Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. IV. Prob. II.

Posito quod vis gravitatis in Medio aliquo similari uniformis sit, ac tendat perpendiculariter ad planum Horizontis; definire motum Projectilis, in eodem resistentiam velocitati proportionalem patien∣tis.

E loco quovis D egrediatur Projectile secundum lineam quam∣vis rectam DP, & per longitudinem DP exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A puncto P ad lineam Horizonta∣lem DC demittatur perpendiculum PC, & secetur DC in A ut sit DA ad AC ut resistentia Medii ex motu in altitudinem sub ini∣tio orta, ad vim gravitatis; vel (quod perinde est) ut sit rect∣angulum sub DA & DP

[illustration]

ad rect••ngulum sub AC & PC ut resist••ntia tota sub initio motus ad vim Gravi∣tatis. Describatur Hyper∣bola quaevis GTBS secans erecta perpendicula DG, AB in G & B; & complea∣tur parallelogrammum DG∣KC, cujus latus GK secet AB in Q. Capiatur linea N in ratione ad QB qua DC sit ad CP; & ad rectae DC punctum quodvis R erecto per∣pendiculo RT, quod Hyperbolae in T, & rectis GK, DP in t & V occurrat; in eo cape Vr aequalem tGT / N, & Projectile tempo∣re DRTG perveniet ad punctum r, describens curvam lineam DraF, quam punctum r semper tangit; perveniens autem ad maximam altitudinem a in perpendiculo AB, & postea semper

appropinquans ad Asymptoton PLC.. Est{que} velocitas ejus in puncto quovis r ut Curvae Tangens rL.Q.E.D.

Est enim N ad QB ut DC ad CP seu DR ad RV, adeo{que} RV aequalis DR×QB / N, & Rr (id est RV−Vr seu DR×QB−tGT / N) aequalis DR×AB−RDGT / N. Exponatur jam tempus per a∣ream RDGT, & (per Legum Corol. 2.) distinguatur motus corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum re∣sistentia sit ut motus, distinguetur etiam haec in partes duas par∣tibus motus proportionales & contrarias: ideo{que} longitudo a mo∣tu ad latus descripta erit (per Prop. II. hujus) ut linea DR, al∣titudo vero (per Prop. III. hujus) ut area DR×AB−RDGT, hoc est ut linea Rr. Ipso autem motus initio area RDGT ae∣qualis est rectangulo DR×AQ, ideo{que} linea illa Rr (seu DR×AB−DR×AQ / N) tunc est ad DR ut AB−AQ (seu QB) ad N, id est ut CP

[illustration]

ad DC; at{que} adeo ut mo∣tus in altitudinem ad mo∣tum in longitudinem sub initio. Cum igitur Rr sem∣per sit ut altitudo, ac DR semper ut longitudo, at{que} Rr ad DR sub initio ut al∣titudo ad longitudinem: necesse est ut Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, & propte∣rea ut corpus moveatur in linea DraF, quam punctum r perpe∣tuo tangit. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si Vertice D, Diametro DE deorsum produc∣ta, & latere recto quod sit ad 2 DP ut resistentia tota, ipso mo∣tus

initio, ad vim gravitatis, Parabola construatur: velocitas qua∣cum corpus exire debet de loco D secundum rectam DP, ut in Me∣dio uniformi resistente describat Curvam DraF, ea ipsa erit qua∣cum exire debet de eodem loco D, secundum eandem rectam DR, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam Latus rectum Parabolae hujus, ipso motus initio, est DV quad./Vr & Vr est tGT / N seu DR×Tt/2N. Recta autem, quae, si duceretur, Hyperbolam GTB tangeret in G, parallela est ipsi DK, ideo{que} Tt est CK×DR / DC, & N erat QB×DC / CP. Et propterea Vr est DRq.×CK×CP/2 CDq.×Q, id est (ob proportionales DR & DC, DV & DP) DVq.×CK×CP/2 DPq.×QB. & Latus rectum DV quad./Vr. prodit 2 DPq.×QB / CK×CP, id est (ob proportionales QB & CK, DA & AC) 2 DPq.×DA / AC×CP, adeo{que} ad 2 DP ut DP×DA ad PC×AC; hoc est ut resistentia ad gravitatem. Q.E.D.

