Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XXX. Prob. X.

Invenire motum horarium Nodorum Lunae in Orbe circulari.

Designet S Solem, T Terram, P Lunam, NPn Orbem Lu∣nae, Npn vestigium Orbis in plano Eclipticae; N, n, Nodos, nTNm lineam Nodorum infinite productam, PI, PK; perpen∣dicula demissa in lineas ST, Qq; Pp perpendiculum demissum in planum Eclipticae; Q, q Quadraturas Lunae in plano Eclipticae & pK perpendiculum in lineam Qq Quadraturis intrajacentem. Et vis Solis ad perturbandum motum Lunae (per Prop. XXV.) du∣plex erit, altera lineae 2 IT vel 2 Kp, altera lineae PI proportiona∣lis. Et Luna vi priore in Solem, posteriore in lineam ST trahitur.

Componitur autem vis posterior PI ex viribus IT & PT, qua∣rum PT agit secundum planum orbis Lunaris, & propterea situm plani nil mutat. Haec igitur negligenda est. Vis autem IT cum vi 2 IT componit vim totam 3 IT, qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et haec vis per Prop. XXV. est ad vim qua Luna in

[illustration]

circulo circa Terram quiescentem tempore suo periodico revolvi posset, ut 3 IT ad Radium circuli multiplicatum per numerum 178, 725, sive ut IT ad Radium multiplicatum per 59, 575. Cae∣terum in hoc calculo & eo omni qui sequitur, considero lineas om∣nes à Luna ad Solem ductas tanquam parallelas lineae quae à Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum ferè minuit effectus omnes in aliquibus casibus, quantum auget in aliis; & No∣dorum motus mediocres quaerimus, neglectis istiusmodi minutiis, quae calculum nimis impeditum redderent.

Designet jam PM arcum, quem Luna dato tempore quam mi∣nimo describit, & ML lineolam quam Luna, impellente vi prae∣fata 3 IT, eodem tempore describere posset. Jungantur PL, MP, & producantur eae ad m & l, ubi secent planum Eclipticae; inque Tm demittatur perpendiculum PH. Et quoniam ML parallela est ipsi ST, si ml parallela sit ipsi ML, erit ml in plano Eclipticae, & contra. Ergo ml, cum sit in plano Eclipticae, parallela erit ipsi ML, & similia erunt triangula LMP, Lmp. Jam cum MPm sit in plano Orbis, in quo Luna in loco P movebatur, incidet pun∣ctum m in lineam Nn per Orbis illius Nodos N, n, ductam. Et quoniam vis qua lineola LM generatur, si tota simul & semel in loco P impressa esset, efficeret ut Luna moveretur in arcu, cujus Chorda esset LP, atque adeò transferret Lunam de plano MPmT in planum LPlT; motus Nodorum à vi illa genitus aequalis erit angulo mTl. Est autem ml ad mP ut ML ad MP, adeoque cum MP ob datum tempus data sit, est ml ut rectangulum ML×mP, id est ut rectangulum IT×mP. Et angulus mTl, si modo angulus Tml rectus sit, est ut ml / Tm, & propterea ut IT×Pm / Tm id est (ob proportionales Tm & mP, TP & PH) ut IT×PH / TP, adeo∣que ob datam TP, ut IT×PH. Quod si angulus Tml, seu STN obliquus sit, erit angulus mTl adhuc minor, in ratione Si∣nus anguli STN ad Radium. Est igitur velocitas Nodorum ut IT×PH & Sinus anguli STN conjunctim, sive ut contentum sub sinubus trium angulorum TPI, PTN & STN.

Si anguli illi, Nodis in Quadraturis & Luna in Syzygia existen∣tibus, recti sint, lineola ml abibit in infinitum, & angulus mTl evadet angulo mPl aequalis. Hoc autem in casu, angulus mPl est ad angulum PTM, quem Luna eodem tempore motu suo ap∣parente circa Terram describit ut 1 ad 59, 575. Nam angulus mPl aequalis est angulo LPM, id est angulo deflexionis Lunae à. recto tramite, quam praefata vis Solaris 3 IT dato illo tempore ge∣nerare possit; & angulus PTM aequalis est angulo deflexionis

