To the extent possible under law, the Text Creation Partnership has waived all copyright and related or neighboring rights to this keyboarded and encoded edition of the work described above, according to the terms of the CC0 1.0 Public Domain Dedication (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/). This waiver does not extend to any page images or other supplementary files associated with this work, which may be protected by copyright or other license restrictions. Please go to http://www.textcreationpartnership.org/ for more information.
QVantitates, ut & quantitatum rationes, quae ad aequalitatem da∣to tempore constanter tendunt & eo pacto propius ad invicem accedere possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo aequales.
Si negas, sit earum ultima differentia D. 〈…〉〈…〉o nequeunt pro∣pius ad aequalitatem accedere quam pr••••••data differentia D: contra hypothesin.
Si in figura quavis Aa cE rectis Aa, AE, & curva AcE comprehensa, inscribentur parallelogramma quotcun{que} Ab, Bc, Cd, &c. sub besibus AB▪ BC, CD, &c.aequalibus, & lateribus Bb, Cc, Dd, &c. figurae lateri Aa parallelis comen∣ta; & compleantur parallelogramma aKbl, bLcm, cMdn, &c, Dein horum parallelogrammorum ••••••••do minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimae rationes, quas habent ad se invicem figura inscripta AKbLcMdD, circumscripta AalbmcndoE, & curvilinea AabcdE, sunt rationes aequalitatis.[illustration]
Nam figurae inscriptae & circumscriptae differentia est summa parallelogrammorum Kl+Lm+Mn+Do, hoc est (ob ae∣quales omnium bases) rectangulum sub unius basi Kb & altitudi∣num summa Aa, id est rectangulum ABla. Sed hoc rectangu∣lum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta & circum∣scripta & multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo aequales. Q.E.D.
Eaedem rationes ultimae sunt etiam aequalitatis, ubi parallelogramom∣rum latitudines AB, BC, CD, &c. sunt inaequales, & omnes minuuntur in infinitum.
Sit enim AF aequalis latitudini maximae, & compleatur pa∣rallelogrammum FAaf. Hoc erit majus quam differentia figurae inscriptae & figurae circumscriptae, at latitudine sua AF
in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectan∣gulum.
Corol. 1. Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescenti∣um coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.
Corol. 2. Et multo magis figura rectilinea, quae chordis evanes∣centium arcuum ab, bc, cd, &c. comprehenditur, coincidit ul∣timo cum figura curvilinea.
Corol. 3. Ut & figura rectilinea quae tangentibus eorundem arcuum circumscribitur.
Corol. 4. Et propterea hae figurae ultimae (quoad perimetros acE,) non sunt rectilineae, sed rectilinearum limites curvilinci.
Si in duabus figuris AacE, PprT, inscribantur (ut supra) duae parallelogrammorum series, sit{que} idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuuntur, rationes ultimae paralle∣logrammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulo∣rum ad singula, sint eaedem; dico quod figurae duae AacE, PprT, sunt ad invicem in eadem illa ratione.
Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (com∣ponendo) fit summa omnium ad summam omnium, & ita figura
ad figuram; existente rimirum figura priore (per Lemma 111.) ad summam priorem, & posteriore figura ad summam posterio∣rem in ratione aequalitatis.
Corol. Hinc si duae cujuscun{que} generis quantitates in eundem partium numerum utcun{que} dividantur, & partes illae, ubi nume∣rus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad se∣cundam caeterae{que} suo ordine ad caeteras; erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam si in Lemmatis hujus figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summae partium sem∣per erunt ut summae parallelogrammorum; at{que} adeo, ubi partium & parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminui∣tur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelo∣grammum, id est (per hypothesin) in ultima ratione partis ad partem.
Similium figurarum latera omnia, quae sibi mutuo respondent, sunt pro∣portionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areae sunt in dupli∣cata ratione laterum.
Si arcus quilibet positione datus AB subtendatur chorda AB, & in puncto aliquo A, in medio curvaturaecontinuae, tangatur a recta utrin{que} pro∣ducta AD; dein puncta A, B ad in∣vicem accedant & coeant; dico quod angulus BAD sub chorda & tangente contentus minuetur in infinitum & ul∣timo evanescet.[illustration]
Nam producatur AB ad b & AD ad d, & punctis A, B coeuntibus, nul∣la{que} adeo ipsius Ab parte AB jacen∣te amplius intra curvam, manifestum est quod haec recta Ab,
vel coincidet eum tangente Ad, vel ducetur inter tangentem & curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvaturae, er∣go prior obtinet. Q.E.D.
Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chordae & tangentis ad invicem est ratio aequalitatis. Vide Fig. Lem. 6 & 8 vi.
Nam producantur AB & AD ad b & d & secanti BD paral∣lela agatur bd. Sit{que} arcus Ab similis arcui AB. Et punctis A, B coeuntibus, angulus dAb, per Lemma superius, ••••••nescet; adeo{que} rectae Ab, Ad & arcus intermedius Ab coincident, & prop∣terea aequales erunt. Unde & hisce semper proportionales rectae AB, AD, & arcus intermedius AB rationem ultimam habebunt aequalitatis. Q.E.D.
Corol. 1. Unde si per B ducatur tangenti parallela BF rectam quamvis AF per A transeuntem
Corol. 2. Et si per B & A ducantur plures rectae BE, BD, AF, AG, secantes tangentem AD & ipsius parallelam BF, ratio ul∣tima abscissarum omnium AD, AE, BF, BG, chordae{que} & arcus AB ad invicem erit ratio aequalitatis.
Corol. 3. Et propterea hae omnes lineae in omni de rationibus ul••imis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.
Si rectae datae AR, BR cum arcu AB, chorda AB & tangente AD, triangula tria ARB, ARB, ARD constituunt, dein puncta A, B accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, & ultima ratio aequalitatis.
Nam producantur AB, AD, AR ad b, d & r. Ipsi RD agatur parallela rbd, & arcui AB similis ducatur arcus Ab. Coeuntibus punctis A, B, angulus bAd
Corol. Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.
Si recta AE & Curva AC positione datae se mutuo secent in angulo dato A, & ad rectam illam inalio dato angulo ordinatim ap∣plicentur BD, EC, curvae oc∣currentes in B, C; dein puncta B, C accedant ad punctum A: dico quod areae triangulorum ADB, AEC erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione la∣terum.[illustration]
Etenim in AD producta ca∣piantur Ad, Ae ipsis AD, AE proportionales, & erigantur or∣dinatae db, ec ordinatis DB, EC parallelae & proportionales. Producatur AC ad c, ducatur curva Abc ipsi AbC similis, & recta Ag tangatur curva utra{que} in A; & secantur ordinatim appli∣catae in F, G, f, g. Tum coeant puncta B, C cum puncto A, & angulo c Ag evanescente, coincident areae curvilineae Abd, Ace cum rectilincis Afd, Age, adeo{que} per Lemma V, erunt in du∣plicata
ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales semper sunt areae ABD, ACE, & his lateribus latera AD, AE. Ergo & areae ABD, ACE sunt ultimo in duplicata ratione late∣rum AD, AE. Q.E.D.
Spatia, quae corpus urgente quacun{que} vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum.
Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates geni∣tae per ordinatas DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areae ABD, ACE his ordinatis descriptae, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum AD, AE. Q.E.D.
Corol. 1. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes simi∣lium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus aequalibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad quae corpora temporibus ijsdem proportionalibus abs{que} viribus istis per∣venirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime.
Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis generantur, sunt ut vires & quadrata temporum con∣junctim.
Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtensae arcus contermini.
Cas. 1. Sit arcus ille AB, tangens ejus AD, subtensa anguli contactus ad tangentem perpendicularis BD, subtensa arcus AB. Huic subtensae AB & tangenti AD perpendiculares erigantur AG, BG, concurrentes in G; dein accedant puncta D, B, G, ad puncta d, b, g, sit{que} I intersectio linearum BG, AG ultimo facta ubi puncta D, B accedunt us{que} ad A. Manifestum est quod distan∣tia
G I minor esse potest quam assignata quaevis. Est autem (ex natura circulorum per puncta ABG, Abg transeuntium) AB quad. aequale AG×BD & Ab quad. ae∣quale
Cas. 2. Inclinetur jam BD ad AD in angulo quovis dato, & eadem semper erit ratio ultima BD ad bd quae prius, adeo{que} ea∣dem ac AB quad. ad Ab quad. Q.E.D.
Cas. 3. Et quamvis angulus D non detur, tamen anguli D, d ad aequalitatem semper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis assignata, adeo{que} ultimo aequales e∣runt, per Lem. I. & propterea lineae BD, bd in eadem ratione ad invicem ac prius. Q.E.D.
Corol. 1. Unde cum tangentes AD, Ad, arcus AB, Ab & e∣orum sinus BC, bc fiant ultimo chordis AB, Ab aequales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subtensae BD, bd.
Corol. 2. Triangula rectilinea ADB, Adb sunt ultimo in tri∣plicata ratione laterum AD, Ad, in{que} sesquiplicata laterum DB, db: Utpote in composita ratione laterum AD & DB, Ad & db existentia. Sic & triangula ABC, Abc sunt ultimo in triplica∣ta ratione laterum BC, bc.
Corol. 3. Et quoniam DB, db sunt ultimo parallela & in du∣plicata ratione ipsarum AD, Ad; erunt areae ultimae curvilineae
ADB, Adb (ex natura Parabolae) duae tertiae partes triangu∣lorum rectilineorum ADB, Adb, & segmenta AB, Ab partes tertiae eorundem triangulorum. Et inde hae areae & haec segmen∣ta erunt in triplicata ratione tum tangentium AD, Ad; tum chor∣darum & arcuum AB, Ab.
Caeterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem; hoc est cur∣vaturam ad punctum A, nec infinite parvam esse nec infinite mag∣nam, seu intervallum AI finitae esse magnitudinis. Capi enim potest DB ut AD 3: quo in casu circulus nullus per punctum A inter tangentem AD & curvam AB duci potest, proinde{que} an∣gulus contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argu∣mento si fiat DB successive ut AD 4, AD 5, AD 6, AD 7, &c. habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum, quo∣rum quilibet posterior est infinite minor priore. Et si fiat DB successive ut AD 2, AD3/2, AD4/5, AD5, AD6/5, AD7/6, &c. ha∣bebitur alia series infinita angulorum contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circularibus, secundus infinite major, & qui∣libet posterior infinite major priore. Sed & inter duos quosvis ex his angulis potest series utrin{que} in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite ma∣jor priore. Ut si inter terminos AD 2 & AD 3 inseratur series AD 13/5, AD11/5, AD ••••, AD7/••, AD5/2, AD8/3, AD11/4, AD 14/••, AD17/••, &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri po∣test series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis in∣tervallis differentium. Ne{que} novit natura limitem.
Quae de curvis lineis de{que} superficiebus comprehensis demon∣strata sunt, facile applicantur ad solidorum superficies curvas &
contenta. Praemisi vero haec Lemmata ut effugerem taedium dedu∣cendi perplexas demonstrationes, more veterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium Hypothesis; & propterea Methodus illa minus Geometrica cen∣setur, malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quan∣titatum evanescentium summas & rationes, primas{que} nascentium, id est, ad limites summarum & rationum deducere, & propterea limitum illorum demonstrationes qua potui breuitate praemittere. His enim idem praestatur quod per methodum indivisibilium, & principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequenti∣bus, siquando quantitates tanquam ex particulis constantes consi∣deravero, vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim in∣divisibilia sed evanescentia divisibilia, non summas & rationes partium determinatarum, sed summarum & rationum limites sem∣per intelligi, vim{que} talium demonstrationum ad methodum prae∣cedentium Lemmatum semper revocari.
Objectio est, quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio; quippe quae, antequam evanuerunt, non est ultima, u∣bi evanuerunt, nulla est. Sed & eodem argumento aeque conten∣di posset nullam esse corporis ad certum locum pergentis veloci∣tatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit locum, non esse ultimam, ubi attigit, nullam esse. Et responsio facilis est. Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur ne{que} ante∣quam attingit locum ultimum & motus cessat, ne{que} postea, sed tunc cum attingit, id est illam ipsam velocitatem quacum corpus attingit locum ultimum & quacum motus cessat. Et similiter per ultimam rationem quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non antequam evanescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima est quacum esse (vel augeri & minui) incipiunt & cessant. Extat limes quem velocitas in fine motus attingere potest, non autem transgredi.
Haec est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum & proportionum omnium incipientium & cessantium. Cum{que} hic li∣mes sit certus & definitus, Problema est vere Geometricum eun∣dem determinare. Geometrica vero omnia in aliis Geometricis determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur.
Contendi etiam potest, quod si dentur ultimae quantitatum e∣vanescentium rationes, dabuntur & ultimae magnitudines; & sic quantitas omnis constabit ex indivisibilibus, contra quam Euclides de incommensurabilibus, in libro decimo Elementorum, demon∣stravit. Verum haec Objectio falsae innititur hypothesi. Ultimae rationes illae quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, & quas propius assequi possunt quam pro data quavis differentia, nun∣quam vero transgredi, ne{que} prius attingere quam quantitates di∣minuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantitates duae quarum data est differentia augeantur in infi∣nitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio aequalitatis, nec tamen ideo dabuntur quantitates ultimate seu maximae quarum ista est ratio. Igitur in sequentibus, siquando facili rerum ima∣ginationi consulens, dixero quantitates quam minimas, vel eva∣nescentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine de∣terminatas, sed cogita semper diminuendas sine limite.
Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse tem∣poribus proportionales.
Dividatur tempus in partes aequales, & prima temporis parte describat corpus vi insita rectam AB. Idem secunda temporis parte, si nil impediret, recta pergeret ad c, (per Leg. I) describens lineam Bc aequalem ipsi AB, adeo ut radiis AS, BS, cS ad centrum actis,
vis centripeta successive agat in C, D, E, &c. faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas describat rectas CD, DE EF, &c. jacebunt hae in eodem plano, & triangulum SCD trian∣gulo SBC & SDE ipsi SCD & SEF ipsi SDE aequale erit. Ae∣qualibus igitur temporibus aequales areae in plano immoto descri∣buntur: & componendo, sunt arearum summae quaevis SADS, SAFS inter se, ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum, & eo∣rum ultima perimeter ADF, (per Corollarium quartum Lemma∣tis tertii) erit linea curva; adeo{que} vis centripeta qua corpus de tan∣gente hujus curvae perpetuo retrahitur, aget indesinenter; areae vero quaevis descriptae SADS, SAFS temporibus descriptionum semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu pro∣portionales. Q.E.D.
Corol. 1. In mediis non resistentibus, si areae non sunt tempo∣ribus proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.
Corol. 2. In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur, vires non tendunt concursum radiorum, sed inde declinant in consequentia.
Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progredi∣ens, describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum▪
Cas. 1. Nam corpus omne quod movetur in linea curva, de∣torquetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg. 1.) Et vis illa qua corpus de cursu rectilineo detor∣quetur & cogitur triangula quam minima SAB, SBC, SCD &c. circa punctum immobile S, temporibus aequalibus aequalia de∣scribere, agit in loco B secundum lineam parallelam ipsi cC (per Prop. 40 Lib. I Elem. & Leg. II.) hoc est secundum lineam
BS, & in loco C secundum lineam ipsi dD parallelam, hoc est secundum lineam CS, &c. Agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud immobile S. Q.E.D.
Cas. 2. Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive quiescat superficies in qua corpus describit figuram curvilineam, sive moveatur eadem una cum corpore, figura descripta & puncto suo S uniformiter in directum.
Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus In hoc casu sensus Propositionis est, quod vis illa quae ex omnibus componitur, tendit ad punctum S. Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei descriptae perpendicularem, haec faciet corpus deflectere a plano sui motus, sed quantitatem superfi∣ciei descriptae nec augebit nec minuet, & propterea in composi∣tione virium negligenda est.
Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcun{que} moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.
Nam (per Legum Corol. 6.) si vi nova, quae aequalis & contraria sit illi qua corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrum{que} se∣cundum lineas parallelas, perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac prius: vis autem qua cor∣pus alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi aequalem & contrariam, & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, & corpus primum, urgente differentia virium, perget areas temporibus pro∣portionales circa corpus alterum describere. Tendit igitur (pet Theor. 2.) differentia virium ad corpus illud alterum ut cen∣trum. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas temporibus proportionales, at{que} de vi tota (sive simplici, sive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, com∣posita,) qua corpus prius urgetur, subducatur (per idem Le∣gum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urge∣tur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum.
Corol. 2. Et si areae illae sunt temporibus quamproxime pro∣portionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.
Corol. 3. Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus alterum, erunt areae illae temporibus quamproxime pro∣portionales.
Corol. 4. Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas quae, cum temporibus collatae, sunt valde inaequales, & cor∣pus illud alterum vel quiescit vel movetur uniformiter in direct∣um; actio vis centripetae ad corpus illud alterum tendentis, vel nulla est, vel miscetur & componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Vis{que} tota ex omnibus, si plures sunt vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum dirigitur, circum quod aequabilis est arearum descriptio. Idem ob∣tinet ubi corpus alterum motu quocun{que} movetur, si modo vis centripeta sumatur, quae restat post subductionem vis totius agen∣tis in corpus illud alterum.
Quoniam aequabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum tendente retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi corpus re∣trahitur de motu rectilineo & retinetur in Orbita: quidni usur∣pemus in sequentibus a••quabil••m arearum descriptionem ut Indi∣cem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis pera••itur?
Corporum quae diversos circalos aequabili motu describunt, vires cen∣tripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum ra∣dios.
Corpora B, b in circumferentiis circulorum BD, bd gyran∣tia, simul describant arcus BD, bd. Quoniam sola vi insita de∣scriberent tangentes BC, bc his arcubus aequales, manifestum est quod vires centripetae sunt quae
Corol. 1. Hinc vires centripetae sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.
Corol. 2. Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum ap∣plicata
ad radios ita sunt hae vires inter se. Id est (ut cum Ge∣ometris loquar) hae vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.
Corol. 3. Unde si tempora periodica aequantur, erunt tum vi∣res centripetae tum velocitates ut radii, & vice versa.
Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetae sunt aequales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.
Corol. 5. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut qua∣drata radiorum, vires centripetae sunt reciproce ut radii, & ve∣locitates aequales: Et vice versa.
Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi ra∣diorum, vires centripetae sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.
Corol. 7. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcun{que} similium, centra{que} similiter posita habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione praecedentium ad hosce casus applicata.
Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus caelestibus (ut se∣orsum colligerunt etiam nostrates Wrennus, Hockius & Halleus) & propterea quae spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris decrevi susius in sequenti∣bus exponere.
Porro praecedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetae ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium CD, quod ipso motus initio aequale est quadrato arcus illius BD ad circuli diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam
continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum de∣scribit, efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spati∣um quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato aequale; adeo{que} est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi Proposi∣tionibus Hugenius, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillato∣rio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.
Demonstrari etiam possunt praecedentia in hunc modum. In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcun{que} Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis re∣flexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeo{que} summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus re∣flexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem appli∣cata ad Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius ap∣plicatum ad Radium; adeo{que} si Polygonum lateribus infinite dimi∣nutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Haec est vis qua corpus urget circ••lum, & huic aequalis est vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum versus.
Data quibuscun{que} in locis velocitate, qua corpus figuram datam viri∣bus ad commune aliquod centrum tendentibus describit, centrum illud invenire.
Figuram descriptam tangant rectae tres PT, TQV, VR in punctis totidem P, Q, R, concurrentes in T & V. Ad tangen∣tes erigantur perpendicula PA, QB, RC, velocitatibus corpo∣ris in punctis illis P, Q, R a quibus eriguntur reciproce pro∣portionalia; id est ita ut sit PA ad QB ut velocitas in Q ad ve∣locitatem in P, & QB ad RC ut velocitas in R ad velocitatem
in Q. Per perpendiculorum terminos A, B, C ad angulos rect∣os ducantur AD, DBE, EC concurrentia in D & E: Et actae TD, VE concurrent in centro quaesito S.
Nam cum corpus in P & Q
Si corpus P revolvendo circa centrum S, describat lineam quamvis curvam APQ, tangat vero recta ZPR curvam illam in puncto quovis P, & ad tangentem ab alio quovis curvae puncto Q agatur QR distantiae SP parallela, ac demittatur QT perpendicularis ad distantiam SP: Dico quod vis centripeta sit reciproce ut so∣lidum SP quad.×QT quad./QR, si modo solidi illius ea semper su∣matur quantilas quae ultimo fitubi coeunt puncta P & Q.[illustration]
Nam{que} in figura indefinite parva QRPT lineola nascens QR, data tempore, est ut vis centripeta (per Leg. II.) &
data vi, ut quadratum temporis (per Lem. X.) at{que} adeo, neu∣tro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis conjunctim, ade∣o{que} vis centripeta ut lineola QR directe & quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut area SPQ, ejusve dupla SP×QT, id est ut SP & QT conjunctim, adeo{que} vis centripeta ut QR di∣recte at{que} SP quad. in QT quad. inverse, id est ut SP quad.×QT quad./QR inverse. Q.E.D.
