221, efficiet ut al∣titudo aquae in regionibus sub Sole & Soli oppositis superet altitu∣dinem ejus in locis quae 90 gradibus distant à Sole, mensura tantum pedis unius Parisiensis & digitorum undecim. Est enim haec men∣sura ad mensuram pedum 85200 ut 1 ad 44221.

Prop. XXXVII. Prob. XVII.

Invenire vim Lunae ad Mare movendum.

Vis Lunae ad mare movendum colligenda est ex ejus proportio∣ne ad vim Solis, & haec proportio colligenda ex proportione mo∣tuum maris, qui ab his viribus oriuntur. Ante ostium fluvii Avonae, ad lapidem tertium infra Bristoliam, tempore verno & autumnali totus aquae ascensus in Conjunctione & Oppositione Luminarium (observante Samuele Sturmio) est pedum plus minus 45, in Qua∣draturis autem est pedum tantum 25: Altitudo prior ex summa virium, posterior ex earundem differentia oritur. Solis igitur & Lunae in Aequatore versantium & mediocriter à Terra distantium, sunto vires S & L. Et quoniam Luna in Quadraturis, tempore verno & autumnali extra Aequatorem in declinatione graduum plus minus 23½ versatur, & Luminaris ab Aequatore declinantis vis ad mare movendum minor sit, idque (quantum sentio) in duplicata ratione Sinus complementi declinationis quam proximè, vis Lunae in Quadraturis, (cum sinus ille sit ad radium ut 91706 ad 100000) erit 841/1000 L, & summa virium in Syzygiis erit L+S, ac differentia in Quadraturis 841/1000 L−S, adeoque L+S erit ad 841/1000 L−S ut 45 ad 25 seu 9 ad 5, & inde 5 L+5S aequalis erit 7569/1000 L−9S, &

14 S aequalis 2569/1000 L, & propterea L ad S ut 14000 ad 2569 seu 5 7/15 ad 1. In Portu Plymuthi aestus maris (ex observatione Samuelis Colepressi) ad pedes plus minus sexdecim, altitudine mediocri attol∣litur, ac tempore verno & autumnali altitudo aestus in Syzygiis Lunae superare potest altitudinem ejus in Quadraturis pedibus septem vel octo. Si excessus mediocris his temporibus sit pedum septem cum dimidio; aestus in Syzygiis ascendet ad pedes 19¾, in Quadra∣turis ad pedes 12¼, & sic L+S erit ad 841/1000 L−S ut 19¾ ad 12¼, & inde L ad S ut 734 ad 100 seu 7⅓ ad 1. Est igitur vis Lunae ad vim Solis per computationem priorem ut 5 7/15 ad 1, per posteriorem ut 7⅓ ad 1. Donec aliquid certius ex Observationibus accuratius in∣stitutis constiterit, usurpabimus proportionem mediocrem 6⅓ ad 1. Unde cum vis Solis sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, vis Lunae erit ad vim gravitatis ut 1 ad 2031821.

Corol. 1. Igitur cum aqua vi Solis agitata ad altitudinem pedis unius & undecim digitorum ascendat, eadem vi Lunae ascendet ad altitudinem pedum duodecim. Tanta autem vis ad omnes maris motus excitandos abunde sufficit, & quantitati motuum probe re∣spondet. Nam in maribus quae ab Oriente in Occidentem latè patent, uti in Mari Pacifico, & Maris Atlantici & Aethiopici partibus extra Tropicos, aqua attolli solet ad altitudinem pedum sex, no∣vem duodecim vel quindecim. In mari autem Pacifico, quod pro∣fundius est & latius patet, aestus dicuntur esse majores quàm in At∣lantico & Aethiopico. Etenim ut plenus sit aestus, latitudo Maris ab Oriente in Occidentem non minor esse debet quàm graduum no∣naginta. In Mari Aethiopico, ascensus aquae intra Tropicos minor est quàm in Zonis temperatis, propter angustiam Maris inter Afri∣cam & Australem partem Americae. In medio Mari aqua nequit as∣cendere nisi ad littus utrumque & orientale & occidentale simul descendat: cum tamen vicibus alternis ad littora illa in Maribus nostris angustis descendere debeat. Ea de causa fluxus & refluxus in Insulis, quae à littoribus longissimè absunt, perexiguus esse solet. In Portubus quibusdam, ubi aqua cum impetu magno per loca

vadosa, ad Sinus alternis vicibus implendos & evacuandos, influere & effluere cogitur, fluxus & refluxus sunt solito majores, uti ad Plymuthum & pontem Chepstowae in Anglia; ad montes S. Michaelis & urbem Abrincatuorum (vulgo Auranches) in Normania; ad Cam∣baiam & Pegu in India orientali. His in locis mare, magna cum ve∣locitate accedendo & recedendo, littora nunc inundat nunc arida relinquit ad multa Milliaria. Neque impetus influendi & remean∣di prius frangi potest, quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes 30, 40 vel 50 & amplius. Et par est ratio fretorum oblongorum & vadosorum, uti Magellanici & ejus quo Anglia circundatur. Aestus in hujusmodi portubus & fretis per impetum cursus & recursus su∣pra modum augetur. Ad littora, verò quae descensu praecipiti ad mare profundum & apertum spectant, ubi aqua sine impetu efflu∣endi & remeandi attolli & subsidere potest, magnitudo aestus respon∣det viribus Solis & Lunae.

Corol. 2. Cum vis Lunae ad mare movendum sit ad vim gravi∣tatis ut 1 ad 2031821, perspicuum est quod vis illa sit longè mi∣nor quàm quae vel in experimentis Pendulorum, vel in Staticis aut Hydrostaticis quibuscunque sentiri possit. In aestu solo marino haec vis sensibilem edit effectum.

Corol. 3. Quoniam vis Lunae ad mare movendum est ad Solis vim consimilem ut 6⅓ ad 1, & vires illae sunt ut densitates corpo∣rum Lunae & Solis & cubi diametrorum apparentium conjunctim; erit densitas Lunae ad densitatem Solis ut 6⅓ ad 1 directè & cubus diametri Solis ad cubum diametri Lunae inversè, id est (cum dia∣metri mediocres apparentes Solis & Lunae sint 31'.27".&32'.12".) ut 34 ad 5. Densitas autem Solis erat ad densitatem Terrae ut 100 ad 387, & propterea densitas Lunae est ad densitatem Terrae ut 680 ad 387, seu 9 ad 5 quam proximè. Est igitur corpus Lunae densius & magis terrestre quàm Terra nostra.

Corol. 4. Unde cum vera diameter Lunae sit ad veram diametrum Terrae ut 1 ad 3, 6½, erit massa Lunae ad massam Terrae ut 1 ad 26 quam proximè.

Corol. 5. Et gravitas acceleratrix in superficie Lunae, erit quasi duplo minor quàm gravitas acceleratrix in superficie Terrae.

Prop. XXXVIII. Prob. XVIII.

Invenire figuram corporis Lunae.

Si corpus Lunare fluidum esset ad instar maris nostri, vis Terrae ad fluidum illud in partibus & citimis & ultimis elevandum, esset ad vim Lunae, qua mare nostrum in partibus & sub Luna & Lunae oppositis attollitur, ut gravitas acceleratrix Lunae in Terram ad gravitatem acceleratricem Terrae in Lunam & diameter Lunae ad diametrum Terrae conjunctim; id est ut 26 ad 1 & 5 ad 18 con∣junctim seu 65 ad 9. Unde cum mare nostrum vi Lunae attolla∣tur ad pedes duodecim, fluidum Lunare vi Terrae attolli deberet ad pedes fere nonaginta. Eaque de causa figura Lunae Sphaerois esset, cujus maxima diameter producta transiret per centrum Ter∣rae, & superaret diametros perpendiculares excessu pedum 180. Talem igitur figuram Luna affectat, eamque sub initio induere debuit. Q.E.I.

Corol. Inde verò fit ut eadem semper Lunae facies in Terram ob∣vertatur. In alio enim situ corpus Lunare quiescere non potest, sed ad hunc situm oscillando semper redibit. Attamen oscillationes ob parvitatem virium agitantium essent longè tardissimae: adeò ut facies illa, quae Terram semper respicere deberet, possit alterum orbis Lunaris umbilicum, ob rationem superius allatam respicere, neque statim abinde retrahi & in Terram converti.

Lemma I.

Si APEp Terram designet uniformiter densam, centroque C & po∣lis P, p & aequatore AE delineatam; & si centro C radio CP de∣scribi intelligatur sphaera Pape; sit autem QR planum, cui recta à cen∣tro

Solis ad centrum Terrae ducta normaliter insistit; & Terrae totius ex∣terioris PapAPepE, quae Sphaerâ modò descriptâ altior est, particu∣lae

[illustration]

singulae conantur recedere hinc inde à plano QR, sitque conatus particulae cu∣jusque ut ejusdem distantia à plano: erit vis & efficacia tota particularum om∣nium, ad Terram circulariter moven∣dam, quadruplo minor quàm vis tota particularum totidem in Aequatoris cir∣culo AE, uniformiter per totum circui∣tum in morem annuli dispositarum, ad Terram consimili motu circulari moven∣dam. Et motus iste circularis circa axem in plano QR jacentem, & axi Pp perpendiculariter insistentem, peragetur.

Sit enim IK circulus minor Aequatori AE parallelus, sitque L particula Terrae in circulo illo extra globum Pape sita. Et si in planum QR demittatur perpendiculum LM, vis tota particulae illius ad Terram circa ipsius centrum convertendum proportiona∣lis erit eidem LM: & si haec vis LM (per Legum Corol. 2.) distin∣guatur in vires LN, NM; efficacia virium MN particularum omnium L, in circuitu Terrae totius extra globum Pape consi∣stentium, ad Terram circa ipsius centrum secundum ordinem li∣terarum ApEP convertendam, erit ad efficaciam virium LN par∣ticularum omnium L, ad Terram circa ipsius centrum secundum ordinem contrarium earundem literarum convertendam, ut tria ad duo. Ideoque efficacia virium omnium MN erit ad excessum effi∣caciae hujus supra efficaciam virium omnium LN ut tria ad unum. Et si particulae illae omnes locarentur in Aequatore, efficacia virium omnium LN evanesceret, & efficacia virium omnium MN au∣geretur in ratione quatuor ad tria. Quare excessus ille, qui est effi∣cacia absoluta particularum in locis propriis, est pars quarta effica∣ciae particularum earundem in Aequatore. Motus autem aequino∣ctiorum

est ut haec efficacia. Singula examinet qui volet. Brevitati consulo.

Lemma II.

Motus autem Terrae totius circa axem illum, ex motibus particularum omnium compositus, erit ad motum annuli circa axem eundem, in ratione composita ex ratione materiae in Terra ad materiam in annulo, & ratione trium quadratorum ex arcu quadrantali circuli cujuscunque, ad duo qua∣drata ex diametro; id est in ratione materiae ad materiam & numeri 925275 & 1000000.

Est enim motus Cylindri circa axem suum immotum revolven∣tis, ad motum Sphaerae inscriptae & simul revolventis, ut quaeli∣bet quatuor aequalia quadrata ad tres ex circulis sibi inscriptis: & motus Cylindri ad motum annuli tenuissimi, Sphaeram & Cylin∣drum ad communem eorum contactum ambientis, ut duplum materiae in Cylindro ad triplum materiae in annulo; & annuli mo∣tus iste circa axem Cylindri uniformiter continuatus, ad ejusdem motum uniformem circa diametrum propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuli ad duplum diametri.

Lemma III.

Si annulus, Terra omni reliqua sublata, solus in orbe Terrae motu an∣nuo circa Solem ferretur, & interea circa axem suum, ad planum Eclipticae in angulo graduum 23 ½ inclinatum, motu diurno revolveretur: idem foret motus Punctorum Aequinoctialium sive annulus iste fluidus esset, sive is ex materia rigida & firma constaret.

Prop. XXXIX. Prob. XIX.

Invenire Praecessionem Aequinoctiorum.

