To the extent possible under law, the Text Creation Partnership has waived all copyright and related or neighboring rights to this keyboarded and encoded edition of the work described above, according to the terms of the CC0 1.0 Public Domain Dedication (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/). This waiver does not extend to any page images or other supplementary files associated with this work, which may be protected by copyright or other license restrictions. Please go to http://www.textcreationpartnership.org/ for more information.
Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sit{que} resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quae faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis.
Sit AK planum illud plano Schematis perpendiculare; ACK linea curva; C corpus in ipsa motum; & FCf recta ipsam tan∣gens
in C. Fingatur autem corpus C nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc vero regredi per eandem lineam; & in progressu impediri a Medio, in regressu aeque promoveri, sic ut in iisdem locis eadem
Et simili argumento est fg ut quadratum temporis, adeo{que} ob aequalia tempora aequatur ipsi FG; & impulsus quo corpus re∣grediens urgetur est ut hf / fg. Sed impulsus corporis regredientis
& resistentia progredientis ipso motus initio aequantur, adeo{que} & ipsis proportionales hf / fg & HF / FG aequantur; & propterea ob ae∣quales fg & FG, aequantur etiam hf & HF, sunt{que} adeo CF, CH (vel Ch) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF se∣midifferentia est ipsarum Cf & CF; & resistentia quae supra fuit ut HF / FG, est ut Cf−CF / FG.
Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum veloci∣tatis. Velocitas autem ut descripta longitudo CF directe & tem∣pus √FG inverse, hoc est ut CF / √FG, adeo{que} quadratum veloci∣tatis ut CFq./FG. Quare resistentia, ipsi{que} proportionalis Cf−CF / FG est ut Medii densitas & CFq./FG conjunctim; & inde Medii densi∣tas ut Cf−CF / FG directe & CFq./FG inverse, id est ut CF−CF / CFq.. Q.E.D.
Corol. 1. Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck aequalis CF, & ad planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in l; fiet Medii densitas ut FG−kl / CF×FG+kl Erit enim fC ad kC ut √fg seu √FG ad √kl, & divisim fk ad kC, id est Cf−CF ad CF ut √FG−√kl ad √kl; hoc est (si ducatur terminus uter{que} in √FG+√kl) ut FG−kl ad kl+ √FG×kl, sive ad FG+kl. Nam ratio prima nascentium kl+√FG×kl & FG+kl est aequalitatis. Scribatur ita{que} FG−kl / FG+kl pro Cf−CF / CF; & Medii densitas, quae fuit ut Cf−CF / CF quad. evadet ut FG−kl / CF×FG+kl.
Corol. 2. Unde cum 2 HF & Cf−CF aequentur, & FG & kl (ob rationem aequalitatis) componant 2 FG; erit 2 HF ad CF ut FG−kl ad 2FG; & inde HF ad FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG−kl ad 4 FG quad.
Corol. 3. Et hinc si curva linea desiniatur per relationem inter basem seu abscissam AB & ordinatim applicat am BC; (ut moris est) & valor ordinatim applicatae resolvatur in seriem conver∣gentem: Problema per primos seriei terminos expedite solve∣tur: ut in Exemplis sequentibus.
Exempl. 1. Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, & requiratur Medii densitas quae faciat ut Projectile in hac linea moveatur.
Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel Bi o: & erit DGq. seu OGq.−ODq. ae∣quale nn−aa−2ao−oo seu ee−2ao−oo; & radice per me∣thodum nostram extracta, fiet DG=e−ao / e−oo/2e−aaoo/2e 3−ao 3/2e 3−a 3 o 3/2e 5 &c. Hic scribatur nn pro ee+aa & evadet DG =e−ao / e−nnoo/2e 3−anno 3/2e 5 &c.
Hujusmodi Series distinguo
qui hic est ao / e, denotabit differentiam inter BC & DF, id est lineolam IF, quae abscinditur complendo parallelogrammum BC∣ID, at{que} adeo positionem Tangentis CF semper determinat: ut in hoc casu capiendo IF ad IC ut est ao / e ad o seu a ad e. Ter∣minus tertius, qui hic est nnoo/2e 3 designabit lineolam FG, quae jacet inter Tangentem & Curvam, adeo{que} determinat angulum con∣tactus FCG, seu curvaturam quam curva linea habet in C. Si li∣neola illa FG finitae est magnitudinis, designabitur per termi∣num tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineo∣la illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infi∣nite minores tertio, ideo{que} negligi possunt. Terminus quartus, qui hic est anno 3/2e 5, exhibet variationem Curvaturae; quintus varia∣tionem variationis, & sic deinceps. Unde obiter patet usus non contemnendus harum Serierum in solutione Problematum, quae pendent a Tangentibus & curvatura Curvarum.
Praeterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. & quadrato termini secundi. Est{que} FG+kl aequalis du∣plo termini tertii, & FG−kl aequalis duplo quarti. Nam va∣lor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il, & valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu −o pro +o. Proinde cum FG sit −nnoo/2e 3−anno 3/2e 5 &c. erit kl=−nnoo/2e 3+anno 3/2e 5 &c. Et horum summa est −nnoo / e 3, differentia −anno 3/e 5. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant. Ita{que} si de∣signetur Series universaliter his terminis ±Qo−Roo−So 3 &c. erit CF aequalis √oo+QQoo, FG+kl aequalis 2Roo, & FG−kl aequalis 2So 3. Pro CF, FG+kl & FG−kl scribantur
hi earum valores, & Medii densitas quae erat ut FG−kl / CF in FG+kl jam fiet ut S / R√1+QQ. Deducendo igitur Problema unum∣quod{que} ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scriben∣do terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo re∣sistentiam Medii in loco quovis G esse ad Gravitatem ut S 〈 math 〉〈 math 〉 ad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de lo∣co C secundum rectam CF egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum 1+QQ / R habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.
Sic in Problemate jam solvendo, si scribantur 〈 math 〉〈 math 〉 seu n / e pro 〈 math 〉〈 math 〉, nn / 2e 3 pro R, & ann/2e 5 pro S, prodibit Medii den∣sitas ut a / ne, hoc est (ob datam n) ut a / e seu OB / BC, id est ut Tan∣gentis longitudo illa CT, quae ad semidiametrum OL ipsi AK normaliter insistentem termi∣natur;
At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK per∣pendicularem
egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrari∣as partes centri O, & propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum −a pro +a. Quo pacto prodiret Medii densitas ut −a / c. Negativam autem densitatem (hoc est quae motus cor∣porum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturali∣ter fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri.
Exempl. 2. Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL ho∣rizonti AK perpendicularem, & requiratur Medii densitas quae faciat ut projectile in ipsa moveatur.
Ex natura Parabolae, rectangulum ADK aequale est rectan∣gulo sub ordinata DG & recta aliqua data: hoc est, si dican∣tur recta illa b, AB a, AK c, BC e & BD o; rectangulum a+o in c−a−o seu ac−aa−2ao+co−oo aequale est rectangulo b in DG, adeo{que} DG aequale ac−aa / b+c−2a / b o−oo / b. Jam scri∣bendus esset hujus seriei secundus terminus c−2a / b o pro Qo, & ejus coefficiens c−2a / b pro Q; tertius item terminus oo / b pro Roo, & ejus coefficiens 1/b pro R. Cum vero plures non sint termini, debebit quarti termini So 3 coefficiens S evanescere, & propterea quantitas S / R〈 math 〉〈 math 〉 cui Medii densitas proportionalis est, ni∣hil erit. Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit Galilaeus. Q.E.I.
Exempl. 3. Sit linea AGK Hyperbola, Asymptoton habens NX plano horizontali AK perpendicularem; & quaeratur Me∣dii densitas quae faciat ut Projectile moveatur in hac linea.
Sit MX Asymptotos altera, ordinatim applicatae DG pro∣ductae
occurrens in V, & ex natura Hyperbolae, rectangulum
in Regula superiore, pro Q, R & S. Quo facto prodit medii densitas ut bb / a 4/bb / a 3〈 math 〉〈 math 〉 seu 1/〈 math 〉〈 math 〉 id est, si in VZ sumatur VY aequalis VG, ut 1/XY. Nam{que} aa & mm / nn aa−2mbb / n+b 4/aa sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resisten∣tia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad YG, & velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus rectum YX quad./VG habente. Ponatur ita{que} quod Medii densitates in locis singulis G sint reci∣proce ut distantiae XY, quod{que} resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad YG; & corpus de loco A justa cum velocita∣te emissum describet Hyperbolam illam AGK. Q.E.I.
Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AGK Hyperbola sit, centro X Asymptotis MX, NX ea lege descripta, ut con∣structo rectangulo XZDN cujus latus ZD secet Hyperbolam in G & Asymptoton ejus in V, fuerit VG reciproce ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua NDn, cujus index est numerus n: & quaeratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.
