Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. V. Theor. III.

Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in progres∣sione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progres∣sione Geometrica inverse, & quod spatia sunt aequalia quae singu∣lis temporibus describuntur.

Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resisten∣tia Medii, & resistentiae proportionale est decrementum veloci∣tatis; si tempus in particulas innumeras aequales dividatur, qua∣drata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum e∣arundem differentiis proportionales. Sunto temporis particulae illae AK, KL, LM, &c. in recta

[illustration]

CD sumptae, & erigantur perpen∣dicula AB, Kk, Ll, Mm, &c. Hy∣perbolae BKlmG, centro C Asymp∣totis rectangulis CD, CH, descriptae occurrentia in B, k, l, m, &c. & erit AB ad Kk ut CK ad CA, & divisim AB−Kk ad Kk ut AK ad CA, & vicissim AB−Kk ad AK ut Kk ad CA, adeo{que} ut AB×Kk ad AB×CA. Unde cum AK & AB×CA dentur, erit AB−Kk ut AB×Kk; & ulti∣mo, ubi coeunt AB & Kk, ut ABq. Et simili argumento e∣runt

Kk−Ll, Ll−Mm, &c. ut Kkq., Llq. &c. Linearum igitur AB, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earundem differen∣tiae, & idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differentiae, similis erit ambarum progressio. Quo demonstra∣to, consequens est etiam ut areae his lineis descriptae sint in pro∣gressione consimili cum spatiis quae velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio primi temporis AK exponatur per lineam AB, & velocitas initio secundi KL per lineam Kk, & longitudo primo tempore descripta per aream AKkB, velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm, &c. & longitudines descriptae per areas Kl, Lm, &c. & composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarum AM, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum AMmB. Concipe jam tempus AM ita dividi in partes AK, KL, LM, &c. ut sint CA, CK, CL, CM, &c. in progressione Geometrica, & erunt partes illae in eadem progressione, & velo∣citates AB, Kk, Ll, Mm, &c. in progressione eadem inversa, at{que} spatia descripta Ak, Kl, Lm, &c. aequalia. Q.E.D.

Corol. 1. Patet ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem quamvis AD, & velocitas in principio temporis per ordina∣tim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per or∣dinatam DG, & spatium totum descriptum per aream Hyperbo∣licam adjacentem ABGD; necnon spatium quod corpus ali∣quod eodem tempore AD, velocitate prima AB, in Medio non resistente describere posset, per rectangulum. AB×AD.

Corol. 2. Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capi••ndo illud ad spatium quod velocitate uniformi AB in Me∣dio non resistente simul describi posset, ut est area Hyperbolica ABGD ad rectangulum AB×AD.

Corol. 3. Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso motus initio aqualem esse vi uniformi centripetae, quae, in caden∣te corpore, tempore AC, in Medio non resistente, generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur BT quae tangat Hyperbolam

in B, & occurrat Asymptoto in T; recta AT aequalis erit ipsi AC, & tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam AB.

Corol. 4. Et inde datur etiam proportio hujus resistentiae ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam vim centripetam.

Corol. 5. Et viceversa, si datur proportio resistentiae ad datam quamvis vim centripetam, datur tempus AC, quo vis cen∣tripeta resistentiae aequalis generare possit velocitatem quamvis AB; & inde datur punctum B per quod Hyperbola Asymptotis CH, CD describi debet; ut & spatium ABGD, quod corpus incipiendo motum suum cum velocitate illa AB, tempore quo∣vis AD, in Medio similari resistente describere potest.