Corol. 2. Unde si corpus de loco quovis D, data cum veloci∣tate, secundum rectam quamvis positione datam DP projicia∣tur, & resistentia Medii ipso motus initio detur, inveniri potest Curva DraF, quam corpus idem describet. Nam ex data ve∣locitate datur latus rectum Parabolae, ut notum est. Et sumendo 2 DP ad latus illud rectum ut est vis Gravitatis ad vim resisten∣tiae, datur DP. Dein secando DC in A, ut sit CP×AC ad DP×DA in eadem illa ratione Gravitatis ad resistentiam, dabi∣tur punctum A. Et inde datur Curva DraF.

Corol. 3. Et contra, si datur curva DraF, dabitur & veloci∣tas corporis & resistentia Medii in locis singulis r. Nam ex da∣ta

ratione CP×AC ad DP×DA, datur tum resistentia Medii sub initio motus, tum latus rectum Parabolae: & inde datur eti∣am velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangen∣tis rL, datur & huic proportionalis velocitas, & velocitati pro∣portionalis resistentia in loco quovis r.

Corol. 4. Cum autem longitudo 2 DP sit ad latus rectum Parabolae ut gravitas ad resistentiam in D; & ex aucta Veloci∣tate augeatur resistentia in eadem ratione, at latus rectum Pa∣rabolae augeatur in ratione illa duplicata: patet longitudinem 2DP augeri in ratione illa simplici, adeo{que} velocitati semper pro∣portionalem esse, ne{que} ex angulo CDP mutato augeri vel minui, nisi mutetur quo{que} velocitas.

Corol. 5. Unde liquet methodus determinandi Curvam DraF ex Phaenominis quamproxime, & inde colligendi resistentiam & velocitatem quacum corpus projicitur. Projiciantur corpora duo similia & aequalia eadem cum velocitate, de loco D, secundum angulos diversos CDP, cDp (minuscularum literarum locis sub∣intellectis) & cognoscantur loca F, f, ubi incidunt in horizontale planum DC. Tum assumpta quacun{que} longitudine pro DP vel Dp, fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in rati∣one qualibet, & exponatur ratio illa per longitudinem quamvis SM. Deinde per computationem, ex longitudine illa assumpta DP, inveniantur longitudines DF, Df, ac de ratione Ff / DF per calculum inventa, auferatur ratio eadem per experimentum in∣venta, & exponatur differentia per

[illustration]

perpendiculum MN. Idem fac iterum ac tertio, assumendo semper novam re∣sistentiae ad gravitatem rationem SM, & colligendo novam differentiam MN. Ducantur autem differentiae affirmati∣vae ad unam partem rectae SM, & negativae ad alteram; & per puncta N, N, N agatur curva regularis NNN secans rectam

SMMM in X, & erit SX vera ratio resistentiae ad gravitatem, quam invenire oportuit. Ex hac ratione colligenda est longi∣tudo DF per calculum; & longitudo quae sit ad assumptam lon∣gitudinem DP ut modo inventa longitudo DF ad longitudinem eandem per experimentum cognitam, erit vera longitudo DP. Qua inventa, habetur tum Curva Linea DraF quam corpus de∣scribit, tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis.

Scholium.

Caeterum corpora resisti in ratione velocitatis Hypothesis est magis Mathematica quam Naturalis. Obtinet haec ratio quam∣proxime ubi corpora in Mediis rigore aliquo praeditis tardissime moventur. In Mediis autem quae rigore omni vacant (uti post∣hac demonstrabitur) corpora resistuntur in duplicata ratione ve∣locitatum. Actione corporis velocioris communicatur eidem Medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione ma∣joris velocitatis, adeo{que} tempore aequali (ob majorem Medii quantitatem perturbatam) communicatur motus in duplicata ratione major, est{que} resistentia (per motus Legem 2. & 3.) ut motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege Resistentiae.