Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. IX. Theor. VII.

Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus propor∣tionales, existente radio justae magnitudinis: erit tempus omne a∣scensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus praete∣riti ut sector Hyperbolae.

Rectae AC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & ae∣qualis ducatur AD. Centro D semidiametro AD describatur tum circuli Quadrans AtE, tum Hyperbola rectangula AVZ

axem habens AX, verticem principalem A & Asymptoton DC. Jungantur Dp, DP, & erit Sector circularis AtD ut tempus a∣scensus omnis futuri; & Sector Hyperbolicus ATD ut tempus descensus omnis praeteriti.

Cas 1. Agatur enim Dvq abscindens Sectoris ADt & trian∣guli ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descrip∣tas

[illustration]

tDv & pDq. Cum particulae illae, ob angulum commu∣nem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula tDv ut qDp / pD quad.. Sed pD quad. est AD quad.+Ap quad. id est AD quad.+Ak×AD seu AD×Ck; & qDp est ½ AD×pq. Er∣go Sectoris particula vDt est ut pq / Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particu∣larum omnium tDv in Sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq

respondentium, us{que} dum velocitas illa in nihilum diminuta evanue∣rit; hoc est, Sector totus ADt est ut ascensus totius futuri tempus. Q.E.D.

Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV, tum tri∣anguli DAQ particulas quam minimas TDV & PDQ; & e∣runt hae particulae ad invicem ut DTq. ad DPq. id est (si TX & AP parallelae sint) ut DXq. ad DAq. vel TXq. ad APq. & divisim ut DXq.−TXq. ad ADq.−APq. Sed ex natura

[illustration]

Hyperbolae DXq.−TXq. est ADq., & per Hypothesin APq. est AD×AK. Ergo particulae sunt ad invicem ut ADq. ad ADq.−AD×AK; id est ut AD ad AD−AK seu AC ad CK: ideo{que} Sectoris particula TDV est PDQ×AC / CK, at{que} adeo ob datas AC & AD, ut PQ / CK; & propterea per Corol. 5. Prop.

VIII. Lib. II. ut particula temporis incremento velocitatis PQ re∣spondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulae PQ generantur, ut sum∣ma particularum Sectoris ADT, id est tempus totum ut Sector totus. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si AB aequetur quartae parti ipsus AC, spati∣um ABRP, quod corpus tempore quovis ATD cadendo de∣scribit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximae AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit 2APQ aequale AC×KL (per Cool 1. Lem. II. hujus) adeo{que} KL ad PQ ut 2AP ad AC, & inde LKN ad PQ×½ AD seu DPQ ut 2AP×KN ad ½ AC×AD. Sed erat DPQ ad DTV ut CK ad AC. Ergo ex aequo LKN est ad DTV ut 2AP×KN×CK ad ½ AC cub.; id est, ob ae∣quales CKN & ¼ ACq., ut AP ad AC; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus caden∣do potest acquirere. Cum igitur arearum ABKN & AVD momenta LKN & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitae ut spatia simul descripta, ide∣o{que} areae totae ab initio genitae ABKN & AVD ut spatia tota ab initio descensus descripta. Q.E.D.

Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.

Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acqui∣reret, ut triangulum APD ad Sectorem Hyperbolicum ATD. Nam velocitas in Medio non resistente foret ut tempus ATD, & in Medio resistente est ut AP, id est ut triangulum APD. Et velocitates illae initio descensus aequantur inter se, perinde ut areae illae ATD, APD.

Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad veloci∣tatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD; sive ut recta Ap ad arcum At.

Corol. 5. Est igitur tempus quo corpus in Medio resistente cadendo velocitatem AP acquirit, ad tempus quo velocitatem maximam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posset, ut Sector ADT ad triangulum ADC: & tempus, quo velocita∣tem Ap in Medio resistente ascendendo possit amittere, ad tem∣pus quo velocitatem eandem in spatio non resistente ascenden∣do posset amittere, ut arcus At ad ejus Tangentem Ap.

Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. inde{que} datur & spatium quod semisse velocitatis illius dato tem∣pore describi potest, & tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione tem∣porum; dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quae est ad Sectorem ut spatium quaesitum ad spatium jam ante inventum.

Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.