Motus mediocris horarius Nodorum Lunae in Orbe circulari, ubi Nodi sunt in Quadraturis, erat 16".35'''.16^iv.36^v. & hujus dimidium 8".17'''.38^iv.18^v. (ob rationes supra explicatas) est mo∣tus medius horarius Nodorum in tali Orbe; fitque anno toto side∣reo 20 gr. 11'.46". Quoniam igitur Nodi Lunae in tali Orbe con∣ficerent annuatim 20 gr. 11'.46". in antecedentia; & si plures es∣sent Lunae motus Nodorum cujusque, per Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I. forent reciprocè ut tempora periodica; & propterea si Luna spatio diei siderei juxta superficiem Terrae revolveretur, motus an∣nuus Nodorum foret ad 20 gr. 11'.46". ut dies sidereus horarum 23.56'. ad tempus periodicum Lunae dierum 27.7 hor. 43'; id est ut 1436 ad 39343. Et par est ratio Nodorum annuli Lunarum Terram ambientis; sive Lunae illae se mutuò non contingant, sive liquescant & in annulum continuum formentur, sive denique an∣nulus ille rigescat & inflexibilis reddatur.

Fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materiae

[illustration]

aequalis sit Terrae omni PapAPepE, quae globo PapE superior est; & quoniam globus iste est ad Terram illam superiorem ut aC qu. ad AC qu. − aC qu. id est (cum Terrae diame∣ter minor PC vel aC sit ad diametrum majorem AC ut 689 ad 692) ut 4143 ad 474721 seu 1000 ad 114584; si annulus iste Terram se∣cundum aequatorem cingeret, & uter∣que simul circa diametrum annuli revolveretur, motus annuli esset ad motum globi interioris (per

hujus Lem. II.) ut 4143 ad 474721 & 1000000 ad 925275 conjunctim, hoc est ut 4143 ad 439248: ideoque motus annuli esset ad summam motuum annuli & globi, ut 4143 ad 443391. Unde si annulus globo adhaereat, & motum suum, quo ipsius Nodi seu puncta aequinoctialia regrediuntur, cum globo commu∣nicet: motus qui restabit in annulo erit ad ipsius motum priorem ut 4143 ad 443391; & propterea motus punctorum aequinoctia∣lium diminuetur in eadem ratione. Erit igitur motus annuus pun∣ctorum aequinoctialium corporis ex globo & annulo compositi, ad motum 20 gr. 11'.46", ut 1436 ad 39343 & 4143 ad 443391 conjunctim, id est ut 1 ad 2932. Vires autem quibus Nodi Lu∣narum (ut supra explicui) atque adeò quibus puncta aequinoctia∣lia annuli regrediuntur (id est vires 3 IT, in Fig. pag. 444.) sunt in singulis particulis ut distantiae particularum à plano QR, & his vi∣ribus particulae illae planum fugiunt; & propterea (per Lem. I.) si materia annuli per totam globi superficiem, in morem figurae PapAPepE, ad superiorem illam Terrae partem constituendam spargeretur, vis & efficacia tota particularum omnium ad Terram circa quamvis Aequatoris diametrum rotandam, atque adeo ad mo∣venda puncta aequinoctialia, evaderet quadruplo minor quàm prius. Ideoque annuus aequinoctiorum regressus jam esset ad 20 gr. 11'.46". ut 1 ad 11728, ac proinde fieret 6".12'''.2^iv. Haec est prae∣cessio Aequinoctiorum à vi Solis oriunda. Vis autem Lunae ad mare movendum erat ad vim Solis ut 6⅓ ad 1, & haec vis pro quan∣titate sua augebit etiam praecessionem Aequinoctiorum. Ideoque praecessio illa ex utraque causa oriunda jam fiet major in ratione 7⅓ ad 1, & sic erit 45".24'''.15^iv. Hic est motus punctorum aequi∣noctialium ab actionibus Solis & Lunae in partes Terrae, quae glo∣bo Pape incumbunt, oriundus. Nam Terra ab actionibus illis in globum ipsum exercitis nullam in partem inclinari potest.

Designet jam APEp corpus Terrae figurâ Ellipticâ praeditum, & ex uniformi materiâ constans. Et si distinguatur idem in figu∣ras innumeras Ellipticas concentricas & consimiles, APEp, BQbq,

CRcr, DSds, &c. quarum diametri sint in progressione Geo∣metrica: quoniam figurae consimiles sunt, vires Solis & Lunae, quibus puncta aequinoctialia regrediuntur, efficerent ut figurarum reliquarum seorsim spectatarum puncta eadem aequinoctialia eadem

[illustration]

cum velocitate regrederentur. Et par est ratio motus orbium sin∣gulorum AQEq, BRbr, CScs, &c. qui sunt figurarum illarum differentiae. Orbis uniuscujus∣que, si solus esset, puncta aequi∣noctialia eadem cum velocitate regredi deberent. Nec refert u∣trum orbis quilibet densior sit an rarior, si modò ex materia uni∣formiter densa confletur. Unde etiam si orbes ad centrum densiores sint quàm ad circumferenti∣am, idem erit motus aequinoctiorum Terrae totius ac prius; si modo orbis unusquisque seorsim spectatus ex materia uniformiter densa constet, & figura orbis non mutetur. Quod si figurae orbi∣um mutentur, Terraque ad aequatorem AE, ob densitatem mate∣riae ad centrum, jam altius ascendat quàm prius; regressus aequi∣noctiorum ex aucta altitudine augebitur, idque in orbibus singulis seorsim existentibus, in ratione majoris altitudinis materiae juxta or∣bis illius aequatorem; in Terra autem tota in ratione majoris altitu∣dinis materiae juxta aequatorem orbis non extimi AQEq, non intimi Gg, sed mediocris alicujus CScs. Terram autem ad centrum densiorem esse, & propterea sub Aequatore altiorem esse quàm ad polos in majore ratione quàm 692 ad 689, in superioribus insinu∣avimus. Et ratio majoris altitudinis, colligi ferè potest ex majore diminutione gravitatis sub aequatore, quàm quae ex ratione 692 ad 689 consequi debeat. Excessus longitudinis penduli, quod in In∣sula Goree & in illâ Cayennae minutis singulis secundis oscillatur, su∣pra longitudinem Penduli quod Parisiis eodem tempore oscillatur, à

Gallis inventi sunt pars decima & pars octava digiti, qui tamen ex proportione 692 ad 689 prodiere 81/1000 & 89/1000. Major est itaque longitudo Penduli Cayennae quàm oportet, in ratione, ⅛ ad 8••/10••0, seu 1000 ad 712; & in Insula Goree in ratione 1/10 ad 81/1000 seu 1000 ad 810. Si sumamus rationem mediocrem 1000 ad 760; minuen∣da erit gravitas Terrae ad aequatorem, & ibidem augenda ejus al titudo, in ratione 1000 ad 760 quam proximè. Unde motus aequinoctiorum (ut supra dictum est) auctus in ratione altitudinis Terrae, non ad orbem extimum, non ad intimum, sed ad interme∣dium aliquem, id est, non in ratione maxima 1000 ad 760, non in minima 1000 ad 1000, sed in mediocri aliqua, puta 10 ad 8⅓ vel 6 ad 5, evadet annuatim 54".29'''.6^iv.

Rursus hic motus, ob inclinationem plani Aequatoris ad planum Eclipticae, minuendus est, idque in ratione Sinus complementi in∣clinationis ad Radium. Nam distantia particulae cujusque terrestris à plano QR, quo tempore particula illa à plano Eclipticae lon∣gissimè distat, in Tropico suo (ut ita dicam) consistens, diminui∣tur, per inclinationem planorum Eclipticae & Aequatoris ad invi∣cem, in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium. Et in ratione distantiae illius diminuitur etiam vis particulae ad aequinoctia movenda. In eadem quoque ratione diminuitur summa virium par∣ticulae ejusdem, in locis hinc inde à Tropico aequaliter distantibus: uti ex praedemonstratis facilè ostendi possit: & propterea vis tota particulae illius, in revolutione integrâ, ad aequinoctia movenda, ut & vis tota particularum omnium, & motus aequinoctiorum à vi illa oriundus, diminuitur in eadem ratione. Igitur cum inclinatio illa sit 23½ gr. diminuendus est motus 54".29'''. in ratione Sinus 91706 (qui sinus est complementi graduum 23 1/••) ad Radium 100000. Qua ratione motus iste jam fiet 49".58'''. Regrediuntur igitur puncta aequinoctiorum motu annuo (juxta computationem nostram) 49".58''', fere ut Phaenomena coelestia requirunt. Nam regressus ille annuus ex observationibus Astronomorum est 50".

Descripsimus jam Systema Solis, Terrae & Planetarum; superest ut de Cometis nonnulla adjiciantur.

Lemma IV.

Cometas esse Lunâ superiores & in regione Planetarum versari.

Ut defectus Parallaxeos diurnae extulit Cometas supra regiones sublunares, sic ex Parallaxi annua convincitur eorum descensus in regiones Planetarum. Nam Cometae qui progrediuntur secundum ordinem signorum sunt omnes, sub exitu apparitionis, aut solito tardiores aut retrogradi, si Terra est inter ipsos & Solem; at justo celeriores si Terra vergit ad oppositionem. Et è contra, qui per∣gunt contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine appari∣tionis, si Terra versatur inter ipsos & Solem; & justo tardiores vel retrogradi si Terra sita est ad contrarias partes. Contingit hoc maximè ex motu Terrae in vario ipsius fitu, perinde ut fit in Pla∣netis, qui, pro motu Terrae vel conspirante vel contrario, nunc retrogradi sunt, nunc tardiùs moveri videntur, nunc verò celeriùs. Si Terra pergit ad eandem partem cum Cometa, & motu angula∣ri circa Solem celerius fertur, Cometa è Terra spectatus, ob mo∣tum suum tardiorem, apparet esse retrogradus; sin Terra tardiùs fertur, motus Cometae, (detracto motu Terrae) fit saltem tardior. At si Terra pergit in contrarias partes, Cometa exinde velocior apparet. Ex acceleratione autem vel retardatione vel motu retro∣grado distantia Cometae in

[illustration]

hunc modum colligitur. Sunto ♈ QA, ♈ QB, ♈ QC observatae tres longitudi∣nes Cometae, sub initio mo∣tus, sitque ♈ QF longitu∣do ultimò observata, ubi Cometa videri desinit. Aga∣tur recta ABC, cujus par∣tes AB, BC rectis QA &

QB, QB & QC interjectae, sint ad invicem ut tempora inter ob∣servationes tres primas. Producatur AC ad G, ut sit AG ad AB ut tempus inter observationem primam & ultimam, ad tempus in∣ter observationem primam & secundam, & jungatur QG. Et si Cometa moveretur uniformiter in linea recta, atque Terra vel qui∣esceret, vel etiam in linea recta, uniformi cum motu, progrede∣retur; foret angulus ♈ QG longitudo Cometae tempore Observati∣onis ultimae. Angulus igitur FQG, qui longitudinum differentia est, oritur ab inaequalitate motuum Cometae ac Terrae. Hic autem angulus, si Terra & Cometa in contrarias partes moventur, ad∣ditur angulo AQG, & sic motum apparentem Cometae velocio∣rem reddit: Sin Cometa pergit in easdem partes cum Terra, ei∣dem subducitur, motumque Cometae vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum; uti modò exposui. Oritur igitur hic angulus praecipuè ex motu Terrae, & idcirco pro parallaxi Cometae meritò habendus est, neglecto videlicet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod à Cometae motu inaequabili in orbe proprio oriri possit. Distantia verò Cometae ex hac parallaxi sic colligitur. De∣signet S Solem, acT orbem magnum,

[illustration]

a locum Terrae in observatione prima, c locum Terrae in observatione secun∣da, T locum Terrae in observatione ultima, & T ♈ lineam rectam versus principium Arietis ductam. Sumatur angulus ♈ TV aequalis angulo ♈ QF, hoc est aequalis longitudini Cometae ubi Terra versatur in T. Jungatur ac, & producatur ea ad g, ut sit ag ad ac ut AG ad AC, & erit g locus quem Terra tempore observationis ultimae, motu in recta ac uniformiter con∣tinuato, attingeret. Ideoque si ducatur g ♈ ipsi T ♈ parallela, & capiatur angulus ♈ gV angulo ♈ QG aequalis, erit hic angulus gV

aequalis longitudini Cometae è loco g spectati; & angulus TVg pa∣rallaxis erit, quae oritur à translatione Terrae de loco g in locum T: ac proinde V locus erit Cometae in plano Eclipticae. Hic autem lo∣cus V orbe Jovis inferior esse solet.

