Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

SECT. VIII. De Motu per Fluida propagato.

Prop. XLI. Theor. XXXI.

Pressio non propagatur per Fluidum secundum lineas rectas, nisi ubi particulae Fluidi in directum jacent.

Si jaceant particulae a, b, c, d, e in linea recta, potest quidem pressio directe propagari ab a ad e; at

[illustration]

particula e urgebit particulas oblique po∣sitas f & g oblique, & particulae illae f & g non sustinebunt pressionem illatam, nisi ful∣ciantur a particulis ulterioribus h & k; quatenus autem fulciuntur, premunt par∣ticulas fulcientes; & hae non sustinebunt pressionem nisi fulcian∣tur

ab ulterioribus l & m easque premant, & sic deinceps in in∣finitum. Pressio igitur, quam primum propagatur ad particulas quae non in directum jacent, divaricare incipiet & oblique pro∣pagabitur in infinitum; & postquam incipit oblique propagari, si inciderit in particulas ulteriores, quae non in directum jacent, ite∣rum divaricabit; idque toties, quoties in particulas non accurate in directum jacentes inciderit. Q.E.D.

Corol. Si pressionis a dato puncto per Fluidum propagatae pars aliqua obstaculo intercipiatur, pars reliqua quae non intercipi∣tur divaricabit in spatia pone obstaculum. Id quod sic etiam

[illustration]

demonstrari potest. A puncto A propagetur pressio quaqua∣versum, idque si fieri potest secundum lineas rectas, & obstacu∣lo NBCK perforato in BC, intercipiatur ea omnis, praeter par∣tem Coniformem APQ, quae per foramen circulare BC transit. Planis transversis de, fg, hi distinguatur conus APQ in frusta

& interea dum conus ABC, pressionem propagando, urget frustum conicum ulterius degf in superficie de, & hoc frustum urget frustum proximum fgih in superficie fg, & frustum il∣lud urget frustum tertium, & sic deinceps in infinitum; mani∣festum est (per motus Legem tertiam) quod frustum primum defg, reactione frusti secundi fghi, tantum urgebitur & pre∣metur in superficie fg, quantum urget & premit frustum illud secundum. Frustum igitur degf inter Conum Ade & frustum fhig comprimitur utrinque, & propterea (per Corol. 6. Prop. XIX.) figuram suam servare nequit, nisi vi eadem comprimatur undique. Eodem igitur impetu quo premitur in superficiebus de, fg conabitur cedere ad latera df, eg; ibique (cum ri∣gidum non sit, sed omnimodo Fluidum) excurret ac di∣latabitur, nisi Fluidum ambiens adsit, quo conatus iste co∣hibeatur. Proinde conatu excurrendi premet tam Fluidum ambiens ad latera df, eg quam frustum fghi eodem impetu; & propterea pressio non minus propagabitur a lateribus df, eg in spatia NO, KL hinc inde, quam propagatur a superficie fg versus PQ.Q.E.D.

Prop. XLII. Theor. XXXII.

Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in spatia immota.

Cas. 1. Propagetur motus a puncto A per foramen BC, per∣gatque (si fieri potest) in spatio conico BCQP, secundum li∣neas rectas divergentes a puncto C. Et ponamus primo quod mo∣tus iste sit undarum in superficie stagnantis aquae. Sintque de, fg, hi, kl, &c. undarum singularum partes altissimae, vallibus totidem intermediis ab invicem distinctae. Igitur quoniam aqua in undarum jugis altior est quam in Fluidi partibus immotis LK, NO, defluet eadem de jugorum terminis e, g, i, l, &c. d, f, h, k, &c. hinc inde versus KL & NO: & quoniam in undarum vallibus depressior est quam in Fluidi partibus immotis KL, NO; defluet

eadem de partibus illis immotis undarum valles. Defluxu pri∣ore undarum juga, posteriore valles hinc inde dilatantur & pro∣pagantur versus KL & NO. Et quoniam motus undarum ab A versus PQ fit per continuum defluxum jugorum in valles proxi∣mos, adeoque celerior non est quam pro celeritate descensus & descensus aquae hinc inde versus KL & NO eadem velocitate per∣agi debet; propagabitur dilatatio undarum hinc inde versus KL & NO, eadem velocitate qua undae ipsae ab A versus PQ recta progrediuntur. Proindeque spatium totum hinc inde ver∣sus KL & NO ab undis dilatatis rfgr, shis, tklt, vmnv, &c occupabitur. Q.E.D. Haec ita se habere quilibet in aqua stag∣nante experiri potest.

