Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

SECT. IV. De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus.

LEM. III.

Sit PQRr Spiralis quae secet radios omnes SP, SQ, SR, &c. in aequalibus angulis. Agatur recta PT quaetangat eandem in puncto quovis P, secetque radium SQ in T; & ad Spiralem erectis perpen∣diculis PO, QO concurrentibus in O, jungatur SO. Dico quod fi puncta P & Q accedant ad invicem & coeant, angulus PSO evadet rectus, & ultima ratio rectanguli TQ×PS ad PQ quad. erit ra∣tio aequalitatis.

Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur anguli aequales SPQ, SQR, & manebunt anguli aequales OPS, OQS. Ergo circulus qui transit per

[illustration]

puncta O, S, P transibit eti∣am per punctum Q. Coeant puncta P & Q, & hic cir∣culus in loco coitus PQ tan∣get Spiralem, adeoque per∣pendiculariter secabit rectam OP. Fiet igitur OP diame∣ter circuli hujus, & angulus OSP in semicirculo rectus. Q.E.D.

Ad OP demittantur perpendicula QD, SE, & linearum ra∣tiones ultimae erunt hujusmodi: TQ ad PD ut TS vel PS ad PE, seu PO ad PS. Item PD ad PQ ut PQ ad PO. Et ex aequo perturbate TQ ad PQ ut PQ ad PS. Unde fit PQq. aequalis PQ×PS. Q.E.D.

Prop. XV. Theor. XI.

Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densita∣tis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quae radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Ponantur quae in superiore Lemmate, & producatur SQ ad V, ut sit SV aequalis SP. Temporibus aequalibus describat cor∣pus arcus quam minimos PQ & QR, sintque areae PSQ, QSr aequales. Et quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P est reciproce ut SPq. &

[illustration]

(per Lem. X. Lib. I.) line∣ola TQ, quae vi illa gene∣ratur, est in ratione compo∣sita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus PQ describitur, (Nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) erit TQ×SPq. id est (per Lemma novissimum) PQq.×SP, in ratione duplicata tem∣poris, adeoque tempus est ut PQ×√SP, & corporis velocitas qua arcus PQ illo tempore describitur ut PQ / PQ×√SP seu 1/√SP, hoc est in dimidiata ratione ipsius SP reciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcus QR describitur, est in di∣midiata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus illi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata ratione SQ ad SP, sive ut SQ ad √SP×√SQ; & ob aequa∣les angulos SPQ, SQr & aequales areas PSQ, QSr, est arcus

PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP. Sumantur proportionalium con∣sequentium differentiae, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut SQ ad SP−SP½×SQ ½, seu ½VQ; nam punctis P & Q coeuntibus, ra∣tio ultima SP−SP ½×SQ ½ ad ½VQ fit aequalitatis. In Medio non resistente areae aequales PSQ, QSr (per Theor. I. Lib. I.) temporibus aequalibus describi deberent. Ex resistentia oritur a∣rearum differentia RSr, & propterea resistentia est ut lincolae Qr decrementum Rr collatum cum quadrato temporis quo ge∣neratur. Nam lineola Rr (per Lem. X. Lib. I.) est in du∣plicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut Rr / PQq.×SP. Erat autem PQ ad Rr ut SQ ad ½VQ, & inde Rr / PQq.×SP fit ut ½VQ / PQ×SP×SQ sive ut ½OS / OP×SPq. Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt; & ob similia triangula PVQ, PSO, fit PQ ad ½VQ ut OP ad ½OS. Est igitur OS / OP×SPq. ut resistentia, id est in ratione densitatis Medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio ve∣locitatis, nempe ratio 1/SP, & manebit Medii densitas in P ut OS / OP×SP. Detur Spiralis, & ob datam rationem OS ad OP, den∣sitas Medii in P erit ut 1/SP. In Medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac Spirali. Q.E.D.

Corol. 1. Velocitas in loco quovis P ea semper est quacum corpus in Medio non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.

Corol 2. Medii densitas, si datur distantia SP, est ut OS / OP,

sin distantia illa non datur, ut OS / OP×SP. Et inde Spiralis ad quamlibet Medii densitatem aptari potest.

Corol. 3. Vis resistentiae in loco quovis P, est ad vim centri∣petam in eodem loco ut ½OS ad OP. Nam vires illae sunt ut li∣neae Rr & TQ seu ut ½VQ×PQ / SQ & PQq./SP quas simul generant, hoc est ut ½VQ & PQ, seu ½OS & OP. Data igitur Spirali datur proportio resistentiae ad vim centripetam, & vice versa ex data illa proportione datur Spiralis.

Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistentiae minor est quam dimidium vis centripetae. Fiat re∣sistentia aequalis dimidio vis centripetae & Spiralis conveniet cum linea recta PS, inque hac recta corpus descendet ad centrum, di∣midia semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in casu Parabolae (Theor. X. Lib. I.) descensum in Medio non resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur.

Corol. 5. Et quoniam in aequalibus a centro distantiis veloci∣tas eadem est in Spirali PQR atque in recta SP, & longitudo Spiralis ad longitudinem rectae PS est in data ratione, nempe in ratione OP ad OS; tempus descensus in Spirali erit ad tempus descensus in recta SP in eadem illa data ratione, proindeque datur.