Idem colligitur ex curvatura viae Cometarum. Pergunt haec cor∣pora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celeri∣us; at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa quae à paral∣laxi oritur majorem habet proportionem ad motum totum appa∣rentem, deflectere solent ab his circulis, & quoties Terra movetur in unam partem abire in partem contrariam. Oritur haec deflexio maximè ex Parallaxi, propterea quod respondet motui Terrae; & insignis ejus quantitas meo computo collocavit disparentes Cometas satis longè infra Jovem. Unde consequens est quòd in Perigaeis & Periheliis, ubi propius adsunt, descendunt saepius infra orbes Martis & inferiorum Planetarum.

Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum. Nam corporis coelestis à Sole illustrati & in regiones longinquas abeuntis diminuitur splendor in quadruplicata ratione distantiae: in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis distantiam à Sole, & in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem. Unde si detur & lucis quantitas & apparens diameter Cometae, dabitur distantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam Planetae in ratione integra diametri ad diametrum directè & ratione dimidi∣ata lucis ad lucem inversè. Sic minima Capillitii Cometae anni 1682 diameter, per Tubum opticum sexdecim pedum à Cl. Flam∣stedio observata & micrometro mensurata, aequabat 2'.0". Nucleus autem seu stella in medio capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat, adeoque lata erat tantum 11" vel 12". Luce verò & claritate capitis superabit caput Cometae anni 1680, stellasque primae vel secundae magnitudinis aemulabatur. Ponamus Saturnum cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse: & quoniam lux annuli propemodum aequabat lucem globi intermedii, & dia∣meter apparens globi sit quasi 21", adeoque lux globi & annuli

conjunctim aequaret lucem globi, cujus diameter esset 30": erit distantiae Cometae ad distantiam Saturni ut 1 ad √4 inversè, & 12" ad 30" directè, id est ut 24 ad 30 seu 4 ad 5. Rursus Cometa anni 1665 mense Aprili, ut Author est Hevelius, claritate sua pene fixas omnes superabat, quinetiam ipsum Saturnum, ratione colo∣ris videlicet longè vividioris. Quippe lucidior erat hic Cometa al∣tero illo, qui in fine anni praecedentis apparuerat & cum stellis pri∣mae magnitudinis conferebatur. Latitudo capillitii erat quasi 6', at nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat Jove, & nunc minor corpore intermedio Saturni, nunc ipsi aequa∣lis judicabatur. Porrò cum diameter Capillitii Cometarum rarò superet 8' vel 12', diameter verò Nuclei seu stellae centralis sit quasi decima vel fortè decima quinta pars diametri capillitii, patet Stellas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis magnitudinis cum Planetis. Unde cum lux eorum cum luce Saturni non rarò conferri possit, eamque aliquando superet; manifestum est quod Cometae omnes in Periheliis vel infra Saturnum collocandi sint, vel non longe supra. Errant igitur toto coelo qui Cometas in re∣gionem Fixarum prope ablegant: qua certè ratione non magis il∣lustrari deberent à Sole nostro, quàm Planetae, qui hic sunt, illu∣strantur à Stellis fixis.

Haec disputavimus non considerando obscurationem Cometa∣rum per fumum illum maximè copiosum & crassum, quo caput circundatur, quasi per nubem obtusè semper lucens. Nam quan∣to obscurius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad Solem accedat necesse est, ut copia lucis à se reflexa Planetas aemu∣letur. Inde verisimile fit Cometas longe infra Sphaeram Saturni descendere, uti ex Parallaxi probavimus. Idem verò quam ma∣ximè confirmatur ex Caudis. Hae vel ex reflexione fumi sparsi per aethera, vel ex luce capitis oriuntur. Priore casu minuenda est distantia Cometarum, ne fumus à Capite semper ortus per spatia nimis ampla incredibili cum velocitate & expansione propagetur. In posteriore referenda est lux omnis tam caudae quàm capillitii ad

Nucleum capitis. Igitur si imaginemur lucem hanc omnem con∣gregari & intra discum Nuclei coarctari, Nucleus ille jam certè, quoties caudam maximam & fulgentissimam emittit, Jovem ipsum splendore suo multum superabit. Minore igitur cum diametro apparente plus lucis emittens, multò magis illustrabitur à Sole, adeoque erit Soli multò proprior. Quinetiam capita sub Sole de∣litescentia, & caudas cum maximas tum fulgentissimas instar tra∣bium ignitarum nonnunquam emittentia, eodem argumento in∣fra orbem Veneris collocari debent. Nam lux illa omnis si in stellam congregari supponatur, ipsam Venerem ne dicam Veneres plures conjunctas quandoque superaret.

Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu Co∣metarum à Terra Solem versus, ac decrescente in eorum recessu à Sole versus Terram. Sic enim Cometa posterior Anni 1665▪ (ob∣servante Hevelio,) ex quo conspici caepit, remittebat semper de motu suo, adeoque praeterierat Perigaeum; Splendor verò capitis nihilominus indies crescebat, usque dum Cometa radiis Solaribus ob∣tectus desiit apparere. Cometa Anni 1683, observante eodem Hevelio, in fine Mensis Iulii ubi primum conspectus est, tardissimò movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter singulis diebus in orbe suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpe∣tuo augebatur usque ad Sept. 4. quando evasit graduum quasi quin∣que. Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinqua∣bat. Id quod etiam ex diametro capitis micrometro mensurata col∣ligitur: quippe quam Hevelius reperit Aug. 6. esse tantum 6'.5" in∣clusâ comâ, at Sept. 2. esse 9'.7". Caput igitur initio longe minus apparuit quàm in fine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe lucidius extitit quàm circa finem, ut refert idem Hevelius. Pro∣inde toto hoc tempore, ob recessum ipsius à Sole, quoad lumen de∣crevit, non obstante accessu ad Terram. Cometa Anni 1618 circa medium Mensis Decembris, & iste Anni 1680 circa finem ejus∣dem Mensis, celerrimè movebantur, adeoque tunc erant in Peri∣gaeis. Verum splendor maximus capitum contigit ante duas fere

septimanas, ubi modo exierant de radiis Solaribus; & splendor ma∣ximus caudarum paulo ante, in majore vicinitate Solis. Caput Co∣metae prioris, juxta observationes Cysati, Decem. 1. majus videbatur stellis primae magnitudinis, & Decem. 16. (jam in Perigaeo exi∣stens) magnitudine parùm, splendore seu claritate luminis pluri∣mum defecerat. Ian. 7. Kepterus de capite incertus finem fecit ob∣servandi. Die 12 mensis Decemb. conspectum & à Flamstedio ob∣servatum est caput Cometae posterioris, in distantia novem gradu∣um à Sole; id quod stellae tertiae magnitudinis vix concessum fu∣isset. Decem. 15 & 17 apparuit idem ut stella tertiae magnitudinis, diminutum utique splendore Nubium juxta Solem occidentem. Decem. 26. velocissime motus, inque Perigaeo propemodum existens, cedebat ori Pegasi, Stellae tertiae magnitudinis. Ian. 3. apparebat ut Stella quartae, Ian. 9. ut Stella quintae, Ian. 13. ob splendorem Lunae crescentis disparuit. Ian. 25. vix aequabat Stellas magnitudi∣nis septimae. Si sumantur aequalia à Perigaeo hinc inde tempora, capita quae temporibus illis in longinquis regionibus posita, ob aequales à Terra distantias, aequaliter lucere debuissent, in plaga Solis, maxime splenduere, ex altera Perigaei parte evanuere. Igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna Solis & Cometae vicinitas in situ priore. Nam lux Cometarum regula∣ris esse solet, & maxima apparere ubi capita velocissimè moventur, atque adeo sunt in Perigaeis; nisi quatenus ea major est in vicinia Solis.

Corol. 1. Splendent igitur Cometae luce Solis à se reflexa.

Corol. 2. Ex dictis etiam intelligitur cur Cometae tantopere fre∣quentant regionem Solis. Si cernerentur in regionibus longè ultra Saturnum deberent saepius apparere in partibus Soli oppositis. Fo∣rent enim Terrae viciniores qui in his partibus versarentur, & Sol interpositus obscuraret caeteros. Verum percurrendo historias Co∣metarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt in Hemisphaerio Solem versus, quàm in Hemisphaerio opposito, praeter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit. Ni∣mirum

in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, ne∣que adeo illustrantur à Sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhi∣beant, quàm sint ipso Jove propiores. Spatii autem tantillo inter∣vallo circa Solem descripti pars longè major sita est à latere Terrae quod Solem respicit; inque parte illa majore Cometae Soli ut pluri∣mum viciniores magis illuminari solent.

Corol. 3. Hinc etiam manifestum est, quod coeli resistentia desti∣tuuntur. Nam Cometae vias obliquas & nonnunquam cursui Pla∣netarum contrarias secuti, moventur omnifariam liberrimè, & mo∣tus suos etiam contra cursum Planetarum diutissimè conservant. Fal∣lor ni genus Planetarum sint, & motu perpetuo in orbem redeant. Nam quod Scriptores aliqui Meteora esse volunt, argumentum à capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere vide∣tur. Capita Cometarum Atmosphaeris ingentibus cinguntur; & At∣mosphaerae infernè densiores esse debent. Unde nubes sunt non ipsa Cometarum corpora, in quibus mutationes illae visuntur. Sic Ter∣ra si è Planetis spectaretur, luce nubium suarum proculdubio splen∣deret, & corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic cin∣gula Jovis in nubibus Planetae illius formata, situm mutant inter se, & firmum Jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et multo magis corpora Cometarum sub Atmosphaeris & profundio∣ribus & crassioribus abscondi debent.

Prop. XL. Theor. XXI.

Cometas in Sectionibus conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere.

Patet per Corol. 1. Prop. XIII. Libri primi, collatum cum Prop. VIII, XII & XIII. Libri tertii.

Corol. 1. Hinc si Cometae in orbem redeunt, orbes erunt Ellip∣ses, & tempora periodica erunt ad tempora periodica Planetarum in ratione sequialtera transversorum axium. Ideoque Cometae ma∣xima

ex parte supra Planetas versantes, & eo nomine orbes axibus majoribus describentes, tardius revolventur. Ut si axis orbis Co∣metae sit quadruplo major axe orbis Saturni, tempus revolutionis Cometae erit ad tempus revolutionis Saturni, id est ad annos 30, ut 4 √4 (seu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240.

Corol. 2. Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut eorum vice Parabolae absque erroribus sensibilibus adhiberi possunt.

Corol. 3. Et propterea, per Corol. 7. Prop. XVI. Lib. I. velocitas Cometae omnis erit semper ad velocitatem Planetae cujusvis circa Solem in circulo revolventis, in dimidiata ratione duplicatae distan∣tiae Cometae à centro Solis ad distantiam Planetae à centro Solis quamproximè. Ponamus radium orbis magni, seu Ellipseos in qua Terra revolvitur semidiametrum transversam, esse partium 100000000, & Terra motu suo diurno mediocri describet partes 1720212, & motu horario partes 71675½. Ideoque Cometa in eadem Telluris à Sole distantia mediocri, ea cum velocitate quae sit ad velocitatem Telluris ut √2 ad 1, describet motu suo diurno partes 2432747, & motu horario partes 101364½. In majoribus autem vel minoribus distantiis, motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum & horarium in dimidiata ratione di∣stantiarum respectivè, ideoque datur.

Lemma V.

Invenire lineam curvam generis Parabolici, quae per data quotcunque puncta transibit.

Sunto puncta illa A, B, C, D, E, F, &c. & ab iisdem ad rectam quamvis positione datam HN demitte perpendicula quotcunque AH, BI, CK, DL, EM, FN.

