Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. III. Prob. I.

Corporis, cui dum in Medio similari recta ascendit vel descendit, re∣sistitur in ratione velocitatis, quod{que} ab uniformi gravitate urgetur, definire motum.

Corpore ascendente, ex∣ponatur

[illustration]

gravitas per datum quodvis rectangulum BC, & resistentia Medii initio as∣census per rectangulum BD sumptum ad contrarias par∣tes. Asymptotis rectangu∣lis AC, CH, per punctum B describatur Hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g; & corpus ascendendo, tem∣pore DG gd, describet spatium EG ge, tempore DGBA spati∣um

ascensus totius EGB, tempore AB 2G 2D spatium descen∣sus BF 2G, at{que} tempore 2D 2G 2g 2d spatium descensus 2 GF 2e 2g: & velocitates corporis (resistentiae Medii propor∣tionales) in horum temporum periodis erunt ABED, ABed, nulla, ABF 2D, AB 2e 2d respective; at{que} maxima velocitas, quam corpus descendendo potest acquirere, erit BC.

Resolvatur enim rectangulum AH in rectangula innumera Ak, Kl, Lm, Mn, &c. quae sint ut incrementa velocitatum aequalibus totidem temporibus facta; & erunt nihil, Ak, Al, Am, An, &c. ut velocitates totae, at{que} adeo (per Hypothesin) ut resistentia Medii in

[illustration]

principio singulorum tem∣porum aequalium. Fiat AC ad AK vel ABHC ad ABkK, ut vis gravitatis ad resistentiam in princi∣pio temporis secundi, de{que} vi gravitatis subducantur resistentiae, & manebunt ABHC, KkHC, LlHC, NnHC, &c. ut vires absolutae quibus corpus in principio singu∣lorum temporum urgetur, at{que} adeo (per motus Legem II.) ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangula Ak, Kl, Lm, Mn &c; & propterea (per Lem. I. Lib. II.) in progressione Geometrica. Quare si rectae Kk, Ll, Mm, Nn &c. productae oc∣currant Hyperbolae in q, r, s, t &c. erunt areae ABqK, KqrL, LrsM, MstN &c. aequales, adeo{que} tum temporibus tum viri∣bus gravitatis semper aequalibus analogae. Est autem area ABqK (per Corol. 3 Lem. VII. & Lem. VIII. Lib. I.) ad aream Bkq ut K.q ad ½kq seu AC ad ½ AK, hoc est ut vis gravitatis ad re∣sistentiam in medio temporis primi. Et simili argumento areae qKLr, rLMs, sMNt, &c. sunt ad areas qklr, rlms, smnt &c. ut vires gravitatis ad resistentias in medio temporis secundi,

tertii, quarti, &c. Proinde cum areae aequales BAKq, qKLr, rLMs, sMNt, &c. sint viribus grauitatis analogae, erunt areae Bkq, qklr, rlms, smnt, &c. resistentiis in mediis singulorum temporum, hoc est, (per

[illustration]

Hypothesin) velocitati∣bus, at{que} adeo descriptis spatiis analogae. Suman∣tur analogarum summae, & erunt areae Bkq, Blr, Bms, Bnt, &c. spatiis totis de∣scriptis analogae; necnon areae ABqK, ABrL, ABsM, ABtN, &c. tem∣poribus. Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis A∣BrL, describit spatium Blr, & tempore LrtN spatium rlnt. Q.E.D. Et similis est demonstratio motus expositi in ascensu. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur velocitas maxima, quam corpus cadendo potest acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, ut vis data gravitatis qua perpetuo urgetur, ad excessum vis hujus supra vim qua in fine temporis illius resistitur.

Corol. 2. Tempore autem aucto in progressione Arithmetica, summa velocitatis illius maximae ac velocitatis in ascensu (at{que} etiam earundem differentia in descensu) decrescit in progressio∣ne Geometrica.

Corol. 3. Sed & differentiae spatiorum, quae in aequalibus tempo∣rum differentiis describuntur, decrescunt in eadem progressione Geometrica.

Corol. 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum spatiorum, quorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descensus, & alterum ut velocitas, quae etiam ipso descen∣sus initio aequantur inter se.