Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

DE MOTU CORPORUM Liber SECUNDUS. (Book 2)

SECT. I. De Motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis.

Prop. I. Theor. I.

Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia a∣missus est ut spatium movendo confectum.

NAm cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut velocitas, hoc est ut itineris confecti particula: erit com∣ponendo motus toto tempore amissus ut iter totum. Q.E.D.

Corol. Igitur si corpus gravitate omni destitutum in spatiis li∣beris sola vi insita moveatur, ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum, da∣bitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere po∣test. Erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum ut motus totus sub initio ad motus illius partem amissam.

Lemma. I.

Quantitates differentiis suis proportionales, sunt continue proportiona∣les.

Sit A ad A−B ut B ad B−C & C ad C−D &c. & dividen∣do fiet A ad B ut B ad C & C ad D &c. Q.E.D.

Prop. II. Theor. II.

Si corpori resistitur in ratione velocitatis, & sola vi insita per Medi∣um similare moveatur, sumantur autem tempora aequalia: velocita∣tes in principiis singulorum temporum sunt in progressione Geome∣trica, & spatia singulis temporibus descripta sunt ut veloci∣tates.

Cas. 1. Dividatur tempus in particulas aequales, & si ipsis particularum initiis agat vis resistentiae impulsu unico, quae sit ut velocitas, erit decrementum velocitatis singulis temporis particu∣lis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis pro∣portionales, & propterea (per Lem. I. Lib. II.) continue pro∣portionales. Proinde si ex aequali particularum numero compo∣nantur tempora quaelibet aequalia, erunt velocitates ipsis tempo∣rum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum capiuntur, omisso passim aequali terminorum intermediorum nu∣mero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex ae∣qualibus rationibus terminorum intermediorum aequaliter repeti∣tis, & propterea sunt aequales. Igitur velocitates his terminis proportionales, sunt in progressione Geometrica. Minuantur jam aequales illae temporum particulae, & augeatur earum nume∣rus in infinitum, eo ut resistentiae impulsus redditur continuus, & velocitates in principiis aequalium temporum, semper continue proportionales, erunt in hoc etiam Casu continue proportiona∣les. Q.E.D.

Cas. 2. Et divisim velocitatum differentiae, hoc est earum partes singulis temporibus amissae, sunt ut totae: Spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissae, (per Prop. I. Lib. II.) & propterea etiam ut totae. Q.E.D.

Corol. Hinc si Asymptotis rectangulis ADC, CH describatur Hyperbola BG, sint{que} AB, DG ad Asymptoton AC perpendi∣culares, & exponatur tum corporis velocitas tum resistentia Me∣dii, ipso motus initio, per lineam quamvis

[illustration]

datam AC, elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitam DC: exponi potest tempus per aream ABGD, & spatium eo tempore descriptum per lineam AD. Nam si area illa per motum puncti D augeatur uniformiter ad modum temporis, decrescet recta DC in ratione Geometrica ad modum velocitatis, & partes rectae AC aequalibus temporibus descriptae decrescent in eadem ratione.

Prop. III. Prob. I.

Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit, re∣sistitur in ratione velocitatis, quod{que} ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.

Corpore ascendente, ex∣ponatur

[illustration]

gravitas per datum quodvis rectangulum BC, & resistentia Medii initio as∣census per rectangulum BD sumptum ad contrarias par∣tes. Asymptotis rectangu∣lis AC, CH, per punctum B describatur Hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g; & corpus ascendendo, tem∣pore DG gd, describet spatium EG ge, tempore DGBA spati∣um

ascensus totius EGB, tempore AB 2G 2D spatium descen∣sus BF 2G, at{que} tempore 2D 2G 2g 2d spatium descensus 2 GF 2e 2g: & velocitates corporis (resistentiae Medii propor∣tionales) in horum temporum periodis erunt ABED, ABed, nulla, ABF 2D, AB 2e 2d respective; at{que} maxima velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit BC.

Resolvatur enim rectangulum AH in rectangula innumera Ak, Kl, Lm, Mn, &c. quae sint ut incrementa velocitatum aequalibus totidem temporibus facta; & erunt nihil, Ak, Al, Am, An, &c. ut velocitates totae, at{que} adeo (per Hypothesin) ut resistentia Medii in

[illustration]

principio singulorum tem∣porum aequalium. Fiat AC ad AK vel ABHC ad ABkK, ut vis gravitatis ad resistentiam in princi∣pio temporis secundi, de{que} vi gravitatis subducantur resistentiae, & manebunt ABHC, KkHC, LlHC, NnHC, &c. ut vires absolutae quibus corpus in principio singu∣lorum temporum urgetur, at{que} adeo (per motus Legem II.) ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangula Ak, Kl, Lm, Mn &c; & propterea (per Lem. I. Lib. II.) in progressione Geometrica. Quare si rectae Kk, Ll, Mm, Nn &c. productae oc∣currant Hyperbolae in q, r, s, t &c. erunt areae ABqK, KqrL, LrsM, MstN &c. aequales, adeo{que} tum temporibus tum viri∣bus gravitatis semper aequalibus analogae. Est autem area ABqK (per Corol. 3 Lem. VII. & Lem. VIII. Lib. I.) ad aream Bkq ut K.q ad ½kq seu AC ad ½ AK, hoc est ut vis gravitatis ad re∣sistentiam in medio temporis primi. Et simili argumento areae qKLr, rLMs, sMNt, &c. sunt ad areas qklr, rlms, smnt &c. ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi,

tertii, quarti, &c. Proinde cum areae aequales BAKq, qKLr, rLMs, sMNt, &c. sint viribus grauitatis analogae, erunt areae Bkq, qklr, rlms, smnt, &c. resistentiis in mediis singulorum temporum, hoc est, (per

[illustration]

Hypothesin) velocitati∣bus, at{que} adeo descriptis spatiis analogae. Suman∣tur analogarum summae, & erunt areae Bkq, Blr, Bms, Bnt, &c. spatiis totis de∣scriptis analogae; necnon areae ABqK, ABrL, ABsM, ABtN, &c. tem∣poribus. Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis A∣BrL, describit spatium Blr, & tempore LrtN spatium rlnt. Q.E.D. Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad excessum vis hujus supra vim qua in fine temporis illius resistitur.

Corol. 2. Tempore autem aucto in progressione Arithmetica, summa velocitatis illius maximae ac velocitatis in ascensu (at{que} etiam earundem differentia in descensu) decrescit in progressio∣ne Geometrica.

Corol. 3. Sed & differentiae spatiorum, quae in aequalibus tempo∣rum differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione Geometrica.

Corol. 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, & alterum ut velocitas, quae etiam ipso descen∣sus initio aequantur inter se.

Prop. IV. Prob. II.

Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit, ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire motum Projectilis, in eodem resistentiam velocitati proportionalem patien∣tis.

E loco quovis D egrediatur Projectile secundum lineam quam∣vis rectam DP, & per longitudinem DP exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A puncto P ad lineam Horizonta∣lem DC demittatur perpendiculum PC, & secetur DC in A ut sit DA ad AC ut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub ini∣tio orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rect∣angulum sub DA & DP

[illustration]

ad rect••ngulum sub AC & PC ut resist••ntia tota sub initio motus ad vim Gravi∣tatis. Describatur Hyper∣bola quaevis GTBS secans erecta perpendicula DG, AB in G & B; & complea∣tur parallelogrammum DG∣KC, cujus latus GK secet AB in Q. Capiatur linea N in ratione ad QB qua DC sit ad CP; & ad rectae DC punctum quodvis R erecto per∣pendiculo RT, quod Hyperbolae in T, & rectis GK, DP in t & V occurrat; in eo cape Vr aequalem tGT / N, & Projectile tempo∣re DRTG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DraF, quam punctum r semper tangit; perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo AB, & postea semper

appropinquans ad Asymptoton PLC.. Est{que} velocitas ejus in puncto quovis r ut Curvae Tangens rL.Q.E.D.

Est enim N ad QB ut DC ad CP seu DR ad RV, adeo{que} RV aequalis DR×QB / N, & Rr (id est RV−Vr seu DR×QB−tGT / N) aequalis DR×AB−RDGT / N. Exponatur jam tempus per a∣ream RDGT, & (per Legum Corol. 2.) distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum re∣sistentia sit ut motus, distinguetur etiam haec in partes duas par∣tibus motus proportionales & contrarias: ideo{que} longitudo a mo∣tu ad latus descripta erit (per Prop. II. hujus) ut linea DR, al∣titudo vero (per Prop. III. hujus) ut area DR×AB−RDGT, hoc est ut linea Rr. Ipso autem motus initio area RDGT ae∣qualis est rectangulo DR×AQ, ideo{que} linea illa Rr (seu DR×AB−DR×AQ / N) tunc est ad DR ut AB−AQ (seu QB) ad N, id est ut CP

[illustration]

ad DC; at{que} adeo ut mo∣tus in altitudinem ad mo∣tum in longitudinem sub initio. Cum igitur Rr sem∣per sit ut altitudo, ac DR semper ut longitudo, at{que} Rr ad DR sub initio ut al∣titudo ad longitudinem: necesse est ut Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propte∣rea ut corpus moveatur in linea DraF, quam punctum r perpe∣tuo tangit. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si Vertice D, Diametro DE deorsum produc∣ta, & latere recto quod sit ad 2 DP ut resistentia tota, ipso mo∣tus

initio, ad vim gravitatis, Parabola construatur: velocitas qua∣cum corpus exire debet de loco D secundum rectam DP, ut in Me∣dio uniformi resistente describat Curvam DraF, ea ipsa erit qua∣cum exire debet de eodem loco D, secundum eandem rectam DR, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam Latus rectum Parabolae hujus, ipso motus initio, est DV quad./Vr & Vr est tGT / N seu DR×Tt/2N. Recta autem, quae, si duceretur, Hyperbolam GTB tangeret in G, parallela est ipsi DK, ideo{que} Tt est CK×DR / DC, & N erat QB×DC / CP. Et propterea Vr est DRq.×CK×CP/2 CDq.×Q, id est (ob proportionales DR & DC, DV & DP) DVq.×CK×CP/2 DPq.×QB. & Latus rectum DV quad./Vr. prodit 2 DPq.×QB / CK×CP, id est (ob proportionales QB & CK, DA & AC) 2 DPq.×DA / AC×CP, adeo{que} ad 2 DP ut DP×DA ad PC×AC; hoc est ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D.

Corol. 2. Unde si corpus de loco quovis D, data cum veloci∣tate, secundum rectam quamvis positione datam DP projicia∣tur, & resistentia Medii ipso motus initio detur, inveniri potest Curva DraF, quam corpus idem describet. Nam ex data ve∣locitate datur latus rectum Parabolae, ut notum est. Et sumendo 2 DP ad latus illud rectum ut est vis Gravitatis ad vim resisten∣tiae, datur DP. Dein secando DC in A, ut sit CP×AC ad DP×DA in eadem illa ratione Gravitatis ad resistentiam, dabi∣tur punctum A. Et inde datur Curva DraF.

Corol. 3. Et contra, si datur curva DraF, dabitur & veloci∣tas corporis & resistentia Medii in locis singulis r. Nam ex da∣ta

ratione CP×AC ad DP×DA, datur tum resistentia Medii sub initio motus, tum latus rectum Parabolae: & inde datur eti∣am velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangen∣tis rL, datur & huic proportionalis velocitas, & velocitati pro∣portionalis resistentia in loco quovis r.

Corol. 4. Cum autem longitudo 2 DP sit ad latus rectum Parabolae ut gravitas ad resistentiam in D; & ex aucta Veloci∣tate augeatur resistentia in eadem ratione, at latus rectum Pa∣rabolae augeatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem 2DP augeri in ratione illa simplici, adeo{que} velocitati semper pro∣portionalem esse, ne{que} ex angulo CDP mutato augeri vel minui, nisi mutetur quo{que} velocitas.

Corol. 5. Unde liquet methodus determinandi Curvam DraF ex Phaenominis quamproxime, & inde colligendi resistentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo similia & aequalia eadem cum velocitate, de loco D, secundum angulos diversos CDP, cDp (minuscularum literarum locis sub∣intellectis) & cognoscantur loca F, f, ubi incidunt in horizontale planum DC. Tum assumpta quacun{que} longitudine pro DP vel Dp, fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in rati∣one qualibet, & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM. Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta DP, inveniantur longitudines DF, Df, ac de ratione Ff / DF per calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum in∣venta, & exponatur differentia per

[illustration]

perpendiculum MN. Idem fac iterum ac tertio, assumendo semper novam re∣sistentiae ad gravitatem rationem SM, & colligendo novam differentiam MN. Ducantur autem differentiae affirmati∣vae ad unam partem rectae SM, & negativae ad alteram; & per puncta N, N, N agatur curva regularis NNN secans rectam

SMMM in X, & erit SX vera ratio resistentiae ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est longi∣tudo DF per calculum; & longitudo quae sit ad assumptam lon∣gitudinem DP ut modo inventa longitudo DF ad longitudinem eandem per experimentum cognitam, erit vera longitudo DP. Qua inventa, habetur tum Curva Linea DraF quam corpus de∣scribit, tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis.

Scholium.

Caeterum corpora resisti in ratione velocitatis Hypothesis est magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet haec ratio quam∣proxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo praeditis tardissime moventur. In Mediis autem quae rigore omni vacant (uti post∣hac demonstrabitur) corpora resistuntur in duplicata ratione ve∣locitatum. Actione corporis velocioris communicatur eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione ma∣joris velocitatis, adeo{que} tempore aequali (ob majorem Medii quantitatem perturbatam) communicatur motus in duplicata ratione major, est{que} resistentia (per motus Legem 2. & 3.) ut motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege Resistentiae.

SECT. II. De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.

Prop. V. Theor. III.

Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in progres∣sione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progres∣sione Geometrica inverse, & quod spatia sunt aequalia quae singu∣lis temporibus describuntur.

Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resisten∣tia Medii, & resistentiae proportionale est decrementum veloci∣tatis; si tempus in particulas innumeras aequales dividatur, qua∣drata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum e∣arundem differentiis proportionales. Sunto temporis particulae illae AK, KL, LM, &c. in recta

[illustration]

CD sumptae, & erigantur perpen∣dicula AB, Kk, Ll, Mm, &c. Hy∣perbolae BKlmG, centro C Asymp∣totis rectangulis CD, CH, descriptae occurrentia in B, k, l, m, &c. & erit AB ad Kk ut CK ad CA, & divisim AB−Kk ad Kk ut AK ad CA, & vicissim AB−Kk ad AK ut Kk ad CA, adeo{que} ut AB×Kk ad AB×CA. Unde cum AK & AB×CA dentur, erit AB−Kk ut AB×Kk; & ulti∣mo, ubi coeunt AB & Kk, ut ABq. Et simili argumento e∣runt

Kk−Ll, Ll−Mm, &c. ut Kkq., Llq. &c. Linearum igitur AB, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earundem differen∣tiae, & idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differentiae, similis erit ambarum progressio. Quo demonstra∣to, consequens est etiam ut areae his lineis descriptae sint in pro∣gressione consimili cum spatiis quae velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio primi temporis AK exponatur per lineam AB, & velocitas initio secundi KL per lineam Kk, & longitudo primo tempore descripta per aream AKkB, velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm, &c. & longitudines descriptae per areas Kl, Lm, &c. & composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarum AM, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum AMmB. Concipe jam tempus AM ita dividi in partes AK, KL, LM, &c. ut sint CA, CK, CL, CM, &c. in progressione Geometrica, & erunt partes illae in eadem progressione, & velo∣citates AB, Kk, Ll, Mm, &c. in progressione eadem inversa, at{que} spatia descripta Ak, Kl, Lm, &c. aequalia. Q.E.D.

Corol. 1. Patet ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem quamvis AD, & velocitas in principio temporis per ordina∣tim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per or∣dinatam DG, & spatium totum descriptum per aream Hyperbo∣licam adjacentem ABGD; necnon spatium quod corpus ali∣quod eodem tempore AD, velocitate prima AB, in Medio non resistente describere posset, per rectangulum. AB×AD.

Corol. 2. Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capi••ndo illud ad spatium quod velocitate uniformi AB in Me∣dio non resistente simul describi posset, ut est area Hyperbolica ABGD ad rectangulum AB×AD.

Corol. 3. Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso motus initio aqualem esse vi uniformi centripetae, quae, in caden∣te corpore, tempore AC, in Medio non resistente, generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur BT quae tangat Hyperbolam

in B, & occurrat Asymptoto in T; recta AT aequalis erit ipsi AC, & tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam AB.

Corol. 4. Et inde datur etiam proportio hujus resistentiae ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.

Corol. 5. Et viceversa, si datur proportio resistentiae ad datam quamvis vim centripetam, datur tempus AC, quo vis cen∣tripeta resistentiae aequalis generare possit velocitatem quamvis AB; & inde datur punctum B per quod Hyperbola Asymptotis CH, CD describi debet; ut & spatium ABGD, quod corpus incipiendo motum suum cum velocitate illa AB, tempore quo∣vis AD, in Medio similari resistente describere potest.

Prop. VI. Theor. IV.

Corpora Sphaerica homogenea & aequalia, resistentiis in duplicata ra∣tione velocitatum impedita, & solis viribus insitis incitata, tem∣poribus quae sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt sem∣per aequalia spatia, & amittunt partes velocitatum proportionales totis.

Asymptotis rectangulis CD, CH descripta Hyperbola quavis BbEe secante perpendicula

[illustration]

AB, ab, DE, de, in B, b, E, e, exponantur velocitates initi∣ales per perpendicula AB, DE, & tempora per lineas Aa, Dd. Est ergo ut Aa ad Dd ita (per Hypothesin) DE ad AB, & ita (ex natu∣ra Hyperbolae) CA ad CD; & componendo, ita Ca ad Cd. Ergo areae ABba, DEed, hoc est spatia descripta aequantur inter se, & velocitates primae

AB, DE sunt ultimis ab, de, & propterea (dividendo) par∣tibus etiam suis amissis AB−ab, DE−de proportionales. Q.E.D.

Prop. VII. Theor. V.

Corpora Sphaerica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum, temporibus quae sunt ut motus primi directe & resistentiae primae inverse, amittent partes motuum proportionales totis, & spatia describent temporibus istis in velocitates primas ductis proportio∣nalia.

Nam{que} motuum partes amissae sunt ut resistentiae & tempora conjunctim. Igitur ut partes illae sint totis proportionales, de∣bebit resistentia & corpus conjunctim esse ut motus. Proinde tem∣pus erit ut Motus directe & resistentia inverse. Quare tempo∣rum particulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis, adeo{que} retinebunt velo∣citates in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem, de∣scribent semper spatia quae sunt ut velocitates primae & tempora conjunctim. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si aequivelocia corpora resistuntur in duplica∣ta ratione diametrorum, Globi homogenei quibuscun{que} cum ve∣locitatibus moti, describendo spatia diametris suis proportionalia, amittent partes motuum proportionales totis. Motus enim Glo∣bi cujus{que} erit ut ejus velocitas & Massa conjunctim, id est ut veloci∣tas & cubus diametri; resistentia (per Hypothesin) erit ut quadra∣tum diametri & quadratum velocitatis conjunctim; & tempus (per hanc Propositionem) est in ratione priore directe & ratione posteri∣ore inverse, id est ut diameter directe & velocitas inverse; adeo{que} spatium (tempori & velocitati proportionale) est ut diameter.

Corol. 2. Si aequivelocia corpora resistuntur in ratione sesqui∣altera diametrorum: Globi homogenei quibuscun{que} cum velcci∣tatibus moti, describendo spatia in sesquialtera ratione diametro∣rum,

amittent partes motuum proportionales totis. Nam tem∣pus augetur in ratione resistentiae diminutae, & spatium augetur in ratione temporis.

Corol. 3. Et universaliter, si aequivelocia corpora resistuntur in ratione dignitatis cujuscun{que} diametrorum, spatia quibus Globi homogenei, quibuscun{que} cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut cubi diametrorum ad dig∣nitatem illam applicata. Sunto diametri D & E; & si resisten∣tiae sint ut Dⁿ & Eⁿ, spatia quibus amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut D 3−ⁿ & E 3−ⁿ. Igitur descri∣bendo spatia ipsis D 3−ⁿ & E 3−ⁿ proportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio.

Corol. 4. Quod si Globi non sint homogen••i, spatium a Glo∣bo densiore descriptum augeri deber in ratione densiratis. Mo∣tus enim sub pari velocitate major est in ratione densitatis, & tempus (per hanc Propositionem) augetur in ratione motus di∣recte, ac spatium descriptum in ratione temporis.

Corol. 5. Et si Globi moveantur in Mediis diversis, spatium in Medio, quod caeteris paribus magis resistit, diminuendum erit in ratione majoris resistentiae. Tempus enim (per hanc Propositi∣onem) diminuetur in ratione resistentiae, & spatium in ratione temporis.

Lemma. II.

Momentum Genitae aequatur momentis Terminorum singulorum gene∣rantium in eorundem laterum indices dignitatum & coefficientia continue ductis.

Genitam voco quantitatem omnem quae ex Terminis quibus∣cun{que} in Arithmetica per multiplicationem, divisionem & extrac∣tionem radicum; in Geometria per inventionem vel contento∣rum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium abs{que} additione & subductione generatur. Ejusmodi quantita∣tes

sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi, la∣tera quadrata, latera cubica & similes. Has quantitates ut in de∣terminatas & instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescen∣tes vel decrescentes hic considero, & eorum incrementa vel decre∣menta momentanea sub nomine momentorum intelligo: ita ut in∣crementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intellexe∣ris particulas finitas. Momenta, quam primum finitae sunt mag∣nitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnant aliquate∣nus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Ne{que} enim spectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, sed pri∣ma nascentium proportio. Eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nomi∣nare licet) vel finitae quaevis quantitates velocitatibus hisce proportionales. Termini autem cujus{que} Generantis coefficiens est quantitas, quae oritur applicando Genitam ad hunc Terminum.

Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcun{que} per∣petuo motu crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. Mo∣menta, vel mutationum velocitates dicantur a, b, c, &c. momen∣tum vel mutatio rectanguli AB fuerit Ab+aB, & contenti ABC momentum fuerit ABc+AbC+aBC: & dignitatum A ², A ³, A ⁴, A½, A½, A⅓, A⅔, A ¹, A½, & A ¹½ momenta 2Aa, 3aA ², 4aA ³, ½aA ^−½ ½ aA ^½, ⅓aA ^−⅔, ⅔ aA ^−⅓,−aA ⁻²,−2aA ⁻³, & −½ aA ^−½ re∣spective. Et generaliter ut dignitatis cujuscun{que} A n / m momentum fuerit n / m aA n−m / m. Item ut Genitae A quad.×B momentum fuerit 2aAB+A ² b; & Genitae A ³ B ⁴ C ² momentum 3 aA ² B ⁴ C ²++4A ³ bB ³ C ²+2A ³ B ⁴ Cc; & Genitae A ³/B ² sive A ³ B ⁻² momen∣tum 3aA ² B ⁻²−2A ³ bB ⁻³: & sic in caeteris. Demonstratur vero Lemma in hunc modum.

Cas. 1. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A & B deerant momentorum dimidia ½ a & ½ b, fuit A−½ a in B−½ b, seu AB−½ aB−½ Ab+¼ ab; & quam primum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit A+½ a in B+½ b seu AB+½ aB+½ Ab+¼ ab. De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, & manebit excessus aB+Ab. Igitur laterum incrementis totis a & b generatur rec∣tanguli incrementum aB+Ab.Q.E.D.

Cas. 2. Ponatur AB aequale G, & contenti ABC seu GC mo∣mentum (per Cas. 1.) erit gC+Gc, id est (si pro G & g scri∣bantur AB & aB+Ab) aBC+AbC+ABc. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcun{que}. Q.E.D.

Cas. 3. Ponantur A, B, C aequalia; & ipsius A ², id est rectan∣guli AB, momentum aB+Ab erit 2aA, ipsius autem A ³, id est contenti ABC, momentum aBC+AbC+ABc erit 3aA ². Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscun{que} Aⁿ est naA^{n −1}. Q.E.D.

Cas. 4. Unde cum 1/A in A sit 1, momentum ipsius 1/A duc∣tum in A, una cum 1/A ducto in a erit momentum ipsius 1, id est nihil. Proinde momentum ipsius 1/A sue A ⁻¹ est −a/A ². Et ge∣neraliter cum 1/Aⁿ in Aⁿ sit 1, momentum ipsius 1/Aⁿ ductum in A_n una cum 1/Aⁿ in naA^{n −1} erit nihil. Et propterea mo∣mentum ipsius 1/Aⁿ seu A⁻ⁿ erit −na / Aⁿ+1. Q.E.D.

Cas. 5. Et cum A½ in A ½ sit A, momentum ipsius A ½ in 2A ½ erit a, per Cas. 3: ideo{que} momentum ipsius A ½ erit a/2 A ½ sive

2aA ^−½. Et generaliter si ponatur A m / n aequalem B, erit A^m aequale Bⁿ, ideo{que} maA^{m −1} aequale nbB^{n −1}, & maA ⁻¹ aequale nbB ⁻¹ seu nb / A m / n, adeo{que} m / n aA m−n / n aequale b, id est aequale momento ipsius Am / n. Q.E.D.

Cas. 6. Igitur Genitae cujuscun{que} A^m Bⁿ momentum est mo∣mentum ipsius A^m ductum in Bⁿ, una cum momento ipsius Bⁿ ducto in A^m, id est maA^{m −1}+nbB^{n −1}; id{que} sive digni∣tatum indices m & n sint integri numeri vel fracti, sive affir∣mativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dig∣nitatibus. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales; & si detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut −2A, −B, D, 2E, 3F.

Corol. 2. Et si in quatuor proportionalibus duae mediae den∣tur, momenta extremarum erunt ut caedem extremae. Idem in∣telligendum est de lateribus rectanguli cujuscun{que} dati.

Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum de∣tur, momenta laterum erunt reciproce ut latera.

Scholium.

In literis quae mihi cum Geometra peritissimo G. G. Leibnitio annis abhinc decem intercedebant, cum significarem me compo∣tem esse methodi determinandi Maximas & Minimas, ducendi

Tangentes, & similia peragendi, quae in terminis surdis aeque ac in rationalibus procederet, & literis transpositis hanc sententiam involventibus [Data aequatione quotcun{que} fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, & vice versa] eandem celarem: re∣scripsit Vir Clarissimus se quo{que} in ejusmodi methodum incidisse, & methodum suam communicavit a mea vix abludentem praeter∣quam in verborum & notarum formulis. Utrius{que} fundamentum continetur in hoc Lemmate.

Prop. VIII. Theor. VI.

Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta as∣cendat vel descendat, & spatium totum descriptum distinguatur in partes aequales, in{que} principiis singularum partium (addendo resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires absolutae; dico quod vires illae absolutae sunt in progressione Geo∣metrica.

Exponatur enim vis gravitatis per datam lineam AC; resisten∣tia per lineam indensinitam AK; vis absoluta in descensu corporis per differentiam KC; velocitas corporis per lineam AP (quae sit media proportionalis inter AK & AC, ideo{que} in dimidiata ra∣tione resistentiae) incrementum resistentiae data temporis particu∣la factum per lineolam KL, & contemporaneum velocitatis incre∣mentum per lineolam PQ; & centro C Asymptotis rectangulis CA, CH describatur Hyperbola quaevis BNS, erectis perpendicu∣lis AB, KN, LO, PR, QS occurrens in B, N, O, R, S. Quo∣niam AK est ut APq., erit hujus momentum KL ut illius mo∣mentum 2 APQ, id est ut AP in KC. Nam velocitatis incre∣mentum PQ, per motus Leg. 2. proportionale est vi generanti KC. Componatur ratio ipsius KL cum ratione ipsius KN, & fiet rectangulum KL×KN ut AP×KC×KN; hoc est, ob da∣tum rectangulum KC×KN, ut AP. Atqui areae Hyperbolicae

KNOL ad rectangulum KL×KN ratio ultima, ubi coeunt puncta K & L, est aequalitatis. Ergo area illa Hyperbolica eva∣nescens est ut AP. Componitur igitur area tota Hyperbolica ABOL ex particulis KNOL velocitati AP semper proportiona∣libus, & propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est. Dividatur jam area illa in partes aequales ABMI, IMNK,

[illustration]

KNOL, &c. & vires absolutae AC, IC, KC, LC, &c. erunt in progressione Geometrica. Q.E.D. Et simili argumento, in ascensu corporis, sumendo, ad contrariam partem puncti A, aequa∣les areas ABmi, imnk, knol, &c. constabit quod vires absolu∣tae AC, iC, kC, lC, &c. sunt continue proportionales. Ideo{que} si spatia omnia in ascensu & descensu capiantur aequalia; omnes vi∣res absolutae lC, kC, iC, AC, IC, KC, LC, &c. erunt continue proportionales. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream Hyperbolicam ABNK; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis & resistentia Medii per lineas AC, AP & AK respecti∣ve; & vice versa.

Corol. 2. Et velocitatis maximae, quam corpus in infinitum de∣scendendo potest unquam acquirere, exponens est linea AC.

Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur re∣sistentia Medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii resistentiam illam cognitam.

Corol. 4. Sed & particula temporis, quo spatii particula quam minima NKLO in descensu describitur, est ut rectangulum KN×PQ. Nam quoniam spatium NKLO est ut velocitas ducta in particulam temporis; erit particula temporis ut spatium illud applicatum ad velocitatem, id est ut rectangulum quam mi∣nimum KN×KL applicatum ad AP. Erat supra KL ut AP×PQ. Ergo particula temporis est ut KN×PQ, vel quod perinde est, ut PQ / CK Q.E.D.

Corol. 5. Eodem argumento particula temporis, quo spatii par∣ticula nklo in ascensu describitur, est ut Pq / Ck.

Prop. IX. Theor. VII.

Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus propor∣tionales, existente radio justae magnitudinis: erit tempus omne a∣scensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus praete∣riti ut sector Hyperbolae.

Rectae AC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & ae∣qualis ducatur AD. Centro D semidiametro AD describatur tum circuli Quadrans AtE, tum Hyperbola rectangula AVZ

axem habens AX, verticem principalem A & Asymptoton DC. Jungantur Dp, DP, & erit Sector circularis AtD ut tempus a∣scensus omnis futuri; & Sector Hyperbolicus ATD ut tempus descensus omnis praeteriti.

Cas 1. Agatur enim Dvq abscindens Sectoris ADt & trian∣guli ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descrip∣tas

[illustration]

tDv & pDq. Cum particulae illae, ob angulum commu∣nem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula tDv ut qDp / pD quad.. Sed pD quad. est AD quad.+Ap quad. id est AD quad.+Ak×AD seu AD×Ck; & qDp est ½ AD×pq. Er∣go Sectoris particula vDt est ut pq / Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particu∣larum omnium tDv in Sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq

respondentium, us{que} dum velocitas illa in nihilum diminuta evanue∣rit; hoc est, Sector totus ADt est ut ascensus totius futuri tempus. Q.E.D.

Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV, tum tri∣anguli DAQ particulas quam minimas TDV & PDQ; & e∣runt hae particulae ad invicem ut DTq. ad DPq. id est (si TX & AP parallelae sint) ut DXq. ad DAq. vel TXq. ad APq. & divisim ut DXq.−TXq. ad ADq.−APq. Sed ex natura

[illustration]

Hyperbolae DXq.−TXq. est ADq., & per Hypothesin APq. est AD×AK. Ergo particulae sunt ad invicem ut ADq. ad ADq.−AD×AK; id est ut AD ad AD−AK seu AC ad CK: ideo{que} Sectoris particula TDV est PDQ×AC / CK, at{que} adeo ob datas AC & AD, ut PQ / CK; & propterea per Corol. 5. Prop.

VIII. Lib. II. ut particula temporis incremento velocitatis PQ re∣spondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulae PQ generantur, ut sum∣ma particularum Sectoris ADT, id est tempus totum ut Sector totus. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si AB aequetur quartae parti ipsus AC, spati∣um ABRP, quod corpus tempore quovis ATD cadendo de∣scribit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximae AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit 2APQ aequale AC×KL (per Cool 1. Lem. II. hujus) adeo{que} KL ad PQ ut 2AP ad AC, & inde LKN ad PQ×½ AD seu DPQ ut 2AP×KN ad ½ AC×AD. Sed erat DPQ ad DTV ut CK ad AC. Ergo ex aequo LKN est ad DTV ut 2AP×KN×CK ad ½ AC cub.; id est, ob ae∣quales CKN & ¼ ACq., ut AP ad AC; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus caden∣do potest acquirere. Cum igitur arearum ABKN & AVD momenta LKN & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitae ut spatia simul descripta, ide∣o{que} areae totae ab initio genitae ABKN & AVD ut spatia tota ab initio descensus descripta. Q.E.D.

Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.

Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acqui∣reret, ut triangulum APD ad Sectorem Hyperbolicum ATD. Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempus ATD, & in Medio resistente est ut AP, id est ut triangulum APD. Et velocitates illae initio descensus aequantur inter se, perinde ut areae illae ATD, APD.

Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad veloci∣tatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD; sive ut recta Ap ad arcum At.

Corol. 5. Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut Sector ADT ad triangulum ADC: & tempus, quo velocita∣tem Ap in Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tem∣pus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascenden∣do posset amittere, ut arcus At ad ejus Tangentem Ap.

Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. inde{que} datur & spatium quod semisse velocitatis illius dato tem∣pore describi potest, & tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione tem∣porum; dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quae est ad Sectorem ut spatium quaesitum ad spatium jam ante inventum.

Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.

Prop. X. Prob. III.

Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sit{que} resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quae faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis.

Sit AK planum illud plano Schematis perpendiculare; ACK linea curva; C corpus in ipsa motum; & FCf recta ipsam tan∣gens

in C. Fingatur autem corpus C nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc vero regredi per eandem lineam; & in progressu impediri a Medio, in regressu aeque promoveri, sic ut in iisdem locis eadem

[illustration]

semper sit corporis progredi∣entis & regredientis velocitas. Aequalibus autem tempori∣bus describat corpus progre∣diens arcum quam minimum CG, & corpus regrediens ar∣cum Cg; & sint CH, Ch lon∣gitudines aequales rectilineae, quas corpora de loco C exe∣untia, his temporibus, abs{que} Medii & Gravitatis actionibus describerent: & a punctis C, G, g ad planum horizontale AK demittantur perpendicula CB, GD, gd, quorum GD ac gd tangenti occurrant in F & f. Per Me∣dii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis CH, describat solummodo longitudinem CF; & per vim gravitatis trans∣fertur corpus de F in G: adeo{que} lineola HF vi resistentiae, & lineola FG vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem. X. Lib. I.) lin••••la FG est ut vis gravitatis & quadratum tempo∣ris conjunctim, adeo{que} (ob datam gravitatem) ut quadratum temporis; & lineola HF ut resistentia & quadratum temporis, hoc est ut resistentia & lineola FG. Et inde resistentia fit ut HF directe & FG inverse, sive ut HF / FG. Haec ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitae magnitudinis hae ra∣tiones non sunt accuratae.

Et simili argumento est fg ut quadratum temporis, adeo{que} ob aequalia tempora aequatur ipsi FG; & impulsus quo corpus re∣grediens urgetur est ut hf / fg. Sed impulsus corporis regredientis

& resistentia progredientis ipso motus initio aequantur, adeo{que} & ipsis proportionales hf / fg & HF / FG aequantur; & propterea ob ae∣quales fg & FG, aequantur etiam hf & HF, sunt{que} adeo CF, CH (vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF se∣midifferentia est ipsarum Cf & CF; & resistentia quae supra fuit ut HF / FG, est ut Cf−CF / FG.

Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum veloci∣tatis. Velocitas autem ut descripta longitudo CF directe & tem∣pus √FG inverse, hoc est ut CF / √FG, adeo{que} quadratum veloci∣tatis ut CFq./FG. Quare resistentia, ipsi{que} proportionalis Cf−CF / FG est ut Medii densitas & CFq./FG conjunctim; & inde Medii densi∣tas ut Cf−CF / FG directe & CFq./FG inverse, id est ut CF−CF / CFq.. Q.E.D.

Corol. 1. Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck aequalis CF, & ad planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in l; fiet Medii densitas ut FG−kl / CF×FG+kl Erit enim fC ad kC ut √fg seu √FG ad √kl, & divisim fk ad kC, id est Cf−CF ad CF ut √FG−√kl ad √kl; hoc est (si ducatur terminus uter{que} in √FG+√kl) ut FG−kl ad kl+ √FG×kl, sive ad FG+kl. Nam ratio prima nascentium kl+√FG×kl & FG+kl est aequalitatis. Scribatur ita{que} FG−kl / FG+kl pro Cf−CF / CF; & Medii densitas, quae fuit ut Cf−CF / CF quad. evadet ut FG−kl / CF×FG+kl.

Corol. 2. Unde cum 2 HF & Cf−CF aequentur, & FG & kl (ob rationem aequalitatis) componant 2 FG; erit 2 HF ad CF ut FG−kl ad 2FG; & inde HF ad FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG−kl ad 4 FG quad.

Corol. 3. Et hinc si curva linea desiniatur per relationem inter basem seu abscissam AB & ordinatim applicat am BC; (ut moris est) & valor ordinatim applicatae resolvatur in seriem conver∣gentem: Problema per primos seriei terminos expedite solve∣tur: ut in Exemplis sequentibus.

Exempl. 1. Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, & requiratur Medii densitas quae faciat ut Projectile in hac linea moveatur.

Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel Bi o: & erit DGq. seu OGq.−ODq. ae∣quale nn−aa−2ao−oo seu ee−2ao−oo; & radice per me∣thodum nostram extracta, fiet DG=e−ao / e−oo/2e−aaoo/2e ³−ao ³/2e ³−a ³ o ³/2e ⁵ &c. Hic scribatur nn pro ee+aa & evadet DG =e−ao / e−nnoo/2e ³−anno ³/2e ⁵ &c.

Hujusmodi Series distinguo

[illustration]

in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas in∣finite parva o non extat; se∣cundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; ter∣tium in quo extat duarum, quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic est e, denotabit semper longitudinem ordinatae BC insistentis ad indefinitae quantitatis initium B; secundus termi∣nus

qui hic est ao / e, denotabit differentiam inter BC & DF, id est lineolam IF, quae abscinditur complendo parallelogrammum BC∣ID, at{que} adeo positionem Tangentis CF semper determinat: ut in hoc casu capiendo IF ad IC ut est ao / e ad o seu a ad e. Ter∣minus tertius, qui hic est nnoo/2e ³ designabit lineolam FG, quae jacet inter Tangentem & Curvam, adeo{que} determinat angulum con∣tactus FCG, seu curvaturam quam curva linea habet in C. Si li∣neola illa FG finitae est magnitudinis, designabitur per termi∣num tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineo∣la illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infi∣nite minores tertio, ideo{que} negligi possunt. Terminus quartus, qui hic est anno ³/2e ⁵, exhibet variationem Curvaturae; quintus varia∣tionem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quae pendent a Tangentibus & curvatura Curvarum.

Praeterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. & quadrato termini secundi. Est{que} FG+kl aequalis du∣plo termini tertii, & FG−kl aequalis duplo quarti. Nam va∣lor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il, & valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu −o pro +o. Proinde cum FG sit −nnoo/2e ³−anno ³/2e ⁵ &c. erit kl=−nnoo/2e ³+anno ³/2e ⁵ &c. Et horum summa est −nnoo / e ³, differentia −anno ³/e ⁵. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Ita{que} si de∣signetur Series universaliter his terminis ±Qo−Roo−So ³ &c. erit CF aequalis √oo+QQoo, FG+kl aequalis 2Roo, & FG−kl aequalis 2So ³. Pro CF, FG+kl & FG−kl scribantur

hi earum valores, & Medii densitas quae erat ut FG−kl / CF in FG+kl jam fiet ut S / R√1+QQ. Deducendo igitur Problema unum∣quod{que} ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scriben∣do terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo re∣sistentiam Medii in loco quovis G esse ad Gravitatem ut S 〈 math 〉〈 math 〉 ad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de lo∣co C secundum rectam CF egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum 1+QQ / R habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.

Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur 〈 math 〉〈 math 〉 seu n / e pro 〈 math 〉〈 math 〉, nn / 2e ³ pro R, & ann/2e ⁵ pro S, prodibit Medii den∣sitas ut a / ne, hoc est (ob datam n) ut a / e seu OB / BC, id est ut Tan∣gentis longitudo illa CT, quae ad semidiametrum OL ipsi AK normaliter insistentem termi∣natur;

[illustration]

& resistentia erit ad gra∣vitatem ut a ad n, id est ut OB ad circuli semidiametrum OK, velocitas autem erit ut √2BC. Igitur si corpus C certa cum velocitate, secun∣dum lineam ipsi OK paralle∣lam, exeat de loco L, & Me∣dii densitas in singulis locis C sit ut longitudo tangentis CT, & resistentia etiam in loco aliquo C sit ad vim gravitatis ut OB ad OK; corpus illud describet circuli quadrantem LCK. Q.E.I.

At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK per∣pendicularem

egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrari∣as partes centri O, & propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum −a pro +a. Quo pacto prodiret Medii densitas ut −a / c. Negativam autem densitatem (hoc est quae motus cor∣porum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturali∣ter fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri.

Exempl. 2. Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL ho∣rizonti AK perpendicularem, & requiratur Medii densitas quae faciat ut projectile in ipsa moveatur.

Ex natura Parabolae, rectangulum ADK aequale est rectan∣gulo sub ordinata DG & recta aliqua data: hoc est, si dican∣tur recta illa b, AB a, AK c, BC e & BD o; rectangulum a+o in c−a−o seu ac−aa−2ao+co−oo aequale est rectangulo b in DG, adeo{que} DG aequale ac−aa / b+c−2a / b o−oo / b. Jam scri∣bendus esset hujus seriei secundus terminus c−2a / b o pro Qo, & ejus coefficiens c−2a / b pro Q; tertius item terminus oo / b pro Roo, & ejus coefficiens 1/b pro R. Cum vero plures non sint termini, debebit quarti termini So ³ coefficiens S evanescere, & propterea quantitas S / R〈 math 〉〈 math 〉 cui Medii densitas proportionalis est, ni∣hil erit. Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit Galilaeus. Q.E.I.

Exempl. 3. Sit linea AGK Hyperbola, Asymptoton habens NX plano horizontali AK perpendicularem; & quaeratur Me∣dii densitas quae faciat ut Projectile moveatur in hac linea.

Sit MX Asymptotos altera, ordinatim applicatae DG pro∣ductae

occurrens in V, & ex natura Hyperbolae, rectangulum

[illustration]

XV in VG dabitur. Da∣tur autem ra∣tio DN ad VX, & prop∣terea datur e∣tiam rectan∣gulum DN in VG. Sit il∣lud bb; & completo pa∣rallelogram∣mo DNXZ, dicatur BN a, BD o, NX c, & ratio da∣ta VZ ad ZX vel DN ponatur esse m / n. Et erit DN aequalis a−o, VG aequalis bb / a−o, VZ aequalis m / n/a−o, & GD seu NX−VZ−VG ae∣qualis c−m / n a+m / n o−bb / a−o. Resolvatur terminus bb / a−o in seri∣em convergentem bb / a+bb / aa o+bb / a ³ oo+bb / a ⁴ o ³ &c. & fiet GD aequa∣lis c−m / n a−bb / a+m / n o−bb / aa o−bb / a ³ o ² −bb / a ⁴ o ³ &c. Hujus seriei ter∣minus secundus m / n o−bb / aa o usurpandus est pro Qo, tertius cum sig∣no mutato bb / a ³ o ² pro Ro ², & quartus cum signo etiam mutato bb / a ⁴ o ³ pro So ³, eorum{que} coefficientes m / n−bb / aa ² bb / a ³ & bb / a ⁴ scribendae sunt,

in Regula superiore, pro Q, R & S. Quo facto prodit medii densitas ut bb / a ⁴/bb / a ³〈 math 〉〈 math 〉 seu 1/〈 math 〉〈 math 〉 id est, si in VZ sumatur VY aequalis VG, ut 1/XY. Nam{que} aa & mm / nn aa−2mbb / n+b ⁴/aa sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resisten∣tia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad YG, & velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus rectum YX quad./VG habente. Ponatur ita{que} quod Medii densitates in locis singulis G sint reci∣proce ut distantiae XY, quod{que} resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad YG; & corpus de loco A justa cum velocita∣te emissum describet Hyperbolam illam AGK. Q.E.I.

Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AGK Hyperbola sit, centro X Asymptotis MX, NX ea lege descripta, ut con∣structo rectangulo XZDN cujus latus ZD secet Hyperbolam in G & Asymptoton ejus in V, fuerit VG reciproce ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua NDn, cujus index est numerus n: & quaeratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.

Pro DN, BD NX scribantur A, O, C respective, sit{que} VZ ad ZX vel DN ut d ad e, & VG aequalis bb / DN n, & erit DN aequa∣lis A−O, VG=bb / A−On, VZ=d / e in A−O, & GD seu NX−VZ−VG aequalis C−d / e A+d / e O−bb / A−Oⁿ. Resolvatur terminus ille bb / A−Oⁿ in seriem infinitam bb / Aⁿ+nbbO / Aⁿ+1+nn+n/2Aⁿ+2 bbO^•++n ³+3nn+2n/6Aⁿ+3 bbO ³ &c. ac fiet GD aequalis C−d / e A−bb / Aⁿ+

+d / e O−nbb / Aⁿ+1 O−nn+n/2Aⁿ+2 bbO ²−n ³+3nn+2n/6Aⁿ+3 bbO ³ &c. Hujus seriei terminus secundus d / e O−nbb / Aⁿ+1 O usurpandus est pro Qo, tertius nn+n/2Aⁿ+2 bbO ² pro Ro ², quartus n3+3nn+2n/6Aⁿ+3 bbO ³ pro So ³. Et inde Medii densitas S / R×〈 math 〉〈 math 〉, in loco quovis G, fit n+2/3〈 math 〉〈 math 〉, adeo{que} si in VZ capiatur VY aequalis n×VG, est reciproce ut XY. Sunt enim A ² & dd / ee A ²−2dnbb / eAⁿ in A+nnb ⁴/A ^{2 n} ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in XY / A ad 2RR, id est XY ad 3nn+3n / n+2 VG. Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus pro∣jectum in Parabola pergeret, verticem G, diametrum GD & La∣tus rectum 1+QQ / R seu 2XY quad./nn+n in VG habente. Q.E.I.

Scholium.

Quoniam motus non sit in Parabola nisi in Medio non resis∣tente, in Hyperbolis vero hic descriptis sit per resistentiam per∣petuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est uti{que} linea illa Hyperbolici ge∣neris, sed quae circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non

est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hae in re∣bus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futu∣rae sunt hae, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsae vero in usum sic deducentur.

Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbo∣lam in G, ideo{que} densitas Medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut √GTq./GV, resistentia autem ad vim gravi∣tatis ut GT ad 3nn+3n / n+2 GV.

Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymp∣toto NX in H, acta{que} AI occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut √AHq./AI, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad 3nn+3n / n+2 in AI. Unde prodeunt sequentes Regulae.

Reg. 1. Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideo{que} si longi∣tudines illae in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest.

Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.

Reg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitas{que} acceleratrix servetur, & proportio resistentiae in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque: augebitur proportio AH ad AI in eadem ratione, manente Parabolae late∣re recto, ei{que} proportionali longitudine AHq./AI; & propterea mi∣nuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa du∣plicata.

Augetur vero proportio resistentiae ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub aequali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminui∣tur in minore ratione quam pondus.

Reg. 4. Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolae minor est quam in loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimae tangentium GT ad Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo mi∣nore quam semisummae Tangentium ad Tangentem AH.

Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK: produc HN ad X, ut sit HX aequalis facto sub n+1 & AI; centro{que} X & Asymptotis MX, NX per punc∣tum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI ad quamvis VG ut XVⁿ ad XIⁿ.

Reg. 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratae sunt hae Hyperbolae in ascensu corporis ab A, & minus accuratae in e∣jus descensu ad G; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, est{que} c••eteris simplicior. Igitur si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quaeratur: oc∣currat producta AN Asymptotis MX, NX in M & N, & su∣matur NK ipsi AM aequalis.

Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phaenominis. Projiciantur corpora duo si∣milia & aequalia eadem velocitate, in angulis diversis HAK, hAK, incident{que} in planum Horizontis in K & k; & no tetur propor∣tio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudi∣nis perpendiculo AI, assume utcun{que} longitudinem AH vel Ah, & inde collige graphice longitudines AK, Ak, per Reg. 6. Si ra∣tio AK ad Ak sit eadem cum ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita SM longitudi∣nem SM aequalem assumptae AH, & erige perpendiculum MN ae∣quale

rationum differentiae AK / Ak−d / e ductae in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt plura puncta N: & tum demum si per om∣nia agatur Curva linea regularis NNX∣N,

[illustration]

haec abscindet SX quaesitae longi∣tudini AH aequalem. Ad usus Me∣chanicos sufficit longitudines AH, AI easdem in angulis omnibus HAK retinere. Sin figura ad inveniendam re∣sistentiam Medij accuratius determinanda sit, corrigendae sunt semper hae longitudines per Regulam quartam.

Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectae AH, secundum quam Projectile data illa cum veloci∣tate emissum

[illustration]

incidit in pun∣ctum quodvis K: ad puncta A & K erig∣antur rectae AC, KF ho∣rizonti per∣pendiculares, quarum AC deorsum tan∣dat, & aeque∣tur ipsi AI seu ½ HX. A∣symptotis A∣K, KF de∣scribatur Hy∣perbola, cujus Conjugata transeat per punctum C, centro{que} A & in∣tervallo AH describatur Circulus secans Hyperbolam illam in

puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum incidet in punctum K. Q.E.I. Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF, illi in C, huic in F, & ob parallelas CH, MX & aequales AC, AI, erit AE aequalis AM, & propterea etiam aequalis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, & propterea CE & FH aequantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq adeo reperitur in communi intersectione Hyper∣bolae hujus & circuli descripti. Q.E.D. Notandum est autem quod haec operatio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quod{que} ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi me∣chanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam intermi∣natam CH ita applicare ad punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectae FK interjecta, aequalis sit ejus parti CE inter punctum C & rectam HK sitae.

Quae de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam si XAGK. Parabolam designet quam recta XV tangat in

[illustration]

vertice X, sint{que} ordinatim ap∣plicatae IA, VG ut quaelibet abscis∣sarum XI, XV dignitates XIn, XVn; agantur XT, TG, HA, quarum XT parallela sit VG, & TG, HA parabolam tangant in G & A: & corpus de loco quo∣vis A, secundum rectam AH pro∣ductam, justa cum velocitate pro∣jectum, describet hanc Parabolam, si modo densitas Medij, in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT. Velocitas autem in G ea erit quacum Projectile pergeret,

in spatio non resistente, in Parabola Conica, verticem G, diam∣etrum VG deorsum productam, & latus rectum √2TGq./nn−nXVG habente. Et resistentia in G erit ad vim Gravitatis ut TG ad 3nn−3n / n−2 VG. Vnde si NAK lineam horizontalem designet, & manente tum densitate Medij in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcun{que} angulus NAH; manebunt longi∣tudines AH, AI, HX, & inde datur Parabolae vertex X, & po∣sitio rectae XI, & sumendo VG ad IA ut XVn ad XIn, dantur omnia Parabolae puncta G, per quae Projectile transibit.

SECT. III. De motu corporum quae resistuntur partim in ratione velocitatis, par∣tim in ejusdem ratione duplicata.

Prop. XI. Theor. VIII.

Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in veloci∣tatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantisates ve∣locitatibus reciproce proportionales, quadam quantitate auctae, erunt in progressione Geometrica.

Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH describatur Hyperbola BEeS, & Asymptoto CH parallelae sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur puncta A, G: Et fi tempus exponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter cres∣centem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF, cujus reciproca GD una cum data CG componat longitudi∣nem CD in progressione Geometrica crescentem.

Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem 1/GD decrementum, quod (per hujus Lem. II.) est Dd / GDq., erit ut CD / GDq. seu CG+GD / GDq., id est, ut 1/GD+CG / GDq..

[illustration]

Igitur tempore ABED per ad∣ditionem datarum particularum EDde uniformiter crescente, decre∣scit 1/GD in eadem ratione cum velo∣citate. Nam decrementum velo∣citatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa du∣arum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadra∣tum velocitatis; & ipsius 1/GD decrementum est ut summa quan∣titatum 1/GD & CG / GDq., quarum prior est ipsa 1/GD, & posterior CG / GDq. est ut 1/GDq. Proinde 1/GD, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi 1/GD reciproce pro∣portionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione Geome∣trica. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsi∣us GD reciprocam 1/GD.

Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reci∣proca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujus∣vis

ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velo∣citas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.

Prop. XII. Theor. IX.

Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressio∣ne Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctae erunt in progressione Geometrica.

In Asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod occurrat Hyperbolae in S, exponatur descriptum spa∣tium per aream Hyperbolicam RSED; & velocitas erit ut lon∣gitudo GD, quae cum data CG componit longitudinem CD, in Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatium RS∣ED augetur in Arithmetica.

Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quae decrementum est ipsius GD, erit reciproce ut ED, adeo{que} directe ut CD, hoc est ut summa ejusdem GD & longitudinis datae CG. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est directe ut summa dua∣rum quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa de∣arum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum tam velocitatis quam lineae GD, est ut quan∣titas data & quantitas decrescens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogae semper erunt quantitates decrescentes: ni∣mirum velocitas & linea GD. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.

Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G, capiendo GD ad GR ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis ABED descriptum. Inven∣to autem puncto G, datur spatium ex data velocitate, & contra.

Corol. 3. Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex da∣to tempore, & per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: & contra.

Prop. XIII. Theor. X.

Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis, par∣tim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolae diametris parallelae rectae per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quaedam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.

Cas. 1. Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque D & semidiametro quovis DB describatur circuli quadrans BETF,

[illustration]

& per semidiametri DB terminum B agatur infinita BAP, semidiametro DF parallela. In ea detur pun∣ctum A, & capiatur seg∣mentum AP velocitati pro∣portionale. Et cum resi∣stentiae pars aliqua sit ut ve∣locitas & pars altera ut ve∣locitatis quadratum, fit re∣sistentia tota in P ut AP quad. +2 PAB. Jungan∣tur DA, DP circulum se∣cantes in E ac T, & exponatur gravitas per DA quadratum, ita ut sit gravitas ad resistentiam in P ut DAq. ad APq.+2PAB: & tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector EDTE.

Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & Sectoris DET momentum DTV dato temporis momen∣to

respondens: & velocitatis decrementum illud PQ erit ut sum∣ma virium gravitatis DBq. & resistentiae APq.+2 BAP, id est (per Prop. 12. Lib. II. Elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP quad; & area DTV, (quae est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq.) est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis fu∣turi, per subductionem datarum particularum DTV, & propte∣rea tempori ascensus futuri proportionalis est. Q.E.D.

Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudi∣nem AP ut prius, & resistentia ponatur esse ut APq.+2 BAP, & si vis gravitatis minor sit quam quae per DAq. exponi possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq.−BDq. gra∣vitati proportiona∣le,

[illustration]

sitque DF ip∣si DB perpendicu∣laris & aequalis, & per verticem F de∣scribatur Hyperbola FTVE cujus semi∣diametri conjugatae sint DB & DF, quae{que} secet DA in E, & DP, DQ in T & V; & erit tem∣pus ascensus futuri ut Hyperbolae sector TDE.

Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiae APq.+2 ABP & gravitatis ABq.−BDq. id est ut BPq.−BDq. Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoque, si ad DF demitta∣tur perpendiculum GT, ut GTq. seu GDq−DFq. ad BDq. utque GDq. ad PBq. & divisim ut DFq. ad BPq.−DBq. Quare cum area DPQ sit ut PQ, id est ut BPq.−BDq. erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur area EDT unifor∣miter

singulis temporis particulis aequalibus, per subductionem particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori pro∣portionalis est. Q.E.D.

Cas. 3. Sit AP velocitas in descensu corporis, & APq.+2 ABP resistentia, & DBq.−ABq. vis gravitatis, existente angulo DAB recto. Et si centro D, vertice

[illustration]

principali B, describatur Hy∣perbola rectangula BETV secans productas DA, DP & DQ in E, T & V; erit Hy∣perbolae hujus sector DET ut tempus descensus.

Nam velocitatis incremen∣tum PQ, ei{que} proportionalis area DPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est ut DBq.−ABq.−2 ABP−APq. seu DBq.−BPq. Et area DTV est ad arcam DPQ ut DTq. ad DPq. adeo{que} ut GTq. seu GDq.−BDq. ad BPq. utque GDq. ad BDq. & divisim ut BDq. ad BDq.−BPq. Quare cum area DPQ sit ut BDq.−BPq. erit area DTV ut datum BDq. Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis aequali∣bus, per additionem totidem datarum particularum DTV, & propterea tempori descensus proportionalis est. Q.E.D.

Corol. Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; & in Medio utro{que} ubi quam minima est, accedit ad rationem aequalitatis, pro more Sectoris & Trian∣guli.

Prop. XIV. Prob. IV.

Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areae per quam tempus exponitur, & a∣reae cujusdam alterius quae augetur vel diminuitur in progressione A∣rithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositae sumantur in progressione Geometrica.

Capiatur AC (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AK resi∣stentiae proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes pun∣cti A si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quae sit ad DB ut DBq. ad 4BAC: & area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires CK in pro∣gressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia cor∣poris ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areae AbNK su∣pra aream DET.

Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq.+2 BAP; assumatur data quaevis quantitas Z, & ponatur AK aequalis APq.+2 BAP / Z; & (per hujus Lem. II.) erit ipsius AK mo∣mentum KL aequale 2 APQ+2 BA×PB / Z seu 2 BPQ / Z, & areae AbNK momentum KLON aequale 2 BPQ×LO / Z seu BPQ×BD cub./2 Z×CK×AB

Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq.+BDq. existente BET circulo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) li∣nea AC, quae gravitati proportionalis est, erit ABq.+BDq / Z. & DPq. seu APq.+2 BAP+ABq.+BDq. erit AK×Z+AC×Z seu CK×Z: ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq. vel DBq. ad CK×Z.

Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq−BDq. linea AC (Fig. Cas. 2. Prop. XIII.) erit ABq.−BDq./Z & DTq. erit ad DPq. ut DFq. seu DBq. ad BPq−BDq. seu APq.+2 BAP+ABq−BDq. id est ad AK×Z+AC×Z seu CK×Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK×Z.

Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit ut BDq.−ABq. & linea AC (Fig. Cas. 3. Prop. praeced.) aequetur BDq.−ABq./Z erit area DTV ad aream DPQ ut DBq. ad CK×Z: ut supra.

Cum igitur areae illae semper sint in hac ratione; si pro area DTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper aequale ex∣ponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta BD×m, erit area DPQ, id est ½ BD×PQ; ad BD×m ut CK in Z ad BDq. At{que} inde fit PQ in BD cub. aequale 2BD×m×CK×Z, & areae AbNK momentum KLON su∣perius inventum, fit BP×BD×m / AB. Auferatur areae DET mo∣mentum DTV seu BD×m, & restabit AP×BD×m / AB. Est igi∣tur differentia momentorum, id est momentum differentiae area∣rum, aequalis AP×BD×m / AB; & propterea (ob datum BD×m / AB) ut velocitas AP, id est ut momentum spatii quod corpus ascen∣dendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decres∣centia, & simul incipientia vel simul evanescentia sunt proportio∣nalia. Q.E.D.

Corol. Igitur si longitudo aliqua V sumatur in ea ratione ad arcum ET, quam habet linea DA ad lineam DE; spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente descri∣bit, erit ad spatium quod in Medio non resistente eodem tem∣pore

describere posset, ut arearum illarum differentia ad BD×V ²/4AB, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut V ², & ob da∣tas BD & AB, ut BD×V ²/4AB. Tempus autem est ut DET seu ½ BD×ET, & harum arearum momenta sunt ut BD×V/2 AB ductum in momentum ipsius V & ½ BD ductum in momentum ipsius ET, id est, ut BD×V/2AB in DAq.×2 m / DEq. & ½ BD×2 m, sive ut BD×V×DAq.×m / AB×DEq. & BD×m. Et propterea mo∣mentum areae V ² est ad momentum differentiae arearum DET & AKNb, ut BD×V×DA×m / AB×DE ad AP×BD×m / AB sive ut V×DA / DE ad AP; adeoque, ubi V & AP quam minimae sunt, in ratione aequalitatis. Aequalis igitur est area quam minima BD×V ²/4AB differentiae quam minimae arearum DET & AKNb. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad aequalitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut area BD×V ²/4AB & arearum DET & AKNb differentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut in aequalibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa BD×V ²/4AB & arearum DET & AKNb differentia. Q.E.D.

SECT. IV. De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus.

LEM. III.

Sit PQRr Spiralis quae secet radios omnes SP, SQ, SR, &c. in aequalibus angulis. Agatur recta PT quaetangat eandem in puncto quovis P, secetque radium SQ in T; & ad Spiralem erectis perpen∣diculis PO, QO concurrentibus in O, jungatur SO. Dico quod fi puncta P & Q accedant ad invicem & coeant, angulus PSO evadet rectus, & ultima ratio rectanguli TQ×PS ad PQ quad. erit ra∣tio aequalitatis.

Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur anguli aequales SPQ, SQR, & manebunt anguli aequales OPS, OQS. Ergo circulus qui transit per

[illustration]

puncta O, S, P transibit eti∣am per punctum Q. Coeant puncta P & Q, & hic cir∣culus in loco coitus PQ tan∣get Spiralem, adeoque per∣pendiculariter secabit rectam OP. Fiet igitur OP diame∣ter circuli hujus, & angulus OSP in semicirculo rectus. Q.E.D.

Ad OP demittantur perpendicula QD, SE, & linearum ra∣tiones ultimae erunt hujusmodi: TQ ad PD ut TS vel PS ad PE, seu PO ad PS. Item PD ad PQ ut PQ ad PO. Et ex aequo perturbate TQ ad PQ ut PQ ad PS. Unde fit PQq. aequalis PQ×PS. Q.E.D.

Prop. XV. Theor. XI.

Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densita∣tis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quae radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Ponantur quae in superiore Lemmate, & producatur SQ ad V, ut sit SV aequalis SP. Temporibus aequalibus describat cor∣pus arcus quam minimos PQ & QR, sintque areae PSQ, QSr aequales. Et quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P est reciproce ut SPq. &

[illustration]

(per Lem. X. Lib. I.) line∣ola TQ, quae vi illa gene∣ratur, est in ratione compo∣sita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus PQ describitur, (Nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) erit TQ×SPq. id est (per Lemma novissimum) PQq.×SP, in ratione duplicata tem∣poris, adeoque tempus est ut PQ×√SP, & corporis velocitas qua arcus PQ illo tempore describitur ut PQ / PQ×√SP seu 1/√SP, hoc est in dimidiata ratione ipsius SP reciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcus QR describitur, est in di∣midiata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus illi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata ratione SQ ad SP, sive ut SQ ad √SP×√SQ; & ob aequa∣les angulos SPQ, SQr & aequales areas PSQ, QSr, est arcus

PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP. Sumantur proportionalium con∣sequentium differentiae, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut SQ ad SP−SP½×SQ ½, seu ½VQ; nam punctis P & Q coeuntibus, ra∣tio ultima SP−SP ½×SQ ½ ad ½VQ fit aequalitatis. In Medio non resistente areae aequales PSQ, QSr (per Theor. I. Lib. I.) temporibus aequalibus describi deberent. Ex resistentia oritur a∣rearum differentia RSr, & propterea resistentia est ut lincolae Qr decrementum Rr collatum cum quadrato temporis quo ge∣neratur. Nam lineola Rr (per Lem. X. Lib. I.) est in du∣plicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut Rr / PQq.×SP. Erat autem PQ ad Rr ut SQ ad ½VQ, & inde Rr / PQq.×SP fit ut ½VQ / PQ×SP×SQ sive ut ½OS / OP×SPq. Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt; & ob similia triangula PVQ, PSO, fit PQ ad ½VQ ut OP ad ½OS. Est igitur OS / OP×SPq. ut resistentia, id est in ratione densitatis Medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio ve∣locitatis, nempe ratio 1/SP, & manebit Medii densitas in P ut OS / OP×SP. Detur Spiralis, & ob datam rationem OS ad OP, den∣sitas Medii in P erit ut 1/SP. In Medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac Spirali. Q.E.D.

Corol. 1. Velocitas in loco quovis P ea semper est quacum corpus in Medio non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.

Corol 2. Medii densitas, si datur distantia SP, est ut OS / OP,

sin distantia illa non datur, ut OS / OP×SP. Et inde Spiralis ad quamlibet Medii densitatem aptari potest.

Corol. 3. Vis resistentiae in loco quovis P, est ad vim centri∣petam in eodem loco ut ½OS ad OP. Nam vires illae sunt ut li∣neae Rr & TQ seu ut ½VQ×PQ / SQ & PQq./SP quas simul generant, hoc est ut ½VQ & PQ, seu ½OS & OP. Data igitur Spirali datur proportio resistentiae ad vim centripetam, & vice versa ex data illa proportione datur Spiralis.

Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistentiae minor est quam dimidium vis centripetae. Fiat re∣sistentia aequalis dimidio vis centripetae & Spiralis conveniet cum linea recta PS, inque hac recta corpus descendet ad centrum, di∣midia semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in casu Parabolae (Theor. X. Lib. I.) descensum in Medio non resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur.

Corol. 5. Et quoniam in aequalibus a centro distantiis veloci∣tas eadem est in Spirali PQR atque in recta SP, & longitudo Spiralis ad longitudinem rectae PS est in data ratione, nempe in ratione OP ad OS; tempus descensus in Spirali erit ad tempus descensus in recta SP in eadem illa data ratione, proindeque datur.

Corol. 6. Si centro S intervallis duobus datis describantur duo circuli; numerus revolutionum quas corpus intra circulorum cir∣cumferentias complere potest, est ut PS / OS, sive ut Tangens anguli quem Spiralis continet cum radio PS; tempus vero revoluti∣onum earundem ut OP / OS, id est reciproce ut Medii densitas.

Corol. 7. Si corpus, in Medio cujus densitas est reciproce ut di∣stantia locorum a centro, revolutionem in Curva quacunque AEB

circa centrum illud fecerit, & Radium primum AS in codem angulo secuerit in B quo prius in A, idque cum velocitate quae fuerit ad velocitatem suam primam in A reciproce in dimidiata ratione distantia∣rum

[illustration]

a centro (id est ut BS ad me∣diam proportiona lem inter AS & CS:) corpus il∣lud perget innu∣meras consimiles revolutiones BFC, CGD, &c. face∣re, & intersectio∣nibus distinguet Radium AS in partes AS, BS, CS, DS &c. con∣tinue proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut Pe∣rimetri orbitarum AEB, BFC, CGD &c. directe, & velocitates in principiis A, B, C, inverse; id est ut AS ^½, BS ^½, CS ^½. At{que} tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tem∣pus revolutionis primae ut summa omnium continue proportiona∣lium AS ^½, BS ^½, CS ^½ pergentium in infinitum, ad terminum pri∣mum AS ^½; id est ut terminus ille primus AS ^½ ad differentiam duorum primorum AS3/2−BS ³/2, & quam proxime ut ⅔AS ad AB. Unde tempus illud totum expedite invenitur.

Corol. 8. Ex his etiam praeterpropter colligere licet motus corporum in Mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut a∣liam quamcunque legem assignatam observat. Centro S interval∣lis continue proportionalibus SA, SB, SC &c. describe cir∣culos

quotcunque, & statue numerum revolutionum inter perime∣tros duorum quorum vis ex his circulis, in Medio de quo egimus, esse ad numerum revolutionum inter eosdem in Medio proposito, ut Medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad Medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam prox∣ime; Sed & in eadem quo{que} ratione esse Tangentem anguli quo Spi∣ralis praefinita, in Medio de quo egimus, secat radium AS, ad tangen∣tem anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in Medio pro∣posito: At{que} etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si haec fiant passim inter circulos binos, continuabitur mo∣tus per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter ima∣ginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in Medio quocunque regulari gyrari debebunt.

Corol. 9. Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad for∣mam Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spi∣ralium illarum singulas revolutiones eisdem ab invicem intervallis distare, iisdemque gradibus ad centrum accedere cum Spirali su∣perius descripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi Spiralibus peragantur.

Prop. XVI. Theor. XII.

Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua di∣stantiae locorum a centro, sitque vis centripeta reciproce ut distantia in dignitatem illam ducta: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quae radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Demonstratur eadem methodo cum Propositione superiore. Nam si vis centripeta in P sit reciproce ut distantiae SP dignitas quaelibet SP^{n +1} cujus index est n+1; colligetur ut supra, quod tempus quo corpus describit arcum quemvis PQ erit ut PQ×SP ^{½ n}

& resistentia in P ut Rr / PQq.×SPⁿ sive ut ½nVQ / PQ×SPⁿ×SQ, ade∣que ut ½nOS / OP×SP^{n +1}. Et propterea densitas in P est reciproce ut SPⁿ.

Scholium.

Caeterum haec Propositio & superiores, quae ad Media inaequali∣ter densa spectant, intelligendae sunt de motu corporum adeo parvorum, ut Medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat. Resistentiam quoque caeteris paribus densitati proportionalem esse suppono. Unde in Mediis quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut resistentiae vel tollatur excessus vel defectus suppleatur.

Prop. XVII. Prob. V.

Invenire & vim centripetam & Medii resistentiam qua corpus in data Spirali data lege revolvi potest. Vide Fig. Prop. XV.

Sit spiralis illa PQR. Ex velocitate qua corpus percurrit ar∣cum quam minimum PQ dabitur tempus, & ex altitudine TQ, quae est ut vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vis. De∣inde ex arearum, aequalibus temporum particulis confectarum PSQ & QSR, differentia RSr, dabitur corporis retardatio, & ex re∣tardatione invenietur resistentia ac densitas Medii.

Prop. XVIII. Prob. VI.

Data lege vis centripetae, invenire Medii densitatem in locis singulis, qua corpus datam Spiralem describet.

Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, de∣inde ex velocitatis retardatione quaerenda Medii densitas: ut in Propositione superiore.

Methodum vero tractandi haec Problemata aperui in hujus Propositione decima, & Lemmate secundo; & Lectorem in hu∣jusmodi perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo. Ad∣denda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate & resistentia Mediorum, in quibus motus hacte∣nus expositi & his affines peraguntur.

SECT. V. De Densitate & compressione Fluidorum, deque Hydrostatica.

Definitio Fluidi.

Fluidum est corpus omne cujus partes cedunt vi cuicunque il∣latae, & cedendo facile movetur inter se.

Prop. XIX. Theor. XIII.

Fluidi homogenei & immoti, quod in vase quocunque immoto clau∣ditur & undique comprimitur, partes omnes (seposita Condensatio∣nis, gravitatis & virium omnium centripetarum consideratione) ae∣qualiter premuntur undique, & absque omni motu a pressione illa or∣to permanent in locis suis.

Cas. 1. In vase sphaerico ABC claudatur & uniformiter com∣primatur fluidum undique: dico quod ejusdem pars nulla ex illa pressione movebitur. Nam si pars aliqua D moveatur, necesse est ut omnes ejusmodi partes, ad eandem a centro distantiam undique consistentes, simili motu simul moveantur; at{que} hoc adeo quia si∣milis & aequalis est omnium pressio, & motus omnis exclusus sup∣ponitur, nisi qui a pressione illa oriatur. Atqui non possunt om∣nes ad centrum propius accedere, nisi fluidum ad centrum con∣densetur; contra Hypothesin. Non possunt longius ab eo recedere

nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra Hypo∣thesin. Non possunt servata sua a centro distantia moveri in pla∣gam quamcun{que} quia pari ratione move∣buntur

[illustration]

in plagam contrariam; in pla∣gas autem contrarias non potest pars ea∣dem eodem tempore moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur. Q.E.D.

Cas. 2. Dico jam quod fluidi hujus partes omnes sphaericae aequaliter pre∣muntur undique: sit enim EF pars sphae∣rica fluidi, & si haec undi{que} non premi∣tur aequaliter, augeatur pressio minor, us{que} dum ipsa undi{que} prema∣tur aequaliter; & partes ejus, per casum primum, permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem permanebunt in locis suis, per casum eundum primum, & additione pressionis novae movebuntur de locis suis, per definitionem Fluidi. Quae duo re∣pugnant. Ergo falso dicebatur quod Sphaera EF non undique premebatur aequaliter. Q.E.D.

Cas. 3. Dico praeterea quod diversarum partium sphaericarum aequalis sit pressio. Nam partes sphaericae contiguae se mutuo premunt aequaliter in puncto contactus, per motus Legem III. Sed & per Casum secundum, undi{que} premuntur eadem vi. Partes igitur duae quaevis sphaericae non contiguae, quia pars sphaerica in∣termedia tangere potest utramque, prementur eadem vi. Q.E.D.

Cas. 4. Dico jam quod fluidi partes omnes ubi{que} premuntur aequaliter. Nam partes duae quaevis tangi possunt a partibus Sphaericis in punctis quibuscunque, & ibi partes illas Sphaericas aequaliter premunt, per Casum 3. & vicissim ab illis aequaliter premuntur, per Motus Legem Tertiam. Q.E.D.

Cas. 5. Cum igitur fluidi pars quaelibet GHI in fluido re∣liquo tanquam in. vase claudatur, & undique prematur aequaliter, partes autem ejus se mutuo aequaliter premant & quiescant inter se; manifestum est quod Fluidi cujuscunque GHI, quod undi∣que

premitur aequaliter, partes omnes se mutuo premunt aequali∣ter, & quiescunt inter se. Q.E.D.

Cas. 6. Igitur si Fluidum illud in vase non rigido claudatur, & undique non prematur aequaliter, cedet idem pressioni fortiori, per Definitionem Fluiditatis.

Cas. 7. Ideoque in vase rigido Fluidum non sustinebit pres∣sionem fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, id{que} in momento temporis, quia latus vasis rigidum non persequi∣tur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum, & sic pressio undique ad aequalitatem verget. Et quoniam Flui∣dum, quam primum a parte magis pressa recedere conatur, inhi∣betur per resistentiam vasis ad latus oppositum; reducetur pressio undique ad aequalitatem in momento temporis absque motu lo∣cali; & subinde, partes fluidi per Casum quintum, se mutuo pre∣ment aequaliter, & quiescent inter se. Q.E.D.

Corol. Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari possunt nisi, qua∣tenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnes fluidi par∣tes intensius vel remissius sese premendo difficilius vel facilius la∣buntur inter se.

Prop. XX. Theor. XIV.

Si Fluidi Sphaerici, & in aequalibus a centro distantiis homogenei, fundo sphaerico concentrico incumbentis partes singulae versus centrum totius gravitent; sustinet fundum pondus Cylindri, cujus basis aequa∣lis est superficiei fundi, & altitudo eadem quae Fluidi incumbentis.

Sit DHM superficies fundi, & AEI superficies superior flui∣di. Superficiebus sphaericis innumeris BFK, CGL distinguatur fluidum in Orbes concentricos aequaliter crassos; & concipe vim gravitatis agere solummodo in superficiem superiorem Orbis cu∣jusque, & aequales esse actiones in aequales partes superficierum omnium. Premitur ergo superficies suprema AE vi simplici gra∣vitatis propriae, qua & omnes Orbis supremi partes & superficies

secunda BFK (per Prop. XIX.) premuntur. Premitur prae∣terea superficies secunda BFK vi propriae gravitatis, quae addi∣ta vi priori facit pressionem duplam.

[illustration]

Hac pressione & insuper vi propriae gra∣vitatis, id est pressione tripla, urgetur superficies tertia CGL. Et similiter pres∣sione quadrupla urgetur superficies quar∣ta, quintupla quinta & sic deinceps. Pressio igitur qua superficies unaquaeque urgetur, non est ut quantitas solida fluidi incumbentis, sed ut numerus Orbium ad usque summitatem fluidi; & aequatur gravitati Orbis insimi mul∣tiplicatae per numerum Orbium: hoc est gravitati solidi cujus ulti∣ma ratio ad Cylindrum praefinirum, (si modo Orbium augeatur numerus & minuatur crassitudo in infinitum, sic ut actio gravitatis a superficie infima ad supremam continua reddatur) fiet ratio ae∣qualitatis. Sustinet ergo superficies infima pondus cylindri prae∣finiti. Q.E.D. Et simili argumentatione patet Propositio, ubi gravitas decrescit in ratione quavis assignata distantiae a cen∣tro, ut & ubi Fluidum sursum rarius est, deorsum densius. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur fundum non urgetur a toto fluidi incumben∣tis pondere, sed eam solummodo ponderis partem sustinet quae in Propositione describitur; pondere reliquo a fluidi figura forni∣cata sustentato.

Corol. 2. In aequalibus autem a centro distantiis eadem semper est pressionis quantitas, sive superficies pressa sit Horizonti paral∣lela vel perpendicularis vel obliqua; sive fluidum a superficie pressa sursum continuatum surgat perpendiculariter secundum li∣neam rectam, vel serpit oblique per tortas cavitates & canales, easque regulares vel maxime irregulares, amplas vel angustissimas. Hisce circumstantiis pressionem nil mutari colligitur, applicando demonstrationem Theorematis hujus ad Casus singulos Fluido∣rum.

Corol. 3. Eadem Demonstratione colligitur etiam (per Prop. XIX.) quod fluidi gravis partes nullum, ex pressione ponderis in∣cumbentis, acquirunt motum inter se, si modo excludatur motus qui ex condensatione oriatur.

Corol. 4. Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specificae cor∣pus, quod sit condensationis expers, submergatur in hoc fluido, id ex pressione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non descendet, non ascendet, non cogetur figuram suam mutare. Si Sphaericum est manebit sphaericum, non obstante pressione; si qua∣dratum est manebit quadratum: id{que} sive molle sit, sive fluidissi∣mum; sive fluido libere innatet, sive fundo incumbat. Habet enim fluidi pars quaelibet interna rationem corporis submersi, & par est ratio omnium ejusdem magitudinis, figurae & gravitatis specificae submersorum corporum. Si corpus submersum servato pondere liquesceret & indueret formam fluidi; hoc, si prius ascen∣deret vel descenderet vel ex pressione figuram novam indueret, etiam nunc ascenderet vel descenderet vel figuram novam induere cogeretur: id adeo quia gravitas ejus caeteraeque motuum causae permanent. Atqui, per Cas. 5. Prop. XIX. jam quiesceret & figuram retineret. Ergo & prius.

Corol. 5. Proinde corpus quod specifice gravius est quam Flu∣idum sibi contiguum subsidebit, & quod specifice levius est ascen∣det, motumque & figurae mutationem consequetur, quantum excessus ille vel defectus gravitatis efficere possit. Namque ex∣cessus ille vel defectus rationem habet impulsus, quo corpus, alias in aequilibrio cum fluidi partibus constitutum, urgetur; & comparari potest cum excessu vel defectu ponderis in lance alterutra librae.

Corol. 6. Corporum igitur in fluidis constitutorum duplex est Gravitas: altera vera & absoluta, altera apparens, vulgaris & com∣parativa. Gravitas absoluta est vis tota qua corpus deorsum ten∣dit: relativa & vulgaris est excessus gravitatis quo corpus ma∣gis tendit deorsum quam fluidum ambiens. Prioris generis Gra∣vitate partes fluidorum & corporum omnium gravitant in locis

suis: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum omne grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri li∣cet; & pondus totius aequale est ponderibus omnium partium, ide∣oque ex iisdem componitur. Alterius generis gravitate corpora non gravitant in locis suis, id est inter se collata non praegravant, sed mutuos ad descendendum conatus impedientia permanent in locis suis, perinde ac si gravia non essent. Quae in Aere sunt & non praegravant, Vulgus gravia non judicat. Quae praegravant vul∣gus gravia judicat, quatenus ab Aeris pondere non sustinentur. Pondera vulgi nihil aliud sunt quam excessus verorum ponde∣rum supra pondus Aeris. Unde & vulgo dicuntur levia, quae sunt minus gravia, Aerique praegravanti cedendo superiora pe∣tunt. Comparative levia sunt non vere, quia descendunt in vacuo. Sic & in Aqua, corpora, quae ob majorem vel minorem gravitatem descendunt vel ascendunt, sunt comparative & appa∣renter gravia vel levia, & eorum gravitas vel levitas comparativa & apparens est excessus vel defectus quo vera eorum gravitas vel superat gravitatem aquae vel ab ea superatur. Quae vero nec prae∣gravando descendunt, nec praegravanti cedendo ascendunt, etiam∣si veris suis ponderibus adaugeant pondus totius, comparative ta∣men & in sensu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis est ho∣rum Casuum Demonstratio.

Corol. 7. Quae de gravitate demonstrantur, obtinent in aliis quibuscunque viribus centripetis.

Corol. 8. Proinde si Medium, in quo corpus aliquod move∣tur, urgeatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacun{que} vi cen∣tripeta, & corpus ab eadem vi urgeatur fortius: differentia viri∣um est vis illa motrix, quam in praecedentibus Propositionibus ut vim centripetam consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur le∣vius, differentia virium pro vi centrifuga haberi debet.

Corol. 9. Cum autem fluida premendo corpora inclusa non mutent eorum Figuras externas, patet insuper, per Corollaria Prop. XIX. quod non mutabunt situm patium internarum inter se: proindeque, si Animalia immergantur, & sensatio omnis a mo∣tu

partium oriatur; nec laedent corporibus immersis, nec sensatio∣nem ullam excitabunt, nisi quatenus haec corpora a compressio∣ne condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum Systematis fluido comprimente circundati. Systematis partes om∣nes iisdem agitabuntur motibus, ac si in vacuo constituerentur, ac solam retinerent gravitatem suam comparativam, nisi quatenus flu∣idum vel motibus earum nonnihil resistat, vel ad easdem com∣pressione conglutinandas requiratur.

Prop. XXI. Theor. XV.

Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a vi centripeta distantiis suis a centro reciproce proportionali de∣orsum trahantur: dico quod si distantiae illae sumantur continue pro∣portionales, densitates fluidi in iisdem distantiis erunt etiam continue proportionales.

Designet ATV fundum Sphaericum cui fluidum incumbit, S centrum, SA, SB, SC, SD, SE, &c. distantias continue propor∣tionales. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, DL, EM, &c. quae sint ut densitates Medii in locis A, B, C, D, E; & specificae gravitates in iisdem locis erunt ut AH / AS, BI / BS, CK / CS, &c. vel, quod perinde est, ut AH / AB, BI / BC, CK / CD &c. Finge pri∣mum

[illustration]

has gravitates uniformiter continuari ab A ad B, a B ad C, a C ad D &c. factis per gradus decrementis in punctis B, C, D &c. Et hae gravitates ductae in altitudines AB, BC, CD &c. conficient pressiones AH, BI, CK, qui∣bus fundum ATV (juxta Theorema XIV.) urgetur. Sustinet ergo particula A pressiones omnes AH, BI, CK, DL, pergendo in in∣finitum; & particula B pressiones omnes praeter primam AH; & particula C omnes praeter duas primas AH, BI; & sic deinceps:

adeoque particulae primae A densitas AH est ad particulae secun∣dae B densitatem BI ut summa omnium AH+BI+CK+DL, in infinitum, ad summam omnium BI+CK+DL &c. Et BI densitas secundae B, est ad CK densitatem tertiae C, u•• summa om∣nium BI+CK+DL, &c. ad summam omnium CK+DL, &c. Sunt igitur summae illae differentiis suis AH, BI, CK, &c. pro∣portionales, atque adeo continue proportionales per hujus Lem. I. proinde{que} differentiae AH, BI, CK, &c. summis proportionales, sunt etiam continue proportionales. Quare cum densitates in locis A, B, C sint ut AH, BI, CK, &c. erunt etiam hae continue propor∣tionales. Pergatur per saltum, & (ex aequo) in distantiis SA, SC, SE continue proportionalibus, erunt densitates AH, CK, EM continue proportionales. Et eodem argumento in distantiis qui∣busvis continue proportionalibus SA, SD, SQ densitates AH, DL, QO erunt continue proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E, &c. eo ut progressio gravitatum specificarum a fundo A ad summitatem Fluidi continua reddatur, & in distantiis quibusvis continue proportionalibus SA, SD, SQ, densitates AH, DL, QT, semper existentes continue proportionales, manebunt eti∣amnum continue proportionales. Q.E.D.

Corol. Hinc si detur densitas Fluidi in duobus locis, puta A & E, colligi potest ejus densitas

[illustration]

in alio quovis loco Q. Centro S, Asymptotis rectangulis SQ, SX describatur Hyperbola se∣cans perpendicula AH, EM, QT in a, e, q, ut & perpendicula H∣X, MY, TZ ad asymptoton SX demissa in h, m, & t. Fiat area ZYmtZ ad aream datam Ym∣hX ut area data EeqQ ad a∣ream datam ••••aA; 〈…〉〈…〉 linea Zt producta 〈◊〉〈◊〉 li••eam QT densitati proportionalem. Nam••ue 〈◊〉〈◊〉 SA, ••E, SQ sunt continue proportionales, erunt

areae EeqQ, EeaA aequales, & inde areae his proportionales YmtZ▪ XhmY etiam aequales & lineae SX, SY, SZ id est AH, EM, QT continue proportionales, ut oportet. Et si lineae SA, SE, SQ obtinent alium quemvis ordinem in serie continue pro∣portionalium, lineae AH, EM, QT, ob proportionales areas Hy∣perbolicas, obtinebunt eundem ordinem in alia serie quantitatum continue proportionalium.

Prop. XXII. Theor. XVI.

Sit Fluidi cujusdam densitas compressioni proportionalis, & partes ejus a gravitate quadratis distantiarum suarum a centro reciproce proportionali deorsum trahantur: dico quod si distantiae sumantur in progressione Musica, densitates Fluidi in his distantiis erunt in pro∣gressione Geometrica.

Designet S centrum, & SA, SB, SC, SD, SE distantias in Progressione Geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, &c. quae sint ut

[illustration]

Fluidi den∣sitates in lo∣cis A, B, C, D, E, &c. & ipsius gravi∣tates speci∣cae in iisdem locis erunt AH / SAq., BI / SBq., CK / SCq., &c. Fin∣ge has gravitates uniformiter continuari, primam ab A ad B, se∣cundam a B ad C, tertiam a C ad D, &c. Et hae ductae in altitu∣dines AB, BC, CD, DE, &c. vel, quod perinde est, in distantias SA, SB, SC, &c. altitudinibus illis proportionales, conficient ex∣ponentes

pressionum AH / SA, BI / SB, CK / SC, &c. Quare cum densitates sint ut harum pressionum summae, differentiae densitatum AH−BI, BI−CK, &c. erunt ut summarum differentiae AH / SA, BI / SB, CK / SC, &c. Centro S Asymptotis SA, SX describatur Hyperbo∣la quaevis, quae secet perpendicula AH, BI, CK, &c. in a, b, c; ut & perpendicula ad Asymptoton SX demissa H••, ••••, Kw in h, i, k; & densitatum differentiae tu, uw, &c. erunt ut AH / SA, BI / SB, &c. Et rectangula tu×th, uw×ui, &c. seu tp, uq. &c. ut AH×th/SA, BI×ui/SB, &c. id est ut Aa, Bb &c. Est enim ex natura Hyperbolae SA ad AH vel St, ut th ad Aa, adeoque AH×th/SA aequale Aa. Et simili argumento est BI×ui/SB aequalis Bb, &c. Sunt autem Aa Bb, Cc, &c. continue proportionales, & propterea differentiis su∣is Aa−Bb, B••−••c, &c. proportionales; ideoque differentiis hisce proportional•••• sunt rectangula tp, uq, &c. ut & summis diffe∣rentiarum Aa−Cc vel Aa−Dd summae rectangulorum tp+uq, vel tp+uq+wr▪ Sunto ejusmodi termini quam plurimi, & sum∣ma omnium differentiarum, puta Aa−Ff, erit summae omnium rectangulorum, puta zthn, proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur distantiae punctorum A, B, C, &c. in in∣finitum, & rectangula illa evadent aequalia areae Hyperbolicae zthn, adeoque huic areae proportionalis est differentia Aa−Ff. Su∣mantur jam distantiae quaelibet, puta SA, SD, SF in Progressio∣ne Musica, & differentiae Aa−Dd, Dd−Ff erunt aequales; & propterea differentiis hisce proportionales areae thlx, xlnz aequa∣les erunt inter se, & densitates St, Sx, Sz, id est AH, DL, FN, continue proportionales. Q.E.D.

Corol. Hinc si dentur Fluidi densitates duae quaevis, puta AH & CK, dabitur area thkw harum differentiae tw respondens; & inde invenietur densitas FN in al••••••udine quacunque SF, sumen∣do aream thnz ad aream illam datam thkw ut est differentia Aa−Ff ad differentiam Aa−Cc.

Scholium

Simili argumentatione probari potest, quod si gravitas particu∣larum Fluidi diminuatur in triplicata ratione distantiarum a centro; & quadratorum distantiarum SA, SB, SC, &c. reciproca (nem∣pe SA cub./SAq., SA cub./SBq., SA cub./SCq.) sumantur in progressione Arithme∣ca; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione Geome∣trica. Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distan∣tiarum, & cuborum distantiarum reciproca (puta SAqq./SA cub., SAqq./SB cub., SAqq./SC cub., &c.) sumantur in progressione Arithmetica; densitates AH, BI, CK, &c. erunt in progressione Geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si gravitas particularum Fluidi in omnibus di∣stantiis eadem sit, & distantiae sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrica, uti Vir Cl. Edmundus Halleius invenit. Si gravitas sit ut distantia, & quadrata distan∣tiarum sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in pro∣gressione Geometrica. Et sic in infinitum. Haec ita se habent ubi Fluidi compressione condensati densitas est ut vis compressio∣nis, vel, quod perinde est, spatium a Fluido occupatum reciproce ut haec vis. Fingi possunt aliae condensationis leges, ut quod cu∣bus vis comprimentis sit ut quadrato-quadratum densitatis, seu triplicata ratio Vis aequalis quadruplicatae rationi densitatis. Quo in casu, si gravitas est reciproce ut quadratum distantiae a centro, densitas erit reciproce ut cubus distantiae. Fingatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, & si gravitas est reciproce ut quadratum distantiae, densitas erit reciproce in

sesquiplicata ratione distantiae. Fingatur quod vis comprimens sit in duplicata ratione densitatis, & gravitas reciproce in ratione duplicata distantiae, & densitas erit reciproce ut distantia. Ca∣sus omnes percurrere longum esset.

Prop. XXIII. Theor. XVII.

Particulae viribus quae sunt reciproce proportionales distantiis cen∣trorum suorum se mutuo fugientes componunt Fluidum Elasticum, cujus densitas est compressioni proportionalis. Et vice versa, si Fluidi ex particulis se mutuo fugientibus compositi densitas sit ut compressio, vi∣res centrifugae particularum sunt reciproce proportionales distantiis cen∣trorum.