Cas. 1. Si punctorum H, I, K, L, M, N aequalia sunt inter∣valla HI, IK, KL, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK &c. differentias primas b, 2 b, 3 b, 4 b, 5 b, &c. secundas c,

2 c, 3 c, 4 c, &c. tertias d, 2 d, 3 d, &c. id est, ita ut sit HA−BI=b, BI−CK=2 b, CK−DL=3 b, DL+EM=4 b, −EM+FN=5 b, &c. dein b−2 b=c &c. Deinde erecta

[illustration]

quacunque perpendiculari RS, quae fuerit ordinatim applicata ad curvam quae∣sitam: ut inveniatur hujus longitudo, pone intervalla HI, IK, KL, LM, &c. unitates esse, & dic AH=a, −HS=p, ½ p in −IS=q, ⅓ q in +SK=r, ¼ r in +SL=s, ⅕ s in +SM=t; pergendo videlicet ad usque penultimum perpen∣diculum ME, & praeponendo signa negativa terminis HS, IS, &c. qui jacent ad partes puncti S versus A, & signa affirmativa termi∣nis SK, SL, &c. qui jacent ad alteras partes puncti S. Et signis probe observatis erit RS=a+bp, +cq+dr+es+ft &c.

Cas. 2. Quod si punctorum H, I, K, L, &c. inaequalia sint in∣tervalla HI, IK, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK, &c. differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas b, 2 b, 3 b, 4 b, 5 b; secundas per intervalla bina divisas c, 2 c, 3 c, 4 c, &c. ter∣tias per intervalla terna divisas d, 2 d, 3 d, &c. quartas per intervalla quaterna divisas e, 2 e, &c. & sic deinceps; id est ita ut sit b=AH−BI / HI, 2 b=BI−CK / IK, 3 b=CK−DL / KL &c. dein c=b−2 b / HK, 2c=2 b−3b / IL, 3 c=3 b−4 b / KM &c. Postea d=c−2 c / HL 2 d=2 c−3 c / IM &c. Inventis differentiis, dic AH=a, −HS=p, p in −IS=q, q in +SK=r, r in +SL=S, S in +SM=t; per∣gendo scilicet ad usque perpendiculum penultimum ME, & erit ordinatim applicata RS=a+bp+cq+dr+es+ft, &c.

Corol. Hinc areae curvarum omnium inveniri possunt quampro∣ximè. Nam si curvae cujusvis quadrandae inveniantur puncta ali∣quot,

& Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabolae hujus eadem quam proximè cum area curvae illius quadrandae. Po∣test autem Parabola per Methodos notissimas semper quadrari Geo∣metricè.

Lemma VI.

Ex observatis aliquot locis Cometae invenire locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum.

Designent HI, IK, KL, LM tempora inter observationes, (in Fig. praeced.) HA, IB, KC, LD, ME, observatas quinque longitudines Cometae, HS tempus datum inter observationem pri∣mam & longitudinem quaesitam. Et si per puncta A, B, C, D, E duci intelligatur curva regularis ABCDE; & per Lemma superius inveniatur ejus ordinatim applicata RS, erit RS longitudo quaesita.

Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum.

Si longitudinum observatarum parvae sint differentiae, puta gra∣duum tantum 4 vel 5; suffecerint observationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores sint differentiae, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes quinque adhiberi.

Lemma VII.

Per datum punctum P ducere rectam lineam BC, cujus partes PB, PC, rectis duabus positione datis AB, AC abscissae, datam ha∣beant rationem ad invicem.

[illustration]

A puncto illo P ad rectarum al∣terutram AB ducatur recta quaevis PD, & producatur eadem versus re∣ctam alteram AC usque ad E, ut sit PE ad PD in data illa ratione. Ipsi AD parallela sit EC; & si agatur CPB, erit PC ad PB ut PE ad PD.Q.E.F.

Lemma VIII.

Sit ABC Parabola umbilicum habens S. Chordâ AC bisectâ in I abscindatur segmentum ABCI, cujus diameter sit I μ & vertex μ. In I μ productâ capiatur μ O aequalis dimidio ipsius I μ. Iungatur OS, &

[illustration]

producatur ea ad ξ, ut sit S ξ aequalis 2 SO. Et si Cometa B moveatur in arcu CBA, & agatur ξ B secans AC in E: dico quod punctum E ab∣scindet

de chorda AC segmentum AE tempori proportionale quam∣proxime.

Jungatur enim EO secans arcum Parabolicum ABC in Y, & erit area curvilinea AEY ad aream curvilineam ACY ut AE ad AC quamproximè. Ideoque cum triangulum ASE sie ad triangulum ASC in eadem ratione, erit area tota ASEY ad aream totam ASCY ut AE ad AC quamproximè. Cum autem ξ O sit ad SO ut 3 ad 1 & EO ad YO prope in eadem ratione, erit SY ipsi EB parallela quamproximè, & propterea triangulum SEB, triangulo YEB quamproximè aequale. Unde si ad aream ASEY addatur triangulum EYB, & de summa auferatur triangulum SEB, ma∣nebit area ASBY areae ASEY aequalis quamproximè, atque adeo ad aream ASCY ut AE ad AC. Sed area ASBY est ad aream ASCY ut tempus descripti arcus AB ad tempus descripti arcus to∣tius. Ideoque AE est ad AC in ratione temporum quamproximè. Q.E.D.

Lemma IX.

Rectae I μ & μ M & longitudo AIC / 4S μ aequantur inter se. Nam 4 S μ est latus rectum Parabolae pertinens ad verticem B.

Lemma X.

Si producatur S μ ad N & P, ut μ N sit pars tertia ipsius μ I, & SP sit ad SN ut SN ad S μ. Cometa quo tempore describit arcum A μ C, si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in altitu∣dine ipsi SP aequali, describeret longitudinem aequalem chordae AC.

Nam si velocitate quam habet in μ, eodem tempore progredia∣tur uniformiter in recta quae Parabolam tangit in μ; area quam Radio ad punctum S ducto describeret, aequalis esset areae Parabo∣licae ASC μ. Ideoque contentum sub longitudine in Tangente de∣scripta

& longitudine S μ, esset ad contentum sub longitudinibus AC & SM, ut area ASC μ ad triangulum ASCM, id est ut SN ad SM. Quare AC est ad longitudinem in tangente descriptam ut S μ ad SN. Cum autem velocitas Cometae in altitudine SP sit ad velocitatem in altitudine S μ in dimidiata ratione SP ad S μ

[illustration]

inversè, id est in ratione S μ ad SN, longitudo hac velocitate eo∣dem tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam ut S μ ad SN. Igitur AC & longitudo hac nova velocitate de∣scripta, cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem ratione, aequantur inter se. Q.E.D.

Corol. Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitu∣dine S μ+⅔I μ, eodem tempore describeret chordam AC quam∣proximè.

Lemma XI.

Si Cometa motu omni privatus de altitudine SN seu Sμ+⅓Iμ de∣mitteretur, ut caderet in Solem, & ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem quo tempore in orbe suo describat arcum AC, descensu suo describeret spatium longitudini Iμ aequale.

Nam Cometa quo tempore describat arcum Parabolicum AC, eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine SP (per

Lemma novissimum) describet chordam AC, adeoque eodem tem∣pore in circulo cujus semidiameter esset SP revolvendo, describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordam AC in di∣midiata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in Solem, describeret eodem tempore (per Scholium Prop. IV. Lib. I.) spati∣um aequale quadrato semissis chordae illius applicato ad quadruplum altitudinis SP, id est spatium AIq./4 SP. Unde cum pondus Cometae in Solem in altitudine SN sit ad ipsius pondus in Solem in altitu∣dine SP, ut SP ad Sμ: Cometa pondere quod habet in altitudine SN eodem tempore, in Solem cadendo, describet spatium AIq./4 Sμ, id est spatium longitudini Iμ vel Mμ aequale. Q.E.D.

Prop. XLI. Prob. XX.

Cometae in Parabola moventis Trajectoriam ex datis tribus observationibus determinare.

Problema hocce longe difficillimum multimodè aggressus, com∣posui Problemata quaedam in Libro primo quae ad ejus solutionem spectant. Postea solutionem sequentem paulò simpliciorem exco∣gitavi.

Seligantur tres observationes aequalibus temporum intervallis ab invicem quamproximè distantes. Sit autem temporis intervallum il∣lud ubi Cometa tardius movetur paulo majus altero, ita videlicet ut temporum differentia sit ad summam temporum ut summa tempo∣porum ad dies plus minus sexcentos. Si tales observationes non praesto sint, inveniendus est novus Cometae locus per Lemma sextum.

Designent S Solem, T, t, τ tria loca Terrae in orbe magno, TA, tB, τ C observatas tres longitudines Cometae, V tempus inter observationem primam & secundam, W tempus inter secundam ac

tertiam, X longitudinem quam Cometa toto illo tempore ea cum velocitate quam habet in mediocri Telluris à Sole distantia, descri∣bere posset, & tV perpendiculum in chordam Tτ. In longitudine media tB sumatur utcunque punctum B, & inde versus Solem S

[illustration]

ducatur linea BE, quae sit ad Sagittam tV ut contentum sub SB & St quadrato ad cubum hypotenusae trianguli rectanguli, cujus latera sunt SB & tangens latitudinis Cometae in observatione secunda ad radium tB. Et per punctum E agatur recta AEC, cujus partes AE, EC ad rectas TA & τC terminatae, sint ad invicem ut tempora V & W: Tum per puncta A, B, C, duc circumferentiam circuli, eam∣que biseca in i, ut & chordam AC in I. Age occultam Si secantem AC in λ, & comple parallelogrammum iIλμ. Cape Iσ aequalem 3 Iλ, & per Solem S age occultam σξ aequalem 3 Sσ+3 iλ. Et deletis jam literis A, E, C, I, à puncto B versus punctum ξ duc oc∣cultam

novam BE, quae sit ad priorem BE in duplicata ratione di∣stantiae BS ad quantitatem Sμ+⅓ iλ. Et per punctum E iterum duc rectam AEC eadem lege ac prius, id est, ita ut ejus partes AE & EC sint ad invicem ut tempora inter observationes, V & W.

Ad AC bisectam in I erigantur perpendicula AM, CN, IO, qua∣rum AM & CN sint tangentes latitudinum in observatione prima ac tertia ad radios TA & μα. Jungatur MN secans IO in O. Con∣stituatur rectangulum iIλμ, ut prius. In IA producta capiatur ID aequalis Sμ+⅔ iλ, & agatur occulta OD. Deinde in MN versus N capiatur MP, quae sit ad longitudinem supra inventam X in dimidiata ratione mediocris distantiae Telluris à Sole (seu semi-diametri orbis magni) ad distantiam OD. Et in AC capiatur CG ipsi NP aequalis, ita ut puncta G & P ad easdem partes rectae NC jaceant.

Eadem methodo qua puncta E, A, C, G, ex assumpto puncto B inventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis b & β puncta nova e, a, c, g, & ε, α χ, γ. Deinde si per G, g, γ du∣catur circumferentia circuli Ggγ secans rectam τC in Z: erit Z lo∣cus Cometae in plano Eclipticae. Et si in AC, ac, α χ capiantur AF, af, αφ ipsis CG, cg, χ γ respectivè aequales, & per puncta F, f, φ ducatur circumferentia circuli Ffφ secans rectam AT in X; erit punctum X alius Cometae locus in plano Eclipticae. Ad pun∣cta X & Z erigantur tangentes latitudinum Cometae ad radios TX & τ Z; & habebuntur loca duo Cometae in orbe proprio. Denique (per Prop. XIX. Lib. I.) umbilico S, per loca illa duo describatur Parabola, & haec erit Trajectoria Cometae. Q.E.I.

Constructionis hujus demonstratio ex Lemmatibus consequitur: quippe cum recta AC secetur in E in ratione temporum, per Lem∣ma VIII: & BE per Lem. XI. sit pars rectae BS in plano Eclipticae arcui ABC & chordae AEG interjecta; & MP (per Lem. VIII.) longitudo sit chordae arcus, quem Cometa in orbe proprio inter observationem primam ac tertiam describere debet, ideoque ipsi MN aequalis fuerit, si modò B sit verus Cometae locus in plano Eclipticae.