Corol. Hinc si detur figura quaevis, & in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetae quae corpus in figurae illius perimetro gyrari faciet. Nimirum compu∣tandum est solidum SP quad.×QT quad./QR huic vi reciproce pro∣portionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequenti∣bus.
Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripe∣tae tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.
Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis centripetae S, corpus in circumferentia latum
in SP quad./QR, & punctis P & Q coeuntibus, scribatur SP pro RL Sic fiet SPqc/SAq aequale QTq×SPq / QR Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut SP qc/SAq, id est (ob datum SA quad) ut quadrato-cubus distantiae SP. Quod erat inveniendum.
Moveatur corpus in circulo PQA: ad hunc effectum requiritur lex vis centripetae tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineae om∣nes PS, RS ad id ductae, pro parallelis haberi possint.
A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas istas per∣pendiculariter secans in M & N, & jungantur CP. Ob similia triangula CPM, & TPZ, vel
Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta quae sit reciproce ut cu∣bus ordinatim applicatae ad centrum virium maxime longinquum tendentis.
Gyretur corpus in spirali PQS secante radios omnes SP, SQ &c. in angulo dicto: Requiritur lexvis centripetae tendentis ad cen∣trum spiralis.[illustration]
Detur angulus indefinite par∣vus PSQ, & ob datos omnes an••ulos dabitur specie figura S••Q••T. Ergo datur ratio Q••/RQ, •• QT quad./QR ut QT, hoc est ut SP. Mutetur jam ut∣cun{que} angulus PSQ, & recta QR angulum contactus QPR subtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione ipsius PR vel QT. Ergo manebit QT quad./QR eadem quae prius, hoc est ut SP. Quare QTq×SPq/QR est ut SP cub. id est (per Co∣rol. Theor. V.) vis centripeta ut cubus distantiae SP.Q.E.I.
Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se ae∣qualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum diametros ejus descriptis.
Constat utrum{que} ex Conicis.
Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetae tendentis ad centrum Ellipseos.
Sunto CA, CB
(ob datum 2 BCq.×CAq.) ut 1••PC, hoc est, directe ut distantia PC.Q.E.I.
Corol. 1. Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem Ellipsis migrare potest.
Corol. 2. Et aequalia erunt revolutionum in Figuris universis circa centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipsibus similibus aequalia sunt per Corol. 3 & 7 Prop. IV: In Ellipsibus autem communem habentibus axem majorem, sunt ad invicem ut Ellipseon areae totae directe & arearum parti∣culae simul descriptae inverse; id est ut axes minores directe & corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est ut axes illi directe & ordinatim applicatae ad axes alteros inverse, & propterea (ob aequalitatem rationum directarum & inversa∣rum) in ratione aequalitatis.
Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabo∣lam, corpus movebitur in hac Parabola, & vis ad centrum infini∣te distans jam tendens, evadet aequabilis. Hoc est Theorema Galilei. Et si Conisectio Parabolica, inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.
Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetae tenden∣tis ad umbilicum Ellipseos.
Esto Ellipseos superioris umbilicus S. Agatur SP secans Ellip∣seos tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in ×, & compleatur parallelogrammum Q×PR. Patet EP ae∣qualem esse semi∣axi
& GvP ad Qv ••uad. ut CP quad. ad CD quad; & (per Lem. VIII.) Qv quad. ad Qx quad. punctis Q & P coeuntibus, est ratio aequa∣litatis, & Qx quad. seu Qv quad. est ad QT quad. ut EP quad. ad PF quad, id est ut CA quad. ad PF quad. sive (per Lem. XII.) ut CD quad. ad CB quad. Et conjunctis his omnibus rationi∣bus, L×QR sit ad QT quad. ut AC ad PC+L ad Gv+CPq ad CDq+CDq. ad CBq. id est ut AC×L (seu 2 CBq.)×C∣Pq. ad PC×Gv×CBq. sive ut 2 PC ad Gv. Sed punctis Q & P coeuntibus, aequantur 2 PC & Gv. Ergo & his proportio∣nalia L×QR & QT quad. aequantur. Ducantur haec a qualia in SPq./QR & fiet L×SPq. aequale SPq.×QTq./QK Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L×SPq. id est recipro∣ce in ratione duplicata distantiae SP.Q.E.I
Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabo∣lam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignita∣tem Problematis & usum ejus in sequentibus, non pigebit casu∣caeteros demonstratione confirmare.
Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetae tenden∣tis ad umbilicum figurae.
Sunto ••A, CB semi-axes Hyperbolae; PG, KD diametri conjugatae; PF, Qt perpendicula ad diametros; & Qv ordina∣tim applicata ad diametrum GP. Agatur SP secans tum diame∣trum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in ×, & comple∣atur parallelogrammum QRPx. Patet EP aequalem esse semi∣axi transverso AC, eo quod, acta ab altero Hyperbolae umbilico H linea HI ipsi EC parallela, ob aequales CS, CH, aequentur ES, EI; adeo ut EP semidifferentia sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HI, PR & angulos aequales IPR, HPZ) ipsarum PI, PH, quarum differentia axem totum 2 AC adaequat. Ad SP
demittatur perpendicularis QT. Et Hyperbolae latere recto principali (seu 2BCq / AC) dicto L, erit L×QR ad L×Pv ut QR ad Pv, id est, ut PE (seu AC) ad PC; Et L×Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qvq. ut CPq.
Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.
Latus rectum Parabolae ad verticem quemvis pertinens, est quadru∣plum distantiae verticis illius ab umbilico figurae. Patet ex Conicis.
Perpendiculum quod ab umbilico Parabolae ad tangentem ejus demit∣titur, medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus & a vertice principali figurae.
Sit enim APQ Parabola, S umbilicus ejus, A vertex princi∣palis, P punct∣um
Corol. 1. PSq. est ad SNq. ut PS ad SA.
Corol. 2. Et ob datam SA, est SNq. ut PS.
Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN quae ab umbilico in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam AN, quae Parabolam tangit in vertice principali.
Moveatur corpus in perimetro Parabolae: requiritur Lex vis centripe∣tae tendentis ad umbilicum hujus figurae.
Maneat constructio Lemmatis, sit{que} P corpus in perimetro Para∣bolae, & a loco Q in quem corpus proxime movetur, age ipsi SP Parallelam QR & perpendicularem QT, necnon Qv tangenti pa∣rallelam & occurentem tum diametro YPG in v, tum distantiae SP in x. Jam ob similia triangula Pxv, MSP & aequalia unius latera SM, SP, aequalia sunt alterius latera Px seu QR & Pv. Sed, ex Conicis, quadratum ordinatae Qv aequale est rectangulo sub latere recto & segmento diametri Pv, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4 PS×Pv seu 4 PS×QR; & punctis P & Q coeun∣tibus, ratio Qv ad Qx (per Lem. 8.) fit aequalitatis. Ergo Q×q. eo in
Corol. I. Ex tribus novissimis Propositionibus consequens est, quod si corpus quodvis P, secundum lineam quamvis rectam PR, quacun{que} cum velocitate exeat de loco P, & vi centripeta quae sit reciproce proportionalis quadrato distantiae a centro, simul agite∣tur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbi∣licum habente in centro virium; & contra.
Corol. II. Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit, qua lineola PR in minima aliqua temporis particula describi po∣ssit, & vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem move∣re per spatium QR: movebitur hoc corpus in Conica aliqua sect∣ione cujus latus rectum est quantitas illa QTq./QR quae ultimo sit ubi lineolae PR, QR in infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, & casum excipio ubi corpus recta descendit ad centrum.
Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centri∣peta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt.
Nam per Corol. II. Prob. VIII. Latus rectum L aequale est quantitati QTq./QR quae ultimo fit ubi coeunt puncta P & Q. Sed linea minima QR, dato tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce ut SPq. Ergo QTq./QR est ut QTq.×SPq. hoc est, latus rectum L in duplicata ratione a∣reae QT×SP.Q.E.D.
Corol. Hinc Ellipseos area tota, ei{que} proportionale rectangu∣lum sub axibus, est in ratione composita ex dimidiata ratione late∣ris recti & integra ratione temporis periodici.
Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in rati∣one sesquiplicata transversorum axium.
Nam{que} axis minor est medius proportionalis inter axem ma∣jorem (quem transversum appello) & latus rectum, at{que} adeo rectangulum sub axibus est in ratione composita ex dimidiata rati∣one lateris recti & sesquiplicata ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione pe∣riodici temporis. Dematur utrobi{que} dimidiata ratio lateris recti & manebit sesquiplicata ratio axis transversi aequalis rationi peri∣odici temporis. Q.E.D.
Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis, quorum diametri aequantur majoribus axibus El∣lipseon.
Iisdem positis, & actis ad corpora lineis rectis, quae ibidem tangant orbitas, demissis{que} ab umbilico communi ad has tangentes perpen∣dicularibus: dico quod velocitates corporum sunt in ratione compo∣sita ex ratione perpendiculorum inverse & dimidiata ratione late∣rum rectorum directe. VideFig. Prop. X. & XI.
Ab umbilico S ad tangentem PR demitte perpendiculum SY & velocitas corporis P erit reciproce in dimidiata ratione quanti∣tatis SYq./L Nam velocitas illa est ut arcus quam minimus PQ in data temporis particula descriptus, hoc est (per Lem. VII.) ut tangens PR, id est (ob proportionales PR ad QT & SP ad SY) ut SP×QT / SY, sive ut SY reciproce & SP×QT directe; est{que}
SP×QT ut area dato tempore descripta, id est, per Theor. VI. in dimidiata ratione lateris recti Q.E.D.
Corol. 1. Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum.
Corol. 2. Velocitates corporum in maximis & minimis ab um∣bilico communi distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distantiarum inverse & dimidiata ratione laterum rectorum di∣recte. Nam perpendicula jam sunt ipsae distantiae.
Corol. 3. Ideo{que} velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a cen∣tro distantia, in dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam.
Corol. 4. Corpurum in Ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus distantiis ab umbilico communi sunt eaedem quae cor∣porum gyrantium in circulis ad easdem distantias, hoc est (per Corol. VI. Theor. IV.) reciproce in dimidiata ratione distantia∣rum. Nam perpendicula jam sunt semi-axes minores, & hi sunt ut mediae proportionales inter distantias & latera recta. Compo∣natur haec ratio inverse cum dimidiata ratione laterum rectorum directe, & fiet ratio dimidiata distantiarum inverse.
Corol. 5. In eadem vel aequalibus figuris, vel etiam in figuris inaequalibus, quarum latera recta sunt aequalia, velocitas corpo∣ris est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tan∣gentem
Corol. 6. In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ra∣tione distantiae corporis ab umbilico figurae, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam (per Corol. 2 Lem. XIV.) perpendiculum demissum ab umbilico ad tangen∣tem Parabolae est in dimidiata ratione distantiae.
Corol. 7. In Parabola, velocitas ubi{que} est ad velocitatem corpo∣ris revolventis in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione numeri binarii ad unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbola ma∣jor
quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium secun∣dum, velocitas in vertice Parabolae est in hac ratione, & per Co∣rollaria sexta hujus & Theorematis quarti, servatur eadem pro∣portio in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubi{que} aequalis est velocitati corporis revolventis in circulo ad di∣midiam distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major.
Corol. 8. Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad ve∣locitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sect∣ionis, ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangen∣tem Sectionis demissum. Patet per Corollarium quintum.
Corol. 9. Unde cum (per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quo∣vis alio, reciproce in dimidiata ratione distantiarum; fiet ex ae∣quo velocitas gyrantis in Conica sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media proportionalis inter distan∣tiam illam communem & semissem lateris recti sectionis, ad per∣pendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis de∣missum.
Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distan∣tiae a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita; re∣quiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data velo∣citate secundum datam rectam egrediens.
Vis centripeta tendens ad punctum Sea sit quae corpus p in orbita quavis data pq gyrare faciat, & cognoscatur hujus veloci∣tas in loco p. De loco P secundum lineam PR exeat corpus P cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflect∣at illud in Conisectionem PQ. Hanc igitur recta PR tanget in P. Tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq in p, & si ab S ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1. Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus rect∣um
orbitae datae, in ratione composita ex duplicata ratione per∣pendiculorum & duplicata ratione velocitatum, at{que} adeo datur. Sit istud L. Datur
Corol. 1 Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principa∣li D, latere recto L, & umbilico S, datur umbilicus alter H ca∣piendo DH ad DS ut est latus rectum ad differentiam inter la∣tus
rectum & 4 DS. Nam proportio SP+PH ad PH ut 2 SP ad L, in casu hujus Corollarii, fit DS+DH ad DH ut 4 DS ad L, & divisim DS ad DH ut 4 DS−L ad L.
Corol. 2. Unde si datur corporis velocitas in vertice principa∣li D, invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam distantiam DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datae ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam DS gyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.) dein DH ad DS ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4 DS.
Corol. 3. Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacun∣{que} Conica, & ex orbe suo impulsu quocun{que} exturbetur; cog∣nosci potest orbis in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem im∣pulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.
Corol. 4. Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa con∣tinuo perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas vis illa in punctis quibusdam inducit, & ex se∣riei analogia, mutationes continuas in locis intermediis aestiman∣do.
Si ab Ellipseos vel Hyperbolae cujusvis umbilicis duobus S, H, ad punct∣um quodvis tertium V inflectantur rectae duae SV, HV, quarum u∣na HV aequalis fit axi transverso figurae, altera SV a perpendicu∣lo TR in se d••••isso bisecetur in T; perpendiculum illud TR sec∣tionem Conicam alicubi tangit: &contra, si tangit, erit VH aequalis axi figurae.[illustration]
Secet enim VH sectionem coni∣cam in R, & jungatur SR. Ob ae∣quales rectas TS, TV, aequales e∣runt anguli TRS, TRV. Bisecat ergo RT angulum VRS & propte∣rea figuram tangit: & contra. Q.E.D.
Datis umbilico & axibus transversis describere Trajectorias Ellipti∣cas & Hyperbolicas, quae transibunt per puncta data, & rectas po∣sitione datas contingent.
Sit S communis umbilicus figuraram; AC longitudo axis trans∣versi Trajectoriae cujusvis; P punctum per quod Trajectoria debet transire; & TR recta quam debet tangere. Centro P intervallo AB−SP, si orbita sit Ellipsis, vel AB+SP, si ea sit Hyperbola, describatur circulus HG. Ad tangentem TR demittatur per∣pendiculum
ST, & producatur ea ad V, ut sit TV aequalis ST; centro{que} V & intervallo AC describatur circulus FH. Hac me∣thodo
Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, quae tran∣sibit per puncta data, & rectas positione datas continget.
Sit S umbilicus, P punctum & TR tangens trajectoriae descri∣bendae.
p; vel transeat per duo puncta V, v, si dantur duae tangentes TR, tr, vel tangat ci••culum PG & transeat per punctum V, si da∣tur punctum P & tangens TR. Ad FI d••mitte perpendicula∣rem SI, eam{que} biseca in K, & axe SK, vertice principali K de∣scribatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob aequales SK & IK, SP & FP transibit per punctum P; & (per Lemma∣tis XIV. Corol. 3.) ob aequales ST & TV & angulum rectum STR, tanget rectam TR.Q.E.F.
Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describe∣re, quae per data puncta transibit & rectas tanget positione da∣tas.
Cas. 1. Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria ABC per puncta duo B, C. Quoniam Trajectoria datur specie, da∣bitur
Cas. 2. Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria quae rect∣as duas TR, tr alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes de∣mitte perpendicula ST, St & produc eadem ad V, v, ut sint TV, tv aequales TS, ts. Biseca Vv
Cas. 3. Dato umbilico S describenda sit Trajectoria quae rect∣am TR tanget in puncto dato R. In rectam TR demitte per∣pendicularem ST, & produc eandem ad V, ut sit TV aequalis ST. Junge VR, & rectam VS infinite productam seca in K & k, ita ut sit VK ad SK & Vk ad Sk ut Ellipseos describendae axis trans∣versus ad distantiam umbilicorum; circulo{que} super diametro Kk
descripto, secetur producta recta VR in H, & umbilicis S, H, axe transverso rectam HV aequante, describatur Trajectoria. Di∣co
Cas. 4. Circa umbilicum S describenda jam sit Trajectoria APB, quae tangat rectam TR, transeat{que} per punctum quodvis P extra tangentem datum, quae{que} similis sit figurae apb, axe
circulum secantem figuram apb in p. Junge sp & age SH quae sit ad sh ut est SP ad sp, quae{que} angulum PSH angulo psh & angulum VSH angulo psq aequales constituat. Deni{que} umbi∣licis S, H, axe distantiam VH aequante, describatur sectio conica.
A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentiae vel dan•••••• vel nullae sunt.
Cas. 1. Sunto puncta illa data A, B, C & punctum quartum Z, quod invenire oportet: Ob datam differentiam linearum AZ▪ BZ, locabitur punctum Z in Hyperbola cujus umbilici sunt A & B, & axis transversus differentia illa data. Sit axis ille MN. Ca∣pe PM ad MA ut est MN ad AB, & erecto PR perpendicular ad AB, demisso{que} ZR perpendiculari ad PR, erit ex natura hujus Hyperbolae ZR ad AZ ut est MN ad AB. Simili discur∣su punctum Z locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici sunt A, C & axis transversus differentia inter AZ & CZ, duci{que} potest QS ipsi AC perpendicularis, ad quam si ab Hyperbolae hujus puncto quovis Z demittatur normalis ZS, haec fuerit ad AZ ut est differentia inter AZ & CZ ad AC. Dantur ergo rationes ipsarum ZR & ZS ad AZ, & idcirco datur earundem ZR & ZS ratio ad invicem; adeo{que}
Cas. 2. Si duae ex tribus lineis, puta AZ & BZ aequantur, punctum Z locabitur in perpendiculo bisecante distantiam AB, & locus alius rectilineus invenietur ut supra. Q.E.I.
Cas. 3. Si omnes tres aequantur, locabitur punctum Z in cen∣tro circuli per puncta A, B, C transeuntis. Q.E.I.
Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. Tacti∣onum Apollonii a Vieta restitutum.
Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quae transibit per puncta data & rectas positione datas continget.
Detur umbilicus S, punctum P, & tangens TR, & invenien∣dus sit umbilicus alter H. Ad tangentem demitte perpendiculum ST, & produc idem ad Y, ut sit TY aequalis ST, & erit YH aequalis axi transverso. Junge SP, HP, & erit SP differentia in∣ter HP & axem transversum. Hoc modo si dentur plures tan∣gentes TR, vel plura puncta P, devenietur semper ad lineas toti∣dem YH, vel PH, a dictis punctis Y vel P ad umbilicum H ductas, quae vel aequantur axibus, vel datis longitudinibus SP differunt ab iisdem, at{que} adeo quae vel aequan∣tur
Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C, D. Junctas BC, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC, & FC ad FD ut SC ad SD. Ad EF ductam & productam demitte normales SG, BH, in{que} GS infinite produc∣ta cape GA ad AS & Ga ad aS ut est HB ad BS; & erit A
vertex, & Aa axis transversus Trajectoriae: quae, perinde ut GA minor, aequalis vel major fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto
Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit Clarissimus Geometra De la Hire, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop XXV.
Si a datae conicae sectionis puncto quovis P, ad Trapezii alicujus ABCD, in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite producta AB, CD, AC, DB, totidem rectae PQ, PR, PS, PT in datis angulis ducantur, sin∣gulaead singula: rectangu∣lum ductarum ad opposita duo latera PQ×PR, erit ad rectangulum ductarum ad a∣lia duo latera opposita PS×PT in data ratione.[illustration]
Cas. 1. Ponamus imprimis lineas ad opposita latera duct∣as parallelas esse alterutri re∣liquorum laterum, puta PQ & PR lateri AC, & PS ac PT lateri AB. Sint{que} insuper latera duo ex oppositis, puta AC & BD, parallela. Et recta quae bise∣cat parallela illa latera erit una ex diametris Conicae sectionis, & bisecabit etiam RQ. Sit O punctum in quo RQ bisecatur, & erit PO ordinatim applicata ad diametrum illam. Produc PO ad K ut sit OK aequalis PO, & erit OK ordinatim applicata ad con∣trarias partes diametri. Cum igitur puncta A, B, P & K sint ad Conicam sectionem, & PR secet AB in dato angulo, erit (per Prop. 17 & 18 Lib. III Apollonii) rectangulum PQK ad rectan∣gulum AQB in data ratione. Sed QK & PR aequales sunt, ut∣pote aequalium OK, OP, & OQ, OR differentiae, & inde etiam
rectangula PQK & PQ×PR aequalia sunt; at{que} adeo rectan∣gulum PQ×PR est ad rectangulum AQB, hoc est ad rectangu∣lum PS×PT in data ratione. Q.E.D.