Includi intelligatur Fluidum in spatio cubico ACE, dein com∣pressione redigi in spatium cubicum minus ace; & particularum similem situm inter se in utro∣que

[illustration]

spatio obtinentium distan∣tiae erunt ut cuborum latera AB, ab; & Medii densitates re∣ciproce ut spatia continentia AB cub. & ab cub. In latere cubi majoris ABCD capiatur quadratum DP aequale lateri cubi minoris db; & ex Hypothesi, pressio qua quadratum DP urget Fluidum inclusum, erit ad pressionem qua latus illud quadra∣tum db urget Fluidum inclusum, ut Medii densitates ad invicem, hoc est ab cub. ad AB cub. Sed pressio qua quadratum DB ur∣get Fluidum inclusum, est ad pressionem qua quadratum DP ur∣get idem Fluidum, ut quadratum DB ad quadratum DP, hoc est ut AB quad. ad ab quad. Ergo ex aequo pressio qua latus DB urget Fluidum, est ad pressionem qua latus db urget Fluidum, ut ab ad AB. Planis FGH, fgh per media cuborum ductis distin∣guatur Fluidum in duas partes, & hae se mutuo prement iisdem

viribus, quibus premuntur a planis AC, ac, hoc est in proportio∣ne ab ad AB: adeoque vires centrifugae, quibus hae pressiones susti∣nentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem particularum nume∣rum similem{que} situm in utroque cubo, vires quas particulae omnes secundum plana FGH, fgh exercent in omnes, sunt ut vires quas singulae exercent in singulas. Ergo vires, quas singulae exercent in singulas secundum planum FGH in cubo majore, sunt ad vi∣res quas singulae exercent in singulas secundum planum fgh in cubo minore ut ab ad AB, hoc est reciproce ut distantiae particu∣larum ad invicem. Q.E.D.

Et vice versa, si vires particularum singularum sunt reciproce ut distantiae, id est reciproce ut cuborum latera AB, ab; sum∣mae virium erunt in eadem ratione, & pressiones laterum DB, db ut summae virium; & pressio quadrati DP ad pressionem late∣ris DB ut ab quad. ad AB quad. Et ex aequo pressio quadrati DP ad pressionem lateris db ut ab cub. ad AB cub. id est vis compressionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. Q.E.D.

Scholium.

Simili argumento si particularum vires centrifugae sin recipro∣ce in duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata desitatum. Si vi∣res centrifugae sint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratio∣ne distantiarum, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato∣cubi vel cubo-cubi densitatum. Et universaliter, si D ponatur pro distantia, & E pro densitate Fluidi compressi, & vires centri∣fugae sint reciproce ut distantiae dignitas quaelibet Dn, cujus index est numerus n; vires comprimentes erunt ut latera cubica Dig∣nitatis En+2, cujus index est numerus n+2: & contra. Intel∣ligenda vero sunt haec omnia de particularum Viribus centrifugis quae terminantur in particulis proximis, aut non longe ultra dif∣funduntur. Exemplum habemus in corporibus Magneticis. Ho∣rum

Virtus attractiva terminatur fere in sui generis corporibus sibi proximis. Magnetis virtus per interpositam laminan ferri con∣trahitur, & in lamina fere terminatur. Nam corpora ulteriora non tam a Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si particulae fugant alias sui generis particulas sibi proximas, in par∣ticulas autem remotiores virtutem nullam nisi forte per particu∣las intermedias virtute illa auctas exerceant, ex hujusmodi particu∣lis componentur Fluida de quibus actum est in hac propositione. Quod si particulae cujus{que} virtus in infinitum propagetur, opus erit vi majori ad aequalem condensationem majoris quantitatis Fluidi. Ut si particula unaquae{que} vi sua, quae sit reciproce ut distantia lo∣corum a centro suo, fugat alias omnes particulas in infinitum; Vi∣res quibus Fluidum in vasis similibus aequaliter comprimi & con∣densari possit, erunt ut quadrata diametrorum vasorum: ideoque vis, qua Fluidum in eodem vase comprimitur, erit reciproce ut latus cubicum quadrato-cubi densitatis. An vero Fluida Elastica ex particulis se mutuo fugantibus constent, Quaestio Physica est. Nos proprietatem Fluidorum ex ejusmodi particulis constantium Mathematice demonstravimus, ut Philosophis ansam praebeamus Quaestionem illam tractandi.

SECT. VI. De Motu & resistentia Corporum Funependulorum.

Prop. XXIV. Theor. XVIII.

Quantitates materiae in corporibus funependulis, quorum centra os∣cillationum a centro suspensionis aequaliter distant, sunt in ratione com∣posita ex ratione ponderum & ratione duplicata temporum oscillationum in vacuo.

Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore generare potest, est ut vis & tempus directe, & materia inverse.

Quo major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus Legem secundam manifestum est. Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo aequaliter distantibus sunt ut pondera: ideoque si corpora duo oscillando describant arcus aequales, & arcus illi dividantur in partes aequales; cum tempora quibus corpora describant singulas arcuum partes corresponden∣tes sint ut tempora oscillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscillationum partibus, ut vires mo∣trices & tota oscillationum tempora directe & quantitates mate∣riae reciproce: adeoque quantitates materiae ut vires & oscillati∣onum tempora directe & velocitates reciproce. Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque adeo tempora directe & velo∣citates reciproce sunt ut quadrata temporum, & propterea quan∣titates materiae sunt ut vires motrices & quadrata temporum, id est ut pondera & quadrata temporum. Q.E.D.

Corol. 1. Ideoque si tempora sunt aequalia, quantitates mate∣riae in singulis corporibus erunt ut pondera.

Corol. 2. Si pondera sunt aequalia, quantitates materiae erunt ut quadrata temporum.

Corol. 3. Si quantitates materiae aequantur, pondera erunt reciproce ut quadrata temporum.

Corol. 4. Unde cum quadrata temporum caeteris paribus sint ut longitudines pendulorum; si & tempora & quantitates mate∣riae aequalia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum.

Corol. 5. Et universaliter, quantitas materiae pendulae est ut pon∣dus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse.

Corol. 6. Sed & in Medio non resistente quantitas Materiae pendulae est ut pondus comparativum & quadratum temporis di∣recte & longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut supra explicui; ad 〈…〉〈…〉 praestat in tali Medio non resistente atque pondus 〈…〉〈…〉

Corol. 7. Et hinc liquet ratio tum comparandi corpora inter se, quoad quantitatem materiae in singulis, tum comparandi pon∣dera ejusdem corporis in diversis locis, ad cognoscendam variatio∣nem gravitatis. Factis autem experimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiae in corporibus singulis corum ponderi proportionalem esse.

Prop. XXV. Theor. XIX.

Corpora Funependula quae in Medio quovis resistuntur in ratione momentorum temporis, quaeque in ejusdem gravitatis specificae Me∣dio non resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore pe∣ragunt, & arcuum partes proportionales simul describunt.

Sit AB Cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in Medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis D vel d vel E ut longitudo arcus CD vel Cd vel CE. Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur, exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem CO, & su∣matur arcus Od in ra∣tione

[illustration]

ad arcum CD quam habet arcus OB ad arcum CB: & vis qua corpus in d urge∣tur in Medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra resistentiam CO, exponetur per arcum Od, adeoque erit ad vim qua corpus D urgetur in Medio non resistente, in loco D, ut arcus Od ad arcum CD▪ & propterea etiam in loco B ut arcus OB ad arcum CB. Proinde si corpora duo, D, d exeant de loco

B, & his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus CB & OB, erunt velocitates primae & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi BD & Bd, & arcus reliqui CD, Od e∣runt in eadem ratione. Proinde vires ipsis CD, Od proportio∣nales manebunt in eadem ratione ac sub initio, & propterea cor∣pora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates & arcus reliqui CD, Od semper erunt ut ar∣cus toti CD, OB, & propterea arcus illi reliqui simul describen∣tur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in Medio non resistente ad locum C, & alterum in Medio resistente ad locum O. Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB & OB; erunt arcus quos corpora ulterius per∣gendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE & Oe. Vis qua corpus D in Medio non resistente retardatur in E est ut CE, & vis qua corpus d in Medio resistente retardatur in e est ut summa vis Ce & resistentiae CO, id est ut Oe; ideoque vires, qui∣bus corpora retardantur, sunt ut arcubus CE, Oe proportionales arcus CB, OB; proindeque velocitates in data illa ratione retar∣datae manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & ar∣cus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione ar∣cuum CB & OB; & propterea si sumantur arcus toti AB, aB in eadem ratione, corpora D, d simul describent hos arcus, & in locis A & a morum omnem simul amittent. Isochronae sunt igi∣tur oscillaciones totae, & arcubus totis BA, BE proportionales sunt arcuum partes quaelibet BD, Bd vel BE, Be quae simul describuntur. Q.E.D.

Corol. Igitur motus velocissimus in Medio resistente non inci∣dit in punctum infimum, C, sed reperitur in puncto illo O, quo ar∣cus totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in de∣sensu suo a B ad O.

Prop. XXVI. Theor. XX.

Corporum Funependulorum, quae resistuntur in ratione velocitatum, oscillationes in Cycloide sunt Isochronae.

Nam si corpora duo a centris suspensionum aequaliter distantia, oscillando describant arcus inaequales, & velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti: resisten∣tiae velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quae sint ut iidem arcus, conferantur vel addantur hae resistentiae, erunt dif∣ferentiae vel summae ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut hae differentiae vel summae, velocitates semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ra∣tione. Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere & arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, ge∣nerabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates sem∣per erunt ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describentur. Q.E.D.

Prop. XXVII. Theor. XXI.

Si corpora Funependula resistuntur in duplicata ratione velocitatum, differentiae inter tempora oscillationum in Medio resistente ac tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificae Medio non resistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime.

Nam pendulis aequalibus in Medio resistente describantur arcus inaequales A, B; & resistentia corporis in arcu A, erit ad resi∣stentiam corporis in parte correspondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, id est ut A quad. ad B quad. quam proxime. Si resistentia in arcu B esset ad resistentiam in arcu A ut rectangu∣lum AB ad A quad. tempora in arcubus A & B forent aequalia

per Propositionem superiorem. Ideoque resistentia A quad. in arcu A, vel AB in arcu B, efficit excessum temporis in arcu A su∣pra tempus in Medio non resistente; & resistentia BB efficit exces∣sum temporis in arcu B supra tempus in Medio non resistente. Sunt autem excessus illi ut vires efficientes AB & BB quam pro∣xime, id est ut arcus A & B▪ Q.E.D.

Corol. 1. Hinc ex oscillationum temporibus, in Medio resi∣stente in arcubus inaequalibus factarum, cognosci possunt tempo∣ra oscillationum in ejusdem gravitatis specificae Medio non resi∣stente. Nam si verbi gratia arcus alter sit altero duplo major, differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in Medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum minorem.

Corol. 2. Oscillationes breviores sunt magis Isochronae, & bre∣vissimae iisdem temporibus peraguntur ac in Medio non resistente, quam proxime. Earum vero quae in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt paulo majora, propterea quod resistentia in des∣censu corporis qua tempus producitur, major sit pro ratione lon∣gitudinis in descensu descriptae, quam resistentia in ascensu subse∣quente qua tempus contrahitur. Sed & tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur per mo∣tum Medii. Nam corpora tardescentia paulo minus resistuntur pro ratione velocitatis, & corpora accelerata paulo magis quam quae uniformiter progrediuntur: id adeo quia Medium, eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plagam pergendo, in priore casu magis agitatur, in posteriore minus; ac proinde magis vel minus cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis resistit, in ascensu minus quam pro ratione velocitatis, & ex utraque causa tempus producitur.

Prop. XXVIII. Theor. XXII.

Si corpus Funependulum in Cycloide oscillans resistitur in ratione momentorum temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut ex∣cessus

arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descriptum, ad penduli longitudinem duplicatam.

Designet BC arcum descensu descriptum, Ca arcum ascensu descriptum, & Aa differentiam arcuum: & stantibus quae in Propositione XXV. constructa & demonstrata sunt, erit vis qua corpus oscillans urgetur in loco quovis D, ad uim resistentia ut arcus CD ad arcum CO, qui semissis est differentiae illius Aa. Ide∣oque vis qua corpus oscillans urgetur in Cycloidis principio seu puncto altissimo, id est vis gravitatis, erit ad resistentiam ut ar∣cus Cycloidis inter punctum illud supremum & punctum insi∣mum C ad arcum CO; id est (si arcus duplicentur) ut Cycloidis totius arcus, seu dupla penduli longitudo, ad arcum Aa. Q.E.D.

Prop. XXIX. Prob. VII.

Posito quod corpus in Cycloide oscillans resistitur in duplicata ra∣tione velocitatis: invenire resistentiam in locis singulis.

Sit Ba (Fig. Prop. XXV.) arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum Cycloidis punctum, & CZ semissis arcus Cycloi∣dis totius, longitudini Penduli aequalis; & quaeratur resistentia cor∣poris in loco quovis

[illustration]

D. Secetur recta infi∣nita OQ in punctis O, C, P, Q ea lege ut (si erigantur perpendi∣cula OK, CT, PI, QE, centroque O & Asymptotis OK, O¦Q describatur Hyper∣bola TIGE secans perpendicula CT, PI, QE in T, I & E, & per punctum I agatur KF occurrens Asymptoto OK in K, & perpendiculis CT & QE in L & F) fuerit area Hyperbolica PIEQ ad aream Hyperbolicam

PITC ut arcus BC descensu corporis descriptus ad arcum Ca as∣censu descriptum, & area IEF ad aream ILT ut OQ ad OC. Dein perpendiculo MN abscindatur area Hyperbolica PINM quae sit ad aream Hyperbolicam PIEQ ut arcus CZ ad arcum BC descensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur a∣rea Hyperbolica PIGR, quae sit ad aream PIEQ ut arcus qui∣libet CD ad arcum BC descensu toto descriptum: erit resisten∣tia in loco D ad vim gravitatis, ut area OR / OQ IEF−IGH ad aream PIENM.

Nam cum vires a gravitate oriundae quibus corpus in locis Z, B, D, a urgetur, sint ut arcus CZ, CB, CD, Ca, & arcus illi sint ut areae PINM, PIEQ, PIGR, PITC; exponatur tum arcus tum vires per has areas respective. Sit insuper Dd spatium quam minimum a corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream quam minimam RGgr parallelis RG, rg com∣prehensam; & producatur rg ad h, ut sint GHhg, & RGgr contemporanea arearum IGH, PIGR decrementa. Et areae OR / QR IEF−IGH incrementum GHhg−Rr / OQ IEF, seu Rr×HG−Rr / OQ IEF, erit ad areae PIGR decrementum RGgr seu Rr×RG, ut HG−IEF / OQ ad RG; adeoque ut OR×HG−OR / OQ IEF ad OR×GR seu OP×PI: hoc est (ob aequalia OR×HG, OR×HR−OR×GR, ORHK−OPIK, PIHR & PIGR+IGH) ut PIGR+IGH−OR / OQ IEF ad OPIK. Igitur si area OR / OQ IEF−IGH dicatur Y, atque areae PIGR decrementum RGgr de∣tur, erit incrementum areae Y ut PIGR−Y.

Quod si V designet vim a gravitate oriundam arcui describen∣do CD proportionalem, qua corpus urgetur in D; & R pro resi∣stentia ponatur: erit V−R vis tota qua corpus urgetur in D,

adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula factum. Est autem resistentia R (per Hypothesin) ut qua∣dratum velocitatis, & inde (per Lem. II.) incrementum resi∣stentiae ut velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id est ut spatium data temporis particula descriptum & V−R conjun∣ctim; atque adeo, si momentum spatii detur, ut V−R; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens PIGR, & resistentia R ex∣ponatur per aliam aliquam aream Z, ut PIGR−Z.

Igitur area PIGR per datorum momentorum subductio∣nem uniformiter decrescente, crescunt area Y in ratione PIGR−Y, & area Z in ratione PIGR−Z. Et propterea si areae Y & Z simul incipiant & sub initio aequales sint, hae per additio∣nem aequalium momentorum pergent esse aequales, & aequali∣bus itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si simul incipiunt & simul evanescunt, aequalia habe∣bunt momenta & semper erunt aequales: id adeo quia si resisten∣tia Z augeatur, velocitas una cum arcu illo Ca, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum C, re∣sistentia citius evanescet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur.

Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est, hoc est, in principio & fine motus, ubi arcus CD, CD arcubus CB & Ca aequantur, adeoque ubi recta RG incidit in rectas QE & CT. Et area Y seu OR / OQ IEF−IGH incipit desinitque ubi nulla est, adeoque ubi OR / OQ IEF & IGH aequalia sunt: hoc est (per con∣structionem) ubi recta RG incidit in rectam QE & CT. Pro∣indeque areae illae simul incipiunt▪ & simul evanescunt, & propte∣rea semper sunt aequales. Igitur area OR / OQ IEF−IGH aequa∣lis est areae Z, per quam resistentia exponitur, & propterea est ad aream PINM per quam gravitas exponitur, ut resistentia ad gra∣vitatem. Q.E.D.

Corol. 1. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravi∣tatis, ut area OP / OQ IEF ad aream PINM.

Corol. 2. Fit autem maxima, ubi area PIHR est ad aream IEF ut OR ad OQ. Eo enim in casu momentum ejus (nimirum PIGR−Y) evadit nullum.

Corol. 3. Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis: quippe quae est in dimidiata ratione resistentiae, & ipso motus initio aequatur velocitati corporis in eadem Cycloide absque om∣resistentia oscillantis.

Caeterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per hanc Propositionem inveniendae sunt, visum est Propositio∣nem sequentem subjungere, quae & generalior sit & ad usus Phi∣losophicos abunde satis accurata.

Prop. XXX. Theor. XXIII.

Si recta aB aequalis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando de∣scribit, & ad singula ejus puncta D erigantur perpendicula DK, quae sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus pun∣ctis correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente de∣scriptum, ducta in arcuum eorundam semisummam, aequalis erit areae BKaB a perpendiculis omnibus DK occupatae, quamproxime.

Exponatur enim tum Cycloidis arcus oscillatione integra de∣scriptus, per rectam illam sibi aequalem aB, tum arcus qui de∣scriberetur in vacuo per longitudinem AB. Bisecetur AB in C, & punctum C repraesentabit infimum Cycloidis punctum, & erit CD ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in C secundum Tan∣gentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longi∣tudinem Penduli quam habet vis in D ad vim gravitatis. Expo∣natur igitur vis illa per longitudinem CD, & vis gravitatis per longitudinem penduli; & si in DE capiatur DK in ea ratione ad

longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens resistentiae. Centro C & intervallo CA vel CB construatur semicirculus, BEeA. Describet autem corpus tem∣pore quam minimo spatium Dd, & erectis perpendiculis DE, de circumferentiae occurrentibus in E & e, erunt haec ut velocitates quas corpus in vacuo, des∣cendendo

[illustration]

a puncto B, ac∣quireret in locis D & d. Patet hoc per Prop. LII. Lib. I. Exponantur ita{que} hae velocitates per per∣pendicula illa DE, de; sitque DF velocitas quam acquirit in D cadendo de B in Medio resistente. Et si centro C & intervallo CF describatur circulus FfM occurrens rectis de & AB in f & M, erit M locus ad quem deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, & df velocitas quam acquireret in d. Unde etiam si Fg designet ve∣locitatis momentum quod corpus D, describendo spatium quam minimum Dd, ex resistentia Medii amittit, & sumatur CN ae∣qualis Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps absque ulteri∣ore resistentia ascenderet, & MN erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum. Ad df demittatur perpen∣diculum Fm, & velocitatis DF decrementum fg a resistentia DK genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum fma vi CD genitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed & ob similia triangula Fmf, Fhg, FDC, est fm ad Fm seu Dd, ut CD ad DF, & ex aequo Fg ad Dd ut DK ad DF. Item Fg ad Fh ut CF ad DF; & ex aequo perturbate Fh seu MN ad Dd ut DK ad CF. Sumatur DR ad ½ aB ut DK ad CF, & erit MN ad Dd ut DR ad ½ aB; ideoque summa om∣nium MN×½ aB, id est Aa×½ aB, aequalis erit summae omnium Dd×DR, id est areae BRrSa, quam rectangula omnia Dd×DR

seu DRrd componunt. Bisecentur Aa & aB in P & O, & erit ½ aB seu OB aequalis CP, ideoque DR est ad DK ut CP ad CF vel CM, & divisim KR ad DR ut PM ad CP. Ideoque cum punctum M, ubi corpus versatur in medio oscillationis loco O, in∣cidat circiter in punctum P, & priore oscillationis parte versetur inter A & P, posteriore autem inter P & a, utroque in casu ae∣qualiter a puncto P in partes contrarias errans: punctum K cir∣ca medium oscillationis locum, id est e regione puncti O, puta in V, incidet in punctum R; in priore autem oscillationis parte jacebit inter R & E, & in posteriore inter R & D, utroque in casu aequaliter a puncto R in partes contrarias errans. Proinde area quam linea KR describit, priore oscillationis parte jacebit extra aream BRSa, posteriore intra eandem, idque dimensio∣nibus hinc inde propemodum aequatis inter se; & propterea in casu priore addita areae BRSa, in posteriore eidem subducta, re∣linquet aream BKTa areae BRSa aequalem quam proxime. Ergo rectangulum Aa×½ aB seu AaO, cum sit aequale areae BRSa, erit etiam aequale areae BKTa quamproxime. Q.E.D.

Corol. Hinc ex lege resistentiae & arcuum Ca, CB defferentia Aa, colligi potest proportio resistentiae ad gravitatem quam proxime.

Nam si uniformis sit resistentia DK, figura aBKkS rectan∣gulum erit sub Ba & DK, & inde rectangulum sub ½ Ba & Aa. aequalis erit rectangulo sub Ba & DK, & DK aequalis erit ½ Aa. Quare cum DK sit exponens resistentiae, & longitudo penduli ex∣ponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut ½ Aa ad longi∣tudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demon∣stratum est.

Si resistentia sit ut velocitas, Figura aBKkS Ellipsis erit quam proxime. Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione integra describeret longitudinem BA, velocitas in loco quovis D foret ut circuli diametro AB descripti ordinatim applicata DE. Proinde cum Ba in Medio resistente & BA in Medio non resi∣stente, aequalibus circiter temporibus describantur; adeoque ve∣locitates

in singulis ipsius Ba punctis, sint quam proxime ad velo∣citates in punctis correspondentibus longitudinis BA, ut est Ba ad BA; erit velocitas DK in Medio resistente ut circuli vel El∣lipseos super diametro Ba descripti ordinatim applicata; adeo∣que figura BKVTa Ellipsis, quam proxime. Cum resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit OV exponens resistentiae in puncto Medio O; & Ellipsis, centro O, semiaxibus OB, OV de∣scripta, figuram aBKVT, eique aequale rectangulum Aa×BO, aequabit quam proxime. Est igitur Aa×BO ad OV×BO ut area Ellipseos hujus ad OV×BO: id est Aa ad OV ut area se∣micirculi, ad quadratum radii sive ut 11 and 7 circiter: Et prop∣terea: 7/11 Aa ad longitudinem penduli ut corporis oscillantis re∣sistentia in O ad ejusdem gravitatem.

Quod si resistentia DK sit in duplicata ratione velocitatis, fi∣gura BKTVa Parabola erit verticem habens V & axem OV, ideoque aequalis erit duabus tertiis partibus rectanguli sub Ba & OV quam proxime. Est igitur rectangulum sub ½ Ba & Aa aequale rectangulo sub ⅔ Ba & OV, adeoque OV aequalis ¾ Aa, & propterea corporis oscillantis resistentia in O ad ipsius gravita∣tem ut ¾ Aa ad longitudinem Penduli.

Atque has conclusiones in rebus practicis abunde satis accura∣tas esse censeo. Nam cum Ellipsis vel Parabola congruat cum∣figura BKVTa in puncto medio V, haec si ad partem alteru∣tram BKV vel VTa excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, & sic eidem aequabitur quam proxime.

Prop. XXXI. Theor. XXIV.

Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum par∣tibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione; diffe∣rentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime.

Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per resi∣stentiam

Medii, adeoque est ut retardatio tota eique proportio∣nalis resistentia retardans. In superiore Propositione rectangu∣lum sub recta ½ aB & arcuum illorum CB, Ca differentia Aa, aequalis erat areae BKT. Et area illa, si maneat longitudo aB, augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum DK; hoc est in ratione resistentiae, adeoque est ut longitudo aB & resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub Aa & ½ aB est ut aB & resistentia conjunctim, & propterea Aa ut resisten∣tia. Q.E.D.

Corol. 1. Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus descriptus: & contra.

Corol. 2. Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis, dif∣ferentia illa erit in duplicata ratione arcus totius; & contra.

Corol. 3. Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius; & contra.

Corol. 4. Et si resistentia sit partim in ratione simplici veloci∣tatis, partim in ejusdem ratione duplicata, differentia erit par∣tim in ratione arcus totius & partim in ejus ratione duplicata; & contra. Eadem erit lex & ratio resistentiae pro velocitate, quae est differentiae illius pro longitudine arcus.

Corol. 5. Ideoque si, pendulo inaequales arcus successive descri∣bente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi resistentiae hujus pro longitudine arcus descripti, habebitur etiam ratio incre∣menti ac decrementi resistentiae pro velocitate majore vel minore.

SECT. VII.

De Motu Fluidorum & resistentia Projectilium.

Prop. XXXII. Theor. XXV.

Si corporum Systemata duo ex aequali particularum numero constent & particulae correspondentes similes sint, singulae in uno System. singulis in altero, ac datam habeant rationem densitatis ad invicem, & inter se temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, (eae inter se quae in uno sunt Systemate & eae inter se quae sunt in al∣tero) & si non tangant se mutuo quae in eodem sunt Systemate, nisi in momentis reflexionum, neque attrahant vel fugent se mutuo, nisi viribus acceleratricibus quae sint ut particularum correspondentium diametri inverse & quadrata velocitatum directe: dico quod Systema∣tum particulae ille pergent inter se temporibus proportionalibus si∣militer moveri; & contra.

Corpora similia temporibus proportionalibus inter se similiter moveri dico, quorum situs ad invicem in fine temporum illo∣rum semper sunt similes: puta si particulae unius Systematis cum alterius particulis correspondentibus conferantur. Unde tempora erunt proportionalia, in quibus similes & proportionales figura∣rum similium partes a particulis correspondentibus describuntur. Igitur si duo sint ejusmodi Systemata, particulae correspondentes, ob similitudinem incaeptorum motuum, pergent similiter moveri usque donec sibi mutuo occurrant. Nam si nullis agitantur viri∣bus, progredientur uniformiter in lineis rectis per motus Leg. I. Si viribus aliquibus se mutuo agitant, & vires illae sint ut par∣ticularum correspondentium diametri inverse & quadrata veloci∣tatum directe; quoniam particularum situs sunt similes & vires proportionales, vires totae quibus particulae correspondentes a∣gitantur,

ex viribus singulis agitantibus (per Legum Corollarium secundum) compositae, similes habebunt determinationes, perin∣de ac si centra inter particulas similiter sita respicerent; & erunt vires illae totae ad invicem ut vires singulae componentes, hoc est ut correspondentium particularum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe: & propterea efficient ut correspondentes particulae figuras similes describere pergant. Haec ita se habebunt per Corol. 1.2, & 7. Prop. IV. si modo centra illa quiescant. Sin moveantur, quoniam ob translationum similitudinem, similes manent eorum situs inter Systematum particulas; similes inducen∣tur mutationes in figuris quas particulae describunt. Similes igi∣tur erunt correspondentium & similium particularum motus usque ad occursus suos primos, & propterea similes occursus, & similes reflexiones, & subinde (per jam ostensa) similes mo∣tus inter se, donec iterum in se mutuo inciderint, & sic deinceps in infinitum. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si corpora duo quaevis, quae similia sint & ad Systematum particulas correspondentes similiter sita, inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, sintque eorum densitates ad invicem ut densitates correspondentium par∣ticularum: haec pergent temporibus proportionalibus similiter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum Systematis utri∣usque atque particularum.

Corol. 2. Et si similes & similiter positae Systematum partes omnes quiescant inter se: & earum duae, quae caeteris majores sint, & sibi mutuo in utroque Systemate correspondeant, secundum lineas similiter sitas simili cum motu utcunque moveri incipi∣ant: hae similes in reliquis systematum partibus excitabunt mo∣tus, & pergent inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri; atque adeo spatia diametris suis proportionalia descri∣bere.

Prop. XXXIII. Theor. XXVI.

Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum & duplica∣ta ratione diametrorum & ratione densitatis partium Systematum.

Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centri∣fugis quibus particulae systematum se mutuo agitant, partim ex occursibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis resistentiae sunt ad invicem ut vires totae motrices a quibus oriuntur, id est ut vires totae acceleratrices & quantitates materiae in partibus correspondentibus; hoc est (per Hypothesin) ut quadrata velocitatum directe & distantiae parti∣cularum correspondentium inverse & quantitates materiae in par∣tibus correspondentibus directe: ideoque (cum distantiae par∣ticularum systematis unius sint ad distantias correspondentes par∣ticularum alterius, ut diameter particulae vel partis in systemate priore ad diametrum particulae vel partis correspondentis in al∣tero, & quantitates materiae sint ut densitates partium & cubi diametrorum) resistentiae sunt ad invicem ut quadrata velocita∣tum & quadrata diametrorum & densitates partium Systematum. Q.E.D. Posterioris generis resistentiae sunt ut reflexionum cor∣respondentium numeri & vires conjunctim. Numeri autem re∣flexionum sunt ad invicem ut velocitates partium corresponden∣tium directe, & spatia inter eorum reflexiones inverse. Et vires reflexionum sunt ut velocitates & magnitudines & densitates par∣tium correspondentium conjunctim; id est ut velocitates & dia∣metrorum cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, resistentiae partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium conjunctim. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si systemata illa sint Fluida duo Elastica ad modum Aeris, & partes eorum quiescant inter se: corpora au∣tem

duo similia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & densitatem proportionalia, & inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur; vires au∣tem motrices, quibus particulae Fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectorum diametri inverse, & quadrata veloci∣tatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus in Fluidis, & spatia similia ac diametris suis pro∣portionalia describent.

Corol. 2. Proinde in eodem Fluido projectile velox resistitur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam si vires, quibus particulae distantes se mutuo agitant, augerenter in dupli∣cata ratione velocitatis, projectile resisteretur in eadem ratione duplicata accurate; ideoque in Medio, cujus partes ab invicem distantes sese viribus nullis agitant, resistentia est in duplicata ra∣tione velocitatis accurate. Sunto igitur Media tria A, B, C ex partibus similibus & aequalibus & secundum distantias aequales re∣gulariter dispositis constantia. Partes Mediorum A & B fugiant se mutuo viribus quae sint ad invicem ut T & V, illae Medii C ejus∣modi viribus omnino destituantur. Et si corpora quatuor aequa∣lia D, E, F, G in his Mediis moveantur, priora duo D & E in prioribus duobus A & B, & altera duo F & G in tertio C; sitque velocitas corporis D ad velocitatem corporis E, & velocitas cor∣poris F ad velocitatem corporis G, in dimidiata ratione virium T ad vires V; resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis E, & resistentia corporis F ad resistentiam corporis G in velocita∣tum ratione duplicata; & propterea resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis F ut resistentia corporis E ad resistentiam corporis G. Sunto corpora D & F aequivelocia ut & corpora E & G; & augendo velocitates corporum D & F in ratione qua∣cunque, ac diminuendo vires particularum Medii B in eadem ra∣tione duplicata, accedet Medium B ad formam & conditionem Medii C pro lubitu, & idcirco resistentiae corporum aequalium & aequivelocium E & G in his Mediis, perpetuo accedent ad aequa∣litatem,

ita ut earum differentia evadat tandem minor quam data quaevis. Proinde cum resistentiae corporum D & F sint ad invicem ut resistantiae corporum E & G, accedent etiam hae similiter ad rationem aequalitatis. Corporum igitur D & F, ubi velocissi∣me moventur, resistantiae sunt aequales quam proxime: & propte∣rea cum resistentia corporis F sit in duplicata ratione velocitatis, erit resistentia corporis D in eadem ratione quam proxime. Q.E.D.

