Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

SECT. I. De Motu corporum quibus resistitur in ratione velocitatis.

Prop. I. Theor. I.

Corporis, cui resistitur in ratione velocitatis, motus ex resistentia a∣missus est ut spatium movendo confectum.

NAm cum motus singulis temporis particulis amissus sit ut velocitas, hoc est ut itineris confecti particula: erit com∣ponendo motus toto tempore amissus ut iter totum. Q.E.D.

Corol. Igitur si corpus gravitate omni destitutum in spatiis li∣beris sola vi insita moveatur, ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam motus reliquus post spatium aliquod confectum, da∣bitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere po∣test. Erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum ut motus totus sub initio ad motus illius partem amissam.

Lemma. I.

Quantitates differentiis suis proportionales, sunt continue proportiona∣les.

Sit A ad A−B ut B ad B−C & C ad C−D &c. & dividen∣do fiet A ad B ut B ad C & C ad D &c. Q.E.D.

Prop. II. Theor. II.

Si corpori resistitur in ratione velocitatis, & sola vi insita per Medi∣um similare moveatur, sumantur autem tempora aequalia: velocita∣tes in principiis singulorum temporum sunt in progressione Geome∣trica, & spatia singulis temporibus descripta sunt ut veloci∣tates.

Cas. 1. Dividatur tempus in particulas aequales, & si ipsis particularum initiis agat vis resistentiae impulsu unico, quae sit ut velocitas, erit decrementum velocitatis singulis temporis particu∣lis ut eadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis pro∣portionales, & propterea (per Lem. I. Lib. II.) continue pro∣portionales. Proinde si ex aequali particularum numero compo∣nantur tempora quaelibet aequalia, erunt velocitates ipsis tempo∣rum initiis, ut termini in progressione continua, qui per saltum capiuntur, omisso passim aequali terminorum intermediorum nu∣mero. Componuntur autem horum terminorum rationes ex ae∣qualibus rationibus terminorum intermediorum aequaliter repeti∣tis, & propterea sunt aequales. Igitur velocitates his terminis proportionales, sunt in progressione Geometrica. Minuantur jam aequales illae temporum particulae, & augeatur earum nume∣rus in infinitum, eo ut resistentiae impulsus redditur continuus, & velocitates in principiis aequalium temporum, semper continue proportionales, erunt in hoc etiam Casu continue proportiona∣les. Q.E.D.

Cas. 2. Et divisim velocitatum differentiae, hoc est earum partes singulis temporibus amissae, sunt ut totae: Spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissae, (per Prop. I. Lib. II.) & propterea etiam ut totae. Q.E.D.

Corol. Hinc si Asymptotis rectangulis ADC, CH describatur Hyperbola BG, sint{que} AB, DG ad Asymptoton AC perpendi∣culares, & exponatur tum corporis velocitas tum resistentia Me∣dii, ipso motus initio, per lineam quamvis

[illustration]

datam AC, elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitam DC: exponi potest tempus per aream ABGD, & spatium eo tempore descriptum per lineam AD. Nam si area illa per motum puncti D augeatur uniformiter ad modum temporis, decrescet recta DC in ratione Geometrica ad modum velocitatis, & partes rectae AC aequalibus temporibus descriptae decrescent in eadem ratione.

Prop. III. Prob. I.

Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit, re∣sistitur in ratione velocitatis, quod{que} ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.

Corpore ascendente, ex∣ponatur

[illustration]

gravitas per datum quodvis rectangulum BC, & resistentia Medii initio as∣census per rectangulum BD sumptum ad contrarias par∣tes. Asymptotis rectangu∣lis AC, CH, per punctum B describatur Hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g; & corpus ascendendo, tem∣pore DG gd, describet spatium EG ge, tempore DGBA spati∣um

ascensus totius EGB, tempore AB 2G 2D spatium descen∣sus BF 2G, at{que} tempore 2D 2G 2g 2d spatium descensus 2 GF 2e 2g: & velocitates corporis (resistentiae Medii propor∣tionales) in horum temporum periodis erunt ABED, ABed, nulla, ABF 2D, AB 2e 2d respective; at{que} maxima velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit BC.

