Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

SECT. III. De motu corporum quae resistuntur partim in ratione velocitatis, par∣tim in ejusdem ratione duplicata.

Prop. XI. Theor. VIII.

Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in veloci∣tatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantisates ve∣locitatibus reciproce proportionales, quadam quantitate auctae, erunt in progressione Geometrica.

Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH describatur Hyperbola BEeS, & Asymptoto CH parallelae sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur puncta A, G: Et fi tempus exponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter cres∣centem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF, cujus reciproca GD una cum data CG componat longitudi∣nem CD in progressione Geometrica crescentem.

Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem 1/GD decrementum, quod (per hujus Lem. II.) est Dd / GDq., erit ut CD / GDq. seu CG+GD / GDq., id est, ut 1/GD+CG / GDq..

[illustration]

Igitur tempore ABED per ad∣ditionem datarum particularum EDde uniformiter crescente, decre∣scit 1/GD in eadem ratione cum velo∣citate. Nam decrementum velo∣citatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa du∣arum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadra∣tum velocitatis; & ipsius 1/GD decrementum est ut summa quan∣titatum 1/GD & CG / GDq., quarum prior est ipsa 1/GD, & posterior CG / GDq. est ut 1/GDq. Proinde 1/GD, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi 1/GD reciproce pro∣portionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione Geome∣trica. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsi∣us GD reciprocam 1/GD.

Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reci∣proca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujus∣vis

ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velo∣citas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.

Prop. XII. Theor. IX.

Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressio∣ne Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctae erunt in progressione Geometrica.

In Asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod occurrat Hyperbolae in S, exponatur descriptum spa∣tium per aream Hyperbolicam RSED; & velocitas erit ut lon∣gitudo GD, quae cum data CG componit longitudinem CD, in Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatium RS∣ED augetur in Arithmetica.

Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quae decrementum est ipsius GD, erit reciproce ut ED, adeo{que} directe ut CD, hoc est ut summa ejusdem GD & longitudinis datae CG. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est directe ut summa dua∣rum quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa de∣arum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum tam velocitatis quam lineae GD, est ut quan∣titas data & quantitas decrescens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogae semper erunt quantitates decrescentes: ni∣mirum velocitas & linea GD. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.

Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G, capiendo GD ad GR ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis ABED descriptum. Inven∣to autem puncto G, datur spatium ex data velocitate, & contra.

Corol. 3. Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex da∣to tempore, & per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: & contra.

Prop. XIII. Theor. X.

Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis, par∣tim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolae diametris parallelae rectae per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quaedam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.

Cas. 1. Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque D & semidiametro quovis DB describatur circuli quadrans BETF,

[illustration]

& per semidiametri DB terminum B agatur infinita BAP, semidiametro DF parallela. In ea detur pun∣ctum A, & capiatur seg∣mentum AP velocitati pro∣portionale. Et cum resi∣stentiae pars aliqua sit ut ve∣locitas & pars altera ut ve∣locitatis quadratum, fit re∣sistentia tota in P ut AP quad. +2 PAB. Jungan∣tur DA, DP circulum se∣cantes in E ac T, & exponatur gravitas per DA quadratum, ita ut sit gravitas ad resistentiam in P ut DAq. ad APq.+2PAB: & tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector EDTE.

Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & Sectoris DET momentum DTV dato temporis momen∣to

respondens: & velocitatis decrementum illud PQ erit ut sum∣ma virium gravitatis DBq. & resistentiae APq.+2 BAP, id est (per Prop. 12. Lib. II. Elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP quad; & area DTV, (quae est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq.) est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis fu∣turi, per subductionem datarum particularum DTV, & propte∣rea tempori ascensus futuri proportionalis est. Q.E.D.

Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudi∣nem AP ut prius, & resistentia ponatur esse ut APq.+2 BAP, & si vis gravitatis minor sit quam quae per DAq. exponi possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq.−BDq. gra∣vitati proportiona∣le,

[illustration]

sitque DF ip∣si DB perpendicu∣laris & aequalis, & per verticem F de∣scribatur Hyperbola FTVE cujus semi∣diametri conjugatae sint DB & DF, quae{que} secet DA in E, & DP, DQ in T & V; & erit tem∣pus ascensus futuri ut Hyperbolae sector TDE.

Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiae APq.+2 ABP & gravitatis ABq.−BDq. id est ut BPq.−BDq. Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoque, si ad DF demitta∣tur perpendiculum GT, ut GTq. seu GDq−DFq. ad BDq. utque GDq. ad PBq. & divisim ut DFq. ad BPq.−DBq. Quare cum area DPQ sit ut PQ, id est ut BPq.−BDq. erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur area EDT unifor∣miter

singulis temporis particulis aequalibus, per subductionem particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori pro∣portionalis est. Q.E.D.