Cas. 2. Ponamus jam Trapezii latera opposita AC & BD non esse parallela. Age Bd parallelam AC & occurrentem tum rectae ST in t, tum Conicae sectioni in d. Junge Cd secantem PQ in r, & ipsi PQ parallelam age DM
Cas. 3. Ponamus deni{que} line∣as
Iisdem posit is, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera Tra∣pezii PQ×PR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera PS×PT in data ratione; punctum P, a quo lineae ducuntur, tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.
Per puncta A, B, C, D & aliquod infinitorum punctorum P, puta p, concipe Conicam sectionem describi: dico punctum P hane semper tangere. Si ne∣gas,
Corol. Hinc si rectae tres PQ, PR, PS a puncto communi P ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, singulae ad sin∣gulas, in datis angulis ducantur, sit{que} rectangulum sub duabus duct∣is PQ×PR ad quadratum tertii, PS quad. in data ratione: punctum
P, a quibus rectae ducuntur, locabitur in sectione Conica quae tangit lineas AB, CD in A & C & contra. Nam coeat linea BD cum linea AC manente positione trium AB, CD, AC; de∣in coeat etiam linea PT cum linea PS: & rectangulum PS×PT evadet PS quad. rectae{que} AB, CD quae curvam in punctis A & B, C & D secabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non am∣plius secare possunt sed tantum tangent.
Nomen Conicae sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita ut sectio tam rectilinea per verticem Coni transiens, quam circu∣laris basi parallela includatur. Nam si punctum p incidi•• in rectam, qua quaevis ex punctis quatuor A, B, C, D junguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas, quarum una est recta illa in quam punctum p incidit, & altera recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi si∣mul sumpti aequentur duobus rectis, & lineae quatuor PQ, PR, PS, PT ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angu∣lis quibusvis aequalibus, sit{que} rectangulum sub duabus ductis PS×PR aequale rectangulo sub duabus aliis PS×PT, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si lineae quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis PQ×PR sit ad rect∣angulum sub aliis duabus PS×PT ut rectangulum sub sinubus angulorum S, T, in quibus duae ultimae PS, PT ducuntur, ad rect∣angulum sub sinubus angulorum Q, R, in quibus duae primae PQ, PR ducuntur. Caeteris in casibus Locus puncti P erit aliqua tri∣um sigurarum quae vulgo nominantur Sectiones Conicae. Vice autem Trapezii ABCD substitui potest quadrilaterum cujus late∣ra duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed & e punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire in in∣finitum, eo{que} pacto latera figurae quae ad puncta illa convergunt,
evadere parallela: quo in casu sectio conica transibit per caete∣ra puncta, & in plagas parallelarum abibit in infinitum.
Invenire punctum P, a quo si rectae quatuor PQ, PR, PS, PT ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, BD singulae ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis, PQ×PR, sit ad rectangulum sub aliis duabus, PS×PT, in data ratione.
Lineae AB, CD, ad quas rectae duae PQ, PR, unum rectan∣gulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus po∣sitione
Corol. 1. Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum P punc∣tum quodvis D tangens duci potest. Nam chorda PD ubi punc∣ta P ac D conveniunt, hoc est, ubi AH ducitur per punctum D, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium IP & PH invenietur ut supra. Ipsi igitur AD duc parallelam CF, occurrentem BD in F, & in ea ultima ratione sectam in E,
& DE tangens erit, propterea quod CF & evanescens IH pa∣rallelae sunt, & in E & P similiter sectae.
Corol. 2. Hinc etiam Locus punctorum omnium P definiri po∣test. Per quodvis punctorum A, B, C, D, puta A, duc Loci tangentem AE, & per aliud quodvis punctum B duc tangenti
At{que} ita Problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide in∣caepti & ab Apollonio continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem Veteres quaerebant, in hoc Corollario ex∣hibetur.
Si parallelogrammum quodvis ASPQ angulis duobus oppositis A & P tangit sectionem quamvis Conicam in punctis A & P, & lateribus unius angulorum illorum infinite productis AQ, AS occurrit eidem sectioni Conicae in B & C; a punctis autem occur∣suum
B & C ad quintum quodvis sectionis Conicae punctum D agantur rectae duae B D, C D occurrentes alteris duobus infinite pro∣ductis parallelogrammi lateribus PS, PQ in T & R: erunt sem∣per abscissae latcrum partes PR & PT ad invicem in data ratione. Et contra, si partes illae abscissae sunt ad invicem in data ratione, punctum D tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor A, B, P, C transeuntem.
Cas. 1. Jungantur BP, CP & a puncto D agantur rectae duae
Cas. 2. Quod si PR & PT ponantur in data ratione ad invi∣cem, tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangu∣lum DE×DF ad rectangulum DG×DH in ratione data, ade∣o{que} punctum D (per Lemma XVIII.) contingere Conicam sec∣tionem transeuntem per puncta A, B, P, C.Q.E.D.
Corol. 1. Hinc si agatur BC secans PQ in r, & PT capiatur Pt in ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens
Conicae sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D co∣ire cum puncto B ita ut, chorda BD evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt▪
Corol. 2. Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Coni∣cae sectionis punctum D conveniant BD, CD; erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR ad PT ut Pr ad Pt, conve∣nient BD, CD ad Conicae sectionis punctum aliquod D.
Corol. 3. Conica sectio non secat Conicam sectionem in punc∣tis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duae Conicae sectiones per quin{que} puncta A, B, C, D, P, eas{que} secet recta BD in punctis D, d, & ipsam PQ secet recta Cd in r. Ergo PR est ad PT ut Pr ad PT, hoc est, PR & Pr sibi invi∣cem aequantur, contra Hypothesin.
Si rectae duae mobiles & infinitae BM, CM per data puncta B, C,ceu polos ductae, concursu suo M de∣scribant tertiam positione datam rectam MN; & aliae duae infinitae rectae BD, CD cum prioribus du∣abus ad puncta illa data B, C da∣tos angulos MBD, MCD efficientes ducantur; dico quod hae duae BD, CD concursu suo D describent sec∣tionem[illustration]
Conicam. Et vice versa, si rectae BD, CD concursu suo D describant Sectionem Conicam per puncta B, C, A transeuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod A, cum alierae duae BM, CM coincidunt cum linea BC, punctum M con∣tinget rectam positione datam.
Nam in recta MN detur punctum N, & ubi punctum mobile M incidit in immotum N, incidat punctum mobile D in immo∣tum P. Junge CN,
Et contra, si punctum D contingit sectionem Conicam transe∣untem per puncta B, C, A, & ubi rectae BM, CM coincidunt cum recta BC, punctum illud D incidit in aliquod sectionis punctum
A; ubi vero punctum D incidit successive in alia duo quavis sec∣tionis puncta p, P, punctum mobile M incidit successive in punc∣ta immobilia n, N: per eadem n, N agatur recta nN, & haec e∣rit Locus perpetuus puncti illius mobilis M. Nam, si fieri potest, versetur punctum M in linea aliqua curva. Tanget ergo punc∣tum D sectionem Conicam per puncta quin{que} C, p, P, B, A tran∣seuntem, ubi punctum M. perpetuo tangit lineam curvam. Sed & ex jam demonstratis tanget etiam punctum D sectionem Co∣nicam per eadem quin{que} puncta C, p, P, B, A transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duae sectiones Conicae transibunt per eadem quin{que} puncta, contra Corol. 3. Lem. XX. Igitur punctum M versari in linea curva absurdum est. Q.E.D.
Trajectoriam per data quin{que} puncta describere.
Dentur puncta quin{que} A, B, C, D, P. Ab eorum aliquo A ad alia duo quaevis B, C, quae poli nominentur, age rectas AB, AC his{que} parallelas TPS,
Pt, Pr ipsis PT, PR proportionales, & si per earum termi∣nos t, r & polos B, C actae Bt, Cr concurrant in d, locabitur punctum illud d in
E punctis datis jun∣ge
crurum BA, CA, vel BD, CD intersectio, quae jam sit d, Tra∣jectoriam quaesitam PADdB delineabit. Nam punctum d per Lem. XXI continget sectionem Conicam per puncta B, C trans∣euntem & ubi punctum m accedit ad puncta L, M, N, punctum d (per constructionem) accedet ad puncta A, D, P. Describetur ita{que} sectio Conica transiens per puncta quin{que} A, B, C, D, P. Q.E.F.
Corol. 1. Hinc rectae expedite duci possunt quae trajectoriam in punctis quibusvis datis B, C tangent. In casu utrovis accedat punctum d ad punctum C & recta Cd evadet tangens quaesita.
Corol. 2. Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri & la∣tera recta inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX
Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo BP, & in ea si opus est producta, capiendo Bp ad BP ut est PR ad PT, & per p agendo rectam insinitam pD ipsi SPT pa∣rallelam, in{que} ea capiendo semper pD aequalem Pr, & agendo rectas BD, Cr concurrentes in d. Nam cum sint Pr ad Pt, PR ad PT, pB ad PB, pD ad Pt in eadem ratione, erunt pD & Pr semper aequales. Hac methodo puncta Trajectoriae inveni∣untur expeditissime, nisi mavis Curvam, ut in casu secundo, de∣scribere Mechanice.
Trajectoriam describere quae per data quatour puncta transibit, & rectam contingent positione datam.
Cas. 1. Dentur tangens HB, punctum contactus B, & alia tria puncta C, D, P. Junge BC, & agendo PS parallelam
BH, & PQ parallelam BC, comple parallelogrammum BSPQ. Age BD secantem SP in
Revolvatur tum angulus magnitudine datus CBH circa polum B, tum radius
cruris alterius BH concursus cum radio delineabit Trajectoriam quaesitam.
Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctum A ad punctum B, lineae CA & CB coincident, & linea AB in ultimo suo situ fiet tangens BH, at{que} adeo constructi∣ones ibi positae evadent eaedem cum constructionibus hic descrip∣tis Delineabit igitur cruris BH concursus cum radio sectionem Conicam per puncta C, D, P transeuntem, & rectam BH tan∣gentem in puncto B. Q.E.F.
Cas. 2. Dentur puncta quatuor B, C, D, P extra tangentem HI sita. Junge bin a BD, CP concurrentia in G, tangenti{que} oc∣currentia in H & I. Se∣cetur
Trajectoriam describere quae transibit per data tria puncta & rectas duas positione datas continget.
Dentur tangentes HI, KL & puncta B, C, D. Age BD tangentibus occurrentem in punctis H, K, & CD tangentibus occurrentem in punctis I, L. Actas ita seca in R & S, ut sit HR ad KR ut est media propor∣tionalis
Hisce autem inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris. Q.E.F.
Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.
Transmutanda sit figura quaevis HGI. Ducantur pro subi∣tu rectae duae parallelae AO, BL tertiam quamvis positione da∣tam AB secantes in A
Dico jam quod si punctum G tangit rectam lineam positione datam, punctum g tanget etiam lineam rectam positione datam.
Si punctum G tangit Conicam sectionem, punctum g tanget eti∣am conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annu∣mero. Porro si punctum G tangit lineam tertii ordinis Analytici, punctum g tanget li∣neam
Dico praeterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in
figura prima; haec recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra. Nam si Curvae puncta quaevis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima, puncta eadem translata co∣ibunt in figura nova, at{que} adeo rectae, quibus haec puncta jun∣guntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utra{que}. Com∣poni possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico. Sed brevitati consulo.
Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sussicit rectarum intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta, tangentes & aliae rectae quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc Lemma solutioni dif∣ficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rectae quaevis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo AO lineam quam∣vis rectam, quae per concursum convergentium transit: id adeo quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum, lineae autem pa∣rallelae sunt quae ad punctum infinite distans tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas operati∣ones transmutetur haec figura in figuram primam, habebitur So∣lutio quaesita.
Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problema∣tum. Nam quoties duae sectiones conicae obvenerint, quarum in∣tersectione Problema solvi potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item & sectio Conica in constructione plano∣rum problematum vertuntur in rectam & circulum.
Trajectoriam describere quae per data duo puncta transibit & rectas tres continget positione datas.
Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, & concursum tangentis tertiae cum recta illa, quae per puncta duo
data transit, age rectam infinitam; ea{que} adhibita pro radio ordina∣to primo, transmutetur figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes illae duae evadent parallelae, & tangens tertia fiet parallela rectae
Trajectoriam describere quae transibit per punctum datum & rectas quatuor positione datas continget.
Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem communem reliquarum duarum agatur recta infinita, & eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmu∣tetur figura (per Lem. XXII) in figuram novam, & Tangentes binae, quae ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent paral∣lelae. Sunto illae hi & kl, ik & hl continentes parallelogrammum hikl. Sit{que} p punctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato respondens. Per figurae centrum O agatur pq, & existente Oq aequali Op, erit q punctum alterum per quod sec∣tio Conica in hac figura nova transire debet. Per Lemmatis XXII operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram pri∣mam, & ibi habebuntur puncta duo per quae Trajectoria descri∣benda est. Per eadem vero describi potest Trajectoria illa per Prob. XVII. Q.E.F.
Si rectae duae positione datae A∣C,BD ad data puncta A, B terminentur, datam{que} ha∣beant rationem ad invicem, & recta CD, qua puncta indeterminata C, D jungun∣tur, secetur in ratione data in K: dico quod punctum K locabitur in recta positione data.[illustration]
Concurrant enim rectae, AC, BD in E, & in BE capiatur BG ad AE ut est BD ad AC, sit{que} FD aequalis EG, & erit EC ad
GD, hoc est ad EF ut AC ad BD, adeo{que} in ratione data, & prop∣terea dabitur specie ttiangulum EFC. Secetur CF in L in rati∣one CK ad CD, & dabitur
Si rectae tres tangant quamcun{que} conisectionem, quarum duae paralle∣lae sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallela,sit media propor∣tionalis inter ha∣rum segmenta, punctis contactu∣um & tangenti tertiae interjecta.[illustration]
Sunto AF, GB parallelae duae Co∣nisectionem ADB tangentes in A & B; EF recta ter∣tia Conisectionem tangens in I, & occurrens prioribus tangentibus in F & G; sit{que} CD semidiameter Figurae tangentibus parallela: Dico quod AF, CD, BG sunt continue proportionales.
Nam si diametri conjugatae, AB, DM tangenti FG occurrant in E & H, se{que} mutuo secent in C, & compleatur parallelogrammum IKCL; erit ex natura sectionum Conicarum, ut EC ad CA ita CA ad LC, & ita divisim EC−CA ad CA−CL seu EA ad AL, & composite EA ad EA+AL seu EL ut EC ad EC+C∣A seu EB; adeo{que} (ob similitudinem triangulorum EAF, EL∣I, ECH, EBG) AF ad LI ut CH ad BG. Est itidem ex natura sectionum Conicarum LI seu CK ad CD ut CD ad CH, at{que} adeo ex aequo perturbate AF ad CD ut CD ad BG. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc si tangentes duae FG, PQ tangentibus paralle∣lis AF, BG occurrant in F & G, P & Q, se{que} mutuo secent in O, erit (ex aequo perturbate) AF ad BQ ut AP ad BG, & divi∣sim ut FP ad GQ, at{que} adeo ut FO ad OG.
Corol. 2. Unde etiam rectae duae PG, FQ per puncta P & G, F & Q ductae, concurrent ad rectam ACB per centrum fi∣gurae & puncta contactuum A, B transeuntem.
Si parallelogrammi latera quatuor infinite producta tangant sectionem quamcun{que} Coni∣cam,& abscin∣dantur ad tangen∣tem quamvisquin∣tam; sumantur au∣tem abscissae ter∣minatae ad angu∣los oppositos pa∣rallelogrammi: di∣co quod abscissa unius lateris sit ad latus illud, ut pars lateris con∣termini inter punctum contactus & latus tertium, ad abscissam la∣teris hujus contermini.[illustration]
Tangant parallelogrammi MIKL latera quatuor ML, IK,
KL, MI sectionem Conicam in A, B, C, D, & secet tangens quinta FQ haec latera in F, Q, H & E: dico quod sit ME ad MI ut BK ad KQ,
Corol. 1. Hinc si parallelogrammum IKLM datur, dabitur rectangulum KQ×ME, ut & huic aequale rectangulum KHצMF. Aequantur enim rectangula illa ob similitudinem triangu∣lorum KQH, MFE.
Corol. 2. Et si sexta ducatur tangens eq tangentibus KI, MI occurrens in e & q, rectangulum KQ×ME aequabitur rectangu∣lo Kq×Me, erit{que} KQ ad Me ut Kq ad ME, & divisim ut Qq ad Ee.
Corol. 3. Unde etiam si Eq, eQ jungantur & bisecentur, & recta per puncta bisectionum agatur, transibit haec per centrum Sectionis Conicae. Nam cum sit Qq ad Ee ut KQ ad Me, transibit eadem recta per medium omnium Eq, eQ, MK; (per Lemma XXIII) & medium rectae MK est centrum Sectionis.
Trajectoriam describere quae rectas quin{que} positione datas continget.
Dentur positione tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA. Figurae quadrilaterae sub quatuor quibusvis contentae AB
FE diagonales AF, BE biseca, & (per Cor. 3. Lem. XXV) recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum Trajec∣toriae. Rursus figurae quadrilaterae BGDF, sub alijs quibusvis quatuor
Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymp∣toti, includuntur in praecedentibus. Nam datis punctis & tangen∣tibus una cum centro, dantur alia totidem puncta aliae{que} tangentes a centro ex altera ejus parte aequaliter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens verte∣tur in Asymptoton, at{que} constructiones Problematis XV & Casus primi Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti dantur.
Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbili∣cos ejus hac methodo. In constructione & Figura Lemmatis XXI,
illa altera CK, BK concurrunt ad punctum istud K quod Regulae propius est, crura prima CP, BP parallela erunt axi majori; & contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad punctum remotius L. Unde si detur Trajectoriae centrum, da∣buntur axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.
Axium vero quadrata sunt ad invicem ut KH ad LH, & inde facile est Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta de∣scribere. Nam si duo ex punctis datis constituantur poli C, B, tertium dabit angulos mobiles PCK, PBK. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratio OH ad OK, centro{que} O & in∣tervallo OH describendo circulum, & per punctum quartum a∣gendo rectam quae circulum illum tangat, dabitur regula MN cu∣jus ope Trajectoria describetur. Unde etiam vicissim Trapezi∣um specie datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) in data quavis sectione Conica inscribi potest.
Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriae specie datae datis punctis & tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per punctum quodvis positione datum du∣catur, quae datam Conisectionem in punctis duobus intersecet, & intersectionum intervallum bisecetur, punctum bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, at{que} axes ha∣bentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis uti∣lia.
Trianguli specie & magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem positione datas, quae non sunt omnes parallelae, singulos ad singulas ponere.
Dantur positione tres rectae infinitae AB, AC, BC, & opor∣tet triangulum DEF ita locare, ut angulus ejus D lineam AB,
angulus E lineam AC, & angulus F lineam BC tangat. Super DE, DF & EF describe tria circulorum segmenta DRE, DGF,
Agatur enim Fc ipsi aD occurrens in n. Jungantur aG,
bG, PD, QD & producatur PQ ad R. Ex constructione est angulus EaD aequalis angulo CAB, & angulus EcF aequalis an∣gulo ACB, adeo{que} triangulum anc triangulo ABC aequiangu∣lum. Ergo angulus anc seu FnD angulo ABC, adeo{que} angulo FbD aequalis est, & propterea punctum n incidit in punctum b. Porro angulus GPQ, qui dimidius est anguli ad centrum G∣PD, aequalis est angulo ad circumferentiam GaD; & angulus G∣QR, qui dimidius est complementi anguli ad centrum GQD, aequalis est angulo ad circumferentiam GbD, adeo{que} eorum com∣plementa PQG, abG aequantur, sunt{que} ideo triangula GPQ, Gab similia, & Ga est ad ab ut GP ad PQ; id est (ex construc∣tione) ut Ga ad AB. Aequantur ita{que} ab & AB & propterea triangula abc, ABC, quae modo similia esse probavimus, sunt etiam aequalia. Unde cum tangant insuper trianguli DEF angu∣li D, E, F trianguli abc latera ab, ac, bc respective, compleri potest figura ABC def figurae abc DEF similis & aequalis, at{que} eam complendo solvetur Problema. Q.E▪F.
Corol. Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datae rectis tribus positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF, puncto D ad latus EF accedente, & lateribus DE, DF in di∣rectum positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data DE, rec∣tis positione datis AB, AC, & pars data DF rectis positione da∣tis AB, BC interponi debet; & applicando constructionem prae∣cedentem ad hunc casum solvetur Problema.
Trajectoriam specie & magnitudine datam describere, cujus partes datae rectis tribus positione datis interjacebunt.
Describenda sit Trajectoria quae sit similis & aequalis lineae cur∣vae DEF, qua{que} a rectis tribus AB, AC, BC positione datis, in
partes datis hujus partibus DE & EF similes & aequales secabitur.
Age rectas DE, EF, DF, & trianguli hujus DEF pone angu∣los
Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor po∣sitione datas (quae ne{que} omnes parallelae sunt, ne{que} ad commune punctum convergunt) singuli ad singulas consistent.