Corol. 3. Igitur corporis in Fluido quovis Elastico velocissi∣me moventis eadem fere est resistentia ac si partes Fluidi viribus suis centrifugis destituerentur, seque mutuo non fugerent: si mo∣do Fluidi vis Elastica ex particularum viribus centrifugis oriatur.

Corol. 4. Proinde cum resistentiae similium & aequivelocium corporum, in Medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, sint ut quadrata diametrorum, sunt etiam aequivelocium & ce∣lerrime moventium corporum resistentiae in Fluido Elastico ut quadrata diametrorum quam proxime.

Corol. 5. Et cum corpora similia, aequalia & aequivelocia, in Mediis ejusdem densitatis, quorum particulae se mutuo non fu∣giunt, sive particulae illae sint plures & minores, sive pauciores & majores, in aequalem materiae quantitatem temporibus aequalibus inpingant, eique aequalem motus quantitatem imprimant, & vi∣cissim (per motus Legem tertiam) aequalem ab eadem reactio∣nem patiantur, hoc est, aequaliter resistantur: manifestum est etiam quod in ejusdem densitatis Fluidis Elasticis, ubi velocissime moventur, aequales sint eorum resistentiae quam proxime; sive Fluida illa ex particulis crassioribus constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex Medii subtilitate resistentia pro∣jectilium celerrime motorum non multum diminuitur.

Corol. 6. Cum autem particulae Fluidorum, propter vires quibus se mutuo fugiunt, moveri nequeant quin simul agitent particulas alias in circuitu, atque adeo dissicilius moveantur inter se quam si viribus istis destituerentur; & quo majores sint earum

vires centrifugae, eo difficilius moveantur inter se: manifestum esse videtur quod projectile in tali Fluido eo difficilius movebi∣tur, quo vires illae sunt intensiores; & propterea si corporis ve∣locissimi in superioribus Corollariis velocitas diminuatur, quoni∣am resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, si mo∣do vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem nullatenus diminuantur, manifestum est quod resi∣stentia diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis.

Corol. 7. Porro cum vires centrifugae eo nomine a〈…〉〈…〉uam resistentiam conducant, quod particulae motus suos per Fluidum ad majorem a se distantiam per vires illas propagent; & cum di∣stantia illa minorem habeat rationem ad majora corpora: mani∣festum est quod augmentum resistentiae ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris sit momenti; & propterea, quo corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium decrescet in duplicata ratione velocitatis.

Corol. 8. Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate ob∣tinebit in Fluidis quae, pari densitate & vi Elastica, ex particulis minoribus constant. Nam si corpora illa majora diminuantur, & particulae Fluidi, manente ejus densitate & vi Elastica, diminu∣antur in eadem ratione; manebit eadem ratio resistantiae quae pri∣us: ut ex praecedentibus facile colligitur.

Corol. 9. Haec omnia ita se habent in Fluidis, quorum vis E∣lastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad in∣star Lanae vel ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum inter se redduntur minus liberi: resistantia, ob minorem Medii fluiditatem, erit major quam in superioribus Corollariis.

Prop. XXXIV. Theor. XXVII.

Quae in praecedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent ubi particulae Systematum se mutuo contingunt, si modo par∣ticulae illae sint summe lubricae.

Concipe particulas viribus quibusdam se mutuo fugere, & vi∣res illas in accessu ad superficies particularum augeri in insinitum, & contra, in recessu ab iisdem celerrime diminui & statim eva∣nescere. Concipe etiam systemata comprimi, ita ut partes eo∣rum se mutuo contingant, nisi quatenus vires illae contactum im∣pediunt. Sint autem spatia per quae vires particularum diffun∣duntur quam angustissima, ita ut particulae se mutuo quam proxi∣me contingant: & motus particularum inter se iidem erunt quam proxime ac si se mutuo contingerent. Eadem facilitate labentur inter se ac si essent summe lubricae, & si impingant in se mutuo reflectentur ab invicem ope virium praefatarum, perinde ac si essent Elasticae. Itaque motus erunt iidem in utroque casu, nisi quate∣nus perexigua particularum sese non contingentium intervalla diversitatem efficiant: quae quidem diversitas diminuendo parti∣cularum intervalla diminui potest in infinitum. Jam vero quae in praecedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obti∣nent in particulis sese non contingentibus, idque licet intervalla particularum, diminuendo spatia per quae vires diffunduntur, di∣minuantur in infinitum. Et propterea eadem obtinent in parti∣culis sese contingentibus, exceptis solum differentiis quae tandem differentiis quibusvis datis minores evadant. Dico igitur quod accurate obtinent. Si negas, assigna differentiam in casu quo∣cunque. Atqui jam probatum est quod differentia minor sit quam data quaevis. Ergo differentia falso assignatur, & propte∣rea nulla est. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si Systematum duorum partes omnes quies∣cant inter se, exceptis duabus, quae caeteris majores sint & sibi

mutuo correspondeant inter caeteras similiter sitae. Hae secundum lineas similiter positas utcunque projectae similes excitabunt mo∣tus in Systematibus, & temporibus proportionalibus pergent spa∣tia similia & diametris suis proportionalia describere; & resi∣stentur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis Systema∣tum.

Corol. 2. Unde si Systemata illa sint Fluida duo similia, & eorum partes duae majores sint corpora in iisdem projecta: sint autem Fluidorum particulae summe lubricae, & quoad magnitudi∣nem & densitatem proportionales corporibus: pergent corpora temporibus proportionalibus spatia similia & diametris suis pro∣portionalia describere, & resistentur in ratione Corollario superi∣ore definita.

Corol. 3. Proinde in eodem Fluido Projectile magnitudine datum resistitur in duplicata ratione velocitatis.

Corol. 4. At si particulae Fluidi non sint summe lubricae, vel si viribus quibuscunque se mutuo agitant, quibus motuum liber∣tas diminuitur: Proiectilia tardiora difficilius superabunt resisten∣tiam, & propterea magis resistentur quam in velocitatis ratione duplicata.

Prop. XXXV. Theor. XXVIII.

Si Globus & Cylindrus aequalibus diametris descripti, in Medio raro & Elastico, secundum plagam axis Cylindri, aequali cum veloci∣tate celerrime moveantur: erit resistentia Globi duplo minor quam re∣sistentia Cylindri.

Nam quoniam resistentia (per Corol. 3. Prop. XXXIII.) eadem est quam proxime ac si partes Fluidi viribus nullis se mu∣tuo fugerent, supponamus partes Fluidi ejusmodi viribus desti∣tutas per spatia omnia uniformiter dispergi. Et quoniam actio Medii in corpus eadem est (per Legum Corol. 5.) sive corpus in Medio quiescente moveatur, five Medii particulae eadem cum

velocitate impingant in corpus quiescens: consideremus corpus tanquam quiescens, & videamus qu•• impetu urgebitur a Medio movente. Designet igitur ABKI corpus Sphaericum centro C semidiametro

[illustration]

CA descrip∣tum, & inci∣dant particu∣lae Medii data cum velocita∣te in corpus illud Sphaeri∣cum, secun∣dum rectas ip¦si AC paralle∣las: Sitque FB ejusmodi recta. In ea capiatur LB semidiametro CB aequalis, & ducatur BD quae Sphaeram tangat in B. In AC & BD demit∣tantur perpendiculares BE, DL, & vis qua particula Medii, se∣cundum rectam FB oblique incidendo, Globum ferit in B, erit ad vim qua particula eadem Cylindrum ONGQ axe ACI circa Globum descriptum perpendiculariter feriret in b, ut LD ad LB vel BE ad BC. Rursus efficacia hujus vis ad movendum globum secundum incidentiae suae plagam FB vel AC, est ad e∣jusdem efficaciam ad movendum globum secundum plagam de∣terminationis suae, id est secundum plagam rectae BC qua globum directe urget, ut BE ad EC. Et conjunctis rationibus, effica∣cia particulae, in globum secundum rectam FB oblique incidentis, ad movendum eundem secundum plagam incidentiae suae, est ad efficaciam particulae ejusdem secundum eandem rectam in cylin∣drum perpendiculariter incidentis, ad ipsum movendum in plagam eandem, ut BE quadratum ad BC quadratum. Quare si ad cy∣lindri basem circularem NAO erigatur perpendiculum bHE, & sit bE aequalis radio AC, & bH aequalis CE quad./CB, erit bH ad

bE ut effectus particulae in globum ad effectum particulae in cylindrum. Et propterea Solidum quod a rectis omnibus bH occupatur erit ad solidum quod a rectis omnibus bE occu∣patur, ut effectus particularum omnium in globum ad effectum particularum omnium in Cylindrum. Sed solidum prius est Pa∣rabolois vertice V, axe CA & latere recto CA descriptum, & so∣lidum posterius est cylindrus Paraboloidi circumscriptus: & no∣tum est quod Parabolois sit semissis cylindri circumscripti. Ergo vis tota Medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota in Cylindrum. Et propterea si particulae Medii quiescerent, & cy∣lindrus ac globus aequali cum velocitate moverentur, foret resi∣stentia globi duplo minor quam resistentia cylindri. Q.E.D.

Scholium.

Eadem methodo figurae aliae inter se quoad resistentiam com∣parari possunt, eaeque inveniri quae ad motus suos in Mediis re∣sistentibus continuandos aptiores sunt. Ut si base circulari CEBH, quae centro O, radio OC describitur, & alti∣tudine

[illustration]

OD, construendum sit frustum coni CBGF, quod omnium eadem basi & altitu∣dine constructorum & secundum plagam axis sui versus D progredientium frustorum mi∣nime resistatur: biseca altitudinem OD in Q & produc, OQ ad S ut sit QS aequalis QC, & erit S vertex coni cujus frustum quaeritur.

Unde obiter cum angulus CSB semper sit acutus, consequens est, quod si solidum ADBE convolutione figurae Ellipticae vel O∣valis ADBE circa axem AB facta generetur, & tangatur figura generans a rectis tribus FG, GH, HI in punctis F, B & I, ea lege ut GH sit perpendicularis ad axem in puncto contactus B, & FG, HI cum eadem GH contineant angulos FGB, BHI graduum 135: solidum, quod convolutione figurae ADFGHIE circa ax∣em

eundem CB generatur, minus resistitur quam solidum prius; si modo utrumque secundum plagam axis sui AB progrediatur, & utriusque terminus B praecedat. Quam quidem propositio∣nem in construendis Navi∣bus

[illustration]

non inutilem futuram esse censeo.

Quod si figura DNFB ejusmodi sit ut, si ab ejus puncto quovis N ad axem AB demittatur perpendi∣culum NM, & a puncto dato G ducatur recta GR quae parallela sit rectae figuram tangenti in N, & axem productum secet in R, fuerit MN ad GR ut GR cub. ad 4 BR×GBq: So∣lidum quod figurae hujus revolutione circa axem AB facta descri∣bitur, in Medio raro & Elastico ab A versus B velocissime mo∣vendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitudine & latitudine descriptum Solidum circulare.

Prop. XXXVI. Prob. VIII.

Invenire resistentiam corporis Sphaerici in Fluido raro & Elastico velocissime progredientis. (Vide Fig. Pag. 325.)

Designet ABKI corpus Sphaericum centro C semidiametro CA descriptum. Producatur CA primo ad S deinde ad R, ut sit AS pars tertia ipsius CA, & CR sit ad CS ut densitas corporis Sphae∣rici ad densitatem Medii. Ad CR erigantur perpendicula PC, RX, centroque R & Asymptotis CR, RX describatur Hyper∣bola quaevis PVY. In CR capiatur CT longitudinis cujusvis, & erigatur perpendiculum TV abscindens aream Hyperbolicam PCTV, & sit CZ latus hujus areae applicatae ad rectam PC. Di∣co quod motus quem globus, describendo spatium CZ, ex resi∣stentia Medii amittet, erit ad ejus motum totum sub initio ut lon∣gitudo CT ad longitudinem CR quamproxime.

Nam (per motuum Legem tertiam) motus quem cylindrus GNOQ circa globum descriptus impingendo in Medii particulas amitteret, aequalis est motui quem imprimeret in easdem par∣ticulas. Ponamus quod particulae singulae reflectantur a cylindro, & ab eodem ea cum velocitate resiliant, quacum cylindrus ad ipsas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol. 3. si mo∣do particulae quam minime sint, & vi Elastica quam maxima reflectantur. Velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt, ad∣dita velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo ma∣jorem quam velocitas cylindri, & propterea motus quem cy∣lindrus ex reflexione particulae cujusque amittit, erit ad mo∣tum totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum. Pro∣inde cum densitas Medii sit ad densitatem cylindri ut CS ad CR; si Ct sit longitudo tempore quam minimo a cylindro de∣scripta, erit motus eo tempore amissus ad motum totum cylin∣dri ut 2 Ct×CS ad AI×CR. Ea enim est ratio materiae Me∣dii, a cylindro protrusae & reflexae, ad massam cylindri. Unde cum globus sit duae tertiae partes cylindri, & resistentia globi (per Propositionem superiorem) sit duplo minor quam resisten∣tia cylindri: erit motus, quem globus describendo longitudinem L amittit, ad motum totum globi, ut Ct×CS ad ⅔ AI×CR, sive ut Ct ad CR. Erigatur perpendiculum tv Hyperbolae occur∣rens in v, & (per Corol. 1. Prop. V. Lib. II) si corpus de∣scribendo longitudinem areae CtvP proportionalem, amittit mo∣tus sui totius CR partem quamvis Ct, idem describendo longitu∣dinem areae CTVP proportionalem, amittet motus sui partem CT. Sed longitudo Ct aequalis est CPvt / CP, & longitudo OZ (per Hypothesin) aequalis est CPTV / CP, adeoque longitudo Ct est ad longitudinem CZ ut area CPvt ad aream CPVT. Et propterea cum globus describendo longitudinem quam minimam Ct amittat motus sui partem, quae sit ad totum ut Ct ad CR, is

describendo longitudinem aliam quamvis CZ, amittet motus sui partem quae sit ad totum ut CT ad CR. Q.E.D.

Corol. 1. Si detur corporis velocitas sub initio, dabitur tem∣pus quo corpus, describendo spatium Ct, amittet motus sui par∣tem Ct: & inde, dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut ista motus pars amissa ad motum, quem gravitas Globi eodem tempore generaret; dabitur proportio resistentiae ad gravitatem Globi.

Corol. 2. Quoniam in his determinandis supposui quod par∣ticulae Fluidi per vim suam Elasticam quam maxime a Globo re∣flectantur, & particularum sic reflexarum impetus in Globum duplo major sit quam si non reflecterentur: manifestum est quod in Fluido, cujus particulae vi omni Elastica aliaque omni vi reflexi∣va destituuntur, corpus Sphaericum resistentiam duplo minorem patietur; adeoque eandem velocitatis partem amittendo, duplo longius progredietur quam pro constructione Problematis hujus superius allata.

Corol. 3. Et si particularum vis reflexiva neque maxima sit neque omnino nulla, sed mediocrem aliquam rationem teneat: resistentia pariter, inter limites in constructione Problematis & Co∣rollario superiore positos, mediocrem rationem tenebit.

Corol. 4. Cum corpora tarda paulo magis resistantur quam pro ratione duplicata velocitatis: haec describendo longitudinem quamvis CZ amittent majorem motus sui partem, quam quae sit ad motum suum totum ut CT ad CR.

Corol. 5. Cognita autem resistentia corporum celerrimorum, innotescet etiam resistentia tardorum; si modo lex decrementi re∣sistentiae pro ratione velocitatis inveniri potest.

Prop. XXXVII. Prob. IX.

Aquae de vase dato per foramen effluentis definire motum.

Si vas impleatur aqua, & in fundo perforetur ut aqua per fo∣ramen defluat, manifestum est quod vas sustinebit pondus aquae totius, dempto pondere partis illius quod foramini perpendiculari∣ter imminet. Nam si foramen obstaculo aliquo occluderetur, ob∣staculum sustineret pondus aquae sibi perpendiculariter incum∣bentis, & fundum vasis sustineret pondus aquae reliquae. Sub∣lato autem obstaculo, fundum vasis eadem aquae pressione eo∣demve ipsius pondere urgebitur ac prius; & pondus quod ob∣staculum sustinebat, cum jam non sustineatur, faciet ut aqua des∣cendat & per foramen defluat.

Unde consequens est, quod motus aquae totius effluentis is erit quem pondus aquae foramini perpendiculariter incumbentis gene∣rare possit. Nam aquae particula unaquaeque pondere suo, qua∣tenus non impeditur, descendit, idque motu uniformiter accele∣rato; & quatenus impeditur, urgebit obstaculum. Obstaculum illud vel vasis est fundum, vel aqua inferior defluens; & propte∣rea ponderis pars illa, quam vasis fundum non sustinet, urgebit a∣quam defluentem & motum sibi proportionalem generabit.

Designet igitur F aream foraminis, A altitudinem aquae fora∣mini perpendiculariter incumbentis, P pondus ejus, AF quan∣titatem ejus, S spatium quod dato quovis tempore T in vacuo libere cadendo describeret, & V velocitatem quam in fine tem∣poris illius cadendo acquisierit: & motus ejus acquisitus AF×V aequalis erit motui aquae totius eodem tempore effluentis. Sit velocitas quacum effluendo exit de foramine, ad velocitatem V ut d ad e; & cum aqua velocitate V describere posset spatium 2S, aqua effluens eodem tempore, velocitate sua d / e V, describere pos∣set spatium 2d / e S. Et propterea columna aquae cujus longitudo

sit 2d / e S & latitudo eadem quae foraminis, posset eo tempore de∣fluendo egredi de vase, hoc est columna 2d / e SF. Quare motus 2dd / ee SFV, qui fiet ducendo quantitatem aquae effluentis in velo∣citatem suam, hoc est motus omnis tempore effluxus illius geni∣tus, aequabitur motui AF×V. Et si aequales illi motus applicen∣ter ad FV; fiet 2dd / ee S aequalis A. Unde est dd ad ee ut A ad 2S, & d ad e in dimidiata ratione ½ A ad S. Est igitur velocitas qua∣cum aqua exit e foramine, ad velocitatem quam aqua cadens, & tempore T cadendo describens spatium S acquireret, ut altitudo aquae foramini perpendiculariter incumbentis, ad medium propor∣tionale inter altitudinem illam duplicatam & spatium illud S, quod corpus tempore T cadendo describeret.

Igitur si motus illi sursum vertantur; quoniam aqua velocitate V ascenderet ad altitudinem illam S de qua deciderat; & altitu∣dines (uti notum est) sint in duplicata ratione velocitatum: aqua effluens ascenderet ad altitudinem ½ A. Et propterea quan∣titas aquae effluentis, quo tempore corpus cadendo describere posset altitudinem ½ A, aequalis erit columnae aquae totius AF fo∣ramini perpendiculariter imminentis.

Cum autem aqua effluens, motu suo sursum verso, perpendi∣culariter surgeret ad dimidiam altitudinem aquae foramini incum∣bentis; consequens est quod si egrediatur oblique per canalem in latus vasis, describet in spatiis non resistentibus Parabolam cu∣jus latus rectum est altitudo aquae in vase supra canalis orificium, & cujus diameter horizonti perpendicularis ab orificio illo ducitur, atque ordinatim applicatae parallelae sunt axi canalis.

Haec omnia de Fluido subtilissimo intelligenda sunt. Nam si aqua ex partibus crassioribus constet, haec tardius effluet quam pro ratione superius assignata, praesertim si foramen angustum sit per quod effluit.

Denique si aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur; quoniam fundum vasis integrum est, & eadem aquae incumbentis pressione ubique urgetur ac si aqua non efflueret; vas susti∣nebit pondus aquae totius, non obstante effluxu, sed latus vasis de quo effluit non sustinebit pressionem illam omnem, quam su∣stineret si aqua non efflueret. Tolletur enim pressio partis illius ubi perforatur: quae quidem pressio aequalis est ponderi columnae aquae, cujus basis foramini aequatur & altitudo eadem est quae a∣quae totius supra foramen. Et propterea si vas, ad modum cor∣poris penduli, filo praelongo a clavo suspendatur, hoc, si aqua in plagam quamvis secundum lineam horizontalem effluit, recedet semper a perpendiculo in plagam contrariam. Et par est ratio motus pilarum, quae Pulvere tormentario madefacto implentur, &, materia in flammam per foramen paulatim expirante, recedunt a regione flammae & in partem contrariam cum impetu feruntur.

Prop. XXXVIII. Theor. XXIX.

Corporum Sphaericorum in Mediis quibusque Fluidissimis resisten∣tiam in anteriore superficie definire.

Defluat aqua de vase Cylindrico ABCD, per canalem Cy∣lindricum EFGH, in vas inferius IKLM; & inde effluat per vasis marginem IM. Sit autem margo ille ejusdem altitudinis cum vasis superioris fundo CD, eo ut aqua per totum canalem uniformi cum motu descendat; & in medio canalis collocetur Globus P, sitque PR altitudo aquae supra Globum, & SR ejus∣dem altitudo supra fundum vasis. Sustineatur autem Globus fi∣lo tenuissimo TV, lateribus canalis hinc inde affixo. Et manife∣stum est per proportionem superiorem, quod quantitas aquae da∣to tempore defluentis erit ut amplitudo foraminis per quod de∣fluit; hoc est, si Globus tollatur, ut canalis orificium: sin Globus adsit, ut spatium undique inter Globum & canalem. Nam ve∣locitas aquae defluentis (per superiorem Propositionem) ea erit

quam corpus cadendo, & casu suo describendo dimidiam aquae altitudinem SR, acquirere posset: adeoque eadem est sive Globus tollatur, sive adsit. Et propterea aqua defluens erit ut amplitudo spatii per quod transit. Certe transitus aquae per spa∣tium angustius facilior esse nequit quam per spatium amplius, & propterea ve∣locitas

[illustration]

ejus u∣bi Globus adest, non potest es∣se major quam cum tollitur: i∣deoque major a∣quae quantitas, u∣bi Globus adest, non effluet quam∣pro ratione spa∣tii per quod tran sit. Si aqua non sit liquor subti∣lissimus & flui∣dissimus, hujus transitus per spa∣tium angustius, ob crassitudinem particularum, e∣rit aliquanto tar∣dior: at liquorem fluidissimum esse hic supponimus. Igitur quantitas aquae, cujus descensum Globus dato tempore impedit, est ad quantitatem aquae quae, si Globus tolleretur, eodem tempore descenderet, ut basis Cylindri circa Globum descripti ad orificium canalis; sive ut quadratum diametri Globi ad quadratum diame∣tri cavitatis canalis. Et propterea quantitas aquae cujus descen∣sum Globus impedit, aequalis est quantitati aquae, quae eodem

tempore per foramen circulare in fundo vasis, basi Cylindri illius aequale, descendere posset, & cujus descensus per fundi partem quamvis circularem basi illi aequalem impeditur.

Jam vero pondus aquae, quod vas & Globus conjunctim susti∣nent, est pondus aquae totius in vase, praeter partem illam quae aquam defluentem accelerat, & ad ejus motum generandum suffi∣cit, quaeque, per Propositionem superiorem, aequalis est ponderi columnae aquae cujus basis aequatur spatio inter Globum & cana∣lem per quod aqua defluit, & altitudo eadem cum altitudine aquae supra fundum vasis, per lineam SR designata. Vasis igi∣tur fundum & Globus conjunctim sustinent pondus aquae totius in vase sibi ipsis perpendiculariter imminentis. Unde cum fun∣dum vasis sustineat pondus aquae sibi perpendiculariter imminen∣tis, reliquum est ut Globus etiam sustineat pondus aquae sibi per∣pendiculariter imminentis. Globus quidem non sustinet pondus aquae illius stagnantis & sibi absque omni motu incumbentis, sed aquae defluenti resistendo impedit effectum tanti ponderis; ade∣oque vim aquae defluentis sustinet ponderi illi aequalem. Nam impedit descensum & effluxum quantitatis aquae quem pondus illud accurate efficeret si Globus tolleretur. Aqua pondere suo, quatenus descensus ejus impeditur, urget obstaculum omne, ide∣oque obstaculum, quatenus descensum aquae impedit, vim sustinet aequalem ponderi quo descensus ille efficeretur. Globus autem descensum quantitatis aquae impedit, quem pondus colum∣nae aquae sibi perpendiculariter incumbentis efficere posset; & propterea vim aquae decurrentis sustinet ponderi illi aequalem. Actio & reactio aquae per motus Legem tertiam aequantur inter se, & in plagas contrarias diriguntur. Actio Globi in aquam de∣scendentem, ad ejus descensum impediendum, in superiora dirigi∣tur, & est ut descendendi motus impeditus, eique tollendo adae∣quate sufficit: & propterea actio contraria aquae in Globum ae∣qualis est vi quae motum eundem vel tollere vel generare possit,

hoc est ponderi columnae aquae, quae Globo perpendiculariter im∣minet & cujus altitudo est RS.

Si jam canalis orificium superius obstruatur, sic ut aqua des∣cendere nequeat, Globus quidem, pondere aquae in canali & vase inferiore IKLM stagnantis, premetur undique; sed non ob∣stante pressione illa, si ejusdem sit specificae gravitatis cum aqua, quiescet. Pressio illa Globum nullam in partem impellet. Et propterea ubi canalis aperitur & aqua de vase superiore descendit, vis omnis, qua Globus impellitur deorsum, orietur ab aquae illius descensu, atque adeo aequalis erit ponderi columnae aquae, cujus al∣titudo est RS & diameter eadem quae Globi. Pondus autem istud, quo tempore data quaelibet aquae quantitas per foramen basi Cy∣lindri circa Globum descripti a quale, sublato Globo effluere pos∣set, sufficit ad ejus motum omnem generandum; atque adeo quo tempore aqua in Cylind••o uniformiter decurrendo describit duas tertias partes diametri Globi, sufficit ad mo••um omnem aqua Glo∣bo aequalis generandum. Nam Cylindres aquae, latitudine Globi & duabus tertiis partibus altitudinis d••scriptus, Globo aequatur. Et propterea aquae currentis impetus in Globum quiescentem, quo tempore aqua currendo describit duas tertias partes diametri Globi, si uniformiter continuetur, generaret motum omnem par∣tis Fluidi quae Globo aequatur.

Quae vero de aqua in canali demonstrata sunt, intelligenda sunt etiam de aqua quacunque fluente, qua Globus quilibet in ea quiescens urgetur. Quaeque de aqua demonstrata sunt obtinent etiam in Fluidis universis subtilissimis. De his omnibus idem va∣let argumentum.

Jam vero per Legum Corol. 5, vis Fluidi in Globum eadem est, sive Globus quiescat & Fluidum uniformi cum velocitate mo∣veatur, sive Fluidum quiescat & Globus eadem cum velocitate in partem contrariam pergat. Et propterea resistentia Globi in Medio quocunque Fluidissimo uniformiter progredientis, quo tempore Globus duas tertias partes diametri suae describit, aequa∣lis

est vi, quae in corpus ejusdem magnitudinis cum Globo & ejus∣dem densitatis cum Medio uniformiter impressa, quo tempore Globus duas tertias partes diametri suae progrediendo describit, velocitatem Globi in corpore illo generare posset. Tanta est re∣sistentia Globi in superficiei parte praecedente. Q.E.D.

Corol. 1. Si solidum Sphaericum in ejusdem secum densitatis Fluido subtilissimo libere moveatur, & inter movendum eadem vi urgeatur a tergo atque cum quiescit; ejusdem resistentia ea erit quam in Corollario secundo Propositionis xxxvi. descripsi∣mus. Unde si computus ineatur, patebit quod solidum dimidi∣am motus sui partem prius amittet, quam progrediendo descripse∣rit longitudinem diametri propriae; Quod si inter movendum mi∣nus urgeatur a tergo, magis retardabitur: & contra, si magis urgeatur, minus retardabitur.

Corol. 2. Hallucinantur igitur qui credunt resistentiam proje∣ctilium per infinitam divisionem partium Fluidi in infinitum di∣minui. Si Fluidum sit valde crassum, minuetur resistentia ali∣quantulum per divisionem partium ejus. At postquam compe∣tentem Fluiditatis gradum acquisiverit, (qualis forte est Fluidi∣tas Aeris vel aquae vel argenti vivi) resistentia in anteriore super∣ficie solidi, per ulteriorem partium divisionem non multum minu∣etur. Nunquam enim minor futura est quam pro limite quem in Corollario superiore assignavimus.

Corol. 3. Media igitur in quibus corpora projectilia sine sen∣sibili motus diminutione longissime progrediuntur, non solum Fluidissima sunt, sed etiam longe rariora quam sunt corpora illa quae in ipsis moventur: nisi forte quis dixerit Medium omne Flu∣idissimum, impetu perpetuo in posticam projectilis partem facto, tantum promovere motum ejus quantum impedit & resistit in par∣te antica. Et motus quidem illius, quem projectile imprimit in Medium, partem aliquam a Medio circulariter lato reddi cor∣pori a tergo verisimile est. Nam & experimentis quibusdam fa∣ctis, reperi quod in Fluidis satis compressis pars aliqua redditur.

Omnem vero in casu quocunque reddi nec rationi consentaneum videtur, neque cum experimentis hactenus a me tentatis bene quadrat. Fluidorum enim utcunque subtilium, si densa sint, vim ad solida movenda resistendaque permagnam esse, & quo∣modo vis illius quantitas per experimenta determinetur, plenius patebit per Propositiones duas quae sequuntur.

Lemmma IV.

Si vas Sphaericum Fluido homogeneo quiescente plenum a vi im∣pressa moveatur in directum, motuque progressivo semper accelerato ita pergat ut interea non moveatur in orbem: partes Fluidi inclusi, aequaliter participando motum vasis, quiescent inter se. Idem obtine∣bit in vase figurae cujuscunque. Res manifesta est, nec indiget de∣monstratione.

Prop. XXXIX. Theor. XXX.

Fluidum omne quod motu accelerato ad modum venti increbescentis progreditur, & cujus partes inter se quiescunt, rapit omnia ejusdem densitatis innatantia corpora, & secum cum eadem velocitate defert.

