Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XXV. Theor. XIX.

Corpora Funependula quae in Medio quovis resistuntur in ratione momentorum temporis, quaeque in ejusdem gravitatis specificae Me∣dio non resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore pe∣ragunt, & arcuum partes proportionales simul describunt.

Sit AB Cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in Medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis D vel d vel E ut longitudo arcus CD vel Cd vel CE. Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur, exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem CO, & su∣matur arcus Od in ra∣tione

[illustration]

ad arcum CD quam habet arcus OB ad arcum CB: & vis qua corpus in d urge∣tur in Medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra resistentiam CO, exponetur per arcum Od, adeoque erit ad vim qua corpus D urgetur in Medio non resistente, in loco D, ut arcus Od ad arcum CD▪ & propterea etiam in loco B ut arcus OB ad arcum CB. Proinde si corpora duo, D, d exeant de loco

B, & his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus CB & OB, erunt velocitates primae & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi BD & Bd, & arcus reliqui CD, Od e∣runt in eadem ratione. Proinde vires ipsis CD, Od proportio∣nales manebunt in eadem ratione ac sub initio, & propterea cor∣pora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates & arcus reliqui CD, Od semper erunt ut ar∣cus toti CD, OB, & propterea arcus illi reliqui simul describen∣tur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in Medio non resistente ad locum C, & alterum in Medio resistente ad locum O. Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB & OB; erunt arcus quos corpora ulterius per∣gendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE & Oe. Vis qua corpus D in Medio non resistente retardatur in E est ut CE, & vis qua corpus d in Medio resistente retardatur in e est ut summa vis Ce & resistentiae CO, id est ut Oe; ideoque vires, qui∣bus corpora retardantur, sunt ut arcubus CE, Oe proportionales arcus CB, OB; proindeque velocitates in data illa ratione retar∣datae manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & ar∣cus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione ar∣cuum CB & OB; & propterea si sumantur arcus toti AB, aB in eadem ratione, corpora D, d simul describent hos arcus, & in locis A & a morum omnem simul amittent. Isochronae sunt igi∣tur oscillaciones totae, & arcubus totis BA, BE proportionales sunt arcuum partes quaelibet BD, Bd vel BE, Be quae simul describuntur. Q.E.D.

Corol. Igitur motus velocissimus in Medio resistente non inci∣dit in punctum infimum, C, sed reperitur in puncto illo O, quo ar∣cus totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in de∣sensu suo a B ad O.