Cas. 3. Sit AP velocitas in descensu corporis, & APq.+2 ABP resistentia, & DBq.−ABq. vis gravitatis, existente angulo DAB recto. Et si centro D, vertice

[illustration]

principali B, describatur Hy∣perbola rectangula BETV secans productas DA, DP & DQ in E, T & V; erit Hy∣perbolae hujus sector DET ut tempus descensus.

Nam velocitatis incremen∣tum PQ, ei{que} proportionalis area DPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est ut DBq.−ABq.−2 ABP−APq. seu DBq.−BPq. Et area DTV est ad arcam DPQ ut DTq. ad DPq. adeo{que} ut GTq. seu GDq.−BDq. ad BPq. utque GDq. ad BDq. & divisim ut BDq. ad BDq.−BPq. Quare cum area DPQ sit ut BDq.−BPq. erit area DTV ut datum BDq. Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis aequali∣bus, per additionem totidem datarum particularum DTV, & propterea tempori descensus proportionalis est. Q.E.D.

Corol. Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; & in Medio utro{que} ubi quam minima est, accedit ad rationem aequalitatis, pro more Sectoris & Trian∣guli.

Prop. XIV. Prob. IV.

Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areae per quam tempus exponitur, & a∣reae cujusdam alterius quae augetur vel diminuitur in progressione A∣rithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositae sumantur in progressione Geometrica.

Capiatur AC (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AK resi∣stentiae proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes pun∣cti A si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quae sit ad DB ut DBq. ad 4BAC: & area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires CK in pro∣gressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia cor∣poris ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areae AbNK su∣pra aream DET.

Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq.+2 BAP; assumatur data quaevis quantitas Z, & ponatur AK aequalis APq.+2 BAP / Z; & (per hujus Lem. II.) erit ipsius AK mo∣mentum KL aequale 2 APQ+2 BA×PB / Z seu 2 BPQ / Z, & areae AbNK momentum KLON aequale 2 BPQ×LO / Z seu BPQ×BD cub./2 Z×CK×AB

Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq.+BDq. existente BET circulo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) li∣nea AC, quae gravitati proportionalis est, erit ABq.+BDq / Z. & DPq. seu APq.+2 BAP+ABq.+BDq. erit AK×Z+AC×Z seu CK×Z: ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq. vel DBq. ad CK×Z.

Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq−BDq. linea AC (Fig. Cas. 2. Prop. XIII.) erit ABq.−BDq./Z & DTq. erit ad DPq. ut DFq. seu DBq. ad BPq−BDq. seu APq.+2 BAP+ABq−BDq. id est ad AK×Z+AC×Z seu CK×Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK×Z.

Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit ut BDq.−ABq. & linea AC (Fig. Cas. 3. Prop. praeced.) aequetur BDq.−ABq./Z erit area DTV ad aream DPQ ut DBq. ad CK×Z: ut supra.

Cum igitur areae illae semper sint in hac ratione; si pro area DTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper aequale ex∣ponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta BD×m, erit area DPQ, id est ½ BD×PQ; ad BD×m ut CK in Z ad BDq. At{que} inde fit PQ in BD cub. aequale 2BD×m×CK×Z, & areae AbNK momentum KLON su∣perius inventum, fit BP×BD×m / AB. Auferatur areae DET mo∣mentum DTV seu BD×m, & restabit AP×BD×m / AB. Est igi∣tur differentia momentorum, id est momentum differentiae area∣rum, aequalis AP×BD×m / AB; & propterea (ob datum BD×m / AB) ut velocitas AP, id est ut momentum spatii quod corpus ascen∣dendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decres∣centia, & simul incipientia vel simul evanescentia sunt proportio∣nalia. Q.E.D.

Corol. Igitur si longitudo aliqua V sumatur in ea ratione ad arcum ET, quam habet linea DA ad lineam DE; spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente descri∣bit, erit ad spatium quod in Medio non resistente eodem tem∣pore

describere posset, ut arearum illarum differentia ad BD×V ²/4AB, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut V ², & ob da∣tas BD & AB, ut BD×V ²/4AB. Tempus autem est ut DET seu ½ BD×ET, & harum arearum momenta sunt ut BD×V/2 AB ductum in momentum ipsius V & ½ BD ductum in momentum ipsius ET, id est, ut BD×V/2AB in DAq.×2 m / DEq. & ½ BD×2 m, sive ut BD×V×DAq.×m / AB×DEq. & BD×m. Et propterea mo∣mentum areae V ² est ad momentum differentiae arearum DET & AKNb, ut BD×V×DA×m / AB×DE ad AP×BD×m / AB sive ut V×DA / DE ad AP; adeoque, ubi V & AP quam minimae sunt, in ratione aequalitatis. Aequalis igitur est area quam minima BD×V ²/4AB differentiae quam minimae arearum DET & AKNb. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad aequalitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut area BD×V ²/4AB & arearum DET & AKNb differentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut in aequalibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa BD×V ²/4AB & arearum DET & AKNb differentia. Q.E.D.