Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XXXIII. Theor. XXVI.

Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum & duplica∣ta ratione diametrorum & ratione densitatis partium Systematum.

Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centri∣fugis quibus particulae systematum se mutuo agitant, partim ex occursibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis resistentiae sunt ad invicem ut vires totae motrices a quibus oriuntur, id est ut vires totae acceleratrices & quantitates materiae in partibus correspondentibus; hoc est (per Hypothesin) ut quadrata velocitatum directe & distantiae parti∣cularum correspondentium inverse & quantitates materiae in par∣tibus correspondentibus directe: ideoque (cum distantiae par∣ticularum systematis unius sint ad distantias correspondentes par∣ticularum alterius, ut diameter particulae vel partis in systemate priore ad diametrum particulae vel partis correspondentis in al∣tero, & quantitates materiae sint ut densitates partium & cubi diametrorum) resistentiae sunt ad invicem ut quadrata velocita∣tum & quadrata diametrorum & densitates partium Systematum. Q.E.D. Posterioris generis resistentiae sunt ut reflexionum cor∣respondentium numeri & vires conjunctim. Numeri autem re∣flexionum sunt ad invicem ut velocitates partium corresponden∣tium directe, & spatia inter eorum reflexiones inverse. Et vires reflexionum sunt ut velocitates & magnitudines & densitates par∣tium correspondentium conjunctim; id est ut velocitates & dia∣metrorum cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, resistentiae partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium conjunctim. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si systemata illa sint Fluida duo Elastica ad modum Aeris, & partes eorum quiescant inter se: corpora au∣tem

duo similia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & densitatem proportionalia, & inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur; vires au∣tem motrices, quibus particulae Fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectorum diametri inverse, & quadrata veloci∣tatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus in Fluidis, & spatia similia ac diametris suis pro∣portionalia describent.

Corol. 2. Proinde in eodem Fluido projectile velox resistitur in duplicata ratione velocitatis quam proxime. Nam si vires, quibus particulae distantes se mutuo agitant, augerenter in dupli∣cata ratione velocitatis, projectile resisteretur in eadem ratione duplicata accurate; ideoque in Medio, cujus partes ab invicem distantes sese viribus nullis agitant, resistentia est in duplicata ra∣tione velocitatis accurate. Sunto igitur Media tria A, B, C ex partibus similibus & aequalibus & secundum distantias aequales re∣gulariter dispositis constantia. Partes Mediorum A & B fugiant se mutuo viribus quae sint ad invicem ut T & V, illae Medii C ejus∣modi viribus omnino destituantur. Et si corpora quatuor aequa∣lia D, E, F, G in his Mediis moveantur, priora duo D & E in prioribus duobus A & B, & altera duo F & G in tertio C; sitque velocitas corporis D ad velocitatem corporis E, & velocitas cor∣poris F ad velocitatem corporis G, in dimidiata ratione virium T ad vires V; resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis E, & resistentia corporis F ad resistentiam corporis G in velocita∣tum ratione duplicata; & propterea resistentia corporis D erit ad resistentiam corporis F ut resistentia corporis E ad resistentiam corporis G. Sunto corpora D & F aequivelocia ut & corpora E & G; & augendo velocitates corporum D & F in ratione qua∣cunque, ac diminuendo vires particularum Medii B in eadem ra∣tione duplicata, accedet Medium B ad formam & conditionem Medii C pro lubitu, & idcirco resistentiae corporum aequalium & aequivelocium E & G in his Mediis, perpetuo accedent ad aequa∣litatem,

ita ut earum differentia evadat tandem minor quam data quaevis. Proinde cum resistentiae corporum D & F sint ad invicem ut resistantiae corporum E & G, accedent etiam hae similiter ad rationem aequalitatis. Corporum igitur D & F, ubi velocissi∣me moventur, resistantiae sunt aequales quam proxime: & propte∣rea cum resistentia corporis F sit in duplicata ratione velocitatis, erit resistentia corporis D in eadem ratione quam proxime. Q.E.D.

Corol. 3. Igitur corporis in Fluido quovis Elastico velocissi∣me moventis eadem fere est resistentia ac si partes Fluidi viribus suis centrifugis destituerentur, seque mutuo non fugerent: si mo∣do Fluidi vis Elastica ex particularum viribus centrifugis oriatur.

Corol. 4. Proinde cum resistentiae similium & aequivelocium corporum, in Medio cujus partes distantes se mutuo non fugiunt, sint ut quadrata diametrorum, sunt etiam aequivelocium & ce∣lerrime moventium corporum resistentiae in Fluido Elastico ut quadrata diametrorum quam proxime.

Corol. 5. Et cum corpora similia, aequalia & aequivelocia, in Mediis ejusdem densitatis, quorum particulae se mutuo non fu∣giunt, sive particulae illae sint plures & minores, sive pauciores & majores, in aequalem materiae quantitatem temporibus aequalibus inpingant, eique aequalem motus quantitatem imprimant, & vi∣cissim (per motus Legem tertiam) aequalem ab eadem reactio∣nem patiantur, hoc est, aequaliter resistantur: manifestum est etiam quod in ejusdem densitatis Fluidis Elasticis, ubi velocissime moventur, aequales sint eorum resistentiae quam proxime; sive Fluida illa ex particulis crassioribus constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex Medii subtilitate resistentia pro∣jectilium celerrime motorum non multum diminuitur.

Corol. 6. Cum autem particulae Fluidorum, propter vires quibus se mutuo fugiunt, moveri nequeant quin simul agitent particulas alias in circuitu, atque adeo dissicilius moveantur inter se quam si viribus istis destituerentur; & quo majores sint earum

vires centrifugae, eo difficilius moveantur inter se: manifestum esse videtur quod projectile in tali Fluido eo difficilius movebi∣tur, quo vires illae sunt intensiores; & propterea si corporis ve∣locissimi in superioribus Corollariis velocitas diminuatur, quoni∣am resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, si mo∣do vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem nullatenus diminuantur, manifestum est quod resi∣stentia diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis.

Corol. 7. Porro cum vires centrifugae eo nomine a〈…〉〈…〉uam resistentiam conducant, quod particulae motus suos per Fluidum ad majorem a se distantiam per vires illas propagent; & cum di∣stantia illa minorem habeat rationem ad majora corpora: mani∣festum est quod augmentum resistentiae ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris sit momenti; & propterea, quo corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium decrescet in duplicata ratione velocitatis.

Corol. 8. Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate ob∣tinebit in Fluidis quae, pari densitate & vi Elastica, ex particulis minoribus constant. Nam si corpora illa majora diminuantur, & particulae Fluidi, manente ejus densitate & vi Elastica, diminu∣antur in eadem ratione; manebit eadem ratio resistantiae quae pri∣us: ut ex praecedentibus facile colligitur.

Corol. 9. Haec omnia ita se habent in Fluidis, quorum vis E∣lastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad in∣star Lanae vel ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum inter se redduntur minus liberi: resistantia, ob minorem Medii fluiditatem, erit major quam in superioribus Corollariis.