Cas. 2. Ponamus jam quod de, fg, hi, kl, mn designent pulsus a puncto A per Medium Elasticum successive propagatos.

[illustration]

Pulsus propagari concipe per successivas condensationes & rare∣factiones Medii, sic ut pulsus cujusque pars densissima Sphaericam

occupet superficiem circa centrum A descriptam, & inter pulsus successivos aequalia intercedant intervalla. Designent autem lineae de, fg, hi, kl, &c. densissimas pulsuum partes per foramen BC propagatas. Et quoniam Medium ibi densius est quam in spatiis hinc inde versus KL & NO, dilatabit sese tam versus spatia illa KL, NO utrinque sita, quam versus pulsuum rariora intervalla; eo{que} pacto rarius semper evadens e regione intervallorum ac den∣sius e regione pulsuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulsuum progressivus motus oritur a perpetua relaxatione parti∣um densiorum versus antecedentia intervalla rariora; & pulsus eadem celeritate sese in Medii partes quiescentes KL, NO hinc inde relaxare debent; pulsus illi eadem celeritate sese dilatabunt undique in spatia immota KL, NO, qua propagantur directe a centro A; adeoque spatium totum KLON occupabunt. Q.E.D. Hoc experimur in sonis, qui vel domo interposita audiuntur, vel in cubiculum per fenestram admissi sese in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiuntur, non reflexi a parieti∣bus oppositis sed a fenestra directe propagati.

Cas. 3. Ponamus denique quod motus cujuscunque generis propagetur ab A per foramen BC: & quoniam propagatio ista non fit nisi quatenus partes Medii centro A propiores urgent commoventque partes ulteriores; & partes quae urgentur Fluidae sunt, ideoque recedunt quaquaversum in regiones ubi minus pre∣muntur: recedent eaedem versus Medii partes omnes quiescentes, tam laterales KL & NO, quam anteriores PQ, eoque pacto mo∣tus omnis, quam primum per foramen BC transiit, dilatari in∣cipiet, & abinde tanquam a principio & centro in partes omnes directe propagari. Q.E.D.

Prop. XLIII. Theor. XXXIII.

Corpus omne tremulum in Medio Elastico propagabit motum pulsu∣um undique in directum; in Medio vero non Elastico motum circularem excitabit.

Cas. 1. Nam partes corporis tremuli vicibus alternis eundo & redeundo, itu suo urgebunt & propellent partes Medii sibi proxi∣mas, & urgendo compriment easdem & condensabunt; dein re∣ditu suo sinent partes compressas recedere & sese expandere. Igi∣tur partes Medii corpori tremulo proximae ibunt & redibunt per vices, ad instar partium corporis illius tremuli: & qua ratione partes corporis hujus agitabant hasce Medii partes, hae similibus tremoribus agitatae agitabunt partes sibi proximas, eaeque simi∣liter agitatae agitabunt ulteriores, & sic deinceps in infinitum. Et quemadmodum Medii partes primae eundo condensantur & redeundo relaxantur, sic partes reliquae quoties eunt condensabun∣tur, & quoties redeunt sese expandent. Et propterea non omnes ibunt & simul redibunt (sic enim determinatas ab invicem distan∣tias servando non rarefierent & condensarentur per vices) sed accedendo ad invicem ubi condensantur, & recedendo ubi rare∣fiunt, aliquae earum ibunt dum aliae redeunt; idque vicibus al∣ternis in infinitum. Partes autem euntes & eundo condensatae, ob motum suum progressivum quo feriunt obstacula, sunt pulsus; & propterea pulsus successivi a corpore omni tremulo in directum propagabuntur; idque aequalibus circiter ab invicem distantiis, ob aequalia temporis initervalla, quibus corpus tremoribus suis sin∣gulis singulos pulsus excitat. Q.E.D. Et quanquam corporis tremuli partes eant & redeant secundum plagam aliquam certam & determinatam, tamen pulsus inde per Medium propagati sese dilatabunt ad latera, per Propositionem praecedentem; & a corpore illo tremulo tanquam centrocommuni, secundum super∣ficies propemodum Sphaericas & concentricas, undique propaga∣buntur. Cujus rei exemplum aliquod habemus in Undis, quae si di∣gito tremulo excitentur, non solum pergent hinc inde secundum plagam motus digiti, sed, in modum circulorum concentricorum, digitum statim cingent & undique propagabuntur. Nam gravitas undarum supplet locum vis Elasticae.