Nam per Lemma superius si vas Sphaericum, rigidum, Fluido∣que homogeneo quiescente plenum, motu paulatim impresso progrediatur; Fluidi motum vasis participantis partis omnes semper quiescent inter se. Ergo si Fluidi partes aliquae congela∣rentur, pergerent hae quiescere inter partes reliquas. Nam quo∣niam partes omnes quiescunt inter se, perinde est sive fluidae sint, sive aliquae earum rigescant. Ergo si vas a vi aliqua extrinsecus impressa moveatur, & motum suum imprimat in Fluidum: Flui∣dum quoque motum suum imprimet in sui ipsius partes congela∣tas easque secum rapiet. Sed partes illae congelatae sunt corpora solida ejusdem densitates cum Fluido; & par est ratio Fluidi, sive id in vase moto claudatur, sive in spatiis liberis ad modum venti

spiret. Ergo Fluidum omne quod motu progressivo accelerato fertur, & cujus partes inter se quiescunt, solida quaecunque ejus∣dem densitatis inclusa, quae sub initio quiescebant, rapit secum, & una moveri cogit. Q.E.D.

Prop. XL. Prob. X.

Invenire resistentiam solidorum Sphaericorum in Mediis Fluidissi∣mis densitate datis.

In Fluido quocunque dato inveniatur resistentia ultima solidi specie dati, cujus magnitudo in infinitum augetur. Dein dic: ut ejus motus amissus, quo tempore progrediendo longitudinem se∣midiametri suae describit, est ad ejus motum totum sub initio, ita motus quem solidum quodvis datum, in Fluido eodem jam facto subtilissimo, describendo diametri suae longitudinem amitteret, est ad ejus motum totum sub initio quamproxime. Nam si par∣ticulae minimae Fluidi subtiliati eandem habeant proportionem eun∣demque situm ad solidum datum in eo movens, quem particulae totidem minimae Fluidi non subtiliati habent ad solidum auctum; sintque particulae Fluidi utrius{que} summe lubricae, & viribus cen∣trifugis centripetisque omnino destituantur; incipiant autem soli∣da temporibus quibuscunque proportionalibus in his Fluidis si∣militer moveri: pergent eadem similiter moveri, adeoque quo tempore describunt spatia semidiametris suis aequalia, amittent partes motuum proportionales totis; idque licet partes Medii subtiliati minuantur, & magnitudo solidi in Medio non subtiliato moventis augeatur in infinitum. Ergo ex resistentia solidi aucti in Medio non subtiliato, dabitur per proportionem superiorem re∣sistentia solidi non aucti in Medio subtiliato. Q.E.I.

Si particulae non sunt summe lubricae, supponendum est quod in utro{que} Fluido sunt aequaliter lubricae, eo ut ex defectu lubrici∣tatis resistentia utrin{que} aequaliter augeatur: & Propositio etiam∣num valebit.

Corol. 1. Ergo si ex aucta solidi Sphaerici magnitudine augea∣tur ejus resistentia in ratione duplicata; resistentia solidi Sphaerici dati ex diminuta magnitudine particularum Fluidi, nullatenus minuetur.

Corol. 2. Sin resistentia, augendo solidum Sphaericum, augea∣tur in minore quam duplicata ratione diametri: eadem diminu∣endo particulas Fluidi, diminuetur in ratione qua resistentia aucta deficit a ratione duplicata diametri.

Corol. 3. Unde perspicuum est quod solidi dati resistentia per divisionem partium Fluidi non multum diminui potest. Nam re∣sistentia solidi aucti debebit esse quam proxime ut quantitas ma∣teriae fluidae resistentis, quam solidum illud movendo protrudit & a locis a se invasis & occupatis propellit: hoc est ut spatium Cy∣lindricum per quod solidum movetur, adeoque in duplicata rati∣one semidiametri solidi quamproxime.

Corol. 4. Igitur propositis duobus Fluidis, quorum alterum ab altero quoad vim resistendi longissime superatur: Fluidum quod minus resistit est altero rarius; suntque Fluidorum omnium vires resistendi prope ut eorum densitates; praesertim si solida sint magna, & velociter moveantur, & Fluidorum aequalis sit compres∣sio.

Scholium Generale.

Quae hactenus demonstrata sunt tentavi in hunc modum. Glo∣bum ligneum pondere unciarum Romanarum 57 1/22, diametro digitorum Londinensium 6 ⅞ fabricatum, filo tenui ab unco satis firmo suspendi, ita ut inter uncum & centrum oscillationis Glo∣bi distantia esset pedum 10½. In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a centro suspensionis distans; & e regi∣one puncti illius collocavi Regulam in digitos distinctam, quo∣rum ope notarem longitudines arcuum a Pendulo descriptas. De∣inde numeravi oscillationes quibus Globus quartam motus sui par∣tem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendiculo ad di∣stantiam

duorum digitorum, & inde demittebatur; ita ut toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque os∣cillatione prima, ex descensu & ascensu subsequente composita, arcum digitorum fere quatuor: idem oscillationibus 164 amisit octavam motus sui partem, sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo descensu descripsit arcum digitorum quatuor, amisit octavam motus partem oscillationibus 121; ita ut ascensu ultimo descri∣baret arcum digitorum 3½. Si primo descensu descripsit arcum digitorum octo, sexdecim, triginta duorum vel sexaginta quatu∣or, amisit octavam motus partem oscillationibus 69, 35½, 18½ 9 ⅔ respective. Igitur differentia inter arcus descensu primo & as∣censu ultimo descriptos, erat in casu primo, secundo, tertio, quarto, quinto, sexto, digitorum ¼, ½, 1, 2, 4, 8 respective. Divi∣dantur eae differentiae per numerum oscillationum in casu uno∣quoque; & in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3¾ 7½, 15, 30, 60, 120 descriptus fuit, differentia arcuum descen∣su & subsequente ascensu descriptorum, erit 1/656, 1/242, 1/69, 4/71, 8/37, 24/29 partes digiti respective. Hae autem in majoribus oscillationibus sunt in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime; in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione, & propterea (per Corol. 2. Prop. xxxi. Libri hujus) resistentia Globi, ubi celerius movetur, est in duplicata ratione velocitatis quamproxi∣me; ubi tardius, paulo major quam in ea ratione: omnino ut in Corollariis Propositionis xxxii. demonstratum est.

Designet jam V velocitatem maximam in oscillatione quavis, sintque A, B, C quantitates datae, & fingamus quod differentia arcuum sit AV+BV3/2+CV ². Et cum velocitates maximae in praedictis sex Casibus, sint ut arcuum dimidiorum 1 7/8, 3¾, 7½, 15, 30, 60 chordae, atque adeo ut arcus ipsi quam proxime, hoc est ut nu∣meri ½, 1, 2, 4, 8, 16: scribamus in Casu secundo quarto & sexto numeros 1, 4, & 16 pro V; & prodibit arcuum differentia 1/242 aequalis A+B+C in Casu secundo; & 2/35½ aequalis 4A+8B+16C

in casu quarto; & 8/9⅔ aequalis 16A+64B+256C in casu sexto. Unde si per has aequationes determinemus quantitates A, B, C; habebimus Regulam inveniendi differentiam arcuum pro veloci∣tate quacunque data.

Caeterum cum velocitates maximae sint in Cycloide ut arcus oscillando descripti, in circulo vero ut semissium arcuum illorum chordae, adeoque paribus arcubus majores sint in Cycloide quam in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundem chordas; tem∣pora autem in circulo sint majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reciproca: ut ex resistentia in circulo inveniatur resisten∣tia in Trochoide, debebit resistentia augeri in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici auctam; & diminui in ratione chordae ad arcum, ob tempus (seu durationem resistentiae qua arcuum differentia praedicta genera∣tur) diminutum in eadem ratione: id est (si rationes conjun∣gamus) debebit resistentia augeri in ratione arcus ad chordam circiter. Haec ratio in casu secundo est 6283 ad 6279, in quarto 12566 ad 12533, in sexto 25132 ad 24869. Et inde resistentia 1/242, 2/35½, & 8/9⅔ evadunt 6283/6279×242, 25132/12533×35½ & 201056/24869×9⅔, id est in numeris decimalibus 0, 004135, 0, 056486 & 0, 8363. Unde prodeunt aequationes A+B+C=0, 004135: 4A+8B+16C=0, 05648 & 16A+64B+256C=0, 8363. Et ex his per de∣bitam terminorum collationem & reductionem Analyticam fit A=0, 0002097, B=0, 0008955 & C=0, 0030298. Est igi∣tur differentia arcuum ut 0, 0002097V+0, 0008955V⅔+ 0,0030298V ²: & propterea cum per Corol. Prop. xxx. resi∣stentia Globi in medio arcus oscillando descripti, ubi velocitas est V, sit ad ipsius pondus ut 7/11 AV+16/23BV½+¾CV ² ad lon∣gitudinem Penduli; si pro A, B & C scribantur numeri inventi, fiet resistentia Globi ad ejus pondus, ut 0, 0001334 V+0, 000623 V½+0, 00227235V ² ad longitudinem Penduli inter centrum sus∣pensionis & Regulam, id est ad 121 digitos. Unde cum V in

casu secundo designet 1, in quarto 4, in sexto 16: erit resisten∣tia ad pondus Globi in casu secundo ut 0.003029 ad 121, in quarto ut 0.042875 ad 121, in sexto ut 0.63013 ad 121.

Arcus quem punctum in filo notatum in Casu sexto descripsit, erat 120−8/9 2/3 seu 119 5/29 digitorum. Et propterea cum radius es∣set 121 digitorum, & longitudo penduli inter punctum suspen∣sionis & centrum Globi esset 126 digitorum, arcus quem centrum Globi descripsit erat 124 3/31 digitorum. Quoniam corporis oscil∣lantis velocitas maxima ob resitentiam Aeris non incidit in pun∣ctum infimum arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totius versatur: haec eadem erit circiter ac si Globus descensu suo toto in Medio non resistente describeret arcus illius partem dimidiam digitorum 62 3/62; idque in Cycloide, ad quam motum penduli su∣pra reduximus: & propterea velocitas illa aequalis erit velocitati quam Globus, perpendiculariter cadendo & casu suo describendo altitudinem arcus illius Sinui verso aequalem, acquirere posset. Est autem sinus ille versus in Cycloide ad arcum istum 62 3/62 ut arcus idem ad penduli longitudinem duplam 252, & propterea aequa∣lis digitis 15, 278. Quare velocitas ea ipsa est quam corpus caden∣do & casu suo spatium 15, 278 digitorum describendo acquirere posset. Unde cum corpus tempore minuti unius secundi caden∣do (uti per experimenta pendulorum determinavit Hugenius) describat pedes Parisienses 15 1/12, id est pedes Anglicos 16 11/24 seu digitos 197 ½, & tempora sint in dimidiata ratione spatiorum; Globus tempore minut. 16 tert. 38 quart. cadendo describet 15, 278 digitos, & velocitatem suam praedictam acquiret; & propterea cum eadem velocitate uniformiter continuata describet eodem tempore longitudinem duplam 30, 556 digitorum. Tali igitur cum velocitate Globus resistentiam patitur, quae sit ad ejus pon∣dus ut 0, 63013 ad 121, vel (si resistentiae pars illa sola specte∣tur quae est in velocitatis ratione duplicata) ut 0, 58172 ad 121.

Experimento autem Hydrostatico inveni quod pondus Globi

hujus lignei esset ad pondus Globi aquei magnitudinis ejusdem, ut 55 ad 97: & propterea cum 121 sit ad 213, 4 in eadem ra∣tione, erit resistentia Globi aquei praefata cum velocitate progre∣dientis ad ipsius pondus ut 0, 58172 ad 213, 4, id est ut 1 ad 366 ⅚. Unde cum pondus Globi aquei, quo tempore Globus cum veloci∣tate uniformiter continuata describat longitudinem pedum 30, 556, velocitatem illam omnem in Globo cadente generare posset; ma∣nifestum est quod vis resistentiae uniformiter continuata tollere posset velocitatem minorem in ratione 1 ad 366⅚, hoc est velo∣citatis totius partem 1/366 ⅚. Et propterea quo tempore Globus, ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem semidia∣metri suae seu digitorum 3 7/16 describere posset, eodem amitteret motus sui partem 1/3262.

Numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam motus sui partem amisit▪ In sequente Tabula numeri supremi denotant longitudinem arcus descensu primo descripti, in digitis & partibus digiti expressam: numeri medii significant longitudi∣nem arcus ascensu ultimo descripti; & loco infimo stant numeri oscillationum. Experimentum descripsi tanquam magis accura∣tum quam cum motus pars tantum octava amitteretur. Calculum tentet qui volet.

Descensus Primus	2	4	8	16	32	64
Ascensus ultimus	1 ½	3	6	12	24	48
Num. Oscillat.	374	272	162 ½	83 ⅓	41 ⅔	22 ⅓

Postea Globum plumbeum, diametro digitorum duorum & pondere unciarum Romanarum 26 ¼ suspendi filo eodem, sic ut inter centrum Globi & punctum suspensionis intervallum esset pedum 10½, & numerabam oscillationes quibus data motus pars amitteretur. Tabularum subsequentium prior exhibet numerum

oscillationum quibus pars octava motus totius cessavit; secunda numerum oscillationum quibus ejusdem pars quarta amissa fuit.

Descensus primus	1	2	4	8	16	32	64
Ascensus ultimus	7/8	7/4	3 ½	7	14	28	56
Numerus Oscillat.	226	228	193	140	90 ½	53	30

Descensus primus	1	2	4	8	16	32	64
Ascensus ultimus	¾	1 ½	3	6	12	24	48
Numerus Oscillat.	510	518	420	318	204	121	70

In Tabula priore seligendo ex observationibus tertiam, quin∣tam & septimam, & exponendo velocitates maximas in his ob∣servationibus particulatim per numeros 1, 4, 16 respective, & ge∣neraliter per quantitatem V ut supra: emerget in observatione prima 2/193=A+B+C, in secunda 2/90 ½=4A+8B+16C, in tertia 8/30 aequ. 16A+64B+256C. Quae aequationes per re∣ductiones superius expositas dant, A=0, 000145, B=0, 000217 & C=0, 0••09. Et inde prodit resistentia Globi cum velo∣citate V moventis, in ea ratione ad pondus suum unciarum 26 ¼, quam habet 0, 000923V + 0,000172V3/2+0, 000675V ² ad Pen∣duli longitudinem 121 digitorum. Et si spectemus eam solum∣modo resistentiae partem quae est in duplicata ratione velocitatis, haec erit ad pondus Globi ut 0, 000675V ² ad 121 digitos. Erat autem haec pars resistentiae in experimento primo ad pondus Glo∣bi lignei unciarum 57 7/22 ut 0, 00227235V ² ad 121: & inde fit re∣sistentia Globi lignei ad resistentiam Globi plumbei (paribus eorum velocitatibus) ut 57 7/22 in 0, 00227235 ad 26 ¼ in 0, 00••675, id est ut 130309 ad 17719 seu 7 ⅓ ad 1. Diametri Globorum du∣orum erant 6 ⅞ & 2 digitorum, & harum quadrata sunt ad invi∣cem ut 47 ¼ & 4, seu 11 13/16 & 1 quamproxime. Ergo resistentiae

Globorum aequivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum. At nondum consideravimus resistentiam fili, quae certe permagna erat, ac de pendulorum inventa resistentia sub∣duci debet. Hanc accurate definire non potui, sed majorem tamen inveni quam partem tertiam resistentiae totius minoris pen∣duli, & inde didici quod resistentiae Globorum, dempta fili resi∣stentia, sunt quamproxime in dimidiata ratione diametrorum. Nam ratio 7 ⅓−⅓ ad 1−⅓, id est 7 ad ½ seu 10 ½ ad 1, non longe abest a diametrorum ratione duplicata 11 13/16 ad 1.

Cum resistentia fili in Globis majoribus minoris sit momenti, tentavi etiam experimentum in Globo cujus diameter erat 18 ¼ di∣gitorum. Longitudo penduli inter punctum suspensionis & cen∣trum oscillationis erat digitorum 122 ¼, inter punctum suspensio∣nis & nodum in filo 109 ½ dig. Arcus primo penduli descensu a nodo descriptus, 32 dig. arcus ascensu ultimo post oscillationes quinque ab eodem nodo descriptus, 28 dig. Summa arcuum seu arcus totus oscillatione mediocri descriptus, 30 dig. Differentia arcuum 4 dig. Ejus pars decima seu differentia inter descensum & ascensum in oscillatione mediocri ⅗ dig. Ut radius 109 ½ ad ra∣dium 122 ½, ita arcus totus 60 dig. oscillatione mediocri a Nodo descriptus, ad arcum totum 67 ⅛, oscillatione mediocri a centro Glo∣bi descriptum: & ita differentia 2/5 ad differentiam novam 0, 4475. Si longitudo penduli, manente longitudine arcus descripti, auge∣retur in ratione 126 ad 122 ½, velocitas ejus diminueretur in ra∣tione illa dimidiata; & arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum differentia 0, 4475 diminueretur in ratione veloci∣tatis, adeoque evaderet 0, 4412. Deinde si arcus descriptus au∣geretur in ratione 67 ⅛ ad 124 3/31, differentia ista 0, 4412 augere∣tur in duplicata illa ratione, adeoque, evaderet 1, 509. Haec ita se haberent, ex hypothesi quod resistentia Penduli esset in dupli∣cata ratione velocitatis. Ergo si pendulum describeret arcum to∣tum 124 3/32 digitorum, & longitudo ejus inter punctum suspensio∣nis & centrum oscillationis esset 126 digitorum, differentia arcu∣um

descensu & subsequente ascensu descriptorum foret 1, 509 dig. Et haec differentia ducta in pondus Globi penduli, quod erat unciarum 208, producit 3••3, 9. Rursus ubi pendulum su∣perius ex Globo ligneo constructum, centro oscillationis, quod a puncto suspensionis digitos 126 distabat, describebat arcum to∣tum 124 3/31 digitorum, differentia arcuum descensu & ascensu de∣scriptorum fsuit 126/121 in 8/9 ⅔ seu 25/29, quae ducta in pondus Globi, quod erat unciarum 57 7/22, producit 48, 55. Duxi autem differentias hasce in pondera Globorum ut invenirem eorum resistentias. Nam differentiae oriuntur ex resistentiis, suntque ut resistentiae directe & pondera inverse. Sunt igitur resistentiae ut numeri 313, 9 & 48, 55. Pars autem resistentiae Globi minoris, quae est in dupli∣cata ratione velocitatis, erat ad resistentiam totam ut 0, 5817. ad 0, 63013, id est ut 44, 4 ad 48, ••5; & pars resistentiae Globi majoris propemodum aequatur ipsius resistentiae toti, adeoque partes illae sunt ut 313, 9 & 44, 4 quamproxime, id est ut 7, ••7 ad 1. Sunt autem Globorum diametri 10 ¾ & 6 ⅞; & harum qua∣drata 351 ½ & 47 17/64 sunt ut 7, 38 & 1, id est ut Globorum, resi∣stentiae 7, 07 & 1 quamproxime. Differentia rationum haud ma∣jor est quam quae ex fili resistentia oriri potuit. Igitur resistentia∣rum partes illae quae sunt (paribus Globis) ut quadrata veloci∣tatum, sunt etiam (paribus velocitatibus) ut quadrata diametro∣rum Globorum; & propterea (per Corollaria Prop. XL. Libri hujus) resistentia quam Globi majores & velociores in aere mo∣vendo sentiunt, haud multum per infinitam aeris divisionem & subtiliationem diminui potest, proindeque Media omnia in qui∣bus corpora multo minus resistuntur, sunt aere rariora.

Caeterum Globorum, quibus usus sum in his experimentis, maximus non erat perfecte Sphaericus, & propterea in calculo hic allato minutias quasdam brevitatis gratia neglexi; de calculo ac∣curato in experimento non satis accurato minime sollicitus. Op∣tarim itaque (cum demonstratio vacui ex his dependeat) ut ex∣perimenta

cum Globis & pluribus & majoribus & magis accura∣tis tentarentur. Si Globi sumantur in proportione Geometri∣ca, puta quorum diametri sint digitorum 4, 8, 16, 32; ex pro∣gressione experimentorum colligetur quid in Globis adhuc ma∣joribus evenire debeat.

Jam vero conferendo resistentias diversorum fluidorum inter se tentavi sequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum quatuor, latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nudatam implevi aqua fontana, fecique ut immersa pendula in medio aquae oscillando moverentur. Globus autem plumbeus pondere 166 ⅙ unciarum, diametro 3 ⅝ digitorum, movebatur ut in Tabula sequente descripsimus, existente videlicet longitudi∣ne penduli a puncto suspensionis ad punctum quoddam in filo notatum 126 digitorum, ad oscillationis autem centrum 134 ⅛ di∣gitorum.

Arcus descensu primo a puncto in filo notato descriptus digitorum.	64	32	16	8	4	2	1	½	¼
Arcus ascensu ultimo descriptus di∣gitorum.	48	24	12	6	3	1 ½	¼	••/8	••/16
Arcuum differentia motui amisso proportionalis, digitorum.	16	8	4	2	1	½	¼	4/8	1/16
Numerus oscillationum in aqua.			••••/60	1 ⅕	3	7	11 ¼	12 2/••	13 ⅓
Numerus oscillationum in aere.	85 ½		287	535

In experimento columnae quartae, motus aequales oscillationi∣bus 535 in aere, & 1 ⅕ in aqua amissi sunt. Erant autem oscil∣lationes in aere paulo celeriores quam in aqua, nimirum in ra∣tione 44 ad 41. Nam 14 ⅔ oscillationes in aqua, & 13 ⅔ in aere simul peragebantur. Et propterea si oscillationes in aqua in ea ratione accelerarentur ut motus pendulorum in Medio utroque fierent aequiveloces, numerus oscillationum 1 ⅕ in aqua, quibus motus idem ac prius amitteretur (ob resistentiam auctam in ra∣tione illa duplicata & tempus diminutum in ratione eadem sim∣plici)

diminueretur in eadem illa ratione 44 ad 41, adeo∣que evaderet 1 ⅓ in 41/44 seu 123/110. Paribus igitur Pendulorum ve∣locitatibus motus aequales in aere oscillationibus 535 & in aqua oscillationibus 123/110 amissi sunt; ideoque resistentia penduli in aqua est ad ejus resistentiam in aere ut 535 ad 123/110. Haec est propor∣tio resistentiarum totarum in Casu columnae quartae.

Designet jam AV+CV ² resistentiam Globi in aere cum velo∣citate V moventis, & cum velocitas maxima, in Casu columnae, quartae sit ad velocitatem maximam in casu columnae primae ut 1 ad 8, & resistentia in Casu columnae quartae ad resistentiam in Casu columnae primae in ratione arcuum differentiae in his casibus, ad numeros oscillationum applicatae, id est ut 2/535 ad 16/85 ½, seu ut 85 ½ ad 4280: scribamus in his Casibus 1 & 8 pro velocitatibus, atque 85 ½ & 4280 pro resistentiis, & fiet A+C=85 ½ & 8 A+64 C=4280 seu A+8C=535, indeque per reductionem aequationum proveniet 7 C=449 ½ & C=64 3/14 & A=21 2/7; atque adeo resistentia ut 21 2/7 V+64 3/14 V ² quamproxime. Quare in Casu columnae quartae ubi velocitas erat 1, resistentia tota est ad partem suam quadrato ve∣locitatis proportionalem, ut 21 2/7+64 3/14 seu 85 ½, ad 64 3/14; & id∣circo resistentia penduli in aqua est ad resistentiae partem illam in aere quae quadrato velocitatis proportionalis est, quaeque sola in motibus velocioribus consideranda venit, ut 85 ½ ad 64 3/14 & 535 ad 123/110 conjunctim, id est ut 637 ad 1. Si penduli in aqua oscil∣lantis filum totum fuisset immersum, resistentia ejus fuisset adhuc major; adeo ut penduli in aere oscillantis resistentia illa quae ve∣locitatis quadrato proportionalis est, quaeque sola in corporibus velocioribus consideranda venit, sit ad resistentiam ejusdem pen∣duli totius, eadem cum velocitate in aqua oscillantis, ut 800 vel 900 ad 1 circiter, hoc est ut densitas aquae ad densitatem aeris quam∣proxime.

In hoc calculo sumi quoque deberet pars illa resistentiae pen∣duli in aqua, quae esset ut quadratum velocitatis, sed (quod mi∣rum

forte videatur) resistentia in aqua augebatur in ratione ve∣locitatis plusquam duplicata. Ejus rei causam investigando, in hanc incidi, quod Arca nimis angusta esset pro magnitu∣dine Globi penduli, & motum aquae cedentis prae angustia sua nimis impediebat. Nam si Globus pendulus, cujus diameter erat digiti unius, immergeretur, resistentia augebatur in duplicata ra∣tione velocitatis quamproxime. Id tentabam construendo pen∣dulum ex Globis duobus, quorum inferior & minor oscillaretur in aqua, superior & major proxime supra aquam filo assixus es∣set, & in Aere oscillando, adjuvaret motum penduli eumque diu∣turniorem redderet. Experimenta autem hoc modo instituta se habebant ut in Tabula sequente describitur.

Arcus descensu primo descriptus	16	8	4	2	1	½	¼
Arcus ascensu ultimo descriptus.	12	6	3	1 ½	¼	⅛	1/16
Arcuum diff. motui amisso proportionalis	4	2	1	½	¼	⅛	1/16
Numerus Oscillationum	3 ⅛	6 ½	12 1/12	21 ⅕	34	53	62 ⅕

Resistentia hic nunquam augetur in ratione velocitatis plus∣quam duplicata. Et idem in pendulo majore evenire verisimile est, si modo Arca augeatur in ratione penduli. Debebit tamen resi∣stentia tam in aere quam in aqua, si velocitas per gradus in in∣finitum augeatur, augeri tandem in ratione paulo plusquam du∣plicata, propterea quod in experimentis hic descriptis resistentia minor est quam pro ratione de corporibus velocissimis in Libri hu∣jus Prop. xxxvi & xxxviii. demonstrata. Nam corpora longe velocissima spatium a tergo relinquent vacuum, ideoque resisten∣tia quam sentiunt in partibus praecedentibus, nullatenus minue∣tur per pressionem Medii in partibus posticis.

Conferedo resistentias Mediorum inter se, effeci etiam ut pen∣dula ferrea oscillarentur in argento vivo. Longitudo fili ferrei erat pedum quasi trium, & diameter Globi penduli quasi tertia

pars digiti. Ad filum autem proxime supra Mercurium affixus erat Globus alius plumbeus satis magnus ad motum per duli diu∣tius continuandum. Tum vasculum, quod capiebat quasi libras tres argenti vivi, implebam vicibus alternis argento vivo & aqua communi, ut pendulo in Fluido utroque successive oscillante in∣venirem proportionem resistentiarum: & prodiit resistentia ar∣genti vivi ad resistentiam aquae ut 13 vel 14 ad 1 circiter: id est ut densitas argenti vivi ad densitatem aquae. Ubi Globum pen∣dulum paulo majorem adhibebam, puta cujus diameter esset quasi ½ vel ⅔ partes digiti, prodibat resistentia argenti vivi in ea ratio∣ne ad resistentiam aquae quam habet numerus 12 vel 10 ad 1 circi∣ter. Sed experimento priori magis fidendum est, propterea quod in his ultimis vas nimis angustum fuit pro magnitudine Globi immersi. Ampliato Globo, deberet etiam vas ampliari. Consti∣tueram quidem hujusmodi experimenta in vasis majoribus & in liquoribus tum Metallorum fusorum, tum aliis quibusdam tam ca∣lidis quam frigidis repetere: sed omnia experiri non vacat, & ex jam descriptis satis liquet resistentiam corporum celeriter mo∣torum densitati Fluidorum in quibus moventur proportionalem esse quamproxime. Non dico accurate. Nam Fluida tenaciora pari densitate proculdubio magis resistunt quam liquidiora, ut oleum frigidum quam calidum, calidum quam aqua pluvialis, a∣qua quam Spiritus vini. Verum in liquoribus qui ad sensum sa∣tis fluidi sunt, ut in Aere, in aqua seu dulci seu falsa, in Spiri∣tibus vini, Terebinthi & Salium, in Oleo a foecibus per destilla∣tionem liberato & calefacto, Oleoque Vitrioli & Mercurio, ac Metallis liquefactis, & siqui sint alii, qui tam Fluidi sunt ut in vasis agitati motum impressum diutius conservent, effusique li∣berrime in guttas decurrendo resolvantur, nullus dubito quin re∣gula allata satis accurate obtineat: praesertim si experimenta in corporibus pendulis & majoribus & velocius motis instituantur.

Quare cum Globus aqueus in aere movendo resistentiam pati∣atur qua motus sui pars 1/3261, interea dum longitudinem semidi∣ametri

suae describat (ut jam ante ostensum est) tollatur, sit∣que densitas aeris ad densitatem aquae ut 800 vel 850 ad 1 circiter, consequens est ut haec Regula generaliter obtineat. Si corpus quodlibet Sphaericum in Medio quocunque satis Fluido moveatur, & spectetur resistentiae pars illa sola quae est in duplicata ratione velocitatis, haec pars erit ad vim quae totum corporis motum, in∣terea dum corpus idem longitudinem duarum ipsius semidiame∣trorum motu illo uniformiter continuato describat, vel tollere pos∣set vel eundem generare, ut densitas Medii ad densitatem corpo∣ris quamproxime. Igitur resistentia quasi triplo major est quam pro lege in Corollario primo Propositionis xxxviii. allata; & propterea partes quasi duae tertiae motus illius omnis quem Globi partes anticae movendo imprimunt in Medium, restituuntur in Globi partes posticas a Medio in orbem reduente, inque spatium irruente quod Globus alias vacuum post se relinqueret. Unde si velocitas Globi eousque augeatur ut Medium non posset adeo ce∣leriter in spatium illud irruere, quin aliquid vacui a tergo Globi semper relinquatur, resistentia tandem evadet quasi triplo major quam pro Regula generali novissime posita.

Hactenus experimentis usi sumus oscillantium pendulorum, eo quod eorum motus facilius & accuratius observari & mensu∣rari possint. Motus autem pendulorum in gyrum actorum & in orbem redeundo circulos describentium, propterea quod sint uniformes & eo nomine ad investigandam resistentiam datae velo∣citati competentem longe aptiores videantur, in consilium etiam adhibui. Faciendo enim ut pendulum circulariter latum duode∣cies revolveretur, notavi magnitudines circulorum duorum, quos prima & ultima revolutione descripsit. Et inde collegi velocita∣tes corporis sub initio & fine. Tum dicendo quod corpus, veloci∣tate mediocri describendo circulos duodecim mediocres, amitteret velocitatum illarum differentiam, collegi resistentiam qua diffe∣rentia illa eo omni corporis per circulos duodecim itinere amitti posset; & resistentia inventa, quanquam hujus generis experi∣menta

minus accurate tentare licuit, probe tamen cum praeceden∣tibus congruebat.