Caeterum puncta B, b, β non quaelibet, sed vero proxima eligere convenit. Si angulus AQt in quo vestigium orbis in plano Eclip∣ticae descriptum secabit rectam tB praeterpropter innotescat, in an∣gulo illo ducenda erit recta occulta AC, quae sit ad 4/3 Tt in dimi∣diata ratione St ad SQ. Et agendo rectam SEB cujus pars EB aequetur longitudini Vt, determinabitur punctum B quod prima vice usurpare licet. Tum rectâ AC deletâ & secundum praece∣dentem constructionem iterum ductâ, & inventâ insuper longitu∣dine MP; in tB capiatur punctum b, ea lege, ut si TA, TC se mutuò secuerint in Y, sit distantia Yb ad distantiam YB in ratione composita ex ratione MN ad MP & ratione dimidata SB ad Sb. Et eadem methodo inveniendum erit punctum tertium β; si modò operationem tertiò repetere lubet. Sed hac methodo ope∣rationes duae ut plurimum suffecerint. Nam si distantia Bb perexigua obvenerit, postquam inventa sunt puncta F, f & G, g, actae rectae Ff & Gg secabunt TA & τC in punctis quaesitis X & Z.

Exemplum.

Proponatur Cometa anni 1680. Hujus motum à Flamstedio ob∣servatum Tabula sequens exhibet.

	Tem. appar.	Temp. verū	Long. Solis	Long. Cometae	Lat. Cometae
1680 December 12	4.46	4.46.00	♑ 1.53.2	♑ 6.33.0	8.26.0
21	6.32½	6.36.59	11.8.10	♒ 5.7.38	21.45.30
24	6.12	6.17.52	14.10.49	18.49.10	25.23.24
26	5.14	5.20.44	16.10.38	28.24.6	27.00.57
29	7.55	8.03.2	19.20.56	♓ 13.11.45	28.10.05
30	8.2	8.10.26	20.22.20	17.37.5	28.11.12
1681 Ianuary 5	5.51	6.1.38	26.23.19	♈ 8.49.10	26.15.26
9	6.49	7.0.53	♒ 0.29.54	18.43.18	24.12.42
10	5.54	6.6.10	1.28.34	20.40.57	23.44.00
13	6.56	7.8.55	4.34.6	25.59.34	22.17.36
25	7.44	7.58.42	16.45.58	♉ 9.55.48	17.56.54
30	8.07	8.21.53	21.50.9	♉ 13.19.36	16.40.57
February 2	6.20	6.34.51	24.47.4	15.13.48	16.02.02
5	6.50	7.4.41	27.49.51	16.59.52	15.27.23

In his observationibus Flamstedius eâ usus est diligentiâ, ut post∣quam bis observasset distantiam Cometae à Stella aliqua fixa, de∣inde etiam distantiam bis ab alia stella fixa, rediret ad stellam pri∣orem & distantiam Cometae ab eadem iterum observaret, idque bis, ac deinde ex distantiae illius incremento vel decremento tem∣pori proportionali colligeret distantiam tempore intermedio, quan∣do distantia à stella altera observabatur. Ex hujusmodi observatio∣nibus loca Cometae festinanter computata Flamstedius primò cum amicis communicavit, & postea easdem ad examen revocatas cal∣culo diligentiore correxit. Nos loca correcta hic descripsimus.

His adde observationes quasdam è nostris.

	Temp. appar.	Cometae Longit.	Com. Lat.
Febru. 25	8h.30'	♉ 26.19'.22"	12.46 7/8
27	8.15	27.4.28	12.36
Mart. 1	11.0	27.53.8	12.24 3/••
2	8.0	28.12.29	12.19 1/••
5	11.30	29.20.51	12.2⅔
9	8.30	♊ 0.43.2	11.44 ⅗

Hae observationes Telescopio septupedali, & Micrometro filis∣que in foco Telescopii locatis paractae sunt: quibus instrumentis & positiones fixarum inter se & positiones Cometae ad fixas determina∣vimus. Designet A stellam in sinistro calcaneo Persei (Bayero ο) B stellam sequentem in sinistro pede (Bayero ζ) & C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N stellas alias minores in eodem pede. Sintque P, Q, R, S, T loca Cometae in observationibus supra descriptis: & existente distantiâ AB partium 80 7/12, erat AC partium 52¼, BC 58 ⅚ AD 57 5/12;, BD 82 6/11, CD 23⅔, AE 29 4/7 CE 57½, DE 49 11/12, AK 38⅔, BK 43, CK 31 5/9, FK 29, FB 23, FC 36¼, AH 18 6/7, DH 53 5/11, BN 46 5/12, CN 31⅓, BL 45 5/12, NL 31 5/7. LM erat ad LB ut 2 ad 9 & producta transibat per stellam H. His determinabantur positiones fixarum inter se.

Die Veneris Feb. 25. St. vet. Hor. 8½ P. M. Cometae in p ex∣istentis distantia à stella E erat major quàm 3/13 AE, minor quàm ⅕ AE, adeoque aequalis 3/14 AE proximè; & angulus ApE nonnihil

[illustration]

obtusus erat, sed fere rectus. Nempe si demitteretur ad pE perpen∣diculum ab A, distantia Cometae à perpendiculo illo erat ⅕ pE.

Eadem nocte, horâ 9½, Cometae in P existentis distantia à stella E erat major quàm 1/4½ AE, minor quàm 1/5¼ AE, adeoque aequalis 1/4⅞ AE, seu 8/39 AE quamproximè. A perpendiculo autem à Stella A ad rectam PE demisso distantia Cometae erat ⅘ PE.

Die ♂^tis, Mart. 1, hor. 11. P.M. Cometa in R existens, stellis K & C accuratè interjacebat, & rectae CRK pars CR paulo major erat quàm ⅓ CK, & paulo minor quam ⅓ CK+⅛ CR, adeoque aequalis ⅓ CK+1/16 CR seu 16/45 CK.

Die ☿ⁱⁱ, Mart. 2. hor. 8. P. M. Cometae existentis in S, distantia à stella C erat 4/9 FC quam proximè. Distantia stellae F à recta CS producta erat 1/24 FC; & distantia stellae B ab eadem recta erat quin∣tuplo major quàm distantia stellae F. Item recta NS producta

[illustration]

〈1 page duplicate〉〈1 page duplicate〉

〈1 page duplicate〉〈1 page duplicate〉

transibat inter stellas H & I, quintuplo vel sextuplo propior exi∣stens stellae H quàm stellae I.

Die ♄ⁿⁱ, Mart. 5. hor. 11 ½. P. M. Cometa existente in T, recta MT aequalis erat ½ ML & recta LT producta transibat inter B & F, quadruplo vel quintuplo propior F quàm B, auferens à BF quintam vel sextam ejus partem versus F. Et MT producta tran∣sibat extra spatium BF ad partes stellae B, quadruplo propior exi∣stens stellae B quam stellae F. Erat M stella perexigua quae per Te∣lescopium videri vix potuit, & L stella major quasi magnitudinis octavae.

Ex hujusmodi observationibus per constructiones figurarum & computationes (posito quod stellarum A & B distantia esset 2 gr. 6⅘, & stellae A longitudo ♉ 26 gr. 41'.48" & latitudo borealis 12 gr. 8'½, stellaeque B longitudo ♉ 28 gr. 40'.16". latitudo borealis 11 gr. 17⅕; quemadmodum à Flamstedio observatas accepi) derivabam longitudines & latitudines Cometae. Micrometro pa∣rum affabre constructâ usus sum, sed Longitudinum tamen & Lati∣tudinum errores (quatenus ab observationibus nostris oriantur) di∣midium minuti unius primi vix superant, praeterquam in observa∣tione ultimâ Mart. 9. ubi positiones fixarum ad stellas A & B mi∣nus accuratè determinare potui. Cassinus qui Cometam eodem tem∣pore observavit, se declinationem ejus tanquam invariatam manen∣tem parum diligenter definivisse fassus est. Nam Cometa (juxta observationes nostras) in fine motus sui notabiliter deflectere caepit boream versus, à parallelo quem in fine Mensis Februarii tenuerat.

Jam ad orbem Cometae determinandum; selegi ex observatio∣nibus hactenus descriptis tres, quas Flamstedius habuit Dec. 21, Ian. 5. & Ian. 25. Ex his inveni St partium 9842, 1 & Vt partium 455, quales 10000 sunt semidiameter orbis magni. Tum ad operatio∣nem primam assumendo tB partium 5657, inveni SB 9747, BE prima vice 412, S•• 9503, iλ=413: BE secunda vice 421, OD 10186, X 8528, ••, MP 8450, MN 8475, NP−25. Unde ad operationem secundam collegi distantiam tb 5640. Et

per hanc operationem inveni tandem distantias TX 4775 & τ Z 11322. Ex quibus orbem definiendo inveni Nodos in ejus ♋ & ♑ 1 gr. 53'; Inclinationem plani ejus ad planum Eclipticae 61 gr. 20⅓; ver∣ticem ejus (seu perihelium Cometae) in ♏ 27 gr. 43' cum latitudine australi 7 gr. 34'; & ejus latus rectum 236, 8, aream{que} radio ad Solem ducto singulis diebus descriptam 93585; Cometam verò Decemb. 8 d. o h. 4'. P. M. in vertice orbis seu perihelio fuisse. Haec omnia per scalam partium aequalium & chordas angulorum ex Ta∣bula Sinuum naturalium collectas determinavi graphicè; constru∣endo Schema satis amplum, in quo videlicet semidiameter orbis magni (partium 10000) aequalis esset digitis 16⅓ pedis Anglicani.

Tandem ut constaret an Cometa in Orbe sic invento verè mo∣veretur, collegi per operationes partim Arithmeticas partim Gra∣phicas, loca Cometae in hoc orbe ad observationum quarundam tempora: uti in Tabula sequente videre licet.

COMETAE

	Distant. Co∣metae à Sole	Lon. Collect.	Lat. Collect.	Long. Obs.	Lat. Obs.	Differ. Long.	Differ. Lat.
Decemb. 12	2792	♑ 6.32	8.18 ½	♑ 6.33	8.26	− 2	− 7½
29	8403	♓ 13.133	28.0	♓ 13.11 ¾	28.10 1 ½	+ 2	− 10½
Febr. 5	16669	♉ 17.0	15.29 2/••	♉ 16.59⅞	15.27 2/5;	0	+ 2 ⅕
Mar. 5	21737	♉ 29.19 ¾	12.4	♉ 29.20 6/7;	12.2⅔	− 1	+ 1⅓

Praeterea cum Cl. Flamstedius Cometam, qui Mense Novembri apparuerat, eundem esse cum Cometa mensium subsequentium, literis ad me datis aliquando disputaret, & Trajectoriam quandam ab orbe hocce Parabolico non longe aberrantem delinearet, visum est loca Cometae in hoc orbe Mense Novembri computare, & cum Observationibus conferre. Observationes ita se habent.

Nov. 17. St. Vet. Ponthaeus & alii hora sexta matutina Romae, (id est hora 5.10' Londini) Cometam observarunt in ♎ 8 gr. 30' cum latitudine Australi 0 gr. 40'. Extant autem eorum observationes in tractatu quem Ponthaeus de hoc Cometa in lucem edidit. Eadem horâ Galletius etiam Romae, Cometam vidit in ♎ 8 gr. sine Latitu∣dine.

Nov. 18. Ponthaeus & Socii horâ matutinâ 6, 30' Romae (i.e. hor. 5.40' Londini) Cometam viderunt in ♎ 13 1/••;, cum Lat. Austr. 1 gr. 20'. Eodem die R. P. Ango in Academia Flechensi apud Gallos, horâ quintâ matutinâ, Cometam vidit in medio Stellarum duarum par∣varum, quarum una media est trium in recta linea in Virginis Austra∣li manu, & altera est extrema alae. Unde Cometa tunc fuit in •• 12 gr. 46' cum Lat. Austr. 50'. Eodem die Bostoniae in Nova An∣glia in Lat. 42⅓, horâ quintâ matutinâ (id est Londini hora Mat. 9⅔) Cometa visus est in ♎ 14 circiter, cum Lat. Austr. 1 gr. 30'; uti à Cl. Halleio accepi.