Quod si Medium non sit Elasticum: quoniam ejus partes a cor∣poris

tremuli partibus vibratis pressae condensari nequeunt, pro∣pagabitur motus in instanti ad partes ubi Medium facillime ce∣dit, hoc est ad partes quas corpus tremulum alioqui vacu∣as a tergo relinqueret. Idem est casus cum casu corporis in Medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus, non recedit in infinitum, sed in circulum eundo pergit ad spatia quae corpus relinquit a tergo. Igitur quoties corpus tremulum per∣git in partem quamcunque, Medium cedendo perget per circu∣lum ad partes quae corpus relinquit, & quoties corpus regreditur ad locum priorem, Medium inde repelletur & ad locum suum priorem redibit. Et quamvis corpus tremulum non sit firmum, sed modis omnibus flexile, si tamen magnitudine datum maneat, quoniam tremoribus suis nequit Medium ubivis urgere, quin alibi eidem simul cedat; efficiet ut Medium, recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper in Orbem ad partes quae eidem ce∣dunt.

Corol. Hallucinantur igitur qui credunt agitationem partium flammae ad pressionem per Medium ambiens secundum lineas rectas propagandam conducere. Debebit ejusmodi pressio non ab agitatione sola partium flammae sed a totius dilatatione deri∣vari.

Prop. XLIV. Theor. XXXIV.

Si Aqua in canalis cruribus erectis KL, MN vicibus alternis ascendat & descendat; construatur autem Pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis aequetur semissi longitudinis aquae in Canali: dico quod aqua ascendet & descendet iis∣dem temporibus quibus pendulum oscillatur.

Longitudinem aquae mensuro secundum axes canalis & cru∣rum, eandem summae horum axium aequando. Designent igi∣tur AB, CD mediocrem altitudinem aquae in crure utroque; & ubi aqua in crure KL ascendit ad altitudinem EF, descenderit aqua in crure MN ad altitudinem GH. Sit autem P corpus

pendulum, VP filum, V punctum suspensionis, SPQR Cyclo∣is quam Pendulum describat, P ejus punctum infimum, PQ ar∣cus altitudini AE aequalis. Vis, qua motus aquae alternis vicibus

[illustration]

acceleratur & retardatur, est excessus ponderis aquae in alterutro crure supra pondus in altero, ideoque ubi aqua in crure KL as∣cendit ad EF, & in crure altero descendit ad GH, vis illa est pon∣dus duplicatum aquae EABF, & propterea est ad pondus aquae totius ut AE seu PQ ad VP seu PR. Vis etiam, qua pondus P in loco quovis Q acceleratur & retardatur in Cycloide, est ad ejus pondus totum, ut ejus distantia PQ a loco infimo P, ad Cycloi∣dis longitudinem PR. Quare aquae & penduli, aequalia spatia AE, PQ describentium, vires motrices sunt ut pondera moven∣da; ideoque vires illae, si aqua & pendulum in principio, aequali cum velocitate moveantur; pergent eadem temporibus aequali∣ter movere, efficientque ut motu reciproco simul eant & redeant. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur aquae ascendentis & descendentis, sive motus intensior sit sive remissior, vices omnes sunt Isochronae.

Corol. 2. Si longitudo aquae totius in canali sit pedum Parisi∣ensium 6 1/9, aqua tempore minuti unius secundi descendet, & tempore minuti alterius secundi ascendet; & sic deinceps vici∣bus alternis in infinitum. Nam pendulum pedum 3 1/18 longitu∣dinis, tempore minuti unius secundi oscillatur.

Corol. 3. Aucta autem vel diminuta longitudine aquae, auge∣tur vel diminuitur tempus reciprocationis in longitudinis ratione dimidiata.

Prop. XLV. Theor. XXXV.

Vndarum velocitas est in dimidiata ratione latitudinum.