Dentur positione rectae quatuor ABC, AD, BD, CE, qua∣rum prima secet secundam in A, tertiam in B, & quartam in C: & describendum sit Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile, & cujus angulus f, angulo dato F aequalis, tangat rectam A∣BC, caeteri{que} anguli g, h, i caeteris angulis datis G, H, I aequales tangant caeteras lineas AD, BD, CE respective. Jungatur FH, & super FG, FH, FI describantur totidem 〈…〉〈…〉ulorum segmenta FSG, FTH, FVI; quorum primum FSG capiat angulum aequa∣lem angulo BAD, secundum FTH capiat angulum aequalem an∣gulo CBE; ac tertium FVI capiat angulum aequalem angulo AC∣E.
Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum FG, FH, FI, ut literarum FSGF idem sit ordo circularis qui litera∣rum BADB, ut{que} literae FTHF eodem ordine cum literis CB∣EC, & literae FVIF eodem cum literis ACEA in orbem rede∣ant. Compleantur segmenta in circulos, sir{que} P centrum circuli primi FSG, & Q centrum secundi FTH. Jungatur & utrin{que}
Secent enim circuli duo primi FSG, FTH se mutuo in K. Jungantur PK, QK, RK, aK, bK, cK & producatur QP ad
L. Anguli ad circumferentias FaK, FbK, FcK sunt semisses angulorum FPK, FQK, FRK ad centra, adeo{que} angulorum illorum dimidiis LPK, LQK, LRK aequales. Est ergo figura PQRK figurae abcK aequiangula & similis, & propterea ab est ad bc ut PQ ad QR, id est ut AB ad BC. Angulis insuper F∣aG, FbH, FcI aequantur fAg, fBh, fCi per constructionem.
Corol. Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor posi∣tione datis dato ordine interjectae, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli FGH, GHI us{que} eo, ut rectae FG, GH, HI in directum jaceant, & in hoc casu construendo Proble∣ma, ducetur recta fghi cujus partes fg, gh, hi, rectis quatuor po∣sitione datis AB & AD, AD & BD, BD & CE interjectae, e∣runt ad invicem ut linea FG, GH, HI, eundem{que} servabunt ordi∣nem inter se. Idem vero sic fit expeditius.
Producantur AB ad K, & BD ad L, ut sit BK ad AB ut HI ad GH; & DL ad BD ut GI ad FG; & jungatur KL occurrens rectae CE in i. Producatur iL ad M, ut sit LM ad iL ut GH ad HI, & agatur tum MQ ipsi LB parallela rectae{que} AD occur∣rens in g, tum gi secans AB, BD in f, h. Dico factum.
Secet e∣nim
In constructione Corollarii hujus postquam ducitur LK secans
CE in i, producere licet iE ad V, ut sit EV ad iE ut FH ad HI, & agere Vf parallelam ipsi BD. Eodem recidit si centro i, in∣tervallo IH describatur circulus secans BD in X, producatur iX ad Y, ut sit iY aequalis IF, & agatur Yf ipsi BD parallela.
Trajectoriam specie datam describere, quae a rectis quatuor positione da∣tis in partes secabitur, ordine, specie & proportione datas.
Describenda sit Trajectoria fghi, quae similis sit lineae curvae FGHI, & cujus partes fg, gh, hi illius partibus FG, GH, HI similes &
Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis FG, GH, HI, FI produc GF ad V, junge{que} FH, IG, & angulis FGH, VFH fac angulos CAK, DAL aequales. Concurrant AK, AL cum recta BD in K & L, & inde agantur KM, LN, quarum KM constituat angulum AKM aequalem angulo GHI, sit{que} ad AK ut est HI ad GH; & LN constituat angulum AL∣N aequalem angulo FHI, sit{que} ad AL ut HI ad FH. Ducantur autem AK, KM, AL, LN ad eas partes linearum AD, AK, AL, ut literae CAKMC, ALK, DALND eodem ordine cum literis FGHIF in orbem redeant, & acta MN occurrat rectae
Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corpo∣rum in orbibus inventis determinemus.
Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad tempus assignatum.
Sit S umbilicus & A vertex principalis Parabolae, sit{que} 4 AS×M area Parabolica APS, quae radio SP, vel post excessum corpo∣ris de vertice descripta fuit, vel ante
4 HG×AS est 4 AS×M. Ergo area APS aequalis est 4 AS×M.Q.E.D.
Corol. 1. Hinc GH est ad AS, ut tempus quo corpus descrip∣sit arcum AP ad tempus quo corpus descripsit arcum inter verti∣cem A & perpendiculum ad axem ab umbilico S erectum.
Corol. 2. Et circulo ASP per corpus movens perpetuo transe∣unte, velocitas puncti Gest ad velocitatem quam corpus habuit in vertice A, ut 3 ad 8; adeo{que} in ea etiam ratione est linea GH ad lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab A ad P, ea cum velocitate quam habuit in vertice A, describere posset.
Corol. 3. Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo cor∣pus descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & ad medium ejus punctum erige perpendiculum rectae GH occurrens in H.
Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit per aequationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri.
Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punc∣tum mobile de polo, pergat{que} semper ea cum velocitate, quae sit ut rectae illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam si area Oualis per finitam aequationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem aequationem distantia puncti a polo, quae huic areae proportiona∣lis est, adeo{que} omnia Spiralis puncta per aequationem finitam in∣veniri possunt: & propterea rectae cujusvis positione datae inter∣sectio cum spirali inveniri etiam potest per aequationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis nu∣mero infinitis, & aequatio, qua incersectio aliqua duarum linearum in venitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem,
adeo{que} ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones. Quo∣niam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenitur nisi per aequationem duarum dimensionum, qua in∣tersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per aequationem quatuor dimensi∣onum, qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones illae seorsim quaerantur, quoniam eadem est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquo{que} & propterea eadem semper concsusio, quae igitur debet omnes intersectiones simul complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum Conicarum & curvarum tertiae potestatis, eo quod sex esse pos∣sunt, simul prodeunt per aequationes sex dimensionum, & inter∣sectiones duarum curvarum tertiae potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per aequationes dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia Soli∣da ad Plana, & plusquam solida ad solida. Eadem de causa intersectiones binae rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per aequationes duarum dimensionum; ternae rectarum & curvarum tertiae potestatis per aequationes trium, quaternae rec∣tarum & curvarum quartae potestatis per aequationes dimensio∣num quatuor, & sic in infinium. Ergo intersectiones numero infini∣tae rectarum, propterea quod omnium eadem est lex & idem calculus, requirunt aequationes numero dimensionum & radicum infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rect∣am illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum u∣na cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis trans∣ibunt in se mutuo, quae{que} prima erat seu proxima, post unam revo∣lutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps: nec interea mutabitur a quatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates illae post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, aequatio re∣dibit ad formam primam, adeo{que} una eadem{que} exhibebit intersecti∣ones
omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rectae & spiralis per aequationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla ex∣tat Ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem ae∣quationem generaliter exhiberi.
Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur, capiatur Ovalis perimetro abscissae proportionale, pro∣bari potest quod longitudo perimetri nequit per finitam aequati∣onem generaliter exhiberi.
Hinc area Ellipseos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per ae∣quationem finitam, & propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometri∣ce rationales appello quarum puncta omnia per longitudines ae∣quationibus definitas, id est, per longitudinum rationes compli∣catas, determinari possunt; caeteras{que} (ut Spirales, Quadratrices, Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines quae sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice rationales vel irratio∣nales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.
Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad tem∣pus assignatum.
Ellipseos APB sit A vertex principalis, S umbilicus, O centrum, sit{que} P corporis locus inveniendus. Produc OA ad G ut sit OG
ad OA ut OA ad OS. Erige perpendiculum GH, centro{que} O & intervallo OG describe circulum EFG, & super regula GH, ceu fundo, progrediatur rota GEF revolvendo circa axem suum, & interea puncto suo A describendo Trochoidem ALI. Quo facto, cape GK in ratione ad rotae perimetrum GEFG, ut est tempus quo corpus progrediendo ab A descripsit arcum AP, ad tempus
Nam centro O, intervallo OA describatur semicirculus AQB, & arcui AQ occurrat LP producta in Q, jungantur{que} SQ, OQ. Arcui EFG occurrat OQ in F, & in eandem OQ demittatur per∣pendiculum SR. Area APS est ut area AQS, id est, ut diffe∣rentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut differen∣tia rectangulorum ½ OQ×AQ & ½ OQ×SR, hoc est, ob datam ½ OQ, ut differentia inter arcum AQ & rectam SR, adeo{que} (ob aequalitatem rationum SR ad sinum arcus AQ, OS ad OA, OA ad OG, AQ ad GF, & divisim AQ−SR ad GF− sin. arc. AQ) ut GK differentia inter arcum GF & sinum ar∣cus AQ.Q.E.D.
Caeterum ob difficultatem describendi hanc curvam praestat constructiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. El∣lipseos cujusvis APB sit AB axis major, O centrum, S umbili∣cus, OD semiaxis minor, & AK dimidium lateris recti. Sece∣tur AS in G, ut sit AG ad AS ut BO ad BS; & quaeratur longitudo L, quae sit ad ½ GK ut est AO quad. ad rectangulum AS×OD. Bisecetur OG in C, centro{que} C & intervallo CG describatur semi∣circulus GFO. Deni{que} capiatur angulus GCF in ea ratione ad angulos qua∣tuor
Nam completo dimidio temporis periodici, corpus P semper reperietur in Apside summa B, & completo altero temporis di∣midio, redibit ad Apsidem imam, ut oportet. Ubi vero prox∣ime abest ab Apsidibus, ratio prima nascentium sectorum A∣SP, GCF, & ratio ultima evanescentium BSP & OCF, eadem est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctis
P, F & N incidentibus in loca p, f & n axi AB quam proxi∣mis; ob aequales An, pn, recta nq, quae ad arcum Ap perpendi∣cularis est, adeo{que} concurrit cum axe in puncto K, bisecat arcum Ap. Proinde est ½ Ap ad Gn ut AK ad GK, & Ap ad Gn ut 2 AK ad GK. Est & Gn ad Gf ut EN ad EF, seu L ad CF, id est, ut GK×AOq./2 AS×OD ad CF, seu GK×AOq. ad 2 AS×OD×CF, & ex aequo Ap ad Gf ut 2 AK ad GK+GK×AOq. ad 2 AS×OD×CF, id est, ut AK×AOq. ad AS×OD×CF, hoc est, ob aequalia AK×AO & ODq. ut AO×OD ad AS×CF. Proin∣de Ap×½ AS est ad Gf×½ GC ut AO×OD×AS ad AS×C∣F×GC, seu AO×OD ad CGq. id est, sector nascens ASp ad sectorem nascentem GCf ut AO×OD ad CGq. & propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius. Q.E.D. Argu∣mento prolixiore probari potest analogia ultima in Sectoribus e∣vanescentibus BSP, OCF: ideo{que} locus puncti P prope Apsides satis accura∣te
Per puncta G, O, duc arcum circularem GTO justae magnitu∣dinis; dein produc EF hinc inde ad T & N ut sit EN ad FT ut ½ L ad CF; centro{que} N & intervallo AN describe circulum qui secet Ellipsin in P, ut supra. Arcus autem GTO determinabitur
quaerendo ejus punctum aliquod T; quod constructionem in illo casu accuratam reddet.
Si Ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rec∣tum, & motus corporis prope verticem Ellipseos desideretur, (qui casus in Theoria Cometarum incidit,) educere licet e puncto G rectam GI axi AB perpendicularem, & in ea ratione ad GK quam habet area AVPS ad rectangulum AK×AS; de∣in centro I & intervallo AI circulum describere. Hic enim se∣cabit Ellipsim in corporis loco quaesito P quamproxime. Et eadem constructione (mutatis mutandis) conficitur Problema in Hyperbola. Hae autem constructiones demonstrantur ut supra, & si Figura (vertice ulteriore B in infinitum abeunte) verta∣tur in Parabolam, migrant in accuratam illam constructionem Problematis. XXII.
Si quando locus ille P accuratius determinandus sit, invenia∣tur tum angulus quidam B, qui sit ad angulum graduum 57,29578 quem arcus radio aequalis subtendit, ut est umbilicorum distan∣tia SH ad Ellipseos diametrum AB; tum etiam longitudo quae∣dam L, quae sit ad radium in eadem ratione inverse. Quibus se∣mel inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin. Per constructio∣nem
AC radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori por∣portionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcum AP, ad tempus revolutionis unius in El∣lipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur & angulus D ad an∣gulum B, ut est sinus iste anguli ACQ ad Radium, & angulus E ad angulum N−ACQ+D, ut est longitudo L ad longitudinem eandem L cosinu anguli ACQ+½ D diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Postea capiatur tum au∣gulus F ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ+E ad radium, tum angulus G ad angulum N−ACQ−E+F ut est longitudo L ad Longitudinem eandem cosinu anguli ACQ+E+½ F dimi∣nutam ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Ter∣tia vice capiatur angulus H ad angulum B, ut est sinus anguli A∣CQ+E+G ad radium; & angulus I ad angulum N−ACQ−E−G+H, ut est longitudo L ad eandem longitudinem cosinu anguli ACQ+E+G+½ H diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam
prodeunt. Convergit autem series infinita ACQ+E+G+I quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra pro∣gredi quam ad terminum secundum E. Et fundatur calculus in hoc Theoremate, quod area APS sit ut differentia inter arcum AQ & rectam ab umbilico S in Radium CQ perpendiculariter demissam.
Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrum C, Vertex A, Umbilicus S & Asymtotos CK. Cog∣noscatur quantitas areae APS tempori proportionalis. Sit ea A, & fiat conjectura de positione rectae SP, quae aream illam abscindat quamproxime. Jungatur CP, &
At{que} his calculis Problema generaliter confit Analytice. Ve∣rum usibus Astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur. Existentibus AO, OB, OD semiaxibus Ellipseos, (Vide fig. pag. 109.110.) & L ipsius latere recto, quaere tum angulum Y, cujus Tangens sit ad Radium ut est semiaxium diffe∣rentia AO−OD ad eorum summam AO+OD; tum angulum Z, cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum distantia SH & semiaxium differentia AO−OD ad triplum rec∣tangulum sub OQ semiaxe minore & AO−¼ L differentia inter se∣miaxem
majorem & quartam partem lateris recti. His angulis se∣mel inventis, locus corporis sic deinceps determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus BP descriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) aequalem; & angulum V (primam medii motus aequationem) ad angulum Y (aequatio∣nem maximam primam) ut est sinus anguli T duplicati ad radi∣um; at{que} angulum X (aequationem secundam) ad angulum Z (aequationem maximam secundam) ut est sinus versus anguli T duplicati ad radium duplicatum, vel (quod eodem recidit) ut est quadratum sinus anguli T ad quadratum Radii. Angulorum T, V, X vel summae T+X+V, si angulus T recto minor est, vel differentiae T+X−V, si is recto major est rectis{que} duobus minor, aequalem cape angulum BHP (motum medium aequatum;) & si HP occurrat Ellipsi in P, acta SP abscindet aream BSP tem∣pori proportionalem quamproxime. Haec Praxis satis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum V & X (in minutis secundis, si placet, positorum) figuras duas tresve primas invenire sufficit. Invento autem angulo motus medii ae∣quati BHP, angulus veri motus HSP & distantia SP in promptu sunt per methodum notissimam Dris. Sethi Wardi Episcopi Salis∣buriensis mihi plurimum colendi,
Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem po∣test ut mobile recta descendat vel recta ascendat, & quae ad isti∣usmodi motus spectant, pergo jam exponere.
Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distan∣tiae locorum a centro, spatia definire quae corpus recta cadendo datis temporibus describit.
Cas. 1. Si corpus non cadit perpendiculariter describet id sec∣tionem aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit cum centro. Id ex Propositionibus XI, XII, XIII & earum Corolla∣riis constat. Sit sectio illa Conica ARPB
Cas. 2. Sin figura superior RPB Hyperbola est, describatur ad eandem diametrum principalem AB Hyperbola rectangula BD: & quoniam areae CSP, CBfP, SPfB sunt ad areas C∣SD, CBED, SDEB, singulae ad singulas, in data ratione altitu∣dinum CP, CD; & area SPfB
Cas. 3. Et simili argumento si figura RPB Parabola est, & eodem vertice principali B de∣scribatur alia Parabola BED, quae semper maneat data, interea dum Parabola prior in cujus perimetro corpus P movetur, dimi∣nuto & in nihilum redacto ejus Latere recto, conveniat cum li∣nea CB; fiet segmentum Parabolicum BDEB proportionale tem∣pori quo corpus illud P vel C descendet ad centrum B.Q.E.I.
Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quo∣vis C est ad velocitatem corporis centro B intervallo BC circulum describentis, in dimidiata ratione quam CA, distantia corporis a Circuli vel Hyperbolae vertice ulteriore A, habet ad figurae semidi∣ametrum principalem ½ AB.
Nam{que} ob proportionales CD, CP, linea AB communis est utrius{que} figurae RPB, DEB diameter. Bisecetur eadem in O, & agatur recta PT quae tangat figuram RPB in P, at{que} etiam se∣cet communem illam diametrum AB (si opus est productam) in T; sit{que} SY ad hanc rectam & BQ ad
Corol. Punctis B & S coeuntibus, fit TC and ST ut AC ad AO.
Si figura BED Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis C aequalis est velocitati qua corpus centro b dimi∣dio intervalli sui BC circulumuniformiter describere potest.[illustration]
Nam corporis Parabolam R∣PB circa centrum S describen∣tis velocitas in loco quovis S (per Corol. 7. Theor. VIII) aequalis est velocitati corporis di∣midio intervalli SP circulum cir∣ca idem S uniformiter describen∣tis. Minuatur Parabolae latitu∣do CP in infinitum eo, ut arcus Parabolicus CP cum recta CB, centrum S cum vertice B, & in∣teruallum SP cum intervallo CP coincidat, & constabit Proposi∣tio. Q.E.D.
Iisdem positis, dico quod area figurae DES, radio indefinito SD de∣scripta, aequalis sit areae quam corpus, radio dimidium lateris recti figurae DES aequante, circa centrum S uniformiter gyrando, eo∣dem tempore describere potest.
Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineo∣lam Cc cadendo describere, & interea corpus aliud K, uniformi∣ter in circulo OKk circa centrum S gyrando, arcum Kk descri∣bere.
Erigantur perpendicula CD, cd occurrentia figurae DES in D, d. Jungantur SD, SK, Sk & ducatur Dd axi AS occurrens in T, & ad eam demittatur perpendiculum SY.
Cas. 1 Jam si figura DES Circulus est vel Hyperbola, bisece∣tur ejus transversa diameter AS in O, & erit
Cas. 2. Quod si figura DES Parabola sit, invenietur ut supra CD×Cc esse ad SY×Dd ut TC ad ST, hoc est ut 2 ad 1, a∣deo{que} ¼ CD×Cc aequalem esse ½ SY×Dd. Sedcorporis caden∣tis
velocitas in C aequalis est ve∣locitati
Corporis de loco dato A cadentis determinare temporadescensus.[illustration]
Super diametro AS (distantia corporis a cen∣tro sub initio) describe semicirculum ADS, ut & huic aequalem semicirculum OKH circa centrum S. De corporis loco quovis C erige ordinatim ap∣plicatam CD. Junge SD, & areae ASD aequa∣lem constitue Sectionem OSK. Patet per Theor. XI, quod corpus cadendo describet spatium AC eodem tempore quo corpus aliud uniformiter cir∣ca centrum S gyrando, describere potest arcum OK. Quod erat faciendum.
Corporis de loco dato sursum vel deersum projecti definire tempora ascensus vel descensus.
Exeat corpus de loco dato G secundum lineam ASG cum ve∣locitate quacun{que}. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uni∣formem in circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum SG circa centrum S revolvi posset, cape CA
Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distantiae loco∣rum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates & spatia descripta sunt arcubus arcuum{que} sinibusversis & sinibus rectis respective pro∣portionales.[illustration]
Cadat corpus de loco quovis A secun∣dum rectam AS; & centro virium S, in∣tervallo AS, describatur circuli quadrans AE, sit{que} CD sinus rectus arcus cujus∣vis
AD, & corpus A, tempore AD, cadendo describet spatium AC, in{que} loco C acquisierit velocitatem CD. Demonstratur eo∣dem modo ex Propositione X. quo Propositio XXXII. ex Pro∣positione XI. demonstrata fuit. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc aequalia sunt tempora quibus corpus unum de loco A cadendo provenit ad centrum S, & corpus aliud revolven∣do describit arcum quadrantalem ADE.
Corol. 2. Proinde aequalia sunt tempora omnia quibus corpora de locis quibusvis ad us{que} centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica (per Corol. 3. Prop. IV.) aequan∣tur.
Posita cujuscun{que} generis vi centripeta, & concessis figurarum curvili∣nearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel de∣scendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.