Denique cum receptissima Philosophorum aetatis hujus opinio sit, Medium quoddam aethereum & longe subtilissimum extare, quod omnes omnium corporum poros & meatus liberrime per∣meet; a tali autem Medio per corporum poros fluente resisten∣tia oriri debeat: ut tentarem an resistentia, quam in motis cor∣poribus experimur, tota sit in eorum externa superficie, an vero partes etiam internae in superficiebus propriis resistentiam nota∣bilem sentiant, excogitavi experimentum tale. Filo pedum unde∣cim longitudinis, ab unco chalybeo satis firmo, mediante annulo chalybeo, suspendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad consti∣tuendum pendulum longitudinis praedictae. Uncus sursum praeacu∣tus erat acie concava, ut annulus arcu suo superiore aciei innixus liberrime moveretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita constitutum deducebam a perpendiculo ad distanti∣am quasi pedum sex, idque secundum planum aciei unci perpen∣diculare, ne annulus, oscillante Pendulo, supra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum suspensionis in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demis∣so notabam alia tria loca ad quae redibat in fine oscillationis pri∣mae, secundae ac tertiae. Hoc repetebam saepius, ut loca illa quam potui accuratissime invenirem. Tum pyxidem plumbo & gra∣vioribus, quae ad manus erant, metallis implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte sili quae circum pyxi∣dem volvebatur ac dimidio partis reliquae quae inter uncum & pyxidem pendulam tendebatur. (Nam filum tensum dimidio ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urget.) Huic ponderi addebam pondus aeris quam pyxis capiebat. Et pondus totum erat quasi pars septuagesima octava pyxidis metal∣lorum plenae. Tum quoniam pyxis Metallorum plena, pondere suo tendendo filum, augebat longitudinem penduli, contrahe∣bam

filum ut penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum distracto ac dimisso, numerabam oscillationes quasi septuaginta & septem, donec pyxis ad locum secundo notatum rediret, totidemque subin∣de donec pyxis ad locum tertio notatum rediret, atque rursus to∣tidem donec pyxis reditu suo attingeret locum quartum. Unde concludo quod resistentia tota pyxidis plenae non majorem habe∣bat proportionem ad resistentiam pyxidis vacuae quam 78 ad 77. Nam si aequales essent ambarum resistentiae, pyxis plena ob vim suam insitam septuagies & octies majorem vi ins•••••• pyxidis va∣cui, motum suum oscillatorium tanto diutius c〈…〉〈…〉vare deberet, atque adeo completis semper oscillationibus 78 ad loca illa nota∣ta redire. Rediit autem ad eadem completis oscillationibus 77.

Designet igitur A resistentiam pyxidis in ipisius superficie ex∣terna, & B resistentiam pyxidis vacuae in partibus internis; & si resistentiae corporum aequivelocium in partibus internis sint ut materia, seu numerus particularum quae resistuntur: erit 78 B resistentia pyxidis plenae in ipsius partibus internis: adeoque pyxi∣dis vacuae resistentia tota A+B erit ad pyxidis plenae resistentiam totam A+78 B ut 77 ad 78, & divisim A+B ad 77 B ut 77, ad 1, indeque A+B ad B ut 77×77 ad 1, & divisim A ad B ut 5928 ad 1. Est igitur resistentia pyxidis vacuae in partibus internis quinquies millies minor quam ejusdem resistentia in ex∣terna superficie, & amplius. Sic disputamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plenae oriatur ab actione Fluidi ali∣cujus subtilis in Metallum inclusum. At causam longe aliam esse opinor. Nam tempora oscillationum pyxidis plenae minora sunt quam tempora oscillationum pyxidis vacuae, & propterea resi∣stentia pyxidis plenae in externa superficie major est, pro ipsius velocitate & longitudine spatii oscillando descripti, quam ea pyxi∣dis vacuae. Quod cum ita sir, resistentia pyxidum in partibus internis aut nulla erit aut plane insensibilis.

Hoc experimentum recitavi memoriter. Nam charta, in qua illud aliquando descripseram, intercidit. Unde fractas quasdam numerorum partes, quae memoria exciderunt, omittere compul∣sus sum. Nam omnia denuo tentare non vacat. Prima vice, cum unco infirmo usus essem, pyxis plena citius retardabatur. Causam quaerendo, reperi quod uncus infirmus cedebat ponderi pyxidis, & ejus oscillationibus obsequendo in partes omnes flecte∣tabur. Parabam igitur uncum firmum, ut punctum suspensio∣nis immotum maneret, & tunc omnia ita evenerunt uti supra descripsimus.

Eadem methodo qua invenimus resistentiam corporum Sphae∣ricorum in Aqua & argento vivo, inveniri potest resistentia cor∣porum figurarum aliarum; & sic Navium figurae variae in Typis exiguis contructae inter se conferri, ut quaenam ad navigandum aptissimae sint, sumptibus parvis tentetur.

SECT. VIII. De Motu per Fluida propagato.

Prop. XLI. Theor. XXXI.

Pressio non propagatur per Fluidum secundum lineas rectas, nisi ubi particulae Fluidi in directum jacent.

Si jaceant particulae a, b, c, d, e in linea recta, potest quidem pressio directe propagari ab a ad e; at

[illustration]

particula e urgebit particulas oblique po∣sitas f & g oblique, & particulae illae f & g non sustinebunt pressionem illatam, nisi ful∣ciantur a particulis ulterioribus h & k; quatenus autem fulciuntur, premunt par∣ticulas fulcientes; & hae non sustinebunt pressionem nisi fulcian∣tur

ab ulterioribus l & m easque premant, & sic deinceps in in∣finitum. Pressio igitur, quam primum propagatur ad particulas quae non in directum jacent, divaricare incipiet & oblique pro∣pagabitur in infinitum; & postquam incipit oblique propagari, si inciderit in particulas ulteriores, quae non in directum jacent, ite∣rum divaricabit; idque toties, quoties in particulas non accurate in directum jacentes inciderit. Q.E.D.

Corol. Si pressionis a dato puncto per Fluidum propagatae pars aliqua obstaculo intercipiatur, pars reliqua quae non intercipi∣tur divaricabit in spatia pone obstaculum. Id quod sic etiam

[illustration]

demonstrari potest. A puncto A propagetur pressio quaqua∣versum, idque si fieri potest secundum lineas rectas, & obstacu∣lo NBCK perforato in BC, intercipiatur ea omnis, praeter par∣tem Coniformem APQ, quae per foramen circulare BC transit. Planis transversis de, fg, hi distinguatur conus APQ in frusta

& interea dum conus ABC, pressionem propagando, urget frustum conicum ulterius degf in superficie de, & hoc frustum urget frustum proximum fgih in superficie fg, & frustum il∣lud urget frustum tertium, & sic deinceps in infinitum; mani∣festum est (per motus Legem tertiam) quod frustum primum defg, reactione frusti secundi fghi, tantum urgebitur & pre∣metur in superficie fg, quantum urget & premit frustum illud secundum. Frustum igitur degf inter Conum Ade & frustum fhig comprimitur utrinque, & propterea (per Corol. 6. Prop. XIX.) figuram suam servare nequit, nisi vi eadem comprimatur undique. Eodem igitur impetu quo premitur in superficiebus de, fg conabitur cedere ad latera df, eg; ibique (cum ri∣gidum non sit, sed omnimodo Fluidum) excurret ac di∣latabitur, nisi Fluidum ambiens adsit, quo conatus iste co∣hibeatur. Proinde conatu excurrendi premet tam Fluidum ambiens ad latera df, eg quam frustum fghi eodem impetu; & propterea pressio non minus propagabitur a lateribus df, eg in spatia NO, KL hinc inde, quam propagatur a superficie fg versus PQ.Q.E.D.

Prop. XLII. Theor. XXXII.

Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in spatia immota.

Cas. 1. Propagetur motus a puncto A per foramen BC, per∣gatque (si fieri potest) in spatio conico BCQP, secundum li∣neas rectas divergentes a puncto C. Et ponamus primo quod mo∣tus iste sit undarum in superficie stagnantis aquae. Sintque de, fg, hi, kl, &c. undarum singularum partes altissimae, vallibus totidem intermediis ab invicem distinctae. Igitur quoniam aqua in undarum jugis altior est quam in Fluidi partibus immotis LK, NO, defluet eadem de jugorum terminis e, g, i, l, &c. d, f, h, k, &c. hinc inde versus KL & NO: & quoniam in undarum vallibus depressior est quam in Fluidi partibus immotis KL, NO; defluet

eadem de partibus illis immotis undarum valles. Defluxu pri∣ore undarum juga, posteriore valles hinc inde dilatantur & pro∣pagantur versus KL & NO. Et quoniam motus undarum ab A versus PQ fit per continuum defluxum jugorum in valles proxi∣mos, adeoque celerior non est quam pro celeritate descensus & descensus aquae hinc inde versus KL & NO eadem velocitate per∣agi debet; propagabitur dilatatio undarum hinc inde versus KL & NO, eadem velocitate qua undae ipsae ab A versus PQ recta progrediuntur. Proindeque spatium totum hinc inde ver∣sus KL & NO ab undis dilatatis rfgr, shis, tklt, vmnv, &c occupabitur. Q.E.D. Haec ita se habere quilibet in aqua stag∣nante experiri potest.

Cas. 2. Ponamus jam quod de, fg, hi, kl, mn designent pulsus a puncto A per Medium Elasticum successive propagatos.

[illustration]

Pulsus propagari concipe per successivas condensationes & rare∣factiones Medii, sic ut pulsus cujusque pars densissima Sphaericam

occupet superficiem circa centrum A descriptam, & inter pulsus successivos aequalia intercedant intervalla. Designent autem lineae de, fg, hi, kl, &c. densissimas pulsuum partes per foramen BC propagatas. Et quoniam Medium ibi densius est quam in spatiis hinc inde versus KL & NO, dilatabit sese tam versus spatia illa KL, NO utrinque sita, quam versus pulsuum rariora intervalla; eo{que} pacto rarius semper evadens e regione intervallorum ac den∣sius e regione pulsuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulsuum progressivus motus oritur a perpetua relaxatione parti∣um densiorum versus antecedentia intervalla rariora; & pulsus eadem celeritate sese in Medii partes quiescentes KL, NO hinc inde relaxare debent; pulsus illi eadem celeritate sese dilatabunt undique in spatia immota KL, NO, qua propagantur directe a centro A; adeoque spatium totum KLON occupabunt. Q.E.D. Hoc experimur in sonis, qui vel domo interposita audiuntur, vel in cubiculum per fenestram admissi sese in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiuntur, non reflexi a parieti∣bus oppositis sed a fenestra directe propagati.

Cas. 3. Ponamus denique quod motus cujuscunque generis propagetur ab A per foramen BC: & quoniam propagatio ista non fit nisi quatenus partes Medii centro A propiores urgent commoventque partes ulteriores; & partes quae urgentur Fluidae sunt, ideoque recedunt quaquaversum in regiones ubi minus pre∣muntur: recedent eaedem versus Medii partes omnes quiescentes, tam laterales KL & NO, quam anteriores PQ, eoque pacto mo∣tus omnis, quam primum per foramen BC transiit, dilatari in∣cipiet, & abinde tanquam a principio & centro in partes omnes directe propagari. Q.E.D.

Prop. XLIII. Theor. XXXIII.

Corpus omne tremulum in Medio Elastico propagabit motum pulsu∣um undique in directum; in Medio vero non Elastico motum circularem excitabit.

Cas. 1. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo & redeundo, itu suo urgebunt & propellent partes Medii sibi proxi∣mas, & urgendo compriment easdem & condensabunt; dein re∣ditu suo sinent partes compressas recedere & sese expandere. Igi∣tur partes Medii corpori tremulo proximae ibunt & redibunt per vices, ad instar partium corporis illius tremuli: & qua ratione partes corporis hujus agitabant hasce Medii partes, hae similibus tremoribus agitatae agitabunt partes sibi proximas, eaeque simi∣liter agitatae agitabunt ulteriores, & sic deinceps in infinitum. Et quemadmodum Medii partes primae eundo condensantur & redeundo relaxantur, sic partes reliquae quoties eunt condensabun∣tur, & quoties redeunt sese expandent. Et propterea non omnes ibunt & simul redibunt (sic enim determinatas ab invicem distan∣tias servando non rarefierent & condensarentur per vices) sed accedendo ad invicem ubi condensantur, & recedendo ubi rare∣fiunt, aliquae earum ibunt dum aliae redeunt; idque vicibus al∣ternis in infinitum. Partes autem euntes & eundo condensatae, ob motum suum progressivum quo feriunt obstacula, sunt pulsus; & propterea pulsus successivi a corpore omni tremulo in directum propagabuntur; idque aequalibus circiter ab invicem distantiis, ob aequalia temporis initervalla, quibus corpus tremoribus suis sin∣gulis singulos pulsus excitat. Q.E.D. Et quanquam corporis tremuli partes eant & redeant secundum plagam aliquam certam & determinatam, tamen pulsus inde per Medium propagati sese dilatabunt ad latera, per Propositionem praecedentem; & a corpore illo tremulo tanquam centrocommuni, secundum super∣ficies propemodum Sphaericas & concentricas, undique propaga∣buntur. Cujus rei exemplum aliquod habemus in Undis, quae si di∣gito tremulo excitentur, non solum pergent hinc inde secundum plagam motus digiti, sed, in modum circulorum concentricorum, digitum statim cingent & undique propagabuntur. Nam gravitas undarum supplet locum vis Elasticae.

Quod si Medium non sit Elasticum: quoniam ejus partes a cor∣poris

tremuli partibus vibratis pressae condensari nequeunt, pro∣pagabitur motus in instanti ad partes ubi Medium facillime ce∣dit, hoc est ad partes quas corpus tremulum alioqui vacu∣as a tergo relinqueret. Idem est casus cum casu corporis in Medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus, non recedit in infinitum, sed in circulum eundo pergit ad spatia quae corpus relinquit a tergo. Igitur quoties corpus tremulum per∣git in partem quamcunque, Medium cedendo perget per circu∣lum ad partes quae corpus relinquit, & quoties corpus regreditur ad locum priorem, Medium inde repelletur & ad locum suum priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non sit firmum, sed modis omnibus flexile, si tamen magnitudine datum maneat, quoniam tremoribus suis nequit Medium ubivis urgere, quin alibi eidem simul cedat; efficiet ut Medium, recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper in Orbem ad partes quae eidem ce∣dunt.

Corol. Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flammae ad pressionem per Medium ambiens secundum lineas rectas propagandam conducere. Debebit ejusmodi pressio non ab agitatione sola partium flammae sed a totius dilatatione deri∣vari.

Prop. XLIV. Theor. XXXIV.

Si Aqua in canalis cruribus erectis KL, MN vicibus alternis ascendat & descendat; construatur autem Pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis aequetur semissi longitudinis aquae in Canali: dico quod aqua ascendet & descendet iis∣dem temporibus quibus pendulum oscillatur.

Longitudinem aquae mensuro secundum axes canalis & cru∣rum, eandem summae horum axium aequando. Designent igi∣tur AB, CD mediocrem altitudinem aquae in crure utroque; & ubi aqua in crure KL ascendit ad altitudinem EF, descenderit aqua in crure MN ad altitudinem GH. Sit autem P corpus

pendulum, VP filum, V punctum suspensionis, SPQR Cyclo∣is quam Pendulum describat, P ejus punctum infimum, PQ ar∣cus altitudini AE aequalis. Vis, qua motus aquae alternis vicibus

[illustration]

acceleratur & retardatur, est excessus ponderis aquae in alterutro crure supra pondus in altero, ideoque ubi aqua in crure KL as∣cendit ad EF, & in crure altero descendit ad GH, vis illa est pon∣dus duplicatum aquae EABF, & propterea est ad pondus aquae totius ut AE seu PQ ad VP seu PR. Vis etiam, qua pondus P in loco quovis Q acceleratur & retardatur in Cycloide, est ad ejus pondus totum, ut ejus distantia PQ a loco infimo P, ad Cycloi∣dis longitudinem PR. Quare aquae & penduli, aequalia spatia AE, PQ describentium, vires motrices sunt ut pondera moven∣da; ideoque vires illae, si aqua & pendulum in principio, aequali cum velocitate moveantur; pergent eadem temporibus aequali∣ter movere, efficientque ut motu reciproco simul eant & redeant. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur aquae ascendentis & descendentis, sive motus intensior sit sive remissior, vices omnes sunt Isochronae.

Corol. 2. Si longitudo aquae totius in canali sit pedum Parisi∣ensium 6 1/9, aqua tempore minuti unius secundi descendet, & tempore minuti alterius secundi ascendet; & sic deinceps vici∣bus alternis in infinitum. Nam pendulum pedum 3 1/18 longitu∣dinis, tempore minuti unius secundi oscillatur.

Corol. 3. Aucta autem vel diminuta longitudine aquae, auge∣tur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione dimidiata.

Prop. XLV. Theor. XXXV.

Vndarum velocitas est in dimidiata ratione latitudinum.

Consequitur ex constructione Propositionis sequentis.

Prop. XLVI. Prob. XI.

Invenire velocitatem Vndarum.

Constituatur Pendulum cujus longitudo inter punctum suspen∣sionis & centrum oscillationis aequetur latitudini Undarum: & quo tempore pendulum illud oscillationes singulas peragit, eodem Un∣dae progrediendo latitudinem suam propemodum conficient.

Undarum latitudinem voco mensuram transversam quae vel val∣libus imis vel summis culminibus interjacet. Designet ABCDEF superficiem aquae stagnantis, undis successivis ascendentem ac des∣cendentem, sintque A, C, E, &c. undarum culmina, & B, D, F, &c. valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquae suc∣cessivum ascensum & descensum, sic ut ejus partes A, C, E, &c. quae nunc infimae sunt, mox fiant altissimae; & vis motrix, qua partes altissimae descendunt & infimae ascendunt, est pondus aquae elevatae; alternus ille ascensus & descensus analogus erit motui reciproco aquae in canali, easdemque temporis leges ob∣servabit: & propterea (per Prop. XLIV) si distantiae inter un∣darum loca altissima A, C, E, & infima B, D, F aequentur duplae penduli longitudini, partes altissimae A, C, E tempore oscillatio∣nis unius evadent infimae, & tempore oscillationis alterius de∣nuo ascendent. Igitur inter transitum Undarum singularum tempus erit oscillationum duarum; hoc est Unda describet latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis oscillatur; sed eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla est,

adeoque aequat undarum latitudinem, oscillabitur semel. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur Undae, quae pedes Parisienses 3 1/18 latae sunt, tempore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient; adeoque tempore minuti unius primi percurrent pe∣des 183⅓, & horae spatio pedes 11000 quam proxime.

Corol. 2. Et undarum majorum vel minorum velocitas auge∣bitur vel diminuetur in dimidiata ratione latitudinis.

Haec ita se habent ex Hypothesi quod partes aquae recta ascen∣dunt vel recta descendunt; sed ascensus & descensus ille verius fit per circulum, ideoque tempus hac Propositione non nisi quam∣proxime definitum esse affirmo.

Prop. XLVII. Theor. XXXVI.

Pulsuum in Fluido Elastico propagatorum velocitates sunt in ratione composita ex dimidiata ratione vis Elasticae directe & dimidiata rati∣one densitatis inverse; si modo Fluidi vis Elastica ejusdem conden∣sationi proportionalis esse supponatur.

Cas. 1. Si Media sint homogenea, & pulsuum distantiae in his Mediis aequentur inter se, sed motus in uno Medio intensior sit: contractiones & dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Accurata quidem non est haec proportio. Verum tamen nisi contractiones & dilatationes sint valde intensae, non errabit sensi∣biliter, ideoque pro Physice accurata haberi potest. Sunt autem vires Elasticae motrices ut contractiones & dilatationes; & veloci∣tates partium aequalium simul genitae sunt ut vires. Ideoque ae∣quales & correspondentes pulsuum correspondentium partes, itus & reditus suos per spatia contractionibus & dilatationibus pro∣portionalia, cum velocitatibus quae sunt ut spatia, simul pera∣gent: & propterea pulsus, qui tempore itus & reditus unius lati∣tudinem suam progrediendo conficiunt, & in loca pulsuum proxi∣me praecedentium semper succedunt, ob aequalitatem distantia∣rum, aequali cum velocitate in Medio utroque progredientur.

Cas. 2. Sin pulsuum distantiae seu longitudines sint majores in uno Medio quam in altero; ponamus quod partes corresponden∣tes spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singulis vicibus eundo & redeundo describant: & aequales erunt earum con∣tractiones & dilatationes. Ideoque si Media sint homogenea, aequales erunt etiam vires illae Elasticae motrices quibus recipro∣co motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, est ut pulsuum latitudo; & in eadem ratione est spatium per quod singulis vicibus eundo & redeundo moveri debent. Estque tem∣pus itus & reditus unius in ratione composita ex ratione dimidi∣ata materiae & ratione dimidiata spatii, atque adeo ut spatium. Pulsus autem temporibus itus & reditus unius eundo latitudines suas conficiunt, hoc est, spatia temporibus proportionalia per∣currunt; & propterea sunt aequiveloces.

Cas. 3. In Mediis igitur densitate & vi elastica paribus, pul∣sus omnes sunt aequiveloces. Quod si Medii vel densitas vel vis Elastica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis Elasticae, & materia movenda in ratione densitatis augetur; tempus quo mo∣tus iidem peragantur ac prius, augebitur in dimidiata ratione den∣sitatis, ac diminuetur in dimidiata ratione vis Elasticae. Et prop∣terea velocitas pulsuum erit in ratione composita ex ratione di∣midiata densitatis Medii inverse & ratione dimidiata vis Elasticae directe. Q.E.D.

Prop. XLVIII. Theor. XXXVII.

Pulsibus per Fluidum propagatis, singulae Fluidi particulae, motu reciproco brevissimo euntes & redeuntes, accelerantur semper & re∣tardantur pro lege oscillantis Penduli.

Designent AB, BC, CD, &c. pulsuum successivorum aequales distantias; ABC plagam motus pulsuum ab A versus B pro∣pagati; E, F, G puncta tria Physica Medii quiescentis, in recta AC ad aequales ab invicem distantias sita; Ee, Ff, Gg, spatia

aequalia perbrevia per quae puncta illa motu re∣ciproco singulis vibrationibus eunt & redeunt; ε, φ, γ loca quaevis intermedia eorundem pun∣ctorum; & EF, FG lineolas Physicas seu Me∣dii partes lineares punctis illis interjectas, & suc∣cessive translatas in loca εφ, φγ & ef,fg. Re∣ctae Ee aequalis ducatur recta PS. Bisecetur eadem in O, centroque O & intervallo OP de∣scribatur circulus SIPi. Per

[illustration]

hujus circumferentiam to∣tam cum partibus suis expo∣natur tempus totum vibrati∣onis unius cum ipsius parti∣bus proportionalibus; sic ut completo tempore quovis PH vel PHSh, si demitta∣tur ad PS perpendiculum HL vel hl, & capi∣atur Ee aequalis PL vel Pl, punctum Physicum E reperiatur in ε. Hac lege punctum quodvis E eundo ab E per ε ad e, & inde redeundo per ε ad E iisdem accelerationis ac retardationis gra∣dibus, vibrationes singulas peraget cum oscillante Pendulo. Probandum est quod singula Medii puncta Physica tali motu agitari debeant. Fin∣gamus igitur Medium tali motu a causa qua∣cunque cieri, & videamus quid inde sequatur.

In circumferentia PHSh capiantur aequales arcus HI, IK vel hi, ik, eam habentes ratio∣nem ad circumferentiam totam quam habent ae∣quales rectae EF, FG ad pulsuum intervallum to∣tum BC. Et demissis perpendiculis IM, KN vel im, kn; quoniam puncta E, F, G motibus similibus successive agitantur, si PH vel PHSk sit tempus ab initio motus puncti E, erit PI

vel PHSi tempus ab initio motus puncti F, &

[illustration]

PK vel PHSh tempus ab initio motus puncti G; & propterea Eε, Fφ, Gγ erunt ipsis PL, PM, PN in itu punctorum, vel ipsis Pn, Pm, Pl in punctorum reditu, aequales respective. Unde εγ in itu punctorum aequalis erit EG−LN, in re∣ditu autem aequalis EG+ln. Sed εγ latitudo est seu expansio partis Medii EG in loco εγ, & propterea expansio partis illius in itu, est ad ejus expansionem mediocrem ut EG−LN ad EG; in reditu autem ut EG+ln seu EG+LN ad EG. Quare cum sit LN ad KH ut IM ad ra∣dium OP, & EG ad BC ut HK ad circumfe∣rentiam PHShP, & vicissim EG ad HK ut BC ad circumferentiam PHShP; id est (si circum∣ferentia dicatur Z) ut OP×BC / Z ad OP, & ex aequo LN ad EG ut IM ad OP×BC / Z: erit ex∣pansio partis EG in loco εγ ad expansionem mediocrem quam habet in loco suo primo EG, ut OP×BC / Z−IM ad OP×BC / Z in itu, utque OP×BC / Z+im ad OP×BC / Z in reditu. Unde si OP×BC / Z dicatur V, erit expansio partis EG, punctive Phy∣sici F, ad ejus expansionem mediocrem in itu, ut V−IM ad V, in reditu ut V+im ad V; & ejus∣dem vis elastica ad vim suam elasticam medio∣in itu, ut 1/V−IM ad 1/V; in reditu ut 1/V+im ad 1./V Et eodem argumento vires Elasticae punctorum Physicorum E & G in itu, sunt ut 1/V−HL & 1/V−KN ad 1/V; & virium differentia ad Medii

vim elasticam mediocrem, ut HL−KN / VV−V×HL−V×KN+HL×KN ad 1/V. Hoc est (si ob brevitatem pulsuum supponamus HK & KN indefinite minores esse quantitate V) ut HL−KN / VV ad 1/V, sive ut HL−KN ad V. Quare cum quantitas V detur, diffe∣rentia virium est ut HL−KN, hoc est (ob proportionales HL−KN ad HK & OM ad OI vel OP, da∣tasque

[illustration]

HK & OP) ut OM; id est, si Ff bise∣cetur in Ω, ut Ωφ. Et eodem argumento dif∣ferentia virium Elasticarum punctorum Phy∣sicorum ε & γ, in reditu lineolae Physicae εγ est ut Ωφ. Sed differentia illa (id est excessus vis Elasticae puncti ε supra vim elasticam pun∣cti γ,) est vis qua interjecta Medii lineola Physica εγ acceleratur; & propterea vis ac∣celeratrix lineolae Physicae εγ est ut ipsius distantia a Medio vi∣brationis loco Ω. Proinde tempus (per Prop. XXXVIII. Lib. I.) recte exponitur per arcum PI; & Medii pars linearis εγ lege praescripta movetur, id est lege oscillantis Penduli: estque par ra∣tio partium omnium linearium ex quibus Medium totum com∣ponitur. Q.E.D.

Corol. Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multipli∣catur in eorum progressu. Nam lineola Physica εγ, quampri∣mum ad locum suum primum redierit, quiescet; neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propa∣gari desinunt.

Prop. XLIX. Prob. XII.

Datis Medii densitate & vi Elastica, invenire velocitatem pulsuum.

Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Aeris no∣stri

comprimi, sitque A altitudo Medii homogenei, cujus pondus adaequet pondus incumbens, & cujus densitas eadem sit cum densitate Medii compressi, in quo pulsus propagantur. Consti∣tui autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis sit A; & quo tempore pen∣dulum illud oscillationem integram ex itu & reditu compositam peragit, eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferentiae circuli radio A descripti aequale.

Nam stantibus quae in Propositione superiore constructa sunt, si linea quaevis Physica, EF singulis vibrationibus describendo spa∣tium PS, urgeatur in extremis itus & reditus cujusque locis P & S, a vi Elastica quae ipsius ponderi aequetur; peraget haec vibra∣tiones singulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus Perimeter tota longitudini PS aequalis est, oscillari posset: id adeo quia vi∣res aequales aequalia corpuscula per aequalia spatia simul impellent. Quare cum oscillationum tempora sint in dimidiata ratione lon∣gitudinis pendulorum, & longitudo penduli aequetur dimidio ar∣cui Cycloidis totius; foret tempus vibrationis unius ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est A, in dimidiata ratione longitudinis ½ PS seu PO ad longitudinem A. Sed vis Elastica qua lineola Physica EG, in locis suis extremis P, S existens, urge∣tur, erat (in demonstratione Propositionis superioris) ad ejus vim totam Elasticam ut HL−KN ad V, hoc est (cum punctum K jam incidat in P) ut HK ad V: & vis illa tota, hoc est pon∣dus incumbens, qua lineola EG comprimitur, est ad pondus li∣neolae ut ponderis incumbentis altitudo A ad lineolae longitudinem EG; adeoque ex aequo, vis qua lineola EG in locis suis P & S urgetur, est ad lineolae illius pondus ut HK×A ad V×EG. Quare cum tempora, quibus aequalia corpora per aequalia spatia impelluntur, sint reciproce in dimidiata ratione virium, erit tem∣pus vibrationis unius urgente vi illa Elastica, ad tempus vibratio∣nis urgente vi ponderis, in dimidiata ratione V×EG ad HK×A, atque adeo ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est A, in dimidiata ratione V×EG ad HK×A & PO ad A conjunctim;

id est (cùm fuerit, in superiore Propositione, V aequalis PO×BC / Z, & HK aequalis EG×Z / BC) in dimidiata ratione POqu.×BC×EG / Z ad EG×Z×Aqu./BC seu POqu.×BCqu. ad Zqu.×Aqu. hoc est in ratione PO×BC ad Z×A, seu BC ad Z×A / PO. Sed tempore vibrationis unius ex itu & reditu compositae, pulsus progrediendo conficit la∣titudinem suam BC. Ergo tempus quo pulsus percurrit spatium BC, est ad tempus oscillationis unius ex itu & reditu compositae, ut BC ad Z×A / PO, id est ut BC ad circumferentiam circuli cujus radius est A. Tempus autem, quo pulsus percurret spatium BC, est ad tempus quo percurret longitudinem huic circumferentiae aequalem, in eadem ratione; ideoque tempore talis oscillationis pulsus percur∣ret longitudinem huic circumferentiae aequalem. Q.E.D.

Prop. L. Prob. XIII.

Invenire pulsuum distantias.

Corporis, cujus tremore pulsus excitantur, inveniatur numerus Vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur spa∣tium quod pulsus eodem tempore percurrere possit, & pars inven∣ta erit pulsus unius latitudo. Q.E.I.