Nov. 19. hora Mat. 4½ Cantabrigiae, Cometa (observante juvene quodam) distabat à Spica ♍ quasi 2 gr. Boreazephyrum versus. Eodem die hor. 5. Mat. Bostoniae in Nova-Anglia Cometa distabat à Spica ♍ gradu uno, differentiâ latitudinum existente 40', atque adeo differentia Long. 44' circiter. Unde Cometa erat in ♎ 18 gr. 40'. cum Lat. Austr. 1 gr. 19'. Eodem die D. Arthurus Storer ad fluvi∣um Patuxent prope Hunting-Creek in Mary-Land, in Confinio Virgi∣niae in Lat. 38 ½ gr. horâ quintâ matutinâ (id est horâ 10^a Londini) Cometam vidit supra Spicam ♍, & cum Spica propemodum conjun∣ctum, existente distantia inter eosdem quasi ¾ gr. Observator idem, eadem horâ diei sequentis, Cometam vidit quasi 2 gr. inferiorem Spicâ. Congruent hae observationes cum observationibus in Nova Anglia factis, si modò distantiae (pro motu diurno Cometae) non∣nihil augeantur, ita ut Cometa die priore superior esset Spica ♍ alti∣tudine 52' circiter, ac die posteriore inferior eadem stellâ altitudine perpendiculari 2 gr. 40'.

Nov. 20. D. Montenarus Astronomiae Professor Paduensis, hora sexta Matutina, Venetiis (id est hora 5.10' Londini) Cometam vidit in ♎ 23 gr. cum Lat. Austr. 1 gr. 30'. Eodem die Bostoniae distabat Cometa à Spica ♍, 4 gr. longitudinis in orientem, adeoque erat in ♎ 23 gr. 24 circiter.

Nov. 21 Ponthaeus & Socii hor. mat. 7 ¼ Cometam observarunt in ♎ 27 gr. 50' cum Latitudine Australi 1 gr. 16'. Ango horâ

quintâ mat. in ♎ 27 gr. 45'. Montenarus in ♎ 27 gr. 51'. Eodem die in Insulâ Iamaicâ visus est prope principium Scorpii, eandemque circiter latitudinem habuit cum Spica Virginis, id est 1 gr. 59'.

Novem. 22. Visus est à Montenaro in ♏ 2°.33'. Bostoniae autem in Novâ Angliâ apparuit in ♏ 3 gr. circiter, eadem fere cum lati∣tudine ac prius.

Deinde visus est à Montenaro Novem. 24. in ♏ 12 gr. 52'. & Nov. 25. in ♏ 17 gr. 45. Latitudinem Galletius jam ponit 2 gr. Eandem Ponthaeus & Galletius decrevisse, Montenarus & Ango semper crevisse testantur. Crassae sunt horum omnium observationes, sed eae Montenari, Angonis & observatoris in Nova-Anglia praeferendae videntur. Ex omnibus autem inter se collatis, & ad meridianum Londini, hora mat. 5.10' reductis, colligo Cometam hujusmodi cursum quamproximè descripsisse.

	Long. Com.	Latit. Com.
Nov. 17	♎ 8.0	0.45 Austr.
18	12.52	1.2
19	17.48	1.18
20	22.45	1.32
21	27.46	1.44
22	♏ 2.48	1.55
23	7.50	2.4
24	12.52	2.12
25	17.45	2.18

Loca autem Cometae iisdem horis in orbe Parabolico inventa ita se habent.

	Comet. Lon.	Com. Lat.
Nov. 17	♎ 8.3	0.23 A
21	♎ 28.0	1.22 A
25	♏ 18.17	2.6 A

Congruunt igitur observationes tam mense Novembri, quam mensibus tribus subsequentibus cum motu Cometae circa Solem in Trajectoriâ hacce Parabolicâ, atque adeo hanc esse veram hujus Cometae Trajectoriam confirmant. Nam differentia inter loca ob∣servata

& loca computata tam ex erroribus observationum quam ex erroribus operationum Graphicarum in Orbe definiendo admissis, facilè oriri potuere.

Caeterum Trajectoriam quam Cometa descripsit, & caudam ve∣ram quam singulis in locis projecit, visum est annexo schemate in plano Trajectoriae opticè delineatas exhibere: observationibus se∣quentibus in cauda definienda adhibitis.

Nov. 17. Cauda gradus amplius quindecim longa Ponthaeo appa∣ruit. Nov. 18. cauda 30 gr. longa, Solique directe opposita in Nova Anglia cernebatur, & protendebatur usque ad stellam ♂, qui tunc erat in ♍ 9 gr. 54'. Nov. 19. in Mary-Land cauda visa fuit gradus 15 vel 20 longa. Dec. 10. cauda (observante Flamstedio) transibat per medium distantiae inter caudam serpentis Ophiuchi & stellam ♌ in Aquilae australi ala, & desinebat prope stellas A, ω, b in Ta∣bulis Bayeri. Terminus igitur erat in ♑ 19 ½ cum lat. bor. 34¼ gr. circiter. Dec. 11. surgebat ad usque caput sagittae (Bayero, α, β,) de∣sinens in ♑ 26 gr. 43' cum lat. bor. 38 gr. 34'. Dec. 12. transibat per medium Sagittae, nec longe ultra protendebatur, desinens in ♒ 4°, cum lat. bor. 42 ½ circiter. Intelligenda sunt haec de longitudine caudae clarioris. Nam luce obscuriore, in coelo forsan magis sereno, cauda Dec. 12. hora 5, 40' Romae (observante Ponthaeo) supra cygni Uropygium ad gr. 10. sese extulit; atque ab hac stella ejus latus ad occasum & boream min. 45. destitit. Lata autem erat cauda his diebus gr. 3. juxta terminum superiorem, ideoque medium ejus distabat à Stella illa 2 gr. 15' austrum versus, & terminus superior erat in ♓ 22 gr. cum lat. bor. 61 gr. Dec. 21. surgebat fere ad ca∣thedram Cassiopeiae, aequaliter distans à β & Schedir, & distantiam ab utraque distantiae earum ab invicem aequalem habens, adeoque desinens in ♓ 24 gr. cum lat. 47½ gr. Dec. 29. tangebat Scheat si∣tam ad sinistram, & intervallum stellarum duarum in pede boreali Andromedae accuratè complebat, & longa erat 54 gr. adeoque desi∣nebat in ♉ 19 gr. cum lat. 35. gr. Ian. 5. tetigit stellam π in pe∣ctore Andromedae, ad latus suum dextrum, & stellam μ in ejus cingulo ad latus sinistrum; & (juxta observationes nostras) longa erat

40 gr.; curva autem erat & convexo latere spectabat ad austrum. Cum circulo per Solem & caput Cometae transeunte angulum con∣fecit graduum 4 juxta caput Cometae; at juxta terminum alterum inclinabatur ad circulum illum in angulo 10 vel 11 grad. & chor∣da caudae cum circulo illo continebat angulum graduum octo. Ian. 13. Cauda luce satis sensibili terminabatur inter Alamech & Algol, & luce tenuissima desinebat è regione stellae χ in latere Persei. Di∣stantia termini caudae à circulo Solem & Cometam jungente erat 3 gr. 50', & inclinatio chordae caudae ad circulum illum 8½ gr. Ian. 25 & 26 luce tenui micabat ad longitudinem graduum 6 vel 7; & ubi coelum valde serenum erat, luce tenuissimâ & aegerrimè sen∣sibili attingebat longitudinem graduum duodecim & paulo ultra. Dirigebatur autem ejus axis ad Lucidam in humero orientali Au∣rigae accuratè, adeoque declinabat ab oppositione Solis Boream ver∣sus in angulo graduum decem. Denique Feb. 10. caudam oculis armatis aspexi gradus duos longam. Nam lux praedicta tenuior per vitra non apparuit. Ponthaeus autem Feb. 7. se caudam ad lon∣gitudinem gr. 12. vidisse scribit.

Orbem jam descriptum spectanti & reliqua Cometae hujus Phae∣nomena in animo revolventi haud difficulter constabit quod cor∣pora Cometarum sunt solida, compacta, fixa ac durabilia ad in∣star corporum Planetarum. Nam si nihil aliud essent quàm vapo∣res vel exhalationes Terrae, Solis & Planetarum, Cometa hicce in transitu suo per viciniam Solis statim dissipari debuisset. Est enim calor Solis ut radiorum densitas, hoc est reciprocè ut quadratum distantiae locorum à Sole. Ideoque cum distantia Cometae à Sole Dec. 8. ubi in Perihelio versabatur, esset ad distantiam Terrae à Sole ut 6 ad 1000 circiter, calor Solis apud Cometam eo tempore erat ad calorem Solis aestivi apud nos ut 1000000 ad 36, seu 28000 ad 1. Sed calor aquae ebullientis est quasi triplo major quàm calor quem terra arida concipit ad aestivum Solem; ut exper∣tus sum: & calor ferri candentis (si rectè conjector) quasi triplo vel quadruplo major quam calor aquae ebullientis; adeoque calor quem terra arida apud Cometam in perihelio versantem ex radiis

Solaribus concipere posset; quasi 2000 vicibus major quàm calor ferri candentis. Tanto autem calore vapores & exhalationes, om∣nisque materia volatilis statim consumi ac dissipari debuissent.

Cometa igitur in perihelio suo calorem immensum ad Solem concepit, & calorem illum diutissimè conservare potest. Nam globus ferri candentis digitum unum latus, calorem suum omnem spatio horae unius in aere consistens vix amitteret. Globus autem major calorem d••utius conservaret in ratione diametri, propterea quod superficies (ad cujus mensuram per contactum aeris ambi∣entis refrigeratur) in illa ratione minor est pro quantitate materiae suae calidae inclusae. Ideoque globus ferri candentis huic Terrae aequalis, id est pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem, & idcirco annis 50000, vix refrigesceret. Suspicor tamen quod duratio Caloris ob causas latentes augeatur in minore ratione quam ea diametri: & optarim rationem veram per experimenta investi∣gari.

Porrò notandum est quod Cometa Mense Decembri, ubi ad So∣lem modò incaluerat, caudam emittebat longe majorem & splen∣didiorem quàm antea Mense Novembri; ubi perihelium nondum at∣tigerat. Et universaliter caudae omnes maximae & fulgentissimae è Cometis oriuntur, statim post transitum eorum per regionem Solis. Conducit igitur calefactio Cometae ad magnitudinem caudae. Et inde colligere videor quod cauda nihil aliud sit quam vapor longe tenu∣issimus, quem caput seu Nucleus Cometae per calorem suum emittit.

