Prop. XII. Theor. IX.
Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressio∣ne Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctae erunt in progressione Geometrica.
In Asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod occurrat Hyperbolae in S, exponatur descriptum spa∣tium per aream Hyperbolicam RSED; & velocitas erit ut lon∣gitudo GD, quae cum data CG componit longitudinem CD, in Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatium RS∣ED augetur in Arithmetica.
Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quae decrementum est ipsius GD, erit reciproce ut ED, adeo{que} directe ut CD, hoc est ut summa ejusdem GD & longitudinis datae CG. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est directe ut summa dua∣rum quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa de∣arum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum tam velocitatis quam lineae GD, est ut quan∣titas data & quantitas decrescens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogae semper erunt quantitates decrescentes: ni∣mirum velocitas & linea GD. Q.E.D.
Corol. 1. Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.
Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G, capiendo GD ad GR ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis ABED descriptum. Inven∣to autem puncto G, datur spatium ex data velocitate, & contra.