Resolvatur enim rectangulum AH in rectangula innumera Ak, Kl, Lm, Mn, &c. quae sint ut incrementa velocitatum aequalibus totidem temporibus facta; & erunt nihil, Ak, Al, Am, An, &c. ut velocitates totae, at{que} adeo (per Hypothesin) ut resistentia Medii in

[illustration]

principio singulorum tem∣porum aequalium. Fiat AC ad AK vel ABHC ad ABkK, ut vis gravitatis ad resistentiam in princi∣pio temporis secundi, de{que} vi gravitatis subducantur resistentiae, & manebunt ABHC, KkHC, LlHC, NnHC, &c. ut vires absolutae quibus corpus in principio singu∣lorum temporum urgetur, at{que} adeo (per motus Legem II.) ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangula Ak, Kl, Lm, Mn &c; & propterea (per Lem. I. Lib. II.) in progressione Geometrica. Quare si rectae Kk, Ll, Mm, Nn &c. productae oc∣currant Hyperbolae in q, r, s, t &c. erunt areae ABqK, KqrL, LrsM, MstN &c. aequales, adeo{que} tum temporibus tum viri∣bus gravitatis semper aequalibus analogae. Est autem area ABqK (per Corol. 3 Lem. VII. & Lem. VIII. Lib. I.) ad aream Bkq ut K.q ad ½kq seu AC ad ½ AK, hoc est ut vis gravitatis ad re∣sistentiam in medio temporis primi. Et simili argumento areae qKLr, rLMs, sMNt, &c. sunt ad areas qklr, rlms, smnt &c. ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi,

tertii, quarti, &c. Proinde cum areae aequales BAKq, qKLr, rLMs, sMNt, &c. sint viribus grauitatis analogae, erunt areae Bkq, qklr, rlms, smnt, &c. resistentiis in mediis singulorum temporum, hoc est, (per

[illustration]

Hypothesin) velocitati∣bus, at{que} adeo descriptis spatiis analogae. Suman∣tur analogarum summae, & erunt areae Bkq, Blr, Bms, Bnt, &c. spatiis totis de∣scriptis analogae; necnon areae ABqK, ABrL, ABsM, ABtN, &c. tem∣poribus. Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis A∣BrL, describit spatium Blr, & tempore LrtN spatium rlnt. Q.E.D. Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad excessum vis hujus supra vim qua in fine temporis illius resistitur.

Corol. 2. Tempore autem aucto in progressione Arithmetica, summa velocitatis illius maximae ac velocitatis in ascensu (at{que} etiam earundem differentia in descensu) decrescit in progressio∣ne Geometrica.

Corol. 3. Sed & differentiae spatiorum, quae in aequalibus tempo∣rum differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione Geometrica.

Corol. 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, & alterum ut velocitas, quae etiam ipso descen∣sus initio aequantur inter se.

Prop. IV. Prob. II.

Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit, ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire motum Projectilis, in eodem resistentiam velocitati proportionalem patien∣tis.

E loco quovis D egrediatur Projectile secundum lineam quam∣vis rectam DP, & per longitudinem DP exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A puncto P ad lineam Horizonta∣lem DC demittatur perpendiculum PC, & secetur DC in A ut sit DA ad AC ut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub ini∣tio orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rect∣angulum sub DA & DP

[illustration]

ad rect••ngulum sub AC & PC ut resist••ntia tota sub initio motus ad vim Gravi∣tatis. Describatur Hyper∣bola quaevis GTBS secans erecta perpendicula DG, AB in G & B; & complea∣tur parallelogrammum DG∣KC, cujus latus GK secet AB in Q. Capiatur linea N in ratione ad QB qua DC sit ad CP; & ad rectae DC punctum quodvis R erecto per∣pendiculo RT, quod Hyperbolae in T, & rectis GK, DP in t & V occurrat; in eo cape Vr aequalem tGT / N, & Projectile tempo∣re DRTG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DraF, quam punctum r semper tangit; perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo AB, & postea semper

appropinquans ad Asymptoton PLC.. Est{que} velocitas ejus in puncto quovis r ut Curvae Tangens rL.Q.E.D.

Est enim N ad QB ut DC ad CP seu DR ad RV, adeo{que} RV aequalis DR×QB / N, & Rr (id est RV−Vr seu DR×QB−tGT / N) aequalis DR×AB−RDGT / N. Exponatur jam tempus per a∣ream RDGT, & (per Legum Corol. 2.) distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum re∣sistentia sit ut motus, distinguetur etiam haec in partes duas par∣tibus motus proportionales & contrarias: ideo{que} longitudo a mo∣tu ad latus descripta erit (per Prop. II. hujus) ut linea DR, al∣titudo vero (per Prop. III. hujus) ut area DR×AB−RDGT, hoc est ut linea Rr. Ipso autem motus initio area RDGT ae∣qualis est rectangulo DR×AQ, ideo{que} linea illa Rr (seu DR×AB−DR×AQ / N) tunc est ad DR ut AB−AQ (seu QB) ad N, id est ut CP