Consequitur ex constructione Propositionis sequentis.

Prop. XLVI. Prob. XI.

Invenire velocitatem Vndarum.

Constituatur Pendulum cujus longitudo inter punctum suspen∣sionis & centrum oscillationis aequetur latitudini Undarum: & quo tempore pendulum illud oscillationes singulas peragit, eodem Un∣dae progrediendo latitudinem suam propemodum conficient.

Undarum latitudinem voco mensuram transversam quae vel val∣libus imis vel summis culminibus interjacet. Designet ABCDEF superficiem aquae stagnantis, undis successivis ascendentem ac des∣cendentem, sintque A, C, E, &c. undarum culmina, & B, D, F, &c. valles intermedii. Et quoniam motus undarum fit per aquae suc∣cessivum ascensum & descensum, sic ut ejus partes A, C, E, &c. quae nunc infimae sunt, mox fiant altissimae; & vis motrix, qua partes altissimae descendunt & infimae ascendunt, est pondus aquae elevatae; alternus ille ascensus & descensus analogus erit motui reciproco aquae in canali, easdemque temporis leges ob∣servabit: & propterea (per Prop. XLIV) si distantiae inter un∣darum loca altissima A, C, E, & infima B, D, F aequentur duplae penduli longitudini, partes altissimae A, C, E tempore oscillatio∣nis unius evadent infimae, & tempore oscillationis alterius de∣nuo ascendent. Igitur inter transitum Undarum singularum tempus erit oscillationum duarum; hoc est Unda describet latitudinem suam, quo tempore pendulum illud bis oscillatur; sed eodem tempore pendulum, cujus longitudo quadrupla est,

adeoque aequat undarum latitudinem, oscillabitur semel. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur Undae, quae pedes Parisienses 3 1/18 latae sunt, tempore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient; adeoque tempore minuti unius primi percurrent pe∣des 183⅓, & horae spatio pedes 11000 quam proxime.

Corol. 2. Et undarum majorum vel minorum velocitas auge∣bitur vel diminuetur in dimidiata ratione latitudinis.

Haec ita se habent ex Hypothesi quod partes aquae recta ascen∣dunt vel recta descendunt; sed ascensus & descensus ille verius fit per circulum, ideoque tempus hac Propositione non nisi quam∣proxime definitum esse affirmo.

Prop. XLVII. Theor. XXXVI.

Pulsuum in Fluido Elastico propagatorum velocitates sunt in ratione composita ex dimidiata ratione vis Elasticae directe & dimidiata rati∣one densitatis inverse; si modo Fluidi vis Elastica ejusdem conden∣sationi proportionalis esse supponatur.

Cas. 1. Si Media sint homogenea, & pulsuum distantiae in his Mediis aequentur inter se, sed motus in uno Medio intensior sit: contractiones & dilatationes partium analogarum erunt ut iidem motus. Accurata quidem non est haec proportio. Verum tamen nisi contractiones & dilatationes sint valde intensae, non errabit sensi∣biliter, ideoque pro Physice accurata haberi potest. Sunt autem vires Elasticae motrices ut contractiones & dilatationes; & veloci∣tates partium aequalium simul genitae sunt ut vires. Ideoque ae∣quales & correspondentes pulsuum correspondentium partes, itus & reditus suos per spatia contractionibus & dilatationibus pro∣portionalia, cum velocitatibus quae sunt ut spatia, simul pera∣gent: & propterea pulsus, qui tempore itus & reditus unius lati∣tudinem suam progrediendo conficiunt, & in loca pulsuum proxi∣me praecedentium semper succedunt, ob aequalitatem distantia∣rum, aequali cum velocitate in Medio utroque progredientur.

Cas. 2. Sin pulsuum distantiae seu longitudines sint majores in uno Medio quam in altero; ponamus quod partes corresponden∣tes spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singulis vicibus eundo & redeundo describant: & aequales erunt earum con∣tractiones & dilatationes. Ideoque si Media sint homogenea, aequales erunt etiam vires illae Elasticae motrices quibus recipro∣co motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, est ut pulsuum latitudo; & in eadem ratione est spatium per quod singulis vicibus eundo & redeundo moveri debent. Estque tem∣pus itus & reditus unius in ratione composita ex ratione dimidi∣ata materiae & ratione dimidiata spatii, atque adeo ut spatium. Pulsus autem temporibus itus & reditus unius eundo latitudines suas conficiunt, hoc est, spatia temporibus proportionalia per∣currunt; & propterea sunt aequiveloces.