Pro DN, BD NX scribantur A, O, C respective, sit{que} VZ ad ZX vel DN ut d ad e, & VG aequalis bb / DN n, & erit DN aequa∣lis A−O, VG=bb / A−On, VZ=d / e in A−O, & GD seu NX−VZ−VG aequalis C−d / e A+d / e O−bb / A−On. Resolvatur terminus ille bb / A−On in seriem infinitam bb / An+nbbO / An+1+nn+n/2An+2 bbO•++n 3+3nn+2n/6An+3 bbO 3 &c. ac fiet GD aequalis C−d / e A−bb / An+
+d / e O−nbb / An+1 O−nn+n/2An+2 bbO 2−n 3+3nn+2n/6An+3 bbO 3 &c. Hujus seriei terminus secundus d / e O−nbb / An+1 O usurpandus est pro Qo, tertius nn+n/2An+2 bbO 2 pro Ro 2, quartus n3+3nn+2n/6An+3 bbO 3 pro So 3. Et inde Medii densitas S / R×〈 math 〉〈 math 〉, in loco quovis G, fit n+2/3〈 math 〉〈 math 〉, adeo{que} si in VZ capiatur VY aequalis n×VG, est reciproce ut XY. Sunt enim A 2 & dd / ee A 2−2dnbb / eAn in A+nnb 4/A 2 n ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in XY / A ad 2RR, id est XY ad 3nn+3n / n+2 VG. Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus pro∣jectum in Parabola pergeret, verticem G, diametrum GD & La∣tus rectum 1+QQ / R seu 2XY quad./nn+n in VG habente. Q.E.I.
Quoniam motus non sit in Parabola nisi in Medio non resis∣tente, in Hyperbolis vero hic descriptis sit per resistentiam per∣petuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est uti{que} linea illa Hyperbolici ge∣neris, sed quae circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non
est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hae in re∣bus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futu∣rae sunt hae, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsae vero in usum sic deducentur.
Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbo∣lam in G, ideo{que} densitas Medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut √GTq./GV, resistentia autem ad vim gravi∣tatis ut GT ad 3nn+3n / n+2 GV.
Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymp∣toto NX in H, acta{que} AI occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut √AHq./AI, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad 3nn+3n / n+2 in AI. Unde prodeunt sequentes Regulae.
Reg. 1. Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideo{que} si longi∣tudines illae in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest.
Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.
Reg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitas{que} acceleratrix servetur, & proportio resistentiae in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque: augebitur proportio AH ad AI in eadem ratione, manente Parabolae late∣re recto, ei{que} proportionali longitudine AHq./AI; & propterea mi∣nuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa du∣plicata.
Augetur vero proportio resistentiae ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub aequali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminui∣tur in minore ratione quam pondus.
Reg. 4. Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolae minor est quam in loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimae tangentium GT ad Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo mi∣nore quam semisummae Tangentium ad Tangentem AH.
Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK: produc HN ad X, ut sit HX aequalis facto sub n+1 & AI; centro{que} X & Asymptotis MX, NX per punc∣tum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI ad quamvis VG ut XVn ad XIn.
Reg. 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratae sunt hae Hyperbolae in ascensu corporis ab A, & minus accuratae in e∣jus descensu ad G; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, est{que} c••eteris simplicior. Igitur si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quaeratur: oc∣currat producta AN Asymptotis MX, NX in M & N, & su∣matur NK ipsi AM aequalis.
Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phaenominis. Projiciantur corpora duo si∣milia & aequalia eadem velocitate, in angulis diversis HAK, hAK, incident{que} in planum Horizontis in K & k; & no tetur propor∣tio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudi∣nis perpendiculo AI, assume utcun{que} longitudinem AH vel Ah, & inde collige graphice longitudines AK, Ak, per Reg. 6. Si ra∣tio AK ad Ak sit eadem cum ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita SM longitudi∣nem SM aequalem assumptae AH, & erige perpendiculum MN ae∣quale
rationum differentiae AK / Ak−d / e ductae in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt plura puncta N: & tum demum si per om∣nia agatur Curva linea regularis NNX∣N,
Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectae AH, secundum quam Projectile data illa cum veloci∣tate emissum
puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum incidet in punctum K. Q.E.I. Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF, illi in C, huic in F, & ob parallelas CH, MX & aequales AC, AI, erit AE aequalis AM, & propterea etiam aequalis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, & propterea CE & FH aequantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq adeo reperitur in communi intersectione Hyper∣bolae hujus & circuli descripti. Q.E.D. Notandum est autem quod haec operatio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quod{que} ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi me∣chanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam intermi∣natam CH ita applicare ad punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectae FK interjecta, aequalis sit ejus parti CE inter punctum C & rectam HK sitae.
Quae de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam si XAGK. Parabolam designet quam recta XV tangat in
in spatio non resistente, in Parabola Conica, verticem G, diam∣etrum VG deorsum productam, & latus rectum √2TGq./nn−nXVG habente. Et resistentia in G erit ad vim Gravitatis ut TG ad 3nn−3n / n−2 VG. Vnde si NAK lineam horizontalem designet, & manente tum densitate Medij in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcun{que} angulus NAH; manebunt longi∣tudines AH, AI, HX, & inde datur Parabolae vertex X, & po∣sitio rectae XI, & sumendo VG ad IA ut XVn ad XIn, dantur omnia Parabolae puncta G, per quae Projectile transibit.