De loco quovis A in recta ADEC cadat corpus E, de{que} loco ejus E erigatur semper perpendicularis EG, vi centripetae in loco illo ad centrum C tendenti proportiona∣lis:
Etenim in recta AE capiatur linea quam minima DE datae longitudinis, sit{que} DLF locus lineae EMG
ubi corpus versabatur in D; & si ea sit vis centripeta, ut area A∣BGE latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ip∣sa in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in D & E scribantur V & V+I, erit area ABFD ut V 2, & area AB∣GE ut V 2+2VI+I 2, & divisim area DFGE ut 2 VI+I 2, adeo{que} DFGE / DE ut 2I×V+½I/DE, id est, si primae quantitatum nas∣centium rationes sumantur, longitudo DF ut quantitas 2I×V / DE, adeo{que} etiam ut quantitatis hujus dimidium I×V / DE. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam DE, ut lineola illa directe & velocitas V inverse, est{que} vis ut velocitatis incre∣mentum I directe & tempus inverse, adeo{que} si primae nascentium rationes sumantur, ut I×V / DE, hoc est, ut longitudo DF. Ergo vis ipsi DF proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quae sit ut areae ABGE latus quadratum Q.E.D.
Porro cum tempus, quo quaelibet longitudinis datae lincola DE describatur, sit ut velocitas, adeo{que} ut areae ABFD latus qua∣dratum inverse; sit{que} DL, at{que} adeo area nascens DLME, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus ut area DLME, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est (per Corol. Lem. IV.) tempus totum quo linea AE describitur ut area tota AME. Q.E.D.
Corol. 1. Si P sit locus de quo corpus cadere debet, ut, ur∣gente aliqua uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponi∣tur gravitas) velocitatem acquirat in loco D aequalem velocitati quam corpus aliud vi quacun{que} cadens acquisivit eodem loco D, & in perpendiculari DF capiatur DR, quae sit ad DF ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, & compleatur rectangulum PDRQ, ei{que} aequalis abscindatur area ABFD; erit A locus de quo corpus alterum cecidit. Nam{que} completo rectangulo
EDRS, cum sit area ABFD ad aream DFGE ut VV ad 2 V×I, adeo{que} ut ½V ad I, id est, ut semissis velocitatis totius ad in∣crementum velocitatis corporis vi inaequabili cadentis; & simili∣ter area PQRD ad aream DRSE ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis
Corol. 2. Unde si corpus quodlibet de loco quocun{que} D data cum veloci∣tate vel sursum vel deorsum projicia∣tur, & detur lex vis centripetae, inve∣nietur velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo ordinatam eg, & capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco D ut est latus quadra∣tum rectanguli PQRD area curvilinea DFge vel aucti, si locus e est loco D inferior, vel diminuti, si is superior est, ad latus qua∣dratum rectanguli solius PQRD, id est ut 〈 math 〉〈 math 〉 ad √PQRD.
Corol. 3. Tempus quo{que} innotescet erigendo ordinatam em re∣ciproce proportionalem lateri quadrato ex PQRD+vel−DF∣ge, & capiendo tempus quo corpus descripsit lineam De ad tem∣pus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a P & cadendo per∣venit ad D, ut area curvilinea DLme ad rectangulum 2 PD×DL. Nam{que} tempus quo corpus vi uniformi descendens de∣scripsit lineam PD est ad tempus quo corpus idem descripsit li∣neam PE in dimidiata ratione PD ad PE, id est (lineola DE
jamjam nascente) in ratione PD ad PD+½DE seu 2 PD ad 2 PD+DE, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam DE ut 2 PD ad DE, adeo{que} ut rectangulum 2 PE×DL ad aream DLME; est{que} tempus quo corpus utrum{que} de∣scripsit lineolam DE ad tempus quo corpus alterum inaequabili motu descripsit lineam De ut area DLME ad aream DLme, & ex aequo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2 PD×DL ad aream DLme.
Si corpus, cogente vi quacun{que} centripeta, moveatur utcun{que}, & cor∣pus aliud recta ascendat vel descendat, sunt{que} eorum velocitates in aliquo aequalium altitudinum casu aequales, velocitates corum in omnibus altitudinibus erunt aequales.
Descendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C, & moveatur corpus aliud a V in linea curva VIKk. Centro C in∣tervallis quibusvis describantur circuli concentrici DI, EK rectae AC in D & E, curvae{que} VIK in I & K occurentes. Junga∣tur IC occurrens ipsi KE in N; & in IK demittatur perpendi∣culum NT; sit{que} circumferentiarum circulorum intervallum DE vel IN quam minimum, & habeant corpora in D & I velocita∣tes aequales. Quoniam distantiae CD, CI aequantur, erunt vi∣res centripetae in D & I aequales. Exponantur hae vires per ae∣quales lineolas DE, IN; & si vis una IN, per Legum Corol. 2. resolvatur in duas NT & IT, vis NT, agendo secundum lineam
NT corporis cursui ITK perpendicularem, nil mutabit velocita∣tem corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cur∣su rectilineo, faciet{que} ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, in{que} via curvilinea ITKk progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: vis autem altera IT, secundum corpo∣ris cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Pro∣inde corporum in D & I accelerationes aequalibus temporibus fac∣tae
semper reperientur aequales in subsequentibus aequalibus distantiis. Q.E.D. Sed & eodem argumento corpora aequi∣velocia & aequaliter a centro distantia, in ascensu ad aequales dis∣tantias aequaliter retardabuntur. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel im∣pedimento quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in li∣nea curva moveri, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sint{que} velocitates eorum in eadem quacun{que} altitudine aequales: e∣runt velocitates eorum in aliis quibuscun{que} aequalibus altitudini∣bus aequales. Nam{que} impedimento vasis absolute lubrici idem praestatur quod vi transversa NT. Corpus eo non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo disce∣dere.
Corol. 2. Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro di∣stantia, ad quam corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacun{que} revolvens, de{que} quovis trajectoriae puncto, ea quam ibi habet velocitate sursum projectum ascendere possit; sit{que} quantitas A distantia corporis a centro in alio quovis Orbis puncto, & vis centripeta semper sit ut ipsius A dignitas quaelibet An −1, cujus Index n−1 est numerus quilibet n unitate diminutus; velocitas corporis in omni altitudine A erit ut 〈 math 〉〈 math 〉, at{que} adeo datur. Nam{que} velocitas ascendentis ac descendentis (per Prop. XXXIX.) est in hac ipsa ratione.
Posita cujuscun{que} generis vi centripeta & concessis figurarum curvili∣nearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriae in quibus corpo∣ra movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis.
Tendat vis quaelibet ad centrum C & invenienda sit Trajectoria VITKk. Detur circulus VXY centro C intervallo quovis CV descriptus, centro{que} eodem describantur alii quivis circuli ID,
KE trajectoriam secantes in I & K rectam{que} CV in D & E. A∣ge tum rectam CNIX secantem circulos KE, VY in N & X, tum rectam CKY occurrentem circulo VXY in Y. Sint autem puncta I & K sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I, T & K ad k; sit{que} A altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem acquirat aequalem velocitati corporis prioris in I; & stantibus quae in Propositione XXXIX, quoniam lineola IK, dato tempore quam minimo descripta, est ut velocitas at{que} adeo ut latus quadratum areae ABFD, & triangulum ICK
〈 math 〉〈 math 〉. Unde cum YX×XC sit ad A×KN in duplicata ratione YC ad KC, erit rectang. YX×XC aequale 〈 math 〉〈 math 〉. Igitur si in perpendiculo DF capiantur semper Db, Dc ipsis 〈 math 〉〈 math 〉 & 〈 math 〉〈 math 〉 aequales respective, & describantur curvae lineae ab, cd quas puncta, b, c perpetuo tangunt; de{que} puncto V ad lineam AC eriga∣tur perpendiculum Vad abscindens areas curvilineas VDba, VD∣dc, & erigantur etiam ordinatae Ez, Ex: quoniam rectangu∣lum Db×IN seu DbzE aequale est dimidio rectanguli A×KN, seu triangulo ICK; & rectangulum Dc×IN seu Dc×E aequa∣le est dimidio rectanguli YX in CX, seu triangulo XCY; hoc est, quoniam, arearum VDba, VIC aequales semper sunt na∣scentes particulae DbzE, ICK, & arearum VDcd, VCX ae∣quales semper sunt nascentes particulae DE×c, XCY, erit area genita VDba aequalis areae genitae VIC, adeo{que} tempori propor∣tionalis, & area genita VDdc aequalis Sectori genito VCX. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco V, da∣bitur area ipsi proportionalis VDba, & inde dabitur corporis altitudo CD vel CI; & area VDcd, ei{que} aequalis Sector VCX una cum ejus angulo VCI. Datis autem angulo VCI & alti∣tudine CI datur locus I, in quo corpus completo illo tempore re∣perietur. Q.E.I.
Corol. 1. Hinc maximae minimae{que} corporum altitudines, id est Apsides Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt e∣nim Apsides in puncta illa in quibus recta IC per centrum ducta incidit perpendiculariter in Trajectoriam VIK: id quod fit ubi rectae IK & NK aequantur, adeo{que} ubi area ABFD aequalis est ZZ.
Corol. 2. Sed & angulus KIN, in quo Trajectoria alibi secat lineam illam IC, ex data corporis altitudine IC expedite invenitur,
nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut KN ad IK, id est ut Z ad latus quadratum areae ABFD.
Corol. 3. Si centro C & vertice principali V describatur sectio quaelibet Conica VRS, & a quovis ejus puncto R agatur Tan∣gens RT occurrens axi infinite producto CV in puncto T; dein juncta CR ducatur recta CP, quae aequalis sit abscissae CT, angu∣lum{que}
Propositione praecedente, per Curvae cujusdam quadraturam, cu∣jus inventionem ut satis facilem brevitatis gratia missam facio.
Data lege vis centripetae, requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi.
Stantibus quae in tribus Propositionibus praecedentibus: exeat corpus de loco I secundum lineolam IT, ea cum velocitate quam corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco P cadendo ac∣quirere posset in D: sit{que} haec vis uniformis ad vim qua corpus primum urgetur in I, ut DR ad DF. Pergat autem corpus ver∣sus k; centro{que} C & intervallo Ck describatur circulus ke occur∣rens rectae PD in e, & erigantur curvarum ALMm, BFGg, abzvdcxw ordinatim applicatae em, eg, ev, ew. Ex dato rectan∣gulo PDRQ, data{que} lege vis centripetae qua corpus primum agi∣tatur, dantur curvae lineae BFGg, ALMm, per constructio∣nem Problematis XXVII. & ejus Corol. 1. Deinde ex dato an∣gulo CIT datur proportio nascentium IK, KN, & inde, per con∣structionem Prob. XXVIII, datur quantitas Q, una cum curvis lineis abzv, dcxw: adeo{que} completo tempore quovis Dbve, datur tum corporis altitudo Ce vel Ck, tum area Dcwe, ei{que} aequalis Sector XCy, angulus{que} XCy & locus k in quo corpus tunc versabitur. Q.E.I.
Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in recessu quidem a centro variari secundum legem quamcun{que} quam quis imaginari potest, in aequalibus autem a centro distantiis esse undi{que} eandem. At{que} hactenus corporum in Orbibus immobili∣bus consideravimus. Superest ut de motu eorum in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.
Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacun{que} circa centrum viri∣um revolvente perinde moveri possit, at{que} corpus aliud in eadem Trajectoria quiescente.
In Orbe VPK positione dato revolvatur corpus P pergendo a V versus K. A centro C agatur semper Cp, quae sit ipsi CP ae∣qualis, angulum{que} VCp angulo VCP proportionalem constitu∣at; & area quam linea Cp describit erit ad aream VCP quam li∣nea
CV, at{que} figura vCp figurae VCP aequalis, & corpus in p semper existens movebitur in perimetro figurae revolventis vCp, eodem{que} tempore describet arcum ejus vp quo corpus aliud P arcum ipsi similem & aequalem VP in figura quiescente VPK de∣scribere potest. Quaeratur igitur, per Corollarium Propositionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam punctum p describit in plano immobili, & solvetur Proble∣ma. Q.E.F.
Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, & corpus aliud in eodem Orbe revolvente aequaliter moveri possunt, est in triplicata ratione communis altitudinis inverse.
Partibus orbis quiescentis VP, PK sunto similes & aequales orbis revolventis partes vp, pk. A puncto k in rectam pC de∣n•••••• perpendiculum kr, idem{que} produc ad m, ut sit mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP. Quoniam corporum altitu∣dines PC & pC, KC & kC semper aequantur, manifestum est quod si corporum in locis P & p existentium distinguantur mo∣tus singuli (per Legum Corol. 2.) in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum lineas PC, pC; alteri prioribus trans∣versi secundum lineas ipsis PC, pC perpendiculares determinantur) motus versus centrum erunt aequales, & motus transversus corporis p erit ad motum transversum corporis P, ut motus angularis lineae pC ad motum angularem lineae PC, id est ut angulus VCp ad angulum VCP. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo utro{que} pervenit ad punctum K, corpus p aequali in centrum mo∣tu aequaliter movebitur a P versus C, adeo{que} completo illo tem∣pore reperietur alicubi in linea mkr, quae per punctum k in li∣neam pC perpendicularis est; & motu transverso acquiret dis∣tantiam a linea pC, quae sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a linea PC, ut est hujus motus transversus ad motum
transversum alterius. Quare cum kr aequalis sit distantiae quam corpus alterum acquirit a linea pC, sit{que} mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP, hoc est, ut motus transversus corporis p ad motum transversum corporis P, manifestum est quod corpus p completo illo tempore reperietur in loco m. Haec ita se habe∣bunt ubi corpora P & p aequaliter secundum lineas pC & PC mo∣ventur, adeo{que} aequalibus viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus pCn ad angulum pCk ut est angulus V∣Cp ad angulum VCP, sit{que} nC aequalis kC, & corpus p comple∣to illo tempore revera reperietur in n; adeo{que} vi majore urgetur, si modo angulus mCp
est lineola nascens mn, ei{que} proportionalis virium differentia re∣ciproce ut cubus altitudinis pC. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc differentia virium in locis P & p vel K & k est ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset ab r ad k, eodem tempore quo corpus P in orbe immobili describit arcum PK, ut mk×ms ad rk quadratum; hoc est si capiantur datae quantita∣tes F, G in ea ratione ad invicem quam habet angulus VCP ad angulum VCp, ut Gq.−Fq. ad Fq. Et propterea, si centro C intervallo quovis CP vel Cp describatur Sector circularis aequalis areae toti VPC, quam corpus P tempore quovis in orbe immobi∣li revolvens radio ad centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpus P in orbe immobili & corpus p in orbe mobili re∣volvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo descripta sit area VPC, uniformiter describere potuisset, ut Gq.−Fq. ad Fq. Nam{que} sector ille & area pCk sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur.
Corol. 2. Si orbis VPK Ellipsis sit umbilicum habens C & Ap∣sidem summam V; ei{que} similis & aequalis ponatur Ellipsis vpk, ita ut sit semper pc aequalis PC, & angulus VCp sit ad angulum VCP in data ratione G ad F; pro altitudine autem PC vel pc scribatur A, & pro Ellipseos latere recto ponatur 2 R: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. & contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipsi per quantitatem Fq./Aq., & vis in V erit Fq./CV quad.. Vis au∣tem qua corpus in circulo ad distantiam CV ea cum velocitate revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in V, est ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Apside V, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrum CV, adeo{que} valet RFq./CV cub.: & vis quae sit ad hanc ut Gq.−Fq.
ad Fq., valet RGq.−RFq./CV cub.: est{que} haec vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium quibus corpus P in Ellipsi immota VPK, & corpus p in Ellipsi mobili vpk revolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudine A sit ad se∣ipsam in altitudine CV ut 1/A cub. ad 1/CV cub., eadem differentia in omne altitudine A valebit RGq.−RFq./A cub.. Igitur ad vim Fq./Aq. qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili VPK, addatur ex∣cessus RGq.−RFq./A cub. & componetur vis tota Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. qua corpus in Ellipsi mobili vpk iisdem temporibus revolvi possit.
Corol. 3. Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immo∣bilis VPK Ellipsis sit centrum habens in virium centro C; ei{que} similis, aequalis & concentrica ponatur Ellipsis mobilis vpk, sit∣{que} 2 R Ellipseos hujus latus rectum, & 2 T latus transversum, at{que} angulus VCp semper sit ad angulum VCP ut G ad F; vires qui∣bus corpora in Ellipsi immobili & mobili temporibus aequali∣bus revolvi possunt, erunt ut Fq.A / T cub. & Fq.A / T cub.+RGq.−RFq./A cub. respective.
Corol. 4. Et universaliter, si corporis altitudo maxima CV no∣minetur T, & radius curvaturae quam Orbis VPK habet in V, id est radius circuli aequaliter curvi, nominetur R, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacun{que} immobili VPK revolvi po∣test, in loco V dicatur Fq./Tq. V, at{que} aliis in locis P indefinite di∣catur X, altitudine CP nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli VCp ad angulum VCP: erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem Trajectoria vpk circula∣riter
mota temporibus iisdem peragere potest, ut summa virium X+VRGq.−VRFq./A cub.
Corol. 5. Dato igitur motu corporis in Orbe quocun{que} immo∣bili, augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur.
Corol. 6. Igitur si ad rectam CV positione datam erigatur per∣pendiculum VP longitudinis indeterminatae, jungatur{que} PC, & ipsi aequalis agatur Cp, constituens angulum VCp, qui sit ad angulum VCP in data ratione; vis qua corpus
Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum.
Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi mobili, ut in Propositionis superioris Corol. 2. vel 3. revolvens, describit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apsides requiruntur, & quaerendo Apsides orbis quem cor∣pus illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem ac∣quirent formam, si vires centripetae quibus describuntur, inter se
collatae, in aequalibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum V Apsis summa, & scribantur T pro altitudine max∣ima CV, A pro altitudine quavis alia CP vel Cp, & X pro al∣titudinum differentia CV−CP; & vis qua corpus in Ellipsi circa umbilicum ejus C (ut in Corollario 2.) revolvente move∣tur, quae{que} in Corollario 2. erat ut Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. id est ut Fq.A+RGq.−RFq./A cub., substituendo T−X pro A, erit ut RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X / A cub. Reducenda similiter est vis alia quaevis centripeta ad fractionem cujus denominator sit A cub., & numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statu∣endi sunt analogi. Res Exemplis patebit.
Exempl. 1. Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeo{que} ut A cub./A cub., sive (scribendo T−X pro A in Numeratore) ut T cub.−3Tq.X+3TXq.−X cub./A cub.; & collatis Numeratorum terminis correspondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet RGq.−RFq.+TFq. ad T cub. ut −Fq.X ad −3Tq.X+3TXq.−X cub. sive ut −Fq. ad −3Tq.+3TX−X q. Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo; & ob factas R, T aequales, at{que} X in infi∣nitum diminutam, rationes ultimae erunt RGq. ad T cub. ut −Fq. ad −3Tq. seu Gq. ad Tq. ut Fq. ad 3Tq. & vicissim G quadrat. ad F quadrat. ut T quad. ad 3 T quad. id est, ut 1 ad 3; adeo{que} G ad F, hoc est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √3. Ergo cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Ap∣sidem imam descendendo conficiat angulum VCP (ut ita di∣cam) graduum 180; corpus aliud in Ellipsi mobili, at{que} adeo in orbe immobili de quo agimus, ab Abside summa ad Apsidem imam descendendo conficiet angulum VCp graduum 180/√3: id
adeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centripeta describit, & orbis illius quem corpus in Ellipsi re∣volvente gyros peragens describit in plano quiescente. Per su∣periorem terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter, sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum circulari revolvens, inter Apsidem summam & Apsidem imam conficiet semper angulum 180/√3 graduum, seu 103 gr. 55 m. ad centrum; perveniens ab Apside summa ad Ap∣sidem imam, ubi semel confecit hunc angulum, & inde ad Apsi∣dem summam rediens, ubi iterum confecit eundem angulum, & sic deinceps in infinitum.