Caeterum de Cometarum caudis triplex est opinio, eas vel jubar esse Solis per translucida Cometarum capita propagatum; vel oriri ex refractione lucis in progressu ipsius à capite Cometae in Terram: vel denique nubem esse seu vaporem à capite Cometae jugiter sur∣gentem & abeuntem in partes à Sole aversas. Opinio prima eorum est qui nondum imbuti sunt scientia rerum opticarum. Nam jubar Solis in cubiculo tenebroso non cernitur nisi quatenus lux reflectitur è pulverum & fumorum particulis per aerem semper volitantibus: adeoque in aere fumis crassioribus infecto splendidius est, & sensum

fortius ferit; in aere clariore tenuius est & aegrius sentitur: in coelis autem absque materia reflectente nullum esse potest. Lux non cernitur quatenus in jubare est, sed quatenus inde reflectitur ad oculos nostros. Nam visio non fit nisi per radios qui in oculos impingunt. Requiritur igitur materia aliqua reflectens in regione Caudae, ne coelum totum luce Solis illustratum uniformiter splen∣deat. Opinio secunda multis premitur difficultatibus. Caudae nun∣quam variegantur coloribus: qui tamen refractionum solent esse comites inseparabiles. Lux Fixarum & Planetarum distinctè ad nos transmissa demonstrat medium coeleste nulla vi refractiva pollere. Nam quod dicitur fixas ab Aegyptiis comatas nonnunquam visas fuisse, id quoniam rarissimè contingit, ascribendum est nubium re∣fractioni fortuitae. Fixarum quoque radiatio & scintillatio ad refra∣ctiones tum Oculorum tum aeris tremuli referendae sunt: quippe quae admotis oculo Telescopiis evanescunt. Aeris & ascendentium vaporum tremore fit ut radii facile de angusto pupilli spatio per vi∣ces detorqueantur, de latiore autem vitri objectivi apertura neuti∣quam. Inde est quod scintillatio in priori casu generetur, in po∣steriore autem cesset: & cessatio in posteriore casu demonstrat re∣gularem transmissionem lucis per coelos absque omni refractione sen∣sibili. Nequis contendat quod caudae non soleant videri in Come∣tis cum eorum lux non est satis fortis, quia tunc radii secundarii non habent satis virium ad oculos movendos, & propterea caudas fixarum non cerni: sciendum est quod lux fixarum plus centum vi∣cibus augeri potest mediantibus Telescopiis, nec tamen caudae cer∣nuntur. Planetarum quoque lux copiosior est, caudae verò nullae: Cometae autem saepe caudatissimi sunt, ubi capitum lux tenuis est & valde obtusa: sic enim Cometa Anni 1680, Mense Decembri, quo tempore caput luce sua vix aequabat stellas secundae magnitu∣dinis, caudam emittebat splendore notabili usque ad gradus 40, 50, 60 longitudinis & ultra: postea Ian. 27 & 28 caput apparebat ut stella septimae tantum magnitudinis, cauda verò luce quidem per∣tenui sed satis sensibili longa erat 6 vel 7 gradus, & luce obscurissima,

quae cerni vix posset, porrigebatur ad gradum usque duodecimum vel paulo ultra: ut supra dictum est. Sed & Feb. 9. & 10 ubi caput nudis oculis videri desierat, caudam gradus duos longam per Teles∣copium contemplatus sum. Porro si cauda oriretur ex refractione materiae coelestis, & pro figura coelorum deflecteretur de Solis oppo∣sitione, deberet deflexio illa in iisdem coeli regionibus in eandem semper partem fieri. Atqui Cometa Anni 1680 Decemb. 28 ho∣ra 8½ P. M. Londini, versabatur in ♓ 8 gr. 41 cum latitudine bore∣ali 28 gr. 6', Sole existente in ♑ 18 gr. 26'. Et Cometa Anni 1577 Dec. 29. versabatur in ♓ 8 gr. 41' cum latitudine boreali 28 gr. 40'. Sole etiam existente in ♑ 18 gr. 26' circiter. Utroque in casu Ter∣ra versabatur in eodem loco & Cometa apparebat in eadem coeli parte: in priori tamen casu cauda Cometae (ex meis & aliorum observationibus) declinabat angulo graduum 4½ ab oppositione So∣lis Aquilonem versus; in posteriore verò (ex Observationibus Ty∣chonis) declinatio erat graduum 21 in austrum. Igitur repudiata coelorum refractione, superest ut Phaenomena Caudarum ex mate∣ria aliqua reflectente deriventur.

Caudas autem à capitibus oriri & in regiones à Sole aversas as∣cendere confirmatur ex legibus quas observant. Ut quod in planis orbium Cometarum per Solem transeuntibus jacentes, deviant ab oppositione Solis in eas semper partes quas capita in orbibus illis progredientia relinquunt. Quod spectatori in his planis constituto ap∣parent in partibus à Sole directè aversis; digrediente autem specta∣tore de his planis, deviatio paulatim sentitur, & indies apparet ma∣jor. Quod deviatio caeteris paribus minor est ubi cauda obliquior est ad orbem Cometae, ut & ubi caput Cometae ad Solem propius accedit; praesertim si spectetur deviationis angulus juxta caput Co∣metae. Praeterea quod caudae non deviantes apparent rectae, devi∣antes autem incurvantur. Quod curvatura major est ubi major est deviatio, & magis sensibilis ubi cauda caeteris paribus longior est: nam in brevioribus curvatura aegre animadvertitur. Quod devia∣tionis angulus minor est juxta caput Cometae, major juxta caudae

extremitatem alteram, atque adeò quod cauda convexo sui latere partes respicit à quibus fit deviatio, quaeque in rectâ sunt lineâ à Sole per caput Cometae in infinitum ductâ. Et quod caudae quae proli∣xiores sunt & latiores, & luce vegetiore micant, sint ad latera con∣vexa paulò splendidiores & limite minus indistincto terminatae quam ad concava. Pendent igitur Phaenomena caudae à motu ca∣pitis, non autem à regione coeli in qua caput conspicitur; & prop∣terea non fiunt per refractionem coelorum, sed à capite suppeditante materiam oriuntur. Etenim ut in aere nostro fumus corporis cu∣jusvis igniti petit superiora, idque vel perpendiculariter si corpus quiescat, vel obliquè si corpus moveatur in latus; ita in coelis ubi corpora gravitant in Solem, fumi & vapores ascendere debent à Sole (uti jam dictum est) & superiora vel rectâ petere, si corpus fu∣mans quiescit; vel obliquè, si corpus progrediendo loca semper deserit à quibus superiores vaporis partes ascenderant. Et obliquitas ista minor erit ubi ascensus vaporis velocior est: nimirum in vicinia So∣lis & juxta corpus fumans. Ex obliquitatis autem diversitate in∣curvabitur vaporis columna: & quia vapor in columnae latere prae∣cedente paulo recentior est, ideo etiam is ibidem aliquanto densior erit, lucemque propterea copiosius reflectet, & limite minus indi∣stincto terminabitur. De caudarum agitationibus subitaneis & incertis, deque earum figuris irregularibus, quas nonnulli quan∣doque describunt, hic nihil adjicio; propterea quod vel à mutationi∣bus aeris nostri, & motibus nubium caudas aliqua ex parte obscu∣rantium oriantur; vel forte à partibus Viae Lacteae, quae cum caudis praetereuntibus confundi possint, ac tanquam earum partes spectari.

Vapores autem, qui spatiis tam immensis implendis sufficiant, ex Cometarum Atmosphaeris oriri posse, intelligetur ex raritate aeris nostri. Nam aer juxta superficiem Terrae spatium occupat quasi 850 vicibus majus quam aqua ejusdem ponderis, ideoque aeris co∣lumna Cylindrica pedes 850 alta ejusdem est ponderis cum aquae columna pedali latitudinis ejusdem. Columna autem aeris ad sum∣mitatem Atmosphaerae assurgens aequat pondere suo columnam aquae

pedes 33 altam circiter; & propterea si columnae totius aereae pars inferior pedum 850 altitudinis dematur, pars reliqua superior aequa∣bit pondere suo columnam aquae altam pedes 32. Inde verò (ex Hy∣pothesi multis experimentis confirmata, quod compressio aeris sit ut pondus Atmosphaerae incumbentis, quodque gravitas sit reciproce ut quadratum distantiae locorum à centro Terrae) computationem per. Corol. Prop. XXII. Lib. II. ineundo, inveni quod aer, si ascen∣datur à superficie Terrae ad altitudinem semidiametri unius terrestris, rarior sit quàm apud nos in ratione longe majori, quàm spatii omnis infra orbem Saturni ad globum diametro digiti unius descriptum. Ideoque globus aeris nostri digitum unum latus, ea cum raritate quam haberet in altitudine semidiametri unius terrestris, impleret omnes Planetarum regiones ad usque sphaeram Saturni & longe ul∣tra. Proinde cum aer adhuc altior in immensum rarescat; & coma seu Atmosphaera Cometae, ascendendo ab illius centro, quasi de∣cuplo altior sit quàm superficies nuclei, deinde cauda adhuc altius ascendat, debebit cauda esse quàm rarissima. Et quam vis, ob longe crassiorem Cometarum Atmosphaeram, magnamque corporum gra∣vitationem Solem versus, & gravitationem particularum Aeris & vaporum in se mutuo, fieri possit ut aer in spatiis coelestibus in∣que Cometarum caudis non adeo rarescat; perexiguam tamen quantitatem aeris & vaporum ad omnia illa caudarum phaenome∣na abunde sufficere ex hac computatione perspicuum est. Nam & caudarum insignis raritas colligitur ex astris per eas translucentibus. Atmosphaera terrestris luce Solis splendens, crassitudine sua pauco∣rum milliarium, & astra omnia & ipsam Lunam obscurat & ex∣tinguit penitus: per immensam verò caudarum crassitudinem, luce pariter Solari illustratam, astra minima absque claritatis detrimento translucere noscuntur. Neque major esse solet caudarum plurima∣rum splendor, quam aeris nostri in tenebroso cubiculo latitudine di∣giti unius duorumve, lucem Solis in jubare reflectentis.

Quo tempore vapor à capite ad terminum caudae ascendit, cog∣nosci fere potest ducendo rectam à termino caudae ad Solem, & no∣tando

locum ubi recta illa Trajectoriam secat. Nam vapor in ter∣mino caudae, si rectà ascendat à Sole, ascendere caepit à capite quo tempore caput erat in loco intersectionis. At vapor non rectà ascen∣dit à Sole, sed motum Cometae, quem ante ascensum suum habebat, retinendo, & cum motu ascensus sui eundem componendo, ascen∣dit oblique. Unde verior erit Problematis solutio, ut recta illa quae orbem secat, parallela sit longitudini caudae, vel potius (ob motum curvilineum Cometae) ut eadem à linea caudae divergat. Hoc pacto inveni quod vapor qui erat in termino caudae Ian. 25. ascendere caeperat à capite ante Decemb. 11. adeoque ascensu suo toto dies plus 45 consumpserat. At cauda illa omnis quae Dec. 10. apparuit, ascenderat spatio dierum illorum duorum, qui à tempore perihelii Cometae elapsi fuerant. Vapor igitur sub initio in vicinia Solis celerrimè ascendebat, & postea cum motu per gravitatem suam semper retardato ascendere pergebat; & ascendendo augebat longi∣dinem caudae: cauda autem quamdiu apparuit ex vapore fere omni constabat qui à tempore perihelii ascenderat; & vapor, qui primus ascendit, & terminum caudae composuit, non prius evanuit quàm ob nimiam suam tam à Sole illustrante quam ab oculis nostris di∣stantiam videri desiit. Unde etiam caudae Cometarum aliorum quae breves sunt, non ascendunt motu celeri & perpetuo à capitibus & mox evanescunt, sed sunt permanentes vaporum & exhalationum columnae, à capitibus lentissimo multorum dierum motu propagatae, quae, participando motum illum capitum quem habuere sub initio, per coelos una cum capitibus moveri pergunt. Et hinc rursus colli∣gitur spatia caelestia vi resistendi destitui; utpote in quibus non so∣lum solida Planetarum & Cometarum corpora, sed etiam rarissimi caudarum vapores motus suos velocissimos liberrimè peragunt ac diutissimè conservant.