Schol.

Spectant Propositiones novissimae ad motum Lucis & Sonorum. Lux enim cum propagetur secundum lineas rectas, in actione sola (per Prop. XLI. & XLII.) consistere nequit. Soni vero propterea quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quàm aeris pulsus propagati, per Prop. XLIII. Confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objectis, si modò vehementes sint & gra∣ves,

quales sunt soni Tympanorum. Nam tremores celeriores & breviores difficilius excitantur. Sed & sonos quosvis, in chordas corporibus sonoris unisonas impactos, excitare tremores notissimum est. Confirmatnr etiam ex velocitate sonorum. Nam cùm ponde∣ra specifica Aquae pluvialis & Argenti vivi sint ad invicem ut 1 ad 13⅔ circiter, & ubi Mercurius in Barometro altitudinem attingit di∣gitorum Anglicorum 30, pondus specificum Aeris & aquae pluvialis sint ad invicem ut 1 ad 850 circiter: erunt pondera specifica aeris & argenti vivi ut 1 ad 11617. Proinde cum altitudo argenti vivi sit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem no∣strum subjectum comprimere posset, erit 348500 digitorum seu pedum Anglicorum 29042. Estque haec altitudo illa ipsa quam in constructione superioris Problematis nominavimus A. Circuli ra∣dio 29042 pedum descripti circumferentia est pedum 182476. Et cum Pendulum digitos 39⅕ longum, oscillationem ex itu & redi∣tu compositam, tempore minutorum duorum secundorum, uti notum est, absolvat; pendulum pedes 29042, seu digitos 348500, longum, oscillationem consimilem tempore minutorum secundo∣rum 188 4/7 absolvere debebit. Eo igitur tempore sonus progredien∣do conficiet pedes 182476, adeoque tempore minuti unius secundi pedes 968. Scribit Mersennus, in Balisticae suae Prop. XXXV. se fa∣ctis experimentis invenisse quod sonus minutis quinque secundis hexapedas Gallicas 1150 (id est pedes Gallicos 6900) percurrat. Unde cum pes Gallicus sit ad Anglicum ut 1068 ad 1000, debebit so∣nus tempore minuti unius secundi pedes Anglicos 1474 conficere. Scribit etiam idem Mersennus Robervallum Geometram clarissimum in Obsidione Theodonis observasse tormentorum fragorem exaudi∣tum esse post 13 vel 14 ab igne viso minuta secunda, cùm tamen vix dimidiam Leucam ab illis Tormentis abfuerit. Continer Leuca Gallica hexapedas 2500, adeoque sonus tempore 13 vel 14 secun∣dorum, ex Observatione Robervalli, confecit pedes Parisienses 7500, ac tempore minuti unius secundi pedes Parisienses 560, Anglicos

verò 600 circiter. Multum differunt hae Observationes ab invicem, & computus noster medium locum tenet. In porticu Collegii no∣stri pedes 208 longa, sonus in termino alterutro excitatus quaterno recursu Echo quadruplicem efficit. Factis autem experimentis inveni quod singulis soni recursibus pendulum quasi sex vel septem digito∣rum longitudinis oscillabatur, ad priorem soni recursum eundo & ad posteriorem redeundo. Longitudinem penduli satis accuratè de∣finire nequibam: sed longitudine quatuor digitorum, oscillationes nimis celeres esse, ea novem digitorum nimis tardas judicabam. Unde sonus eundo & redeundo confecit pedes 416 minore tempore quàm pendulum digitorum novem, & majore quàm pendulum di∣gitorum quatuor oscillatur; id est minore tempore quàm 28¾ mi∣nutorum tertiorum, & majore quàm 19⅙; & propterea tempore mi∣nuti unius secundi conficit pedes Anglicos plures quàm 866 & pauci∣ores quàm 1272, atque adeò velocior est quàm pro Observatione Robervalli, ac tardior quàm pro Observatione Mersenni. Quinetiam accuratioribus postea Observationibus definivi quod longitudo pen∣duli major esse deberet quàm digitorum quinque cum semisse, & minor quàm digitorum octo; adeoque quòd sonus tempore minuti unius secundi confecit pedes Anglicos plures quàm 920 & pauciores quàm 1085. Igitur motus sonorum, secundum calculum Geome∣tricum superius allatum, inter hos limites consistens, quadrat cum Phaenomenis, quatenus hactenus tentare licuit. Proinde cùm mo∣tus iste pendeat ab aeris totius densitate, consequens est quod soni non in motu aetheris vel aeris cujusdam subtilioris, sed in aeris toti∣us agitatione consistat.

Refragari videntur experimenta quaedam de sono in vasis aere vacuis propagato, sed vasa aere omni evacuari vix possunt; & ubi satis evacuantur soni notabiliter imminui solent; Ex. gr. Si aeris to∣tius pars tantùm centesima in vase maneat, debebit sonus esse cen∣tuplo languidior, atque adeò non minus audiri quàm si quis so∣num eundem in aere libero excitatum audiendo, subinde ad decu∣plam

distantiam à corpore sonoro recederet. Conferenda sunt igi∣tur corpora duo aequaliter sonora, quorum alterum in vase evacuato, alterum in aere libero consistat, & quorum distantiae ab auditore sint in dimidiata ratione densitatum aeris: & si sonus corporis pri∣oris non superat sonum posterioris objectio cessabit.

Cognita sonorum velocitate, innotescunt etiam intervalla pul∣suum. Scribit Mersennus (Lib. I. Harmonicorum Prop. IV.) se (factis experimentis quibusdam quae ibidem describit) invenisse quod nervus tensus vicibus 104 recurrit spatio minuti unius secundi, quando facit Unisonum cum organica Fistula quadrupedali aperta vel bipedali obturata, quam vocant Organarii C fa ut. Sunt igi∣tur pulsus 104 in spatio pedum 968, quos sonus tempore minuti se∣cundi describit: adeoque pulsus unus occupat spatium pedum 9¼ circiter; id est duplam circiter longitudinem fistulae. Unde verisimi∣le est quòd latitudines pulsuum, in omnium apertarum fistularum sonis, aequentur duplis longitudinibus fistularum.

Porrò Soni cessante motu corporis sonori statim cessant, ne∣que diutiùs audiuntur ubi longissimè distamus à corporibus sonoris. quàm cum proximè absumus, patet ex Corollario Propositionis XLVIII. Libri hujus. Sed & cur soni in Tubis Stenterophonicis valde augentur, ex allatis principiis manifestum est. Motus enim omnis reciprocus singulis recursibus à causa generante augeri solet. Motus autem in Tubis dilatationem sonorum impedientibus tar∣diùs amittitur & fortius recurrit, & propterea à motu novo singulis recursibus impresso magis augetur. Et haec sunt praecipua Phaeno∣mena Sonorum.

SECT. IX. De motu Circulari Fluidorum.

Hypothesis.

REsistentiam, quae oritur ex defectu lubricitatis partium Fluidi, caeteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes Fluidi separantur ab invicem.

Prop. LI. Theor. XXXVIII.

Si Cylindrus solidus infinitè longus in fluido uniformi & infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impul∣su solo agatur Fluidum in Orbem, perseveret autem fluidi pars unaquaeque uniformiter in motu suo; dico quod tempora periodica partium fluidi sunt ut ipsarum distantiae ab axe cylindri.

Sit AFL cylindrus unifor∣miter

[illustration]

circa axem S in orbem actus, & circulis concentri∣cis BGM, CHN, DIO, EKP, &c. distinguatur flui∣dum in orbes cylindricos in∣numeros concentricos soli∣dos ejusdem crassitudinis. Et quoniam homogeneum est Fluidum, impressiones conti∣guorum orbium in se mutuò factae, erunt (per Hypothe∣sin) ut eorum translationes ab invicem & superficies contiguae in quibus impressiones fiunt. Si impressio in Orbem aliquem major

est vel minor, ex parte concava quàm ex parte convexa, praevale∣bit impressio fortior, & motum Orbis vel accelerabit vel retardabit prout in eandem regionem cum ipsius motu, vel in contrariam diri∣gitur. Proinde ut Orbis unusquisque in motu suo uniformiter perseveret, debent impressiones ex parte utraque sibi invicem aequa∣ri, & fieri in regiones contrarias. Unde cùm impressiones sunt ut contiguae superficies & harum translationes ab invicem, erunt translationes inversè ut superficies, hoc est inversè ut superficierum distantiae ab axe. Sunt autem differentiae motuum angularium cir∣ca axem ut hae translationes applicatae ad distantias, sive ut translati∣ones directè & distantiae inversè hoc est (conjunctis rationibus) ut quadrata distantiarum inversè. Quare si ad infinitae rectae SABCDEQ partes singulas erigantur perpendicula Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, &c. ipsarum SA, SB, SC, SD, SE, &c. quadratis reciprocè proportionalia, & per terminos perpendicularium duci intelligatur linea curva Hyperbolica; erunt summae distantiarum, hoc est motus toti angulares, ut respondentes summae linearum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: id est, si ad constituendum Medium uniformiter fluidum orbium numerus augeatur & latitudo minuatur in infini∣tum, ut areae Hyperbolicae his summis Analogae AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ, &c. & tempora motibus angularibus reciprocè pro∣portionalia erunt etiam his areis reciprocè proportionalia. Est igi∣tur tempus periodicum particulae cujusvis D reciprocè ut area DdQ, hoc est (per notas Curvarum quadraturas) directè ut distantia SD. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc motus angulares particularum fluidi sunt reci∣procè ut ipsarum distantiae ab axe Cylindri, & velocitates absolutae sunt aequales.

Corol 2. Si fluidum in vase cylindrico longitudinis infinitae con∣tineantur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, sintque revolu∣tionum tempora ut ipsorum semidiametri, & perseveret fluidi pars unaquaeque in motu suo: erunt partium singularum tempora peri∣odica ut ipsarum distantiae ab axe cylindrorum.

Corol. 3. Si cylindro & fluido ad hunc modum motis addatur vel auferatur communis quilibet motus angularis; quoniam hoc novo motu non mutatur attritus mutuus partium fluidi, non mutabun∣tur motus partium inter se. Nam translationes partium ab invi∣cem pendent ab attritu. Pars quaelibet in eo perseverabit motu, qui attritu utrinque in contrarias partes facto, non magis acceleratur quàm retardatur.

Corol. 4. Unde si toti cylindrorum & fluidi Systemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in cylindro quiescente.

Corol. 5. Igitur si fluido & cylindro exteriore quiescentibus, re∣volvatur cylindrus interior uniformiter, communicabitur motus circularis fluido, & paulatim per totum fluidum propagabitur; nec prius desinet augeri quàm fluidi partes singulae motum Corollario quarto definitum acquirant.

Corol. 6. Et quoniam fluidum conatur motum suum adhuc latius propagare, hujus impetu circumagetur etiam cylindrus exterior nisi violenter detentus; & accelerabitur ejus motus quoad usque tem∣pora periodica cylindri utriusque aequentur inter se. Quod si cylin∣drus exterior violenter detineatur, conabitur is motum fluidi retar∣dare, & nisi cylindrus interior vi aliqua extrinsecùs impressa motum illum conservet, efficiet ut idem paulatim cesset.

Quae omnia in aqua profunda stagnante experiri licet.

Prop. LII. Theor. XXXIX.

Si Sphaera solida, in fluido uniformi & infinito, circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impulsu solo agatur fluidum in orbem; perseveret autem fluidi pars unaquaeque uniformiter in motu suo: dico quod tempora periodica partium fluidi erunt ut quadrata distantiarum à centro Sphaerae. Fig. Prop. LI.

Cas. 1. Sit AFL sphaera uniformiter circa axem S in orbem acta, & circulis concentricis BGM, CHN, DIO, EKP, &c. distin∣guatur

fluidum in orbes innumeros concentricos ejusdem crassitudi∣nis. Finge autem orbes illos esse solidos; & quoniam homogene∣um est fluidum, impressiones contiguorum Orbium in se mutuò factae, erunt (per Hypothesin) ut eorum translationes ab invicem & superficies contiguae in quibus impressiones fiunt. Si impressio in orbem aliquem major est vel minor ex parte concava quàm ex parte convexa, praevalebit impressio fortior, & velocitatem Orbis vel accelerabit vel retardabit, prout in eandem regionem cum ipsius motu vel in contrariam dirigitur. Proinde ut orbis unusquisque in motu suo perseveret uniformiter, debebunt impressiones ex parte utraque sibi invicem aequari, & fieri in regiones contrarias. Unde cum impressiones sint ut contiguae superficies & harum translatio∣nes ab invicem; erunt translationes inversè ut superficies, hoc est inversè ut quadrata distantiarum superficierum à centro. Sunt au∣tem differentiae motuum angularium circa axem ut hae translationes applicatae ad distantias, sive ut translationes directè & distantiae in∣versè hoc est (conjunctis rationibus) ut cubi distantiarum inversè. Quare si ad rectae infinitae SABCDEQ partes singulas erigantur perpendicula Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, &c. ipsarum SA, SB, SC, SD, SE, &c. cubis reciprocè proportionalia, erunt summae distan∣tiarum, hoc est, motus toti angulares, ut respondentes summae li∣nearum Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: id est (si ad constituendum Me∣dium uniformiter fluidum, numerus Orbium augeatur & latitudo minuatur in infinitum) ut areae Hyperbolicae his summis analogae AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ, &c. Et tempora periodi∣ca motibus angularibus reciprocè proportionalia erunt etiam his areis reciprocè proportionalia. Est igitur tempus periodicum orbis cujusvis DIO reciprocè ut area DdQ, hoc est, (per notas Curva∣rum quadraturas) directè ut quadratum distantiae SD. Id quod volui primò demonstrare.

Cas. 2. A centro Sphaerae ducantur infinitae rectae quam plurimae, quae cum axe datos contineant angulos, aequalibus differentiis se mu∣tuò superantes; & his rectis circa axem revolutis concipe orbes in an∣nulos

innumeros secari; & annulus unusquisque habebit annulos quatuor sibi contiguos, unum interiorem, alterum exteriorem & duos laterales. Attritu interioris & exterioris non potest annulus unusquisque, nisi in motu juxta legem casus primi facto, aequaliter & in partes contrarias urgeri. Patet hoc ex demonstratione casus primi. Et propterea annulorum series quaelibet à globo in infini∣tum rectà pergens movebitur pro lege casus primi, nisi quatenus impeditur ab attritu annulorum ad latera. At in motu hac lege facto, attritus annulorum ad latera nullus est, neque adeò motum, quo minus hac lege fiat, impediet. Si annuli, qui à centro aequa∣liter distant, vel citiùs revolverentur vel tardiùs juxta polos quàm juxta aequatorem; tardiores accelerarentur, & velociores retarda∣rentur ab attritu mutuo, & sic vergerent semper tempora periodica ad aequalitatem, pro lege casus primi. Non impedit igitur hic attritus quo minus motus fiat secundum legem casus primi, & propterea lex illa obtinebit: hoc est annulorum singulorum tempo∣ra periodica erunt ut quadrata distantiarum ipsorum à centro globi. Quod volui secundo demonstrare.

Cas. 3. Dividatur jam annulus unusquisque sectionibus trans∣versis in particulas innumeras constituentes substantiam absolutè & uniformiter fluidam; & quoniam hae sectiones non spectant ad legem motus circularis, sed ad constitutionem fluidi solummodo conducunt, perseverabit motus circularis ut priùs. His sectionibus annuli omnes quamminimi asperitatem & vim attritus mutui aut non mutabunt aut mutabunt aequaliter. Et manente causarum proportione manebit effectuum proportio, hoc est proportio mo∣tuum & periodicorum temporum. Q.E.D. Caeterum cum mo∣tus circularis, & abinde orta vis centrifuga, major sit ad Eclipticam quàm ad polos; debebit causa aliqua adesse qua particulae singulae in circulis suis retineantur, ne materia quae ad Eclipticam est rece∣dat semper à centro & per exteriora Vorticis migret ad polos, inde∣que per axem ad Eclipticam circulatione perpetua revertatur.

Corol. 1. Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi sunt reciprocè ut quadrata distantiarum à centro globi, & velocitates

absolutae reciprocè ut eadem quadrata applicata ad distantias ab axe.

Corol. 2. Si globus in fluido quiescente similari & infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, communica∣bitur motus fluido in morem Vorticis, & motus iste paulatim pro∣pagabitur in infinitum; neque prius cessabit in singulis fluidi parti∣bus accelerari, quàm tempora periodica singularum partium sint ut quadrata distantiarum à centro globi.

Corol. 3. Quoniam Vorticis partes interiores ob majorem suam velocitatem atterunt & urgent exteriores, motumque ipsis ea actio∣ne perpetuò communicant, & exteriores illi eandem motus quanti∣tatem in alios adhuc exteriores simul transferunt, eaque actione servant quantitatem motus sui planè invariatam; patet quod mo∣tus perpetuò transfertur à centro ad circumferentiam Vorticis, & per infinitatem circumferentiae absorbetur. Materia inter sphaericas duas quasvis superficies Vortici concentricas nunquam accelerabitur, eò quod motum omnem à materia interiore acceptum transfert semper in exteriorem.

Corol. 4. Proinde ad conservationem Vorticis constanter in eodem movendi statu, requiritur principium aliquod activum à quo globus eandem semper quantitatem motus accipiat quam imprimit in ma∣teriam vorticis. Absque tali principio necesse est ut globus & Vor∣ticis partes interiores, propagantes semper motum suum in exteri∣ores, neque novum aliquem motum recipientes, tardescant paula∣tim & in orbem agi desinant.

Corol. 5. Si globus alter huic Vortici ad certam ab ipsius centro distantiam innataret, & interea circa axem inclinatione datum vi ali∣qua constanter revolveretur; hujus motu raperetur fluidum in vor∣ticem: & primò revolveretur hic vortex novus & exiguus una cum globo circa centrum alterius, & interea latiùs serperet ipsius motus, & paulatim propagaretur in infinitum, ad modum vorticis primi. Et eadem ratione qua hujus globus raperetur motu vorticis alterius, raperetur etiam globus alterius motu hujus, sic ut globi duo circa intermedium aliquod punctum revolverentur, seque mutuò ob mo∣tum

illum circularem fugerent, nisi per vim aliquam cohibiti. Postea si vires constanter impressae, quibus globi in motibus suis perseve∣rant, cessarent, & omnia legibus Mechanicis permitterentur, lan∣guesceret paulatim motus globorum (ob rationem in Corol. 3. & 4. assignatam) & vortices tandem conquiescerent.

Corol. 6. Si globi plures datis in locis circum axes positione datos certis cum velocitatibus constanter revolverentur, fierent vortices to∣tidem in infinitum pergentes. Nam globi singuli, eadem ratione qua unus aliquis motum suum propagat in infinitum, propaga∣bunt etiam motus suos in infinitum, adeò ut fluidi infiniti pars unaquaeque eo agitetur motu qui ex omnium globorum actionibus resultat. Unde vortices non definientur certis limitibus, sed in se mutuò paulatim excurrent; globi{que} per actiones vorticum in se mutuò perpetuò movebuntur de locis suis; uti in Lemmate supe∣riore expositum est; ne{que} certam quamvis inter se positionem ser∣vabunt, nisi per vim aliquam retenti. Cessantibus autem viribus illis quae in globos constanter impressae conservant hosce motus, materia ob rationem in Corollario tertio & quarto assignatam pau∣latim requiescet & in vortices agi desinet.

Corol. 7. Si Fluidum similare claudatur in vase sphaerico, ac globi in centro consistentis uniformi rotatione agatur in vorticem, globus autem & vas in eandem partem circa axem eundem revolvantur, sint{que} eorum tempora periodica ut quadrata semidiametrorum: par∣tes fluidi non prius perseverabunt in motibus suis sine acceleratione & retardatione, quàm sint eorum tempora periodica ut quadrata distantiarum à centro vorticis. Alia nulla Vorticis constitutio po∣test esse permanens.

Corol. 8. Si vas, Fluidum inclusum & globus servent hunc mo∣tum, & motu praeterea communi angulari circa axem quemvis da∣tum revolvantur; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in se invicem, non mutabuntur motus partium in∣ter se. Nam translationes partium inter se pendent ab attritu. Pars quaelibet in eo perseverabit motu, quo fit ut attritu ex uno la∣tere non magis tardetur quàm acceleretur attritu ex altero.

Corol. 9. Unde si vas quiescat ac detur motus globi, dabitur mo∣tus fluidi. Nam concipe planum transire per axem globi & mo∣tu contrario revolvi; & pone tempus revolutionis hujus esse ad summam hujus temporis & temporis revolutionis globi, ut quadra∣tum semidiametri vasis ad quadratum semidiametri globi: & tem∣pora periodica partium fluidi respectu plani hujus erunt ut quadra∣ta distantiarum suarum à centro globi.

Corol. 10. Proinde si vas vel circa axem eundem cum globo, vel circa diversum aliquem, data cum velocitate quacun{que} moveatur, dabitur motus fluidi. Nam si Systemati toti auferatur vasis motus angularis, manebunt motus omnes iidem inter se qui prius, per Corol. 8. Et motus isti per Corol. 9. dabuntur.

Corol. 11. Si vas & fluidum quiescant & globus uniformi cum motu revolvatur, propagabitur motus paulatim per fluidum totum in vas, & circumagetur vas nisi violenter detentum, ne{que} prius desinent fluidum & vas accelerari, quàm sint eorum tempora perio∣dica aequalia temporibus periodicis globi. Quod si vas vi aliqua detineatur vel revolvatur motu quovis constanti & uniformi, de∣veniet Medium paulatim ad statum motus in Corollariis 8.9 & 10 definiti, nec in alio unquam statu quocun{que} perseverabit. De∣inde verò si, viribus illis cessantibus quibus vas & globus certis mo∣tibus revolvebantur, permittatur Systema totum Legibus Mecha∣nicis; vas & globus in se invicem agent mediante fluido, ne{que} motus suos in se mutuò per fluidum propagare prius cessabunt, quàm eo∣rum tempora periodica aequantur inter se, & Systema totum ad in∣star corporis unius solidi simul revolvatur.

Scholium.

In his omnibus suppono fluidum ex materia quoad densitatem & fluiditatem uniformi constare. Tale est in quo globus idem eodem cum motu, in eodem temporis intervallo, motus similes & aequales, ad aequales semper à distantias, ubivis in fluido consti∣tutus, propagare possit. Conatur quidem materia per motum suum

circularem recedere ab axe Vorticis, & propterea premit materiam omnem ulteriorem. Ex hac pressione fit attritus partium fortior & separatio ab invicem difficilior; & per consequens diminuitur mate∣riae fluiditas. Rursus si partes fluidi sunt alicubi crassiores seu ma∣jores, fluiditas ibi minor erit, ob pauciores superficies in quibus par∣tes separentur ab invicem. In hujusmodi casibus deficientem fluidi∣tatem vel lubricitate partium vel lentore aliave aliqua conditione re∣stitui suppono. Hoc nisi fiat, materia ubi minùs fluida est magis cohaerebit & segnior erit, adeo{que} motum tardiùs recipiet & lon∣giùs propagabit quàm pro ratione superiùs assignata. Si figura vasis non sit Sphaerica, movebuntur particulae in lineis non circu∣laribus sed conformibus eidem vasis figurae, & tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium distantiarum à centro quamproximè. In partibus inter centrum & circumferentiam, ubi latiora sunt spa∣tia, tardiores erunt motus, ubi angustiora velociores; neque ta∣men particulae velociores petent circumferentiam. Arcus enim de∣scribent minus curvos, & conatus recedendi à centro non minus di∣minuetur per decrementum hujus curvaturae, quàm augebitur per incrementum velocitatis. Pergendo à spatiis angustioribus in la∣tiora recedent paulò longiùs à centro, sed isto recessu tardescent; & accedendo postea de latioribus ad angustiora accelerabuntur, & sic per vices tardescent & accelerabuntur particulae singulae in perpe∣tuum. Haec ita se habebunt in vase rigido. Nam in fluido infinito constitutio Vorticum innotescit per Propositionis hujus Corollarium sextum.

Proprietates autem Vorticum hac Propositione investigare cona∣tus sum, ut pertentarem siqua ratione Phaenomena coelestia per Vortices explicari possint. Nam Phaenomenon est quod Planeta∣rum circa Jovem revolventium tempora periodica sunt in ratione sesquialtera distantiarum à centro Jovis; & eadem Regula obtinet in Planetis qui circa Solem revolvuntur. Obtinent autem hae Re∣gulae in Planetis utrisque quam accuratissimè, quatenus observatio∣nes Astronomicae hactenus prodidêre. Ideo{que} si Planetae illi à Vorti∣cibus circa Jovem & Solem revolventibus deferantur, debebunt eti∣am

hi Vortices eadem lege revolvi. Verum tempora periodica par∣tium Vorticis prodierunt in ratione duplicata distantiarum à centro motus: neque potest ratio illa diminui & ad rationem sesquialte∣ram reduci, nisi vel materia vorticis eo fluidior sit quo longius di∣stat à centro, vel resistentia, quae oritur ex defectu lubricitatis par∣tium fluidi, ex aucta velocitate qua partes fluidi separantur ab invi∣cem, augeatur in majori ratione quàm ea est in qua velocitas auge∣tur. Quorum tamen neutrum rationi consentaneum videtur. Partes crassiores & minus fluidae (nisi graves sint in centrum) circumferen∣tiam petent; & verisimile est quod, etiamsi Demonstrationum gra∣tia Hypothesin talem initio Sectionis hujus proposuerim ut Resi∣stentia velocitati proportionalis esset, tamen Resistentia in minori sit ratione quàm ea velocitatis est. Quo concesso tempora periodica partium Vorticis erunt in majori quàm duplicata ratione distantia∣rum ab ipsius centro. Quod si vortices (uti aliquorum est opinio) celeriùs moveantur prope centrum, dein tardiùs usque ad certum limitem, tum denuò celeriùs juxta circumferentiam; certè nec ra∣tio sesquialtera neque alia quaevis certa ac determinata obtinere po∣test. Viderint ita{que} Philosophi quo pacto Phaenomenon illud ratio∣nis sesquialterae per Vortices explicari possit.

Prop. LIII. Theor. XL.

Corpora quae in Vortice delata in orbem redeunt ejusdem sunt densita∣tis cum Vortice, & eadem lege cum ipsius partibus (quoad velocitatem & cursus determinationem) moventur.

Nam si vorticis pars aliqua exigua, cujus particulae seu puncta physica datum servant situm inter se, congelari supponatur: haec, quoniam ne{que} quoad densitatem suam, neque quoad vim insitam aut figuram suam mutatur, movebitur eadem lege ac prius: & con∣tra, si Vorticis pars congelata & solida ejusdem sit densitatis cum reliquo vortice, & resolvatur in fluidum; movebitur haec eadem lege ac prius, nisi quatenus ipsius particulae jam fluidae factae move∣antur inter se. Negligatur igitur motus particularum inter se, tan∣quam

ad totius motum progressivum nil spectans, & motus totius idem erit ac prius. Motus autem idem erit cum motu aliarum Vor∣ticis partium à centro aequaliter distantium, propterea quod soli∣dum in Fluidum resolutum fit pars Vorticis caeteris partibus consimi∣lis. Ergo solidum, si sit ejusdem densitatis cum materia Vorticis, eo∣dem motu cum ipsius partibus movebitur, in materia proximè am∣biente relative quiescens. Sin densius sit, jam magis conabitur re∣cedere à centro Vorticis quàm priùs; adeo{que} Vorticis vim illam, qua priùs in Orbita sua tanquam in aequilibrio constitutum retinebatur, jam superans, recedet à centro & revolvendo describet Spiralem, non amplius in eundem Orbem rediens. Et eodem argumento si rarius sit, accedet ad centrum. Igitur non redibit in eundem Orbem nisi sit ejusdem densitatis cum fluido. Eo autem in casu ostensum est, quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi à centro Vorticis aequaliter distantibus. Q.E.D.

Corol. 1. Ergo solidum quod in Vortice revolvitur & in eundem Orbem semper redit, relativè quiescit in fluido cui innatat.

Corol. 2. Et si vortex sit quoad densitatem uniformis, corpus idem ad quamlibet à centro Vorticis distantiam revolvi potest.

Scholium.

Hinc liquet Planetas à Vorticibus corporeis non deferri. Nam Planetae secundum Hypothesin Copernicaeam circa Solem delati re∣volvuntur in Ellipsibus umbilicum habentibus in Sole & radiis ad Solem ductis areas describunt temporibus proportionales. At par∣tes Vorticis tali motu revolvi nequeunt. Designent AD, BE, CF, orbes tres circa Solem S descriptos, quorum extimus CF circulus fit Soli concentricus, & interiorum duorum Aphelia sint A, B, & Perihelia D, E. Ergo corpus quod revolvitur in orbe CF, radio ad Solem ducto areas temporibus proportionales describendo, mo∣vebitur uniformi cum motu. Corpus autem quod revolvitur in Orbe BE, tardiùs movebitur in Aphelio B & velociùs in Perihelio C, secundum leges Astronomicas; cum tamen secundum leges Me∣chanicas ma〈…〉〈…〉ia Vorticis in spatio angustiore inter A & C velociùs

moveri debeat quàm in spatio latiore inter D & F; id est in Aphe∣lio velociùs quàm in Perihelio. Quae duo repugnant inter se. Sic

[illustration]

in principio Signi Virginis, ubi Aphelium Martis jam versatur, distantia inter orbes Martis & Veneris est ad distantiam eorun∣dem orbium in principio Signi Piscium ut tria ad duo circiter, & propterea materia Vorticis in∣ter Orbes illos in principio Pisci∣um debet esse velocior quàm in principio Virginis in ratione tri∣um ad duo. Nam quo angusti∣us est spatium per quod eadem Materiae quantitas eodem revo∣lutionis unius tempore transit, eo majori cum velocitate transire debet. Igitur si Terra in hac Materia coelesti relativè quiescens ab ea deferretur, & una circa Solem revolveretur, foret hujus velocitas in principio Piscium ad ejusdem velocitatem in principio Virginis in ratione sesquialtera. Unde Solis motus diurnus apparens in princi∣pio Virginis major esset quàm minutorum primorum septuaginta, & in principio Piscium minor quàm minutorum quadraginta & octo: cum tamen (experientia teste) apparens iste Solis motus ma∣jor sit in principio Piscium quàm in principio Virginis, & propte∣rea Terra velocior in principio Virginis quàm in principio Piscium. Ita{que} Hypothesis Vorticum cum Phaenomenis Astronomicis omni∣nò pugnat, & non tam ad explicandos quàm ad perturbandos motus coelestes conducit. Quomodo verò motus isti in spatiis libe∣ris absque Vorticibus peraguntur intelligi potest ex Libro primo, & in Mundi Systemate pleniùs docebitur.