Lunae à recto tramite, quem vis illa, qua Luna in Orbe suo re∣tinetur, eodem tempore generat. Et hae vires, uti supra diximus, sunt ad invicem ut 1 ad 59, 575. Ergo cum motus medius horari∣us Lunae (respectu fixarum) sit 32'.56".27'''.12^iv ½, motus horarius Nodi in hoc casu erit 33".10'''.33^iv.12^v. Aliis autem in casibus motus iste horarius erit ad 33".10'''.33^iv.12^v. ut contentum sub sinibus angulorum trium TPI, PTN, & STN (seu distantia∣rum Lunae à Quadratura, Lunae à Nodo & Nodi à Sole) ad cubum Radii. Et quoties signum anguli alicujus de affirmativo in nega∣tivum, deque negativo in affirmativum mutatur, debebit motus re∣gressivus in progressivum & progressivus in regressivum mutari. Un∣de fit ut Nodi progrediantur quoties Luna inter Quadraturam al∣terutram & Nodum Quadraturae proximum versatur. Aliis in ca∣sibus regrediuntur, & per excessum regressus supra progressum, sin∣gulis mensibus feruntur in antecedentia.

Corol. 1. Hinc si a dati arcus quam minimi PM terminis P & M ad lineam Quadraturas jungentem Qq demittantur perpendicula PK, Mk, eademque producantur donec secent lineam Nodorum

[illustration]

Nn in D & d; 3erit motus ho∣rarius Nodorum ut area MPDd & quadratum lineae AZ con∣junctim. Sunto enim PK, PH & AZ praedicti tres Sinus. Nem∣pe PK Sinus distantiae Lunae à Quadratura, PH Sinus distantiae Lunae à Nodo, & AZ Sinus distantiae Nodi à Sole: & erit velocitas Nodi ut contentum PK×PH×AZ. Est

autem PT ad PK ut PM ad Kk, adeoque ob datas PT & PM est Kk ipsi PK proportionalis. Est & AT ad PD ut AZ ad PH, & propterea PH rectangulo PD×AZ proportionalis, & conjunctis rationibus, PK×PH est ut contentum Kk×PD×AZ, & PK×PH×AZ ut Kk×PD×AZ qu. id est ut area PDdM, & AZ qu. conjunctim. Q.E.D.

Corol. 2. In data quavis Nodorum positione, motus horarius mediocris est semissis motus horarii in Syzygiis Lunae, ideoque est ad 16".35'''.16^iv.36^v. ut quadratum Sinus distantiae Nodorum à Syzygiis ad quadratum Radii, sive ut AZ qu. ad AT qu. Nam si Luna uniformi cum motu perambulet semicirculum QAq, summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna pergit à Q ad M, erit area QMdE quae ad circuli tangentem QE terminatur; & quo tempore Luna attingit punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam linea PD describit; dein Luna pergente ab n ad q, linea PD cadet extra circulum, & aream nqe ad circuli tangentem qe terminatam describet; quae, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam verò progrediuntur, subduci debet de area priore, & cum aequa∣lis sit areae QEN, relinquet semicirculum NQAn. Igitur summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna semicirculum de∣scribit, est area semicirculi; & summa omnium quo tempore Luna circulum describit est area circuli totius. At area PDdM, ubi Luna versatur in Syzygiis, est rectangulum sub arcu PM & radio MT; & summa omnium huic aequalium arearum, quo tempore Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum sit aequale duobus circulis, duplo majus est quàm rectangulum prius. Proinde Nodi, eâ cum velocitate uniformiter continuatâ quam habent in Syzygiis Lunari∣bus, spatium duplo majus describerent quàm revera describunt; & propterea motus mediocris quocum, si uniformiter continuaretur, spatium à se inaequabili cum motu revera confectum describere pos∣sent, est semissis motus quem habent in Syzygiis Lunae. Unde cum motus horarius maximus, si Nodi in Quadraturis vertantur, sic 33".10'''.33^•,12^•, motus mediocris horarius in hoc casu erit

16".35'''.16^iv.36^v. Et cum motus horarius Nodorum semper sit ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, & propterea motus ho∣rarius Nodorum in Syzygiis Lunae ut AZ qu. & area PDdM con∣junctim, id est (ob datam aream PDdM in Syzygiis descriptam) ut AZ qu. erit etiam motus mediocris ut AZ qu. atque adeo hic mo∣tus, ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad 16".35'''.16^iv.36^v. ut AZ qu. ad AT qu. Q.E.D.