Exempl. 2. Ponamus vim centripetam esse ut altitudinis A dig∣nitas quaelibet An −3 seu An / A3: ubi n−3 & n significant dig∣nitatum indices quoscun{que} integros vel fractos, rationales vel irrationales, affirmativos vel negativos. Numerator ille An seu T−Xn in seriem indeterminatam per Methodum nostram Seri∣erum convergentium reducta, evadit Tn−nXTn−1+nn−n/2 Xq.Tn −2 &c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numera∣toris alterius RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X, fit RGq.−RFq.+TFq. ad Tn ut −Fq. ad −nTn−1+nn−n/2 XTn −2 &c. Et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem acce∣dunt, fit RGq. ad Tn ut −Fq. ad −nTn − 1, seu Gq. ad Tn −1 ut Fq. ad nTn −1, & vicissim Gq. ad Fq. ut Tn−1 ad nTn −1 id est ut 1 ad n; adeo{que} G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √n. Quare cum angulus VCP, in descensu cor∣poris
ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi confectus, sit graduum 180, conficietur angulus VCp, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum cir∣culari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitati An −3 pro∣portionali describit, aequalis angulo graduum 180/√n; & hoc angulo repetito corpus redibit ab Apside ima ad apsid••m summam, & sic deinceps in infinitum. Ut si vis centripeta sit ut distantia cor∣poris a centro, id est ut A seu A4/A3, erit n aequalis 4 & √4 aequalis 2; adeo{que} angulus inter Apsidem summam & Apsidem imam ae∣qualis 180/2 gr. seu 90 gr. Completa igitur quarta parte revoluti∣onis unius corpus perveniet ad Apsidem imam, & completa alia quarta parte ad Apsidem summam, & sic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propositione X. manifestum est. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipsi im∣mobili, cujus centrum est in centro virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est directe ut 1/A seu A2/A3, erit n=2, a∣deo{que} inter Apsidem summam & imam angulus erit graduum 180/√2 seu 127 gr. 17 min. & propterea corpus tali vi revolvens, perpe∣tua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apside summa ad imam & ab ima ad summam perveniet in aeternum. Porro si vis centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecimae dignitatis Altitudinis, id est reciproce ut A11/4, adeo{que} directe ut 1/A 11/4 seu ut A ¼ / A3 erit n aequalis ¼, & 180/√n gr. aequalis 360 gr. & prop∣terea corpus de Apside summa discedens & subinde perpetuo de∣scendens, perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutio∣nem integram; dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutio∣nem integram, redibit ad Apsidem summam: & sic per vices in aeter∣num.
Exempl. 3. Assumentes m & n pro quibusvis indicibus dignitatum Altitudinis, & b, c pro numeris quibusvis datis, ponamus vim cen∣tripetam effe ut b Am+c An / A cub., id est ut b in T−Xm+c in T−Xn / A cub. seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut bTm−mbXTm−1+mm−m/2bX2Tm−2+cTn−ncXTn−1+nn−n/2 cX 2 Tn−2 &c./A Cub. & collatis numeratorum terminis, fiet RGq.−RFq.+TFq. ad bTm+cTn, ut −Fq. ad −mbTm −1−ncTn −1+mm−m/2−XTm −2+nn−n/2 XTn −2 &c. Et sumendo rationes ultimas quae prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit Gq. ad bTm −1+cTn −1, ut Fq. ad mbTm −1+ncTn −1, & vicissim Gq. ad Fq. ut bTm −1+cTn −1 ad mbTm −1+ncTn −1. Quae proportio, exponendo altitudinem maximam CV seu T Arith∣metice per unitatem, fit Gq. ad Fq. ut b+c ad mb+nc, adeo{que} ut 1 ad mb+nc / b+c. Unde est G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √mb+nc / b+c. Et propterea cum angulus VCP inter Apsidem summam & Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 gr. erit angulus VCp inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati bAm+cAn / A cub. proportionali describit, aequa∣lis angulo graduum 180 √b+c / mb+nc. Et eodem argumento si vis centripeta sit ut bAm−cAn / A cub., angulus inter Apsides invenietur 180 √b−c / mb−nc graduum. Nec secus resolvetur Problema in ca∣sibus
difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes A cub. Dein pars data Numeratoris hujus RGq.−RFq.+TFq.−Fq.X ad partem non datam in eadem ratione ponen∣dae sunt: Et quantitates superfluas delendo, scribendo{que} unitatem pro T, obtinebitur proportio G ad F.
Corol. 1. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis digni∣tas, inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra-Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem e∣andem, sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum alium n, & altitudo no∣minetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa A nn / mm−3, cujus In∣dex est nn / mm−3. Id quod per Exempla secunda manifestum est. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis rati∣one decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens de{que} Apside discedens, si caeperit descendere, nunquam perveniet ad Apsi∣dem imam seu altitudinem minimam, sed descendet us{que} ad cen∣trum, describens curvam illam lineam de qua egimus in Corol. 3. Prop. XLI. Sin caeperit illud de Apside discedens vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, ne{que} unquam perveniet ad Ap∣sidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua ac∣tum est in eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apside discedens, perinde ut caeperit descen∣dere vel ascendere, vel descendet ad centrum us{que} vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacun{que} Corpus nunquam descendet ad centrum us{que} sed ad Ap¦sidem imam aliquando perveniet: & contra, si corpus de Apside ad Apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam ap∣pellat ad centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in
minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet: & quo citi∣us corpus de Apside ad Apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 1 ½ de Apside summa ad Apsidem summam alterno de∣scensu & ascensu redierit, hoc est, si fuerit m ad n ut 8 vel 4 vel 2 vel 1 ½ ad 1, adeo{que} nn / mm−3 ualeat 1/64−3 vel 1/16−3 vel ¼−3 vel 4/9−3, erit vis ut A 1/64−3 vel A 1/16−3 vel A ¼−3 vel A 4/9−3, id est reciproce ut A3−1/64 vel A3−1/16 vel A3−¼ vel A3−4/9. Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immo∣tam, erit, m ad n ut 1 ad 1, adeo{que} A nn / mm−3 aequalis A −2 seu 1/A 2, & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in praecedentibus demonstratum est. Si corpus partibus revo∣lutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una ter∣tia, vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, erit m ad n ut ¾ vel •• vel ⅓ vel ¼ ad 1, adeo{que} A nn / mm−3 aequalis A16/9−3 vel A9/4−3 vel A9−3 vel A16−3, & propterea Vis aut reciproce ut A 11/9 vel A ¾, aut directe ut A 6 vel A 13. Deni{que} si Corpus per∣gendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolu∣tionem integram, & praeterea gradus tres, adeo{que} Apsis illa singu∣lis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, erit m ad n ut 363 gr. ad 360 gr. adeo{que} A nn / mm−3 erit aequale A −2/1 6/3 5/1 9/7 0/6 7/9, & propterea Vis centripeta reciproce ut A 2/1 6/3 5/1 7/7 9/6 7/9 seu A 2 4/243. Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo ma∣jore quam duplicata, sed quae vicibus 60¾ propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.
Corol. 2. Hinc etiam si corpus, vi centripeta quae sit recipro∣ce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum ha∣bente in centro virium, & huic vi centripetae addatur vel aufe∣ratur vis alia quaevis extranea; cognosci potest (per Exempla
tertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: & con∣tra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut 1/A 2, & vis extranea ablata ut cA, adeo{que} vis reliqua ut A−cA 4/A 3; erit (in Exemplis tertiis) A aequalis 1 & n aequalis 4, adeo{que} angulus re∣volutionis inter Apsides aequalis angulo graduum 180 √1−c/1−4 c. Po∣natur vim illam extraneam esse 357, 43 vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id est c esse 3 1/5 0/7 0/4 3, & 180 √1−c/1−4 c evadet 180 √3/3 5/5 6/3 4/4 5/5 seu 180, 7602, id est 180gr. 45m. 37s. Igitur corpus de Apside summa discedens, motu angulari 180gr. 45m. 37s. perveniet ad Apsidem imam, & hoc motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeo{que} Apsis sum∣ma singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1gr. 31m. 14s.
Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per cen∣trum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium trac∣tant, considerare solent a scensus & descensus ponderum, tam ob∣liquos in planis quibuscun{que} datis, quam perpendiculares: & pari jure motus corporum viribus quibuscun{que} centra petentium, & planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana au∣tem supponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora re∣tardent. Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum qui∣bus corpora incumbunt quas{que} tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur & or∣bitas movendo describunt. Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus.
Posita cujuscun{que} generis vi centripeta, dato{que} tum virium centro tum plano quocun{que} in quo corpus revolvitur, & concessis Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum Rectam in Plano illo datam egressi.
Sit S centrum virium, SC distantia minima centri hujus a pla∣no dato, P corpus de loco P secundum rectam PZ egrediens, Q corpus idem in Trajec∣toria
datum, adeo{que} facit illud in hoc plano perinde moveri ac si vis ST tolleretur, & corpus vi sola TV revolveretur circa centrum C in spatio libero. Data autem vi centripeta TV qua corpus Q in spatio libero circa centrum datum C revolvitur, datur per Prop. XLII. tum Trajectoria PQR quam corpus describit, tum locus Q in quo corpus ad datum quodvis tempus versabitur, tum de∣ni{que} velocitas corporis in loco illo Q; & contra. Q.E.I.
Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantiae corporis a cen∣tro; corpora omnia in planis quibuscun{que} revolventia describent Ellipses, & revolutiones temporibus aequalibus peragent; quae{que} moventur in lineis rectis ultro citro{que} discurrendo, singulas eundi & redeundi periodos iisdem temporibus absolvent.
Nam stantibus quae in superiore Propositione; vis SV qua cor∣pus Q in plano quovis PQR revolvens trahitur versus centrum S est ut distantia SQ;
quovis PQR circa punctum C, at{que} in spatiis liberis circa cen∣trum S, adeo{que} (per Corol. 2. Prop. X. & Corol. 2. Prop. XXXVIII.) temporibus semper aequalibus, vel describent Ellip∣ses in plano illo circa centrum C, vel periodos movendi ultro ci∣tro{que}▪ in lineis rectis per centrum C in plano illo ductis, comple∣bunt. Q.E.D.
His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficie∣bus curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus pe••••etuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo & descendendo currant ultro ci∣tro{que} peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, at{que} adeo in lineis curvis quarum revolutione curvae illae superfi∣cies genitae sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis considerare.
Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, & more rotarum re∣volvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvi∣linei, quod punctum quodvis in rotae perimetro datum, ex quo glo∣bum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus di∣midii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut summa dia∣metrorum globi & rotae ad semidiametrum globi.
Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat & revolven∣do progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei
quod punctum quodvis in Rotae Perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia di∣ametrorum globi & rotae ad semidiametrum globi.
Sit ABL globus, C centrum ejus, BPV rota ei insistens, E centrum rotae, B punctum contactus, & P punctum datum in pe∣rimetro rotae. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo
opus est producta) occurrat Rotae in V, jungantur{que} CP, BP, EP, VP, & in CP productam demittatur Normalis VF. Tan∣gant PH, VH circulum in P & V concurrentes in H, secet{que} PH ipsam VF in G, & ad VP demittantur Normales GI, HK. Cen∣tro item C & intervallo quovis describatur circulus nom secans rectam CP in n, Rotae perimetrum Bp in o & viam curvilineam AP in m, centro{que} V & intervallo Vo describatur circulus secans VP productam in q.
Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum con∣tactus B, manifestum est quod recta BP perpendicularis est ad lineam illam curvam AP, quam Rotae punctum P describit, at{que} adeo quod recta VP tanget hanc curvam in puncto P. Circuli nom radius sensim auctus aequetur tandem distantiae CP, & ob si∣militudinem figurae evanescentris Pnomq & figurae PFGVI, ra∣tio ultima lineolarum evanescentis Pm, Pn, Po, Pq, id est ra∣tio incrementorum momentaneorum curvae AP, rectae CP & ar∣cus circularis BP, ac decrementi rectae VP, eadem erit quae linea∣rum PV, PF, PG, PI respective. Cum autem VF ad CF & VH ad CV perpendiculares sunt, anguli{que} HVG, VCF propte∣rea aequales; & angulus VHP, (ob angulos quadrilateri HVEP ad V & P rectos,) complet angulum VEP ad duos rectos, adeo{que} angulo CEP aequalis est, similia erunt triangula VHG, CEP; & inde fiet ut EP ad CE ita HG ad HV seu HP, & ita KI ad KP, & divisim ut CB ad CE ita PI ad PK, & duplicatis consequen∣tibus ut CB ad 2 CE ita PI ad PV. Est igitur decrementum lineae VP, id est incrementum lineae BV−VP, ad incrementum lineae curvae AP in data ratione CB ad 2 CE, & propterea (per Corol. Lem. IV.) longitudines BV−VP & AP incrementis illis genitae sunt in eadem ratione. Sed existente BV radio, est VP cosinus anguli VPB seu ½ BEP, adeo{que} BV−VP sinus versus ejusdem anguli, & propterea in hac Rota cujus radius est ½ BV, erit BV−VP duplus sinus versus arcus ½ BP. Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus ½ BP ut 2 CE ad CB. Q.E.D.
Lineam autem AP in Propositione priore Cycloidem extra Globum, alteram in posteriore Cycloidem intra Globum distinc∣tionis gratia nominabimus.
Corol. 1. Hinc si describatur Cyclois integra ASL & bisece∣tur ea in S, erit longitudo partis PS ad longitudinem VP (quae duplus est sinus anguli VBP, existente EB radio) ut 2 CE ad CB, at{que} adeo in ratione data.
Corol. 2. Et longitudo semiperimetri Cycloidis AS aequabitur lineae rectae, quae est ad Rotae diametrum BV ut 2 CE ad CB.
Corol. 3. Ideo{que} longitudo illa est ut rectangulum BEC, si mo∣do Globi detur semidiameter.
Facere ut Corpus pendulum oscilletur in Cycloide data.
Intra Globum QVS centro C descriptum detur Cyclois QRS bisecta in R & punctis suis extremis Q & S superficiei Globi hinc inde occurrens. Agatur CR bisecans arcum QS in O, & produ∣catur ea ad A, ut sit CA ad CO ut CO ad CR. Centro C inter∣vallo CA describatur Globus exterior ABD, & intra hunc glo∣bum Rota, cujus diameter sit AO, describantur duae semicycloides AQ, AS, quae globum interiorem tangant in Q & S & globo ex∣teriori occurrant in A. A puncto illo A, filo APT longitudinem AR aequante, pendeat corpus T, & ita intra semicycloides AQ, AS oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo AR, filum parte sui superiore AP applicetur ad semicycloidem illam APS, versus quam peragitur motus, & circum eam ceu obstacu∣lum flectatur, parte{que} reliqua PT cui semicyclois nondum ob∣jicitur, protendatur in lineam rectam; & pondus T oscillabitur in Cycloide data QRS. Q.E.F.
Occurrat enim filum PT tum Cycloidi QRS in T, tum cir∣culo QOS in V, agatur{que} CV occurrens circulo ABD in B; & ad fili partem rectam PT, e punctis extremis P ac T, erigantur
perpendicula PB, TW, occurrentia rectae CV in B & W. Patet∣enim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illa PB, TW abscin∣dent de CV longitudines VB, VW rotarum diametris OA, OR aequales, at{que} adeo quod punctum B incidet in circulum ABD. Est igitur TP ad VP (duplum sinum anguli VBP existente ½ BV radio) ut BW ad BV, seu AO+OR ad AO, id est (cum sint CA ad CO, CO ad CR & divisim AO ad OR proportionales,) ut CA+CO
Corol. Filum AR aequatur Cycloidis arcui dimidio APS.
Si vis centripeta tendens undi{que} ad Globi centrum C sit in locis singu∣lis ut distantia loci cujus{que} a centro, & hac sola vi agente Corpus T
oscilletur (modo jam descripto) in perimetro Cycloidis QRS: dico quod oscillationum utcun{que} inaequalium aequalia erunt Tempora
Nam in Cycloidis tangentem TW infinite productam cadat perpendiculum CX & jungatur CT. Quoniam vis centripeta qua corpus T impellitur versus C est ut distantia CT, (per Legum Corol. 2.) resolvitur in partes CX, TX, quarum CX impellen∣do corpus directe a P distendit filum PT & per cujus resistenti∣am tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera TX urgendo corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo TX, id est, ob datas CV, WV iis{que} proportionales TX, TW, ut longitudo TW, hoc est (per Corol. 1. Prop. XLIX.) ut longi∣tudo arcus Cycloidis TR. Pendulis igitur duabus APT, Apt de perpendiculo AR inaequaliter deductis & simul dimissis, accele∣rationes eorum semper erunt ut arcus describendi TR, tR. Sunt autem partes sub initio descriptae ut accelerationes, hoc est ut totae sub initio describendae, & propterea partes quae manent describendae & accelerationes subsequentes his partibus pro∣portionales sunt etiam ut totae; & sic deinceps. Sunt igitur ac∣celerationes at{que} adeo velocitates genitae & partes his velocitati∣bus descriptae partes{que} describendae, semper ut totae; & propterea partes describendae datam servantes rationem ad invicem simul e∣vanescent, id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad per∣pendiculum AR. Cum{que} vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo R, per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descen∣sus accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum aequales esse, at{que} adeo temporibus ae∣qualibus fieri; & propterea cum Cycloidis partes duae RS & RQ ad utrum{que} perpendiculi latus jacentes sint similes & aequales, pen∣dula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem tem∣poribus semper peragant. Q.E.D.
Definire & velocitates Pendulorum in locis singulis, & Tempora quibus tum oscillationes totae, tum singulae oscillationum partes per∣aguntur.
Centro quovis G, intervallo GH Cycloidis arcum RS aequante, describe semicirculum HKMG semidiametro GK bisectum. Et si vis centripeta distantiis locorum a centro proportionalis ten∣dat ad centrum G, sit{que} ea in perimetro HIK aequalis vi centripetae in perimetro globi QOS (Vide Fig. Prop. L. & LI.) ad ipsius cen∣trum tendente; & eodem tempore quo pendulum T dimittitur e loco supremo S, cadat corpus aliquod L ab H ad G: quoniam vires quibus corpora urgentur
temporibus & velocitates & arcus descripti in Oscillationibus uni∣versis. Quae erant primo invenienda.
Oscillentur jam funipendula duo corpora in Cycloidibus inae∣qualibus & earum semiarcubus aequales capiantur rectae GH, gh, centris{que} G, g & intervallis GH, gh describantur semicirculi HZKM, hzkm. In eorum diametris HM, hm capiantur li∣neolae aequales HY, hy, & erigantur normaliter YZ, yz circum∣ferentiis occurrentes in Z & z. Quoniam corpora pendula sub initio motus versantur in circumferentia globi QOS, adeo{que} a vi∣ribus aequalibus urgentur in centrum, incipiunt{que} directe versus centrum moveri, spatia simul confecta aequalia erunt sub initio. Urgeantur igitur corpora H, h a viribus iisdem in H & h, sint{que}
quavis est (per Corol. 3. Prop. XLIX.) ut latus quadra∣tum rectanguli BEC contenti sub semidiametro Rotae, qua Cy∣clois descripta fuit, & differentia inter semidiametrum illam & se∣midiametrum globi. Q.E.I. Est & idem tempus (per Corol. Prop. L.) in dimidiata ratione longitudinis fili AR.Q.E.I.
Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides: quoniam earum perimetri sunt ut semidiametri globorum & vires in analogis perimetrorum locis sunt ut distantiae locorum a com∣muni globorum centro, hoc est ut globorum semidiametri, at{que} adeo ut Cycloidum perimetri & perimetrorum partes similes, a∣qualia erunt tempora quibus perimetrorum partes similes Oscil∣lationibus similibus describuntur, & propterea Oscillationes om∣nes erunt Isochronae. Cum igitur Oscillationum tempora in Glo∣bo dato sint in dimidiata ratione longitudinis AR, at{que} adeo (ob datam AC) in dimidiata ratione numeri AR / AC, id est in ra∣tione integra numeri √AR / AC; & hic numerus √AR / AC servata ratio∣ne AR ad AC (ut fit in Cycloidibus similibus) idem semper ma∣neat, & propterea in globis diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit ut tempus: manifestum est quod Oscillationum tempora in alio quovis globo dato, at{que} adeo in globis omnibus concentricis sunt ut numerus √AR / AC, id est, in ratione composita ex dimidiata ra∣tione longitudinis fili AR directe & dimidiata ratione semidiame∣tri globi AC inverse. Q.E.I
Deni{que} si vires absolutae diversorum globorum ponantur inae∣quales, accelerationes temporibus aequalibus factae, erunt ut vires. Unde si tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverse, velocitates erunt in eadem dimidiata ratione directe, & propterea spatia erunt aequalia quae his temporibus describuntur. Ergo Os∣cillationes in globis & Cycloidibus omnibus, quibuscun{que} cum viribus absolutis factae, sunt in ratione quae componitur ex di∣midiata
ratione longitudinis Penduli directe, & dimidiata rati∣one distantiae inter centrum Penduli & centrum globi inverse, & dimidiata ratione vis absolutae etiam inverse, id est, si vis illa di∣catur V, in ratione numeri √AR / AC×V.Q.E.I.
Corol. 1. Hinc etiam Oscillantium, cadentium & revolventium corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si Rotae, qua Cyclois intra globum describitur, diameter constituatur aequalis semidiametro globi, Cyclois evadet linea recta per centrum globi transiens, & Oscillatio jam erit descensus & subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quo∣vis ad centrum, tum tempus huic aequale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per Casum se∣cundum) ad tempus semioscillationis in Trochoide quavis APS ut ½ BC ad √BEC.
Corol. 2. Hinc etiam consectantur quae D. C. Wrennus & D. C. Hugenius de Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi dia∣meter augeatur in infinitum, mutabitur ejus superficies Sphaerica in planum, vis{que} centripeta aget uniformiter secundum lineas hu∣ic plano perpendiculares, & yclois nostra abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud & punctum describens, aequalis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus Rotae inter idem planum & punctum descri∣bens; ut invenit D. C. Wrennus: Et pendulum inter duas ejusmo∣di Cycloides in simili & aequali Cycloide temporibus aequalibus Oscillabitur, ut demonstravit Hugenius. Sed & descensus gra∣vium, tempore Oscillationis unius, is erit quem Hugenius indi∣cavit.
Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratae ad veram constitutionem Terrae, quatenus Rotae eundo in ejus circulis max∣imis describunt motu clavorum Cycloides extra globum; & Pen∣dula inferius in fodinis & cavernis Terrae suspensa, in Cycloidibus
intra globos Oscillari debent, ut Oscillationes omnes evadant Iso∣chronae. Nam gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decre∣scit in progressu a superficie Terrae, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione sim∣plici.
Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires qui∣bus corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas peragent.
Oscilletur cor∣pus
Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C, exponatur per rectam TZ captam ipsi proportionalem, resolvetur haec in vires
TY, YZ; quarum YZ trahendo corpus secundum longitudinem fili PT, motum ejus nil mutat, vis autem altera TY motum ejus in curva STRQ directe accelerat vel directe retardat. Proinde cum haec sit ut via describenda TR, accelerationes corporis vel retardationes in Oscillationum duarum (majoris & minoris) par∣tibus proportionalibus describendis, erunt semper ut partes illae, & propterea facient ut partes illae simul describantur. Corpora autem quae partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent totas. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc si corpus T filo rectilineo AT a centro A pen∣dens, describat arcum circularem STRQ, & interea urgeatur secundum lineas parallelas deorsum a vi aliqua, quae sit ad vim u∣niformem gravitatis, ut arcus TR ad ejus sinum TN: aequalia e∣run Oscillationum singularum tempora. Etenim ob parallelas TZ, AR, similia erunt triangula ANT, TYZ; & propterea TZ erit ad AT ut TY ad TN; hoc est, si gravitatis vis unifor∣mis exponatur per longitudinem datam AT, vis TZ, qua Oscil∣lationes evadent Isochronae, erit ad vim gravitatis AT, ut arcus TR ipsi TY aequalis ad arcus illius sinum TN.
Corol. 2. Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum ad motum conservandum impressae ita cum vi gravitatis compo∣ni possint, ut vis tota deorsum semper sit ut linea quae oritur ap∣plicando rectangulum sub arcu TR & radio AR, ad sinum TN, Oscillationes omnes erunt Isochronae.
Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora qui∣bus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscun{que} curvis in pla∣no per centrum virium transeunte descriptis, descendent & ascendent.
Descendat enim corpus de loco quovis S per lineam quamvis curvam STtR in plano per virium centrum C transeunte datam. Jungatur CS & dividatur cadem in partes innumeras aequales,
sit{que} Dd partium illarum aliqua. Centro C, intervallis CD, Cd describantur circuli DT, dt, Lineae curvae STtR occurrentes in T & t. Et ex data tum lege vis centripetae, tum altitudine CS de∣qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia quavis alti∣tudine CT, per Prop. XXXIX. Tempus autem, quo corpus de∣scribit lineolam Tt, est ut lineolae hu∣jus
Si corpus movetur in superficie quacun{que} curva, cujus axis per cen∣trum virium transit, & a corpore in axem demittatur perpendi∣cularis, ei{que} parallela & aequalis ab axis puncto quovis ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem descri∣bet.
Sit BSKL superficies curva, T corpus in ea revolvens, STtR Trajectoria quam corpus in eadem describit, S initium Trajecto∣riae, OMNK axis superficiei curvae, TN recta a corpore in ax∣em perpendicularis, OP huic parallela & aequalis a puncto O quod in axe datur educta, AP vestigium Trajectoriae a puncto P
in lineae volubilis OP plano AOP descriptum, A vestigii initium puncto S respondens, TC recta a corpore ad centrum ducta; TG pars ejus vi centripetae qua corpus urgetur in centrum C propor∣tionalis; TM recta ad superficiem curvam perpendicularis; TI pars ejus vi pressionis qua corpus urget superficiem, vicissim{que} ur∣getur versus M a superficie, proportionalis; PHTF recta axi pa∣rallela per corpus transi∣ens,
Corol. Eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centra
duo vel plura in eadem quavis recta CO data tendentibus, descri∣beret in spatio libero lineam quamcun{que} curvam ST, foret area AOP tempori semper proportionalis.
Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datis{que} tum lege vis centripetae ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cu∣jus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data cum velo∣citate versus plagam in superficie illa datam egressum.
Stantibus quae in superiore Propositione constructa sunt, exeat corpus de loco S in Trajectoriam inveniendam STtR, & ex da∣ta ejus velocitate in altitudine SC dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine TC. Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, describat corpus Trajectoriae suae particulam Tt, sit{que} Pp vestigium ejus plano AOP descriptum. Jungatur Op, & circelli centro T intervallo Tt in superficie curva descripti sit PpQ vesti∣gium Ellipticum in eodem plano OAPp descriptum. Et ob da∣tum magnitudine & positione circellum, dabitur Ellipsis illa PpQ. Cum{que} area POp sit tempori proportionalis, at{que} adeo ex dato tempore detur, dabitur Op positione, & inde dabitur com∣munis ejus & Ellipseos intersectio p, una cum angulo OPp, in quo Trajectoriae vestigium APp secat lineam OP. Inde autem invenietur Trajectoriae vestigium illud APp, eadem methodo qua curva linea VIKk in Propositione XLI. ex similibus datis in∣venta fuit. Tum ex singulis vestigii punctis P erigendo ad pla∣num AOP perpendicula PT superficiei curvae occurrentia in T, dabuntur singula Trajectoriae puncta T.Q.E.I.
Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractio∣nes enim fieri solent ad corpora; & corporum trahentium & at∣tractorum actiones semper mutuae sunt & aequales, per Legem tertiam: adeo ut ne{que} attrahens possit quiescere ne{que} attractum, si duo sint corpora, sed ambo (per Legum Corollarium quar∣tum) quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum com∣mune revolvantur: & si plura sint corpora (quae vel ab unico attrahantur vel omnia se mutuo attrahant) haec ita inter se mo∣veri debeant, ut gravitatis centrum commune. vel quiescat vel uni∣formiter moveatur in directum. Qua de causa jam pergo mo∣tum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam Attractiones, quamvis fortasse, si physice lo∣quamur, verius dicantur Impulsus. In Mathematicis enim jam versamur, & propterea missis disputationibus Physicis, familiari utimur sermone, quo possimus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi.
Corpora duo se invicem trahentia describunt, & circum commune centrum gravitatis, & circum se mutuo, figuras similes.
Sunt enim distantiae a communi gravitatis centro reciproce pro∣portionales corporibus, at{que} adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data ratione ad distantiam totam inter corpora. Feruntur autem hae distantiae circum terminos suos communi mo∣tu
angulari, propterea quod in directum semper jacentes non mu∣tant inclinationem ad se mutuo. Lineae autem rectae, quae sunt in data ratione ad invicem, & aequali motu angulari circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos (in planis quae u∣na cum his terminis vel quiescunt vel motu quovis non angulari moventur) describunt omnino similes. Proinde similes sunt figu∣rae quae his distantiis circumactis describuntur. Q.E.D.
Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt, & interea revol∣vuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod figuris, quas corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest figura similis & aequalis, circum corpus alterutrum immotum, viribus iisdem de∣scribi.
Revolvantur corpora S, P circa commune gravitatis centrum C, pergendo de S ad T de{que} P ad Q. A dato puncto s ipsis SP, TQ aequales & parallelae ducantur semper sp, sq; & curva pqv quam punctum p, revolvendo circum punctum immotum s, descri∣bit,
Cas. 1. Commune illud gravitatis centrum C, per Legum Co∣rollarium
quartum, vel quiescit vel movetur uniformiter in direc∣tum. Ponamus primo quod id quiescit, in{que} s & p locentur cor∣pora duo, immobile in s, mobile in p, corporibus S & P similia & aequalia. Dein tangant rectae PR & pr curvas PQ & pq in P & p, & producantur CQ & sq ad R & r. Et ob similitudi∣nem figurarum CPRQ, sprq, erit RQ ad rq ut CP ad sp, a∣deo{que} in data ratione. Proinde si vis qua Corpus P versus Cor∣pus S, at{que} adeo versus centrum intermedium C attrahitur, esset ad vim qua corpus p versus centrum s attrahitur in eadem illa ratione data, hae vires aequalibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibus PR, pr ad arcus PQ, pq, per intervalla ipsis pro∣portionalia
arcus PQ, pq, qui sunt in ratione integra: Et cor∣pora P, p viribus aequalibus semper attracta describent circum centra quiescentia C & s figuras similes PQV, pqv, quarum pos∣terior pqv similis est & aequalis figurae quam corpus P circum cor∣pus mobile S describit. Q.E.D.
Cas. 2. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum spatio in quo corpora moventur inter se, progreditur uni∣formiter in directum; &, per Legum Corollarium sextum, motus omnes in hoc spatio peragentur ut prius, adeo{que} corpora descri∣bent circum se mutuo figuras easdem ac prius, & propterea figu∣rae pqv similes & aequales. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc corpora duo viribus distantiae suae proportio∣nalibus se mutuo trahentia, describunt (per Prop. X.) & circum commune gravitatis centrum, & circum se mutuo, Ellipses con∣centricas: & vice versa, si tales figurae describuntur, sunt vires distantiae proportionales.
Corol. 2. Et corpora duo viribus quadrato distantiae suae reci∣proce proportionalibus describunt (per Prop. XI, XII, XIII.) & circum commune gravitatis centrum & circum se mutuo secti∣ones conicas umbilicos habentes in centro circum quod figurae de∣scribuntur. Et vice versa, si tales figurae describuntur, vires cen∣tripetae sunt quadrato distantiae reciproce proportionales.
Corol. 3. Corpora duo quaevis circum gravitatis centrum com∣mune gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad se mutuo ductis, describunt areas temporibus proportionales.
Corporum duorum S & P circa commune gravitatis centrum C revol∣ventium tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis al∣terutrius P, circa alterum immotum S gyrantis & figuris quae cor∣pora circum se mutuo describunt figuram similem & aequalem de∣scribentis, in dimidiata ratione corporis alterius S, ad summant corporum S+P.
Nam{que} ex demonstratione superioris Propositionis, tempora quibus arcus quivis similes PQ & pq describuntur, sunt in dimi∣diata ratione distantiarum CP & SP vel sp, hoc est, in dimidia∣ta ratione corporis S ad summam corporum S+P. Et compo∣nendo, summae temporum quibus arcus omnes similes PQ & pq describuntur, hoc est tempora tota quibus figurae totae similes de∣scribuntur, sunt in eadem dimidiata ratione. Q.E.D.
Si corpora duo S & P, viribus quadrato distantiae suae reciproce pro∣portionalibus se mutuo trahentia, revoluntur circa gravitatis cen∣trum commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrum P hoc motu circa alterum S describit, Axis transversus erit ad axem trans∣versum Ellipseos, quam corpus idem P circa alterum quiescens S eodem tempore periodico describere posset, ut summa corporum du∣orum S+P ad primam duarum medie proportionalium inter hanc summan & corpus illud alterum S.
Nam si descriptae Ellipses essent sibi invicem aequales, tempo∣ra periodica, per Theorema superius, forent in dimidiata ratione corporis S ad summam corporum S+P. Minuatur in hac rati∣ne tempus periodicum in Ellipsi posteriore, & tempora periodi∣ca evadent aequalia, Ellipseos autem axis transversus per Theo∣rema VII. minuetur in ratione cujus haec est sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratio S ad S+P est triplicata; adeo{que} ad ax∣em transversum Ellipseos alterius, ut prima duarum medie pro∣portionalium inter S+P & S ad S+P. Et inverse, axis trans∣versus Ellipseos circa corpus mobile descriptae erit ad axem trans∣versum descriptae circa immobile, ut S+P ad primam duarum me∣die proportionalium inter S+P & S. Q.E.D.
Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, ne{que} alias agi∣tata vel impedita, quomodocun{que} moveantur; motus eorum perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrum{que} a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem tra∣heretur: Et Virium trahentium eadem erit Lex respectu distan∣tiae corporum a centro illo communi at{que} respectu distantiae totius in∣ter corpora.
Nam vires illae, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium, adeo{que} eaedem sunt ac si a corpore intermedio manarent. Q.E.D.
Et quoniam data est ratio distantiae corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, da∣bitur ratio cujusvis potestatis distantiae unius ad eandem potesta∣tem distantiae alterius; ut & ratio quantitatis cujusvis, quae ex una distantia & quantitatibus datis utcun{que} derivatur, ad quantitatem aliam, quae ex altera distantia & quantitatibus totidem datis datam{que} illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter deri∣vatur. Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut quae∣libet hujus distantiae potestas; vel deni{que} ut quantitas quaevis ex hac distantia & quantitatibus datis quomodocun{que} derivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahi∣tur, directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a cen∣tro illo communi, vel ut eadem distantiae hujus potestas, vel de∣ni{que} ut quantitas ex hac distantia & analogis quantitatibus da∣tis similiter derivata. Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex res∣pectu distantiae utrius{que}. Q.E.D.
Corporum duorum quae viribus quadrato distantiae suae reciproce pro∣portionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur, deter∣minare motus.
Corpora, per Theorema novissimum, perinde movebuntur, ac si a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto traheren∣tur; & centrum illud ipso motus initio quiescet (per Hypothesin) & propterea (per Legum Corol. 4.) semper quiescet. Determi∣nandi sunt igitur motus Corporum (per Probl. XXV.) perinde ac si a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, & habebun∣tur motus corporum se mutuo trahentium. Q.E.I.
Corporum duorum quae viribus quadrato distantiae suae reciproce pro∣portionalibus se mutuo trahunt, de{que} locis datis, secundum datas rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determinare motus.
Ex datis corporum motibus sub initio, datur uniformis motus centri communis gravitatis, ut & motus spatii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum mo∣tus initiales respectu hujus spatii. Motus autem subsequentes (per Legum Corollarium quintum & Theorema novissimum) perinde fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum una cum commu∣ni illo gravitatis centro quiesceret, & corpora non traherent se mutuo, sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Cor∣poris igitur alterutrius in hoc spatio mobili de loco dato, secundum datam rectam, data cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, determinandus est motus per Problema nonum & vicesimum sextum: & habebitur simul mo∣tus corporis alterius e regione. Cum hoc motu componendus est uniformis ille Systematis spatii & corporum in eo gyrantium
motus progressivus supra inventus, & habebitur motus absolutus corporum in spatio immobili. Q.E.I.
Viribus quibus Corpora se mutuo trahunt crescentibus in simplici rati∣one distantiarum a centris: requiruntur motus plurium Corporum inter se.
Ponantur imprimis corpora duo T & L commune habentia gravitatis centrum D. Describent haec per Corollarium primum Theorematis XXI. Ellipses centra habentes in D, quarum magni∣tudo ex Problemate V. innotescit.
Trahat jam corpus tertium S priora duo T & L viribus acce∣leratricibus ST, SL, & ab
faciendo ut Systema corporum T & L ex una parte, & corpus S ex altera, justis cum velocitatibus, gyrentur circa commune gra∣vitatis centrum C. Tali motu corpus S (eo quod summa virium motricium SD×T & SD×L, distantiae CS proportionalium, tra∣hitur versus centrum C) describit Ellipsin circa idem C; & punc∣tum D ob proportionales CS, CD describet Ellipsin consimilem, e regione. Corpora autem T & L viribus motricibus SD×T & SD×L, (prius priore, posterius posteriore) aequaliter & secun∣dum lineas parallelas TI & LK (ut dictum est) attracta, per∣gent (per Legum Corollarium quintum & sextum) circa cen∣trum mobile D Ellipses suas describendo, ut prius. Q.E.I.
Addatur jam corpus quar∣tum
Haec ita se habent ubi corpora T & L trahunt se mutuo viri∣bus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpo∣ra reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutuae omnium at∣tractiones acceleratrices ad invicem ut distantiae ductae in corpo∣ra trahentia, & ex pracedentibus facile deducetur quod corpo∣ra omnia aequalibus temporibus periodicis Ellipses varias, circa ••m∣nium commune gravitatis centrum B〈…〉〈…〉 plano immobili descri∣bunt. Q.E.I.
Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantia∣rum
ab eorundem centris, moveri posse inter se in Ellipsibus, & radiis ad umbilicos ductis Areas describere temporibus proportio∣nales quam proxime.
In Propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plu∣res peraguntur in Ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus, ne{que} fieri potest ut corpora secundam legem hic positam se mutuo trahentia moveantur in Ellipsibus accurate, nisi servando certam proportionem distantiarum ab invicem. In sequentibus autem ca∣sibus non multum ab Ellipsibus errabitur.
Cas. 1. Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo distantias revolvi, tendant{que} ad singula vires abso∣lutae proportionales iisdem corporibus. Et quoniam omnium com∣mune gravitatis centrum (per Legum Corol. quartum.) vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, fingamus corpo∣ra minora tam parva esse, ut corpus maximum nunquam distet sensibiliter ab hoc centro; & maximum illud vel quiescet vel mo∣vebitur uniformiter in directum, abs{que} errore sensibili; minora au∣tem revolventur circa hoc maximum in Ellipsibus, at{que} radiis ad idem ductis describent areas temporibus proportionales; nisi qua∣tenus errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravitatis centro, vel per actiones minorum corporum in se mu∣tuo. Diminui autem possunt corpora minora us{que} donec error iste & actiones mutuae sint datis quibusvis minores, at{que} adeo donec orbes cum Ellipsibus quadrent, & areae respondeant tem∣poribus, abs{que} errore qui non sit minor quovis dato. Q.E.O.
Cas. 2. Fingamus jam Systema corporum minorum modo jam descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum se mutuo revolventium corporum Systema progredi uni∣formiter in directum, & interea vi corporis alterius longe maxi∣mi & ad magnam distantiam siti urgeri ad latus. Et quoniam ae∣quales vires acceleratrices, quibus corpora secundum lineas paral∣lelas urgentur, non mutant situs corporum ad invicem, sed ut Sys∣tema
totum, servatis partium motibus inter se, simul transferatur efficiunt: manifestum est quod ex attractionibus in corpus maxi∣mum, nulla prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel ex attractionum acceleratricum inaequalitate, vel ex incli∣natione linearum ad invicem, secundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum, & augendo cor∣poris maximi distantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua duc∣tarum minores sint differentiae & inclinationes ad invicem quam datae quaevis, perseverabunt motus partium Systematis inter se abs{que} erroribus qui non sint quibusvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam partium illarum ab invicem distantiam, Systema to∣tum ad modum corporis unius attrahitur, movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius; hoc est, centro suo gravi∣tatis describet circa corpus maximum, Sectionem aliquam Coni∣cam (viz. Hyperbolam vel Parabolam attractione languida, El∣lipsim fortiore,) & Radio ad maximum ducto, verret areas tem∣poribus proportionales, abs{que} ullis erroribus, nisi quas partium dis∣tantiae (perexiguae sane & pro lubitu minuendae) valeant effi∣cere. Q.E.O.
Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in infinitum.
Corol. 1. In casu secundo; quo propius accedit corpus omnium maximum ad Systema duorum vel plurium, eo magis turbabun∣tur motus partium Systematis inter se, propterea quod linearum a corpore maximo ad has ductarum jam major est inclinatio ad in∣vicem, major{que} proportionis inaequalitas.
Corol. 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attracti∣ones acceleratrices partium Systematis versus corpus omnium ma∣ximum, non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore illo maximo; praesertim si proportionis hujus inaequali∣tas major sit quam inaequalitas proportionis distantiarum a corpo∣re maximo: Nam si vis acceleratrix, aequaliter & secundum lineas
parallelas agendo, nil perturbat motus inter se, necesse est ut ex actionis inaequalitate perturbatio oriatur, major{que} sit vel minor pro majore vel minore inaequalitate. Excessus impulsuum majorum agendo in aliqua corpora & non agendo in alia, necessario muta∣bunt situnreorum inter se. Et haec perturbatio addita perturba∣tioni, quae ex linearum inclinatione & inaequalitate oritur, majo∣rem reddet perturbationem totam.
Corol. 3. Unde si Systematis hujus partes in Ellipsibus vel Cir∣culis sine perturbatione insigni moveantur, manifestum est, quod eaedem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nisi levissime, aut urgentur aequaliter & secundum lineas parallelas quamproxime.
Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione distan∣tiarum, se mutuo trahant, & attractiones acceleratrices binorum quorumcun{que} in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distan∣tiarum; minora autem circa maximum in plano communi revolvan∣tur: Dico quod interius circa intimum & maximum, radiis ad ipsum ductis, describet areas temporibus magis proportionales, & figuram ad formam Ellipseos umbilicum in concursu radiorum ha∣bentis magis accedentem, si corpus maximum his attractionibus agitetur, quam si maximum illud vel a minoribus non attractum quiescat, vel multo minus vel multo magis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.
Liquet fere ex demonstratione Corollarii secundi Propositio∣nis praecedentis; sed argumento magis distincto & latius cogente sic evincitur.