Cas. 3. In Mediis igitur densitate & vi elastica paribus, pul∣sus omnes sunt aequiveloces. Quod si Medii vel densitas vel vis Elastica intendatur, quoniam vis motrix in ratione vis Elasticae, & materia movenda in ratione densitatis augetur; tempus quo mo∣tus iidem peragantur ac prius, augebitur in dimidiata ratione den∣sitatis, ac diminuetur in dimidiata ratione vis Elasticae. Et prop∣terea velocitas pulsuum erit in ratione composita ex ratione di∣midiata densitatis Medii inverse & ratione dimidiata vis Elasticae directe. Q.E.D.

Prop. XLVIII. Theor. XXXVII.

Pulsibus per Fluidum propagatis, singulae Fluidi particulae, motu reciproco brevissimo euntes & redeuntes, accelerantur semper & re∣tardantur pro lege oscillantis Penduli.

Designent AB, BC, CD, &c. pulsuum successivorum aequales distantias; ABC plagam motus pulsuum ab A versus B pro∣pagati; E, F, G puncta tria Physica Medii quiescentis, in recta AC ad aequales ab invicem distantias sita; Ee, Ff, Gg, spatia

aequalia perbrevia per quae puncta illa motu re∣ciproco singulis vibrationibus eunt & redeunt; ε, φ, γ loca quaevis intermedia eorundem pun∣ctorum; & EF, FG lineolas Physicas seu Me∣dii partes lineares punctis illis interjectas, & suc∣cessive translatas in loca εφ, φγ & ef,fg. Re∣ctae Ee aequalis ducatur recta PS. Bisecetur eadem in O, centroque O & intervallo OP de∣scribatur circulus SIPi. Per

[illustration]

hujus circumferentiam to∣tam cum partibus suis expo∣natur tempus totum vibrati∣onis unius cum ipsius parti∣bus proportionalibus; sic ut completo tempore quovis PH vel PHSh, si demitta∣tur ad PS perpendiculum HL vel hl, & capi∣atur Ee aequalis PL vel Pl, punctum Physicum E reperiatur in ε. Hac lege punctum quodvis E eundo ab E per ε ad e, & inde redeundo per ε ad E iisdem accelerationis ac retardationis gra∣dibus, vibrationes singulas peraget cum oscillante Pendulo. Probandum est quod singula Medii puncta Physica tali motu agitari debeant. Fin∣gamus igitur Medium tali motu a causa qua∣cunque cieri, & videamus quid inde sequatur.

In circumferentia PHSh capiantur aequales arcus HI, IK vel hi, ik, eam habentes ratio∣nem ad circumferentiam totam quam habent ae∣quales rectae EF, FG ad pulsuum intervallum to∣tum BC. Et demissis perpendiculis IM, KN vel im, kn; quoniam puncta E, F, G motibus similibus successive agitantur, si PH vel PHSk sit tempus ab initio motus puncti E, erit PI

vel PHSi tempus ab initio motus puncti F, &

[illustration]

PK vel PHSh tempus ab initio motus puncti G; & propterea Eε, Fφ, Gγ erunt ipsis PL, PM, PN in itu punctorum, vel ipsis Pn, Pm, Pl in punctorum reditu, aequales respective. Unde εγ in itu punctorum aequalis erit EG−LN, in re∣ditu autem aequalis EG+ln. Sed εγ latitudo est seu expansio partis Medii EG in loco εγ, & propterea expansio partis illius in itu, est ad ejus expansionem mediocrem ut EG−LN ad EG; in reditu autem ut EG+ln seu EG+LN ad EG. Quare cum sit LN ad KH ut IM ad ra∣dium OP, & EG ad BC ut HK ad circumfe∣rentiam PHShP, & vicissim EG ad HK ut BC ad circumferentiam PHShP; id est (si circum∣ferentia dicatur Z) ut OP×BC / Z ad OP, & ex aequo LN ad EG ut IM ad OP×BC / Z: erit ex∣pansio partis EG in loco εγ ad expansionem mediocrem quam habet in loco suo primo EG, ut OP×BC / Z−IM ad OP×BC / Z in itu, utque OP×BC / Z+im ad OP×BC / Z in reditu. Unde si OP×BC / Z dicatur V, erit expansio partis EG, punctive Phy∣sici F, ad ejus expansionem mediocrem in itu, ut V−IM ad V, in reditu ut V+im ad V; & ejus∣dem vis elastica ad vim suam elasticam medio∣in itu, ut 1/V−IM ad 1/V; in reditu ut 1/V+im ad 1./V Et eodem argumento vires Elasticae punctorum Physicorum E & G in itu, sunt ut 1/V−HL & 1/V−KN ad 1/V; & virium differentia ad Medii

vim elasticam mediocrem, ut HL−KN / VV−V×HL−V×KN+HL×KN ad 1/V. Hoc est (si ob brevitatem pulsuum supponamus HK & KN indefinite minores esse quantitate V) ut HL−KN / VV ad 1/V, sive ut HL−KN ad V. Quare cum quantitas V detur, diffe∣rentia virium est ut HL−KN, hoc est (ob proportionales HL−KN ad HK & OM ad OI vel OP, da∣tasque

[illustration]

HK & OP) ut OM; id est, si Ff bise∣cetur in Ω, ut Ωφ. Et eodem argumento dif∣ferentia virium Elasticarum punctorum Phy∣sicorum ε & γ, in reditu lineolae Physicae εγ est ut Ωφ. Sed differentia illa (id est excessus vis Elasticae puncti ε supra vim elasticam pun∣cti γ,) est vis qua interjecta Medii lineola Physica εγ acceleratur; & propterea vis ac∣celeratrix lineolae Physicae εγ est ut ipsius distantia a Medio vi∣brationis loco Ω. Proinde tempus (per Prop. XXXVIII. Lib. I.) recte exponitur per arcum PI; & Medii pars linearis εγ lege praescripta movetur, id est lege oscillantis Penduli: estque par ra∣tio partium omnium linearium ex quibus Medium totum com∣ponitur. Q.E.D.

Corol. Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multipli∣catur in eorum progressu. Nam lineola Physica εγ, quampri∣mum ad locum suum primum redierit, quiescet; neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propa∣gari desinunt.

Prop. XLIX. Prob. XII.

Datis Medii densitate & vi Elastica, invenire velocitatem pulsuum.

Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Aeris no∣stri

comprimi, sitque A altitudo Medii homogenei, cujus pondus adaequet pondus incumbens, & cujus densitas eadem sit cum densitate Medii compressi, in quo pulsus propagantur. Consti∣tui autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis sit A; & quo tempore pen∣dulum illud oscillationem integram ex itu & reditu compositam peragit, eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferentiae circuli radio A descripti aequale.

Nam stantibus quae in Propositione superiore constructa sunt, si linea quaevis Physica, EF singulis vibrationibus describendo spa∣tium PS, urgeatur in extremis itus & reditus cujusque locis P & S, a vi Elastica quae ipsius ponderi aequetur; peraget haec vibra∣tiones singulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus Perimeter tota longitudini PS aequalis est, oscillari posset: id adeo quia vi∣res aequales aequalia corpuscula per aequalia spatia simul impellent. Quare cum oscillationum tempora sint in dimidiata ratione lon∣gitudinis pendulorum, & longitudo penduli aequetur dimidio ar∣cui Cycloidis totius; foret tempus vibrationis unius ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est A, in dimidiata ratione longitudinis ½ PS seu PO ad longitudinem A. Sed vis Elastica qua lineola Physica EG, in locis suis extremis P, S existens, urge∣tur, erat (in demonstratione Propositionis superioris) ad ejus vim totam Elasticam ut HL−KN ad V, hoc est (cum punctum K jam incidat in P) ut HK ad V: & vis illa tota, hoc est pon∣dus incumbens, qua lineola EG comprimitur, est ad pondus li∣neolae ut ponderis incumbentis altitudo A ad lineolae longitudinem EG; adeoque ex aequo, vis qua lineola EG in locis suis P & S urgetur, est ad lineolae illius pondus ut HK×A ad V×EG. Quare cum tempora, quibus aequalia corpora per aequalia spatia impelluntur, sint reciproce in dimidiata ratione virium, erit tem∣pus vibrationis unius urgente vi illa Elastica, ad tempus vibratio∣nis urgente vi ponderis, in dimidiata ratione V×EG ad HK×A, atque adeo ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est A, in dimidiata ratione V×EG ad HK×A & PO ad A conjunctim;

id est (cùm fuerit, in superiore Propositione, V aequalis PO×BC / Z, & HK aequalis EG×Z / BC) in dimidiata ratione POqu.×BC×EG / Z ad EG×Z×Aqu./BC seu POqu.×BCqu. ad Zqu.×Aqu. hoc est in ratione PO×BC ad Z×A, seu BC ad Z×A / PO. Sed tempore vibrationis unius ex itu & reditu compositae, pulsus progrediendo conficit la∣titudinem suam BC. Ergo tempus quo pulsus percurrit spatium BC, est ad tempus oscillationis unius ex itu & reditu compositae, ut BC ad Z×A / PO, id est ut BC ad circumferentiam circuli cujus radius est A. Tempus autem, quo pulsus percurret spatium BC, est ad tempus quo percurret longitudinem huic circumferentiae aequalem, in eadem ratione; ideoque tempore talis oscillationis pulsus percur∣ret longitudinem huic circumferentiae aequalem. Q.E.D.

Prop. L. Prob. XIII.

Invenire pulsuum distantias.

Corporis, cujus tremore pulsus excitantur, inveniatur numerus Vibrationum dato tempore. Per numerum illum dividatur spa∣tium quod pulsus eodem tempore percurrere possit, & pars inven∣ta erit pulsus unius latitudo. Q.E.I.

Schol.

Spectant Propositiones novissimae ad motum Lucis & Sonorum. Lux enim cum propagetur secundum lineas rectas, in actione sola (per Prop. XLI. & XLII.) consistere nequit. Soni vero propterea quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quàm aeris pulsus propagati, per Prop. XLIII. Confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objectis, si modò vehementes sint & gra∣ves,

quales sunt soni Tympanorum. Nam tremores celeriores & breviores difficilius excitantur. Sed & sonos quosvis, in chordas corporibus sonoris unisonas impactos, excitare tremores notissimum est. Confirmatnr etiam ex velocitate sonorum. Nam cùm ponde∣ra specifica Aquae pluvialis & Argenti vivi sint ad invicem ut 1 ad 13⅔ circiter, & ubi Mercurius in Barometro altitudinem attingit di∣gitorum Anglicorum 30, pondus specificum Aeris & aquae pluvialis sint ad invicem ut 1 ad 850 circiter: erunt pondera specifica aeris & argenti vivi ut 1 ad 11617. Proinde cum altitudo argenti vivi sit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem no∣strum subjectum comprimere posset, erit 348500 digitorum seu pedum Anglicorum 29042. Estque haec altitudo illa ipsa quam in constructione superioris Problematis nominavimus A. Circuli ra∣dio 29042 pedum descripti circumferentia est pedum 182476. Et cum Pendulum digitos 39⅕ longum, oscillationem ex itu & redi∣tu compositam, tempore minutorum duorum secundorum, uti notum est, absolvat; pendulum pedes 29042, seu digitos 348500, longum, oscillationem consimilem tempore minutorum secundo∣rum 188 4/7 absolvere debebit. Eo igitur tempore sonus progredien∣do conficiet pedes 182476, adeoque tempore minuti unius secundi pedes 968. Scribit Mersennus, in Balisticae suae Prop. XXXV. se fa∣ctis experimentis invenisse quod sonus minutis quinque secundis hexapedas Gallicas 1150 (id est pedes Gallicos 6900) percurrat. Unde cum pes Gallicus sit ad Anglicum ut 1068 ad 1000, debebit so∣nus tempore minuti unius secundi pedes Anglicos 1474 conficere. Scribit etiam idem Mersennus Robervallum Geometram clarissimum in Obsidione Theodonis observasse tormentorum fragorem exaudi∣tum esse post 13 vel 14 ab igne viso minuta secunda, cùm tamen vix dimidiam Leucam ab illis Tormentis abfuerit. Continer Leuca Gallica hexapedas 2500, adeoque sonus tempore 13 vel 14 secun∣dorum, ex Observatione Robervalli, confecit pedes Parisienses 7500, ac tempore minuti unius secundi pedes Parisienses 560, Anglicos

verò 600 circiter. Multum differunt hae Observationes ab invicem, & computus noster medium locum tenet. In porticu Collegii no∣stri pedes 208 longa, sonus in termino alterutro excitatus quaterno recursu Echo quadruplicem efficit. Factis autem experimentis inveni quod singulis soni recursibus pendulum quasi sex vel septem digito∣rum longitudinis oscillabatur, ad priorem soni recursum eundo & ad posteriorem redeundo. Longitudinem penduli satis accuratè de∣finire nequibam: sed longitudine quatuor digitorum, oscillationes nimis celeres esse, ea novem digitorum nimis tardas judicabam. Unde sonus eundo & redeundo confecit pedes 416 minore tempore quàm pendulum digitorum novem, & majore quàm pendulum di∣gitorum quatuor oscillatur; id est minore tempore quàm 28¾ mi∣nutorum tertiorum, & majore quàm 19⅙; & propterea tempore mi∣nuti unius secundi conficit pedes Anglicos plures quàm 866 & pauci∣ores quàm 1272, atque adeò velocior est quàm pro Observatione Robervalli, ac tardior quàm pro Observatione Mersenni. Quinetiam accuratioribus postea Observationibus definivi quod longitudo pen∣duli major esse deberet quàm digitorum quinque cum semisse, & minor quàm digitorum octo; adeoque quòd sonus tempore minuti unius secundi confecit pedes Anglicos plures quàm 920 & pauciores quàm 1085. Igitur motus sonorum, secundum calculum Geome∣tricum superius allatum, inter hos limites consistens, quadrat cum Phaenomenis, quatenus hactenus tentare licuit. Proinde cùm mo∣tus iste pendeat ab aeris totius densitate, consequens est quod soni non in motu aetheris vel aeris cujusdam subtilioris, sed in aeris toti∣us agitatione consistat.

Refragari videntur experimenta quaedam de sono in vasis aere vacuis propagato, sed vasa aere omni evacuari vix possunt; & ubi satis evacuantur soni notabiliter imminui solent; Ex. gr. Si aeris to∣tius pars tantùm centesima in vase maneat, debebit sonus esse cen∣tuplo languidior, atque adeò non minus audiri quàm si quis so∣num eundem in aere libero excitatum audiendo, subinde ad decu∣plam

distantiam à corpore sonoro recederet. Conferenda sunt igi∣tur corpora duo aequaliter sonora, quorum alterum in vase evacuato, alterum in aere libero consistat, & quorum distantiae ab auditore sint in dimidiata ratione densitatum aeris: & si sonus corporis pri∣oris non superat sonum posterioris objectio cessabit.

Cognita sonorum velocitate, innotescunt etiam intervalla pul∣suum. Scribit Mersennus (Lib. I. Harmonicorum Prop. IV.) se (factis experimentis quibusdam quae ibidem describit) invenisse quod nervus tensus vicibus 104 recurrit spatio minuti unius secundi, quando facit Unisonum cum organica Fistula quadrupedali aperta vel bipedali obturata, quam vocant Organarii C fa ut. Sunt igi∣tur pulsus 104 in spatio pedum 968, quos sonus tempore minuti se∣cundi describit: adeoque pulsus unus occupat spatium pedum 9¼ circiter; id est duplam circiter longitudinem fistulae. Unde verisimi∣le est quòd latitudines pulsuum, in omnium apertarum fistularum sonis, aequentur duplis longitudinibus fistularum.

Porrò Soni cessante motu corporis sonori statim cessant, ne∣que diutiùs audiuntur ubi longissimè distamus à corporibus sonoris. quàm cum proximè absumus, patet ex Corollario Propositionis XLVIII. Libri hujus. Sed & cur soni in Tubis Stenterophonicis valde augentur, ex allatis principiis manifestum est. Motus enim omnis reciprocus singulis recursibus à causa generante augeri solet. Motus autem in Tubis dilatationem sonorum impedientibus tar∣diùs amittitur & fortius recurrit, & propterea à motu novo singulis recursibus impresso magis augetur. Et haec sunt praecipua Phaeno∣mena Sonorum.