[illustration]

ad DC; at{que} adeo ut mo∣tus in altitudinem ad mo∣tum in longitudinem sub initio. Cum igitur Rr sem∣per sit ut altitudo, ac DR semper ut longitudo, at{que} Rr ad DR sub initio ut al∣titudo ad longitudinem: necesse est ut Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propte∣rea ut corpus moveatur in linea DraF, quam punctum r perpe∣tuo tangit. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si Vertice D, Diametro DE deorsum produc∣ta, & latere recto quod sit ad 2 DP ut resistentia tota, ipso mo∣tus

initio, ad vim gravitatis, Parabola construatur: velocitas qua∣cum corpus exire debet de loco D secundum rectam DP, ut in Me∣dio uniformi resistente describat Curvam DraF, ea ipsa erit qua∣cum exire debet de eodem loco D, secundum eandem rectam DR, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam Latus rectum Parabolae hujus, ipso motus initio, est DV quad./Vr & Vr est tGT / N seu DR×Tt/2N. Recta autem, quae, si duceretur, Hyperbolam GTB tangeret in G, parallela est ipsi DK, ideo{que} Tt est CK×DR / DC, & N erat QB×DC / CP. Et propterea Vr est DRq.×CK×CP/2 CDq.×Q, id est (ob proportionales DR & DC, DV & DP) DVq.×CK×CP/2 DPq.×QB. & Latus rectum DV quad./Vr. prodit 2 DPq.×QB / CK×CP, id est (ob proportionales QB & CK, DA & AC) 2 DPq.×DA / AC×CP, adeo{que} ad 2 DP ut DP×DA ad PC×AC; hoc est ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D.

Corol. 2. Unde si corpus de loco quovis D, data cum veloci∣tate, secundum rectam quamvis positione datam DP projicia∣tur, & resistentia Medii ipso motus initio detur, inveniri potest Curva DraF, quam corpus idem describet. Nam ex data ve∣locitate datur latus rectum Parabolae, ut notum est. Et sumendo 2 DP ad latus illud rectum ut est vis Gravitatis ad vim resisten∣tiae, datur DP. Dein secando DC in A, ut sit CP×AC ad DP×DA in eadem illa ratione Gravitatis ad resistentiam, dabi∣tur punctum A. Et inde datur Curva DraF.

Corol. 3. Et contra, si datur curva DraF, dabitur & veloci∣tas corporis & resistentia Medii in locis singulis r. Nam ex da∣ta

ratione CP×AC ad DP×DA, datur tum resistentia Medii sub initio motus, tum latus rectum Parabolae: & inde datur eti∣am velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangen∣tis rL, datur & huic proportionalis velocitas, & velocitati pro∣portionalis resistentia in loco quovis r.

Corol. 4. Cum autem longitudo 2 DP sit ad latus rectum Parabolae ut gravitas ad resistentiam in D; & ex aucta Veloci∣tate augeatur resistentia in eadem ratione, at latus rectum Pa∣rabolae augeatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem 2DP augeri in ratione illa simplici, adeo{que} velocitati semper pro∣portionalem esse, ne{que} ex angulo CDP mutato augeri vel minui, nisi mutetur quo{que} velocitas.

Corol. 5. Unde liquet methodus determinandi Curvam DraF ex Phaenominis quamproxime, & inde colligendi resistentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo similia & aequalia eadem cum velocitate, de loco D, secundum angulos diversos CDP, cDp (minuscularum literarum locis sub∣intellectis) & cognoscantur loca F, f, ubi incidunt in horizontale planum DC. Tum assumpta quacun{que} longitudine pro DP vel Dp, fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in rati∣one qualibet, & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM. Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta DP, inveniantur longitudines DF, Df, ac de ratione Ff / DF per calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum in∣venta, & exponatur differentia per

[illustration]

perpendiculum MN. Idem fac iterum ac tertio, assumendo semper novam re∣sistentiae ad gravitatem rationem SM, & colligendo novam differentiam MN. Ducantur autem differentiae affirmati∣vae ad unam partem rectae SM, & negativae ad alteram; & per puncta N, N, N agatur curva regularis NNN secans rectam

SMMM in X, & erit SX vera ratio resistentiae ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est longi∣tudo DF per calculum; & longitudo quae sit ad assumptam lon∣gitudinem DP ut modo inventa longitudo DF ad longitudinem eandem per experimentum cognitam, erit vera longitudo DP. Qua inventa, habetur tum Curva Linea DraF quam corpus de∣scribit, tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis.

Scholium.

Caeterum corpora resisti in ratione velocitatis Hypothesis est magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet haec ratio quam∣proxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo praeditis tardissime moventur. In Mediis autem quae rigore omni vacant (uti post∣hac demonstrabitur) corpora resistuntur in duplicata ratione ve∣locitatum. Actione corporis velocioris communicatur eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione ma∣joris velocitatis, adeo{que} tempore aequali (ob majorem Medii quantitatem perturbatam) communicatur motus in duplicata ratione major, est{que} resistentia (per motus Legem 2. & 3.) ut motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege Resistentiae.