Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Scholium.

Quoniam motus non sit in Parabola nisi in Medio non resis∣tente, in Hyperbolis vero hic descriptis sit per resistentiam per∣petuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam. Est uti{que} linea illa Hyperbolici ge∣neris, sed quae circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi. Tanta vero non

est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hae in re∣bus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futu∣rae sunt hae, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsae vero in usum sic deducentur.

Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbo∣lam in G, ideo{que} densitas Medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut √GTq./GV, resistentia autem ad vim gravi∣tatis ut GT ad 3nn+3n / n+2 GV.

Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymp∣toto NX in H, acta{que} AI occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut √AHq./AI, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad 3nn+3n / n+2 in AI. Unde prodeunt sequentes Regulae.

Reg. 1. Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideo{que} si longi∣tudines illae in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest.

Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.

Reg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitas{que} acceleratrix servetur, & proportio resistentiae in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione quacunque: augebitur proportio AH ad AI in eadem ratione, manente Parabolae late∣re recto, ei{que} proportionali longitudine AHq./AI; & propterea mi∣nuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa du∣plicata.

Augetur vero proportio resistentiae ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub aequali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminui∣tur in minore ratione quam pondus.

Reg. 4. Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolae minor est quam in loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimae tangentium GT ad Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo mi∣nore quam semisummae Tangentium ad Tangentem AH.

Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK: produc HN ad X, ut sit HX aequalis facto sub n+1 & AI; centro{que} X & Asymptotis MX, NX per punc∣tum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI ad quamvis VG ut XVⁿ ad XIⁿ.

Reg. 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratae sunt hae Hyperbolae in ascensu corporis ab A, & minus accuratae in e∣jus descensu ad G; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, est{que} c••eteris simplicior. Igitur si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quaeratur: oc∣currat producta AN Asymptotis MX, NX in M & N, & su∣matur NK ipsi AM aequalis.

Reg. 7. Et hinc liquet methodus expedita determinandi hanc Hyperbolam ex Phaenominis. Projiciantur corpora duo si∣milia & aequalia eadem velocitate, in angulis diversis HAK, hAK, incident{que} in planum Horizontis in K & k; & no tetur propor∣tio AK ad Ak. Sit ea d ad e. Tum erecto cujusvis longitudi∣nis perpendiculo AI, assume utcun{que} longitudinem AH vel Ah, & inde collige graphice longitudines AK, Ak, per Reg. 6. Si ra∣tio AK ad Ak sit eadem cum ratione d ad e, longitudo AH recte assumpta fuit. Sin minus cape in recta infinita SM longitudi∣nem SM aequalem assumptae AH, & erige perpendiculum MN ae∣quale

rationum differentiae AK / Ak−d / e ductae in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt plura puncta N: & tum demum si per om∣nia agatur Curva linea regularis NNX∣N,

[illustration]

haec abscindet SX quaesitae longi∣tudini AH aequalem. Ad usus Me∣chanicos sufficit longitudines AH, AI easdem in angulis omnibus HAK retinere. Sin figura ad inveniendam re∣sistentiam Medij accuratius determinanda sit, corrigendae sunt semper hae longitudines per Regulam quartam.

Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectae AH, secundum quam Projectile data illa cum veloci∣tate emissum

[illustration]

incidit in pun∣ctum quodvis K: ad puncta A & K erig∣antur rectae AC, KF ho∣rizonti per∣pendiculares, quarum AC deorsum tan∣dat, & aeque∣tur ipsi AI seu ½ HX. A∣symptotis A∣K, KF de∣scribatur Hy∣perbola, cujus Conjugata transeat per punctum C, centro{que} A & in∣tervallo AH describatur Circulus secans Hyperbolam illam in

puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum incidet in punctum K. Q.E.I. Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF, illi in C, huic in F, & ob parallelas CH, MX & aequales AC, AI, erit AE aequalis AM, & propterea etiam aequalis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, & propterea CE & FH aequantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq adeo reperitur in communi intersectione Hyper∣bolae hujus & circuli descripti. Q.E.D. Notandum est autem quod haec operatio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quod{que} ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi me∣chanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam intermi∣natam CH ita applicare ad punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectae FK interjecta, aequalis sit ejus parti CE inter punctum C & rectam HK sitae.

Quae de Hyperbolis dicta sunt facile applicantur ad Parabolas. Nam si XAGK. Parabolam designet quam recta XV tangat in

[illustration]

vertice X, sint{que} ordinatim ap∣plicatae IA, VG ut quaelibet abscis∣sarum XI, XV dignitates XIn, XVn; agantur XT, TG, HA, quarum XT parallela sit VG, & TG, HA parabolam tangant in G & A: & corpus de loco quo∣vis A, secundum rectam AH pro∣ductam, justa cum velocitate pro∣jectum, describet hanc Parabolam, si modo densitas Medij, in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT. Velocitas autem in G ea erit quacum Projectile pergeret,

in spatio non resistente, in Parabola Conica, verticem G, diam∣etrum VG deorsum productam, & latus rectum √2TGq./nn−nXVG habente. Et resistentia in G erit ad vim Gravitatis ut TG ad 3nn−3n / n−2 VG. Vnde si NAK lineam horizontalem designet, & manente tum densitate Medij in A, tum velocitate quacum corpus projicitur, mutetur utcun{que} angulus NAH; manebunt longi∣tudines AH, AI, HX, & inde datur Parabolae vertex X, & po∣sitio rectae XI, & sumendo VG ad IA ut XVn ad XIn, dantur omnia Parabolae puncta G, per quae Projectile transibit.