Corol. 6. Si centro S intervallis duobus datis describantur duo circuli; numerus revolutionum quas corpus intra circulorum cir∣cumferentias complere potest, est ut PS / OS, sive ut Tangens anguli quem Spiralis continet cum radio PS; tempus vero revoluti∣onum earundem ut OP / OS, id est reciproce ut Medii densitas.

Corol. 7. Si corpus, in Medio cujus densitas est reciproce ut di∣stantia locorum a centro, revolutionem in Curva quacunque AEB

circa centrum illud fecerit, & Radium primum AS in codem angulo secuerit in B quo prius in A, idque cum velocitate quae fuerit ad velocitatem suam primam in A reciproce in dimidiata ratione distantia∣rum

[illustration]

a centro (id est ut BS ad me∣diam proportiona lem inter AS & CS:) corpus il∣lud perget innu∣meras consimiles revolutiones BFC, CGD, &c. face∣re, & intersectio∣nibus distinguet Radium AS in partes AS, BS, CS, DS &c. con∣tinue proportionales. Revolutionum vero tempora erunt ut Pe∣rimetri orbitarum AEB, BFC, CGD &c. directe, & velocitates in principiis A, B, C, inverse; id est ut AS ^½, BS ^½, CS ^½. At{que} tempus totum, quo corpus perveniet ad centrum, erit ad tem∣pus revolutionis primae ut summa omnium continue proportiona∣lium AS ^½, BS ^½, CS ^½ pergentium in infinitum, ad terminum pri∣mum AS ^½; id est ut terminus ille primus AS ^½ ad differentiam duorum primorum AS3/2−BS ³/2, & quam proxime ut ⅔AS ad AB. Unde tempus illud totum expedite invenitur.

Corol. 8. Ex his etiam praeterpropter colligere licet motus corporum in Mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut a∣liam quamcunque legem assignatam observat. Centro S interval∣lis continue proportionalibus SA, SB, SC &c. describe cir∣culos

quotcunque, & statue numerum revolutionum inter perime∣tros duorum quorum vis ex his circulis, in Medio de quo egimus, esse ad numerum revolutionum inter eosdem in Medio proposito, ut Medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad Medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam prox∣ime; Sed & in eadem quo{que} ratione esse Tangentem anguli quo Spi∣ralis praefinita, in Medio de quo egimus, secat radium AS, ad tangen∣tem anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in Medio pro∣posito: At{que} etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si haec fiant passim inter circulos binos, continuabitur mo∣tus per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter ima∣ginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in Medio quocunque regulari gyrari debebunt.

Corol. 9. Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad for∣mam Ovalium accedentibus peragantur; tamen concipiendo Spi∣ralium illarum singulas revolutiones eisdem ab invicem intervallis distare, iisdemque gradibus ad centrum accedere cum Spirali su∣perius descripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi Spiralibus peragantur.

Prop. XVI. Theor. XII.

Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua di∣stantiae locorum a centro, sitque vis centripeta reciproce ut distantia in dignitatem illam ducta: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quae radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Demonstratur eadem methodo cum Propositione superiore. Nam si vis centripeta in P sit reciproce ut distantiae SP dignitas quaelibet SP^{n +1} cujus index est n+1; colligetur ut supra, quod tempus quo corpus describit arcum quemvis PQ erit ut PQ×SP ^{½ n}

& resistentia in P ut Rr / PQq.×SPⁿ sive ut ½nVQ / PQ×SPⁿ×SQ, ade∣que ut ½nOS / OP×SP^{n +1}. Et propterea densitas in P est reciproce ut SPⁿ.

Scholium.

Caeterum haec Propositio & superiores, quae ad Media inaequali∣ter densa spectant, intelligendae sunt de motu corporum adeo parvorum, ut Medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat. Resistentiam quoque caeteris paribus densitati proportionalem esse suppono. Unde in Mediis quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut resistentiae vel tollatur excessus vel defectus suppleatur.

Prop. XVII. Prob. V.

Invenire & vim centripetam & Medii resistentiam qua corpus in data Spirali data lege revolvi potest. Vide Fig. Prop. XV.

Sit spiralis illa PQR. Ex velocitate qua corpus percurrit ar∣cum quam minimum PQ dabitur tempus, & ex altitudine TQ, quae est ut vis centripeta & quadratum temporis, dabitur vis. De∣inde ex arearum, aequalibus temporum particulis confectarum PSQ & QSR, differentia RSr, dabitur corporis retardatio, & ex re∣tardatione invenietur resistentia ac densitas Medii.

Prop. XVIII. Prob. VI.

Data lege vis centripetae, invenire Medii densitatem in locis singulis, qua corpus datam Spiralem describet.

Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, de∣inde ex velocitatis retardatione quaerenda Medii densitas: ut in Propositione superiore.

Methodum vero tractandi haec Problemata aperui in hujus Propositione decima, & Lemmate secundo; & Lectorem in hu∣jusmodi perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo. Ad∣denda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate & resistentia Mediorum, in quibus motus hacte∣nus expositi & his affines peraguntur.