Ascensum caudarum ex Atmosphaeris capitum & progressum in partes à Sole aversas Keplerus ascribit actioni radiorum lucis mate∣riam caudae secum rapientium. Et auram longe tenuissimam in spatiis liberrimis actioni radiorum cedere, non est à ratione prorsus

alienum, non obstante quod substantiae crassae, impeditissimis in re∣gionibus nostris, à radiis Solis sensibiliter propelli nequeant. Alius particulas tam leves quam graves dari posse existimat, & materiam caudarum levitare, perque levitatem suam à Sole ascendere. Cùm autem gravitas corporum terrestrium sit ut materia in corporibus, ideoque servata quantitate materiae intendi & remitti nequeat, suspicor ascensum illum ex rarefactione materiae caudarum potius oriri. Ascendit fumus in camino impulsu aeris cui innatat. Aer ille per calorem rarefactus ascendit, ob diminutam suam gravitatem specificam, & fumum implicatum rapit secum. Quidni cauda Co∣metae ad eundem modum ascenderit à Sole? Nam radii Solares non agitant Media quae permeant, nisi in reflexione & refractione▪ Par∣ticulae reflectentes ea actione calefactae calefacient auram aetheream cui implicantur. Illa calore sibi communicato rarefiet, & ob dimi∣nutam ea raritate gravitatem suam specificam qua prius tendebat in Solem, ascendet & secum rapiet particulas reflectentes ex quibus cauda componitur: Ad ascensum vaporum conducit etiam quod hi gyrantur circa Solem & ea actione conantur à Sole recedere, at Solis Atmosphaera & materia coelorum vel plane quiescit, vel motu solo quem à Solis rotatione acceperint, tardius gyratur. Hae sunt causae ascensus caudarum in vicinia Solis, ubi orbes curviores sunt, & Cometae intra densiorem & ea ratione graviorem Solis Atmosphae∣ram consistunt, & caudas quàm longissimas mox emittunt. Nam caudae quae tunc nascuntur, conservando motum suum & interea ver∣sus Solem gravitando, movebuntur circa Solem in Ellipsibus pro more capitum, & per motum illum capita semper comitabuntur & iis liberrimè adhaerebunt. Gravitas enim vaporum in Solem non magis efficiet ut caudae postea decidant à capitibus Solem versus, quam gravitas capitum efficere possit ut haec decidant à caudis. Communi gravitate vel simul in Solem cadunt, vel simul in ascensu suo retardabuntur, adeoque gravitas illa non impedit, quo minus caudae & capita positionem quamcunque ad invicem à causis jam descriptis aut aliis quibuscunque facillimè accipiant & postea liber∣rime servent.

Caudae igitur quae in Cometarum periheliis nascuntur, in regiones longinquas cum eorum capitibus abibunt, & vel inde post lon∣gam annorum seriem cum iisdem ad nos redibunt, vel potius ibi rarefacti paulatim evanescent. Nam postea in descensu capitum ad Solem caudae novae breviusculae lento motu à capitibus propagari debebunt, & subinde, in Periheliis Cometarum illorum qui adus{que} Atmosphaeram Solis descendunt, in immensum augeri. Vapor enim in spatiis illis liberrimis perpetuò rarescit ac dilatatur. Qua ratione fit ut cauda omnis ad extremitatem superiorem latior sit quam juxta caput Cometae. Ea autem rarefactione vaporem perpetuo dilata∣tum diffundi tandem & spargi per coelos universos, deinde paulatim in Planetas per gravitatem suam attrahi & cum eorum Atmosphaeris misceri rationi consentaneum videtur. Nam quemadmodum Ma∣ria ad constitutionem Terrae hujus omnino requiruntur, idque ut ex iis per calorem Solis vapores copiose satis excitentur, qui vel in nu∣bes coacti decidant in pluviis, & terram omnem ad procreationem vegitabilium irrigent & nutriant; vel in frigidis montium verticibus condensati (ut aliqui cum ratione philosophantur) decurrant in fontes & flumina: sic ad conservationem marium & humorum in Planetis Cometae requiri videntur; ex quorum exhalationibus & va∣poribus condensatis, quicquid liquoris per vegetationem & putrefa∣ctionem consumitur & in terram aridam convertitur, continuò sup∣pleri & refici possit. Nam vegetabilia omnia ex liquoribus omni∣no crescunt, dein magna ex parte in terram aridam per putrefactio∣nem abeunt, & limus ex liquoribus putrefactis perpetuò decidit. Hinc moles Terrae aridae indies augetur, & liquores, nisi aliunde augmentum sumerent, perpetuò decrescere deberent, ac tandem de∣ficere. Porrò suspicor spiritum illum, qui aeris nostri pars minima est sed subtilissima & optima, & ad rerum omnium vitam requiri∣tur, ex Cometis praecipue venire.

Atmosphaerae Cometarum in descensu eorum in Solem excur∣rendo in caudas diminuuntur, & (ea certe in parte quae Solem re∣spicit)

angustiores redduntur: & vicissim in recessu eorum à Sole, ubi jam minus excurrunt in caudas, ampliantur; si modò Phaenomena eorum Hevelius recte notavit. Minimae autem apparent ubi capita jam modo ad Solem calefacta in caudas maximas & fulgentissimas abiere, & nuclei fumo forsan crassiore & nigriore in Atmosphaera∣rum partibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore excitatus crassior & nigrior esse solet. Sic caput Cometae de quo egimus, in aequalibus à Sole ac Terrâ distantiis, obscurius ap∣paruit post perihelium suum quam antea. Mense enim Decem. cum stellis tertiae magnitudinis conferri solebat, at Mense Novem. cum stellis primae & secundae. Et qui utrum{que} viderant, majorem describunt Cometam priorem. Nam Juveni cuidam Cantabrigiensi Novem. 19. Cometa hicce luce sua quamtumvis plumbea & obtu∣sa aequabat Spicam Virginis, & clarius micabat quàm postea. Et D. Storer literis quae in manus nostras incidêre, scripsit caput ejus Mense Decembri, ubi caudam maximam & fulgentissimam emittebat, parvum esse & magnitudine visibili longe cedere Cometae qui Mense Novembri ante Solis ortum apparuerat. Cujus rei rationem esse conjectabatur quod materia capitis sub initio copiosior esset & paulatim consumeretur.

Eodem spectare videtur quod capita Cometarum aliorum, qui caudas maximas & fulgentissimas emiserunt, describantur subob∣scura & exigua. Nam Anno 1668 Mart. 5. St. nov. hora septima Vesp. R.P. Valentinus Estancius, Brasiliae agens, Cometam vidit Hori∣zonti proximum ad occasum Solis brumalem, capite minimo & vix conspicuo, cauda verò supra modum fulgente, ut stantes in littore speciem ejus è mati reflexam facilè cernerent. Speciem utique ha∣bebat trabis splendentis longitudine 23 graduum, ab occidente in austrum vergens, & Horizonti fere parallela. Tantus autem splen∣dor tres solum dies durabat, subinde notabiliter decrescens; & in∣terea decrescente splendore aucta est magnitudine cauda. Unde eti∣am in Portugallia quartam fere coeli partem (id est gradus 45) oc∣cupasse dicitur, ab occidente in orientem splendore cum insigni pro∣tensa;

nec tamen tota apparuit, capite semper in his regionibus infra Horizontem delitescente. Ex incremento caudae & decremen∣to splendoris manifestum est quod caput à Sole recessit, eique proxi∣mum fuit sub initio, pro more Cometae anni 1680. Et similis le∣gitur Cometa anni 1101 vel 1106, cujus Stella erat parva & obscu∣ra (ut ille anni 1680) sed splendor qui ex ea exivit valde clarus & quasi ingens trabs ad orientem & Aquilonem tendebat, ut habet Hevelius ex Simeone Dunelmensi Monacho. Apparuit initio Mensis Feb. circa ve∣speram ad occasum Solis brumalem. Inde verò & ex situ caudae col∣ligitur caput fuisse Soli vicinum. A Sole, inquit Matthaeus Parisi∣ensis, distabat quasi cubito uno, ab hora tertia [rectius sexta] usque ad horam nonam radium ex se longum emittens. Talis etiam erat ardentis∣simus ille Cometa ab Aristotele descriptus Lib. I. Meteor. 6. cujus ca∣put primo die non conspectum est, eo quod ante Solem vel saltem sub radiis solaribus occidisset, sequente verò die quantum potuit visum est. Nam quam minimâ fieri potest distantiâ Solem reliquit, & mox occubuit. Ob ni∣mium ardorem [caudae scilicet] nondum apparebat capitis sparsus ignis, sed procedente tempore (ait Aristoteles) cum [cauda] jam minus flagra∣ret, reddita est [capiti] Cometae sua facies. Et splendorem suum ad ter∣tiam usque coeli partem [id est ad 60 gr.] extendit. Apparuit autem tempore byberno, & ascendens usque ad cingulum Orionis ibi evanuit. Co∣meta ille anni 1618, qui è radiis Solaribus caudatissimus emersit, stellas primae magnitudinis aequare vel paulo superare videbatur, sed majores apparuere Cometae non pauci qui caudas breviores ha∣buere. Horum aliqui Jovem, alii Venerem vel etiam Lunam aequasse traduntur.

Diximus Cometas esse genus Planetarum in Orbibus valde excen∣tricis circa Solem revolventium. Et quemadmodum è Planetis non caudatis, minores esse solent qui in orbibus minoribus & Soli propri∣oribus gyrantur, sic etiam Cometas, qui in Periheliis suis ad Solem propius accedunt, ut plurimum minores esse & in orbibus minori∣bus revolvi rationi consentaneum videtur. Orbium verò transver∣sas diametros & revolutionum tempora periodica ex collatione Co∣metarum

in iisdem orbibus post longa temporum intervalla redeun∣tium determinanda relinquo. Interea huic negotio Propositio se∣quens Lumen accendere potest.

Prop. XLII. Prob. XXI.

Trajectoriam Cometae graphicè inventam corrigere.

Oper. 1. Assumatur positio plani Trajectoriae, per Propositionem superiorem graphicè inventa; & seligantur tria loca Cometae ob∣servationibus accuratissimis definita, & ab invicem quam maximè distantia; sitque A tempus inter primam & secundam, ac B tem∣pus inter secundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in Perigaeo versari convenit, vel saltem non longe à Perigaeo abesse. Ex his locis apparentibus inveniantur per operationes Trigonome∣tricas loca tria vera Cometae in assumpto illo plano Trajectoriae. Deinde per loca illa inventa, circa centrum Solis ceu umbilicum, per operationes Arithmeticas, ope Prop. XXI. Lib. I. institutas, describa∣tur Sectio Conica: & ejus areae, radiis à Sole ad loca inventa ductis terminatae, sunto D & E; nempe D area inter observationem pri∣mam & secundam, & E area inter secundam ac tertiam. Sitque T tempus totum quo area tota D+E, velocitate Cometae per Prop. XVI. Lib. I. inventa, describi debet.

Oper. 2. Augeatur longitudo Nodorum Plani Trajectoriae, ad∣ditis ad longitudinem illam 20' vel 30', quae dicantur P; & serve∣tur plani illius inclinatio ad planum Eclipticae. Deinde ex praedictis tribus Cometae locis observatis inveniantur in hoc novo plano loca tria vera (ut supra): deinde etiam orbis per loca illa transiens, & ejus∣dem areae duae inter observationes descriptae, quae sint d & e, nec non tempus totum t quo area tota d+e describi debeat.

Oper. 3. Servetur Longitudo Nodorum in operatione prima, & augeatur inclinatio Plani Trajectoriae ad planum Eclipticae, additis ad inclinationem illam 20' vel 30', quae dicantur Q. Deinde ex ob∣servatis

praedictis tribus Cometae locis apparentibus, inveniantur in hoc novo Plano loca tria vera, Orbisque per loca illa transiens, ut & ejusdem areae duae inter observationes descriptae, quae sint δ & ε, & tempus totum τ quo area tota δ+ε describi debeat.

Jam sit C ad 1 ut A ad B, & G ad 1 ut D ad E, & g ad 1 ut d ad e, & γ ad 1 ut δ ad ε; sitque S tempus verum inter observationem primam ac tertiam; & signis + & − probe observatis quaerantur numeri m & n, ea lege ut sit G−C=mG−mg+nG−nγ, & T−S aequale mT−mt+nT−nτ. Et si, in operatione prima, I designet inclinationem plani Trajectoriae ad planum Eclip∣ticae, & K longitudinem Nodi alterutrius: erit I+nQ vera in∣clinatio Plani Trajectoriae ad Planum Eclipticae, & K+mP ve∣ra longitudo Nodi. Ac denique si in operatione prima, secunda ac tertia, quantitates R, r & ρ designent Latera recta Trajectoriae, & quantitates I / L, I / l, I / λ ejusdem Latera transversa respectivè: erit R+mr−mR+nρ−nR verum Latus rectum, & I / L+ml−mL+nλ−nL verum Latus transversum Trajectoriae quàm Cometa describit. Dato autem Latere transverso datur etiam tempus periodicum Co∣metae. Q.E.I.