Cas. 1. Revolvantur corpora minora P & Q in eodem plano circa maximum S, quorum P describat orbem interiorem PAB, & Q exteriorem QE. Sit QK mediocris distantia corporum P & Q; & corporis P versus Q attractio acceleratrix in mediocri illa distantia exponatur per eandem. In duplicata ratione QK
ad QP capiatur QL ad QK, & erit QL attractio acceleratrix corporis P versus Q in distantia quavis QP. Junge PS, ei{que} pa∣rallelam age LM occurrentem QS in M, & attractio QL resol∣vetur (per Legum Corol. 2.) in attractiones QM, LM. Et sic urgebitur corpus P vi acceleratrice triplici: una tendente ad S & oriunda a mutua attractione corporum S & P. Hac vi sola corpus P, circum corpus S sive immotum, sive hac attractione a∣gitatum, describere deberet & areas, radio PS temporibus pro∣portionales, & Ellipsin cui umbilicus est in centro corporis S. Pa∣tet hoc per Prob. VI. & Corollaria Theor. XXI. Vis altera est attractionis LM, quae
magis aberrat, quanto major est proportio hujus tertiae vis ad vi∣res priores, caeteris paribus; at{que} adeo quae faciet ut corpus P, radio SP, areas non amplius temporibus proportionales describet, at{que} aberratio ab hac proportionalitate ut tanto major sit, quanto major est proportio vis hujus tertiae ad vires caeteras. Orbis vero PAB aberrationem a forma Elliptica praefata hac vis tertia du∣plici de causa adaugebit, tum quod non dirigitur a P ad S, tum etiam quod non sit proportionalis quadrato distantiae PS. Qui∣bus intellectis, manifestum est quod areae temporibus tum maxi∣me fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus caeteris, fit minima; & quod Orbis PAB tum maxime accedit ad praefa∣tam formam Ellipticam, ubi vis tam secunda quam tertia, sed prae∣cipue vis tertia, sit minima, vi prima manente.
Exponatur corporis S attractio acceleratrix versus Q per line∣am QN; & si attractiones acceleratrices QM, QN aequales essent, hae trahendo corpora S & P aequaliter & secundum lineas paralle∣las, nil mutarent situm eorum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter se (per Legum Corol. 6.) ac si hae attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractio QN mi∣nor esset attractione QM, tolleret ipsa attractionis QM partem QN, & maneret pars sola MN, qua temporum & arearum pro∣portionalitas & Orbitae forma illa Elliptica perturbaretur. Et similiter si attractio QN major esset attractione QM, oriretur ex differentia sola MN perturbatio proportionalitatis & Orbitae. Sic per attractionem QN reducitur semper attractio tertia superior QM ad attractionem MN, attractione prima & secunda manen∣tibus prorsus immutatis: & propterea areae ac tempora ad pro∣portionalitatem, & Orbita PAB ad formam praefatam Ellipticam tum maxime accedunt, ubi attractio MN vel nulla est, vel quam fieri possit minima; hoc est ubi corporum P & S attractiones ac∣celeratrices, factae versus corpus Q, accedunt quantum fieri potest ad aequalitatem; id est ubi attractio QN non est nulla, ne{que} minor minima attractionum omnium QM, sed inter attractionum om∣nium
QM maximam & minimam quasi mediocris, hoc est, non multo major ne{que} multo minor attractione QK. Q.E.D.
Cas. 2. Revolvantur jam corpora minora P, Q circa maximum S in planis diversis, & vis LM, agendo secundum lineam PS in plano Orbitae PAB sitam, eundem habebit effectumac prius, ne∣{que} corpus P de plano Orbitae suae deturbabit. At vis altera NM, agendo secundum lineam quae ipsi QS parallela est, (at{que} adeo, quando corpus Q versatur extra lineam Nodorum, inclinatur ad planum Orbitae PAB;) praeter perturbationem motus in longitu∣dinem jam ante expositam, inducet perturbationem motus in la∣titudinem, trahendo corpus P de plano suae Orbitae. Et haec per∣turbatio in dato quovis corporum P & S ad invicem situ, erit ut vis illa generans MN, adeo{que} minima evadet ubi MN est minima, hoc est (uti jam exposui) ubi attractio QN non est multo ma∣jor ne{que} multo minor attractione QK. Q.E.D.
Corol. 1. Ex his facile colligitur quod si corpora plura mino∣ra P, Q, R &c. revolvantur circa maximum S: motus corporis in∣timi P minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi cor∣pus maximum S pariter a caeteris, pro ratione virium acceleratri∣cum, attrahitur & agitatur at{que} caeteri a se mutuo.
Carol. 2. In Systemate vero trium corporum S, P, Q; si attrac∣tiones acceleratrices binorum quorumcun{que} in tertium sint ad in∣vicem reciproce ut quadrata distantiarum, corpus P radio PS are∣am circa corpus S velocius describet prope conjunctionem A & op∣positionem B, quam prope quadraturas C, D. Nam{que} vis omnis qua corpus P urgetur & corpus S non urgetur, quae{que} non agit secundum lineam PS, accelerat vel retardat descriptionem areae, perinde ut ipsa in antecedentia vel in consequentia dirigitur. Ta∣lis est vis NM, Haec in transitu corporis P a C ad A tendit in antecedentia, motum{que} accelerat; dein us{que} ad D in consequentia, & motum retardat; tum in antecedentia us{que} ad B, & ultimo in conseqentia transeundo a B ad C.
Corol. 3. Et eodem argumento patet quod corpus P, caeteris
paribus, velocius movetur in Conjunctione & Oppositione quam in Quadraturis.
Corol. 4. Orbita corporis P caeteris paribus curvior est in qua∣draturis quam in Conjunctione & Oppositione. Nam corpora velociora minus deflectunt a recto tramite. Et praeterea vis NM, in Conjunctione & Oppositione, contraria est vi qua corpus S trahit corpus P, adeo{que} vim illam minuit; corpus autem P mi∣nus deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus S.
Corol. 5. Unde corpus P, caeteris paribus, longius recedet a corpore S in quadraturis, quam in Conjunctione & Oppositio∣ne. Haec ita se habent excluso motu Excentricitatis. Nam si Orbita corporis P excentrica sit, Excentricitas ejus (ut mox in hujus Corol. 9. ostendetur) evadet maxima ubi Apsides sunt in Syzygiis; inde{que} fieri potest ut corpus P, ad Apsidem summam appellans, absit longius a corpore S in Syzygiis quam in Qua∣draturis.
Corol. 6. Quo∣niam
minus quam in Radii hujus ratione sesquiplicata, per Co∣rol. 6. Prop. IV. Si vis illa corporis centralis paulatim langues∣ceret, corpus P minus semper & minus attractum perpetuo rece∣deret longius a centro S; & contra, si vis illa augeretur, accede∣ret propius. Ergo si actio corporis longinqui Q, qua vis illa di∣minuitur, augeatur ac diminuatur per vices, augebitur simul ac diminuetur Radius SP per vices, & tempus periodicum augebi∣tur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata Radii & ratione dimidiata qua vis illa centripeta corporis cen∣tralis S per incrementum vel decrementum actionis corporis lon∣ginqui Q diminuitur vel augetur.
Corol. 7. Ex praemissis consequitur etiam quod Ellipseos a cor∣pore P descriptae axis seu Apsidum linea, quoad motum angula∣rem progreditur & regreditur per vices, sed magis tamen pro∣greditur, & in singulis corporis revolutionibus per excessum pro∣gressionis fertur in consequentia. Nam vis qua corpus P urge∣tur in corpus S in Quadraturis, ubi vis MN evanuit, componitur ex vi LM & vi centripeta qua corpus S trahit corpus P. Vis pri∣or LM, si augeatur distantia PS, augetur in eadem fere ratione cum hac distantia, & vis posterior decrescit in duplicata illa ra∣tione, adeo{que} summa harum virium decrescit in minore quam du∣plicata ratione distantiae PS, & propterea, per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem seu Apsidem summam regredi. In Conjunc∣tione vero & Oppositione, vis qua corpus P urgetur in corpus S differentia est inter vim qua corpus S trahit corpus P & vim KL; & differentia illa, propterea quod vis KL augetur quamproxi∣me in ratione distantiae PS, decrescit in majore quam duplicata ratione distantiae PS, adeo{que} per Corol. 1. Prop. XLV. facit Au∣gem progredi. In locis inter Syzygias & Quadraturas, pendet motus Augis ex causa utra{que} conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius excessu progrediatur ipsa vel regrediatur. Unde cum vis KL in Syzygiis sit quasi dupla vis LM in quadraturis, excessus in tota revolutione erit penes vim KL, transferet{que} Augem singulis
revolutionibus in consequentia. Veritas autem hujus & praeceden∣tis Corollarii facilius intelligetur concipiendo Systema corporum duorum S, P corporibus pluribus Q, Q, Q &c. in Orbe QE con∣sistentibus, unde{que} cingi. Nam{que} horum actionibus actio ipsius S mi∣nuetur undi{que} decrescet{que} in ratione plusquam duplicata distantiae.
Corol. 8. Cum autem pendeat Apsidum progressus vel regres∣sus a decremento vis centripetae facto in majori vel minori quam duplicata ratione distantiae SP, in transitu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam; ut & a simili incremento in reditu ad Ap∣sidem imam; at{que} adeo maximus sit ubi proportio vis in Apside summa ad vim in
Corol. 9. Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadra∣to distantiae suae a centro, revolveretur circa hoc centrum in El∣lipsi, & mox, in descensu ab Apside summa seu Auge ad Apsidem imam, vis illa per accessum perpetuum vis novae augeretur in ra∣tione plusquam duplicata distantiae diminutae: Manifestum est quod corpus, perpetuo accessu vis illius novae impulsum semper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in duplicata ratione distantiae diminutae, adeo{que} Orbem describeret Orbe Elliptico interiorem, & in Apside ima propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, accessu
hujus vis novae, fiet magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad distantiam pri∣orem, adeo{que} si vis decrescat in majori ratione, corpus jam mi∣nus attractum ascendet ad distantiam majorem & sic Orbis Excen∣tricitas adhuc magis augebitur. Igitur si ratio incrementi & de∣crementi vis centripetae singulis revolutionibus augeatur, augebi∣tur semper Excentricitas, & e contra, diminuetur eadem si ratio illa decrescat. Jam vero in Systemate corporum S, P, Q, ubi Apsides orbis PAB sunt in quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima est, & maxima fit ubi Apsides sunt in Syzy∣giis. Si Apsides constituantur in quadraturis ratio prope Apsi∣des minor est, & prope Syzygias major quam duplicata distanti∣arum, & ex ratione illa majori oritur Augis motus velocissimus, uti jam dictum est. At si consideretur ratio incrementi vel de∣crementi totius in progressu inter Apsides, haec minor est quam duplicata distantiarum. Vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in minore quam duplicata ratione distantiae Apsidis sum∣mae ab umbilico Ellipseos ad distantiam Apsidis imae ab eodem umbilico: & e contra, ubi Apsides constituuntur in Syzygiis, vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in majore quam dupli∣cata ratione distantiarum. Nam vires LM in quadraturis additae viribus corporis S componunt vires in ratione minore, & vires KL in Syzygiis subductae viribus corporis S relinquunt vires in ratione majore. Est igitur ratio decrementi & incrementi totius in transitu inter Apsides, minima in quadraturis, maxima in Sy∣zygiis: & propterea in transitu Apsidum a quadraturis ad Syzy∣gias perpetuo augetur, auget{que} Excentricitatem Ellipsieos; in{que} transitu a Syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur, & Ex∣centricitatem diminuit.
Corol. 10. Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fin∣gamus planum Orbis QES immobile manere; & ex errorum ex∣posita causa manifestum est, quod ex viribus NM, ML, quae sunt
causa illa tota, vis ML agendo semper secundum planum Orbis PAB, nunquam perturbat motus in latitudinem, quod{que} vis NM ubi Nodi sunt in Syzygiis, agendo etiam secundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero sunt in Quadratu∣ris eos maxime perturbat, corpus{que} P de plano Orbis sui perpetu∣o trahendo, minuit inclinationem plani in transitu corporis a qua∣draturis ad Syzygias, auget{que} vicissim eandem in transitu a Syzy∣giis ad quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis existente inclinatio evadat omnium minima, redeat{que} ad priorem magni∣tudinem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At si Nodi constituantur in Octantibus post quadraturas, id est inter C & A, D & B, intelligetur ex modo expositis quod, in transitu cor∣poris P a Nodo alterutro ad gradum inde nonagesimum, inclina∣tio plani perpetuo minuitur; deinde in transitu per proximos 45 gradus, us{que} ad quadraturam proximam, inclinatio augetur, & pos∣tea denuo in transitu per alios 45 gradus, us{que} ad nodum proxi∣mum, diminuitur. Magis ita{que} diminuitur inclinatio quam auge∣tur, & propterea minor est semper in nodo subsequente quam in praecedente. Et simili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminui〈…〉〈…〉, ubi nodi sunt in Octantibus alteris inter A & D, B & C. Inclinatio igitur ubi Nodi sunt in Syzygiis est omnium max∣ima. In transitu eorum a Syzygiis ad quadraturas, in singulis corporis ad Nodos appulsibus, diminuitur, fit{que} omnium minima ubi nodi sunt in quadraturis & corpus in Syzygiis: dein creseit iisdem gradibus quibus antea decreverat, Nodis{que} ad Syzygias proximas appulsis ad magnitudinem primam revertitur.
Corol. 11. Quoniam corpus P ubi nodi sunt in quadraturis per∣petuo trahitur de plano Orbis sui, id{que} in partem versus Q, in transitu suo a nodo C per Conjunctionem A ad nodum D; & in contrariam partem in transitu a nodo D per Oppositionem B ad nodum C; manifestum est quod in motu suo a nodo C, corpus perpetuo recedit ab Orbis sui plano primo CD, us{que} dum perven∣tum est ad nodum proximum; adeo{que} in hoc nodo longissime distans a plano illo primo CD, transit per planum Orbis QES,
non in plani illius Nodo altero D, sed in puncto quod inde vergit ad partes corporis Q, quod{que} proinde novus est Nodi locus in anteriora vergens. Et simili argumento pergent Nodi recedere in transitu Corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi igi∣tur in quadraturis constituti perpetuo recedunt, in Syzygiis (ubi motus in latitudinem nil perturbatur) quiescunt; in locis inter∣mediis conditionis utrius{que} participes recedunt tardius, adeo{que} semper vel retrogradi vel stationarii singulis revolutionibus ferun∣tur in antecedentia.
Corol. 12. Omnes illi in his Corollariis descripti errores sunt paulo majores in conjunctione Corporum P, Q quam in eorum Oppositione, id{que} ob majores vires generantes NM & ML.
Corol. 13. Cum{que} rationes horum Corollariorum non pende∣ant a magnitudine corporis Q, obtinent praecedentia omnia, ubi corporis Q tanta statuitur magnitudo ut circa ipsum revolvatur corporum duorum S & P Systema. Et ex aucto corpore Q, aucta{que} adeo ipsius vi centripeta, a qua errores corporis P oriun∣tur, evadent errores illi omnes (paribus distantiis) majores in hoc casu quam in altero, ubi corpus Q circum Systema corporum P & S revolvitur.
Corol. 14 Cum autem vires NM, ML, ubi corpus Q longin∣quum est, sint quamproxime ut vis QK & ratio PS ad QS con∣junctim, hoc est, si detur tum distantia PS, tum corporis Q vis absoluta, ut QS cub. reciproce; sint autem vires illae NM, ML causae errorum & effectuum omnium de quibus actum est in prae∣cedentibus Corollariis: manifestum est quod effectus illi omnes, stante corporum S & P Systemate, sint quamproxime in ratione composita ex ratione directa vis absolutae corporis Q & ratione triplicata inversa distantiae QS. Unde si Systema corporum S & P revolvatur circa corpus longinquum Q, vires illae NM, ML & earum effectus erunt (per Corol. 2. & 6. Prop. IV.) recipro∣ce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde si magnitudo corporis Q proportionalis sit ipsius vi absolutae, erunt vires illae
NM, ML & carum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporis Qe corpore S spectati, & vice versa. Nam{que} hae rationes eaedem sunt at{que} ratio superior composita.
Corol. 15. Et quoniam si, manentibus Orbium QE & PAB forma, proportionibus & inclinatione ad invicem, inutetur eorum magnitudo, & si corporum Q & S vel maneant vel mutentur vi∣res in data quavis ratione, hae vires (hoc est vis corporis S, qua corpus P de recto tramite in Orbitam PAB deflectere, & vis cor∣poris Q, qua corpus idem P de Orbita illa deviare cogitur) agunt semper eodem modo & eadem proportione: necesse est ut simi∣les & proportionales sint effectus omnes & proportionalia effec∣tuum tempora; hoc est, ut errores omnes lineares sint ut Orbium diametri, angulares vero iidem qui prius, & errorum linearium similium vel angularium aequalium tempora ut Orbium tempora periodica.
Corol. 16. Unde, si dentur Orbium formae & inclinatio ad invicem, & mutentur utcun{que} corporum magnitudines, vires & distantiae; ex datis erroribus & errorum temporibus in uno Casu colligi possunt errores & errorum tempora in alio quovis, quam proxime: Sed brevius hac Methodo. Vires NM, ML caeteris stantibus sunt ut Radius SP, & harum effectus periodici (per Corol. 2, Lem. X) ut vires & quadratum temporis periodici cor∣poris P conjunctim. Hi sunt errores lineares corporis P; & hinc errores angulares e centro S spectati (id est tam motus Augis & Nodorum, quam omnes in longitudinem & latitudinem errores ap∣parentes) sunt in qualibet revolutione corporis P, ut quadratum temporis revolutionis quam proxime. Conjungantur hae ratio∣nes cum rationibus Corollarii 14. & in quolibet corporum S, P, Q Systemate, ubi P circum S sibi propinquum, & S circum Q longinquum revolvitur, errores angulares corporis P, de centro S apparentes, erunt, in singulis revolutionibus corporis illius P, ut quadratum temporis periodici corporis P directe & quadratum temporis periodici corporis S inverse. Et inde motus medius
Augis erit in data ratione ad motum medium Nodorum; & motus uter{que} erit ut tempus periodicum corporis P directe & quadratum temporis periodici corporis S inverse. Augendo vel minuendo Excentricitatem & Inclinationem Orbis PAB non mutantur mo∣tus Augis & Nodorum sensibilitur, nisi ubi eaedem sunt nimis magnae.
Corol. 17. Cum autem linea LM nunc major sit nunc minor quam radius PS, Exponatur vis mediocris LM per radium illum PS, & erit haec ad vim mediocrem QK vel QN (quam exponere licet per QS) ut longitudo PS ad longitudinem QS. Est autem vis mediocris QN vel QS, qua corpus retinetur in orbe suo circum Q, ad vim qua corpus P retinetur in Or∣be suo circum S, in ratione composita ex ratione radii QS ad radium PS, & ratione duplicata temporis periodici corporis P circum S ad tempus periodicum corporis S circum Q. Et ex ae∣quo, vis mediocris LM, ad vim qua corpus P retinetur in Orbe suo circum S (quave corpus idem P eodem tempore periodico circum punctum quodvis immobile S ad distantiam PS revolvi posset) est in ratione illa duplicata periodicorum temporum. Datis igitur temporibus periodicis una cum distantia PS, datur vis mediocris LM; & ea data datur etiam vis MN quamproxime per analogiam linearum PS, MN.
Corol. 18. Iisdem legibus quibus corpus P circum corpus S revolvitur, fingamus corpora plura fluida circum idem S ad ae∣quales ab ipso distantias moveri; deinde ex his contiguis factis con∣flari annulum fluidum, rotundum ac corpori S concentricum; & singulae annuli partes, motus suos omnes ad legem corporis P peragendo, propius accedent ad corpus S, & celerius movebun∣tur in Conjunctione & Oppositione ipsarum & corporis Q, quam in Quadraturis. Et Nodi annuli hujus seu intersectiones ejus cum plano Orbitae corporis Q vel S, quiescent in Syzygiis; extra Syzygias vero movebuntur in antecedentia, & velocissime quidem in Quadraturis, tardius aliis in locis. Annuli quo{que} inclinatio
variabitur, & axis ejus singulis revolutionibus oscillabitur, com∣pleta{que} revolutione ad pristinum situm redibit, nisi quatenus per praecessionem Nodorum circumfertur.
Corol. 19. Fingas jam globum corporis S ex materia non flu∣ida constantem ampliari & extendi us{que} ad hunc annulum, & al∣veo per circuitum excavato continere Aquam, motu{que} eodem periodico circa axem suum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus & retardatus (ut in superiore Lemmate) in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam superficies Globi, & sic fluet in alveo refluet{que} ad modum Maris. Aqua revolvendo circa Globi centrum quiescens, si tollatur attractio Q, nullum acquiret motum fluxus & refluxus. Par est ratio Globi uniformiter progredientis in directum & interea revolventis cir∣ca centrum