Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XXXVI. Prob. VIII.

Invenire resistentiam corporis Sphaerici in Fluido raro & Elastico velocissime progredientis. (Vide Fig. Pag. 325.)

Designet ABKI corpus Sphaericum centro C semidiametro CA descriptum. Producatur CA primo ad S deinde ad R, ut sit AS pars tertia ipsius CA, & CR sit ad CS ut densitas corporis Sphae∣rici ad densitatem Medii. Ad CR erigantur perpendicula PC, RX, centroque R & Asymptotis CR, RX describatur Hyper∣bola quaevis PVY. In CR capiatur CT longitudinis cujusvis, & erigatur perpendiculum TV abscindens aream Hyperbolicam PCTV, & sit CZ latus hujus areae applicatae ad rectam PC. Di∣co quod motus quem globus, describendo spatium CZ, ex resi∣stentia Medii amittet, erit ad ejus motum totum sub initio ut lon∣gitudo CT ad longitudinem CR quamproxime.

Nam (per motuum Legem tertiam) motus quem cylindrus GNOQ circa globum descriptus impingendo in Medii particulas amitteret, aequalis est motui quem imprimeret in easdem par∣ticulas. Ponamus quod particulae singulae reflectantur a cylindro, & ab eodem ea cum velocitate resiliant, quacum cylindrus ad ipsas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol. 3. si mo∣do particulae quam minime sint, & vi Elastica quam maxima reflectantur. Velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt, ad∣dita velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo ma∣jorem quam velocitas cylindri, & propterea motus quem cy∣lindrus ex reflexione particulae cujusque amittit, erit ad mo∣tum totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum. Pro∣inde cum densitas Medii sit ad densitatem cylindri ut CS ad CR; si Ct sit longitudo tempore quam minimo a cylindro de∣scripta, erit motus eo tempore amissus ad motum totum cylin∣dri ut 2 Ct×CS ad AI×CR. Ea enim est ratio materiae Me∣dii, a cylindro protrusae & reflexae, ad massam cylindri. Unde cum globus sit duae tertiae partes cylindri, & resistentia globi (per Propositionem superiorem) sit duplo minor quam resisten∣tia cylindri: erit motus, quem globus describendo longitudinem L amittit, ad motum totum globi, ut Ct×CS ad ⅔ AI×CR, sive ut Ct ad CR. Erigatur perpendiculum tv Hyperbolae occur∣rens in v, & (per Corol. 1. Prop. V. Lib. II) si corpus de∣scribendo longitudinem areae CtvP proportionalem, amittit mo∣tus sui totius CR partem quamvis Ct, idem describendo longitu∣dinem areae CTVP proportionalem, amittet motus sui partem CT. Sed longitudo Ct aequalis est CPvt / CP, & longitudo OZ (per Hypothesin) aequalis est CPTV / CP, adeoque longitudo Ct est ad longitudinem CZ ut area CPvt ad aream CPVT. Et propterea cum globus describendo longitudinem quam minimam Ct amittat motus sui partem, quae sit ad totum ut Ct ad CR, is

describendo longitudinem aliam quamvis CZ, amittet motus sui partem quae sit ad totum ut CT ad CR. Q.E.D.

Corol. 1. Si detur corporis velocitas sub initio, dabitur tem∣pus quo corpus, describendo spatium Ct, amittet motus sui par∣tem Ct: & inde, dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut ista motus pars amissa ad motum, quem gravitas Globi eodem tempore generaret; dabitur proportio resistentiae ad gravitatem Globi.

Corol. 2. Quoniam in his determinandis supposui quod par∣ticulae Fluidi per vim suam Elasticam quam maxime a Globo re∣flectantur, & particularum sic reflexarum impetus in Globum duplo major sit quam si non reflecterentur: manifestum est quod in Fluido, cujus particulae vi omni Elastica aliaque omni vi reflexi∣va destituuntur, corpus Sphaericum resistentiam duplo minorem patietur; adeoque eandem velocitatis partem amittendo, duplo longius progredietur quam pro constructione Problematis hujus superius allata.

Corol. 3. Et si particularum vis reflexiva neque maxima sit neque omnino nulla, sed mediocrem aliquam rationem teneat: resistentia pariter, inter limites in constructione Problematis & Co∣rollario superiore positos, mediocrem rationem tenebit.

Corol. 4. Cum corpora tarda paulo magis resistantur quam pro ratione duplicata velocitatis: haec describendo longitudinem quamvis CZ amittent majorem motus sui partem, quam quae sit ad motum suum totum ut CT ad CR.

Corol. 5. Cognita autem resistentia corporum celerrimorum, innotescet etiam resistentia tardorum; si modo lex decrementi re∣sistentiae pro ratione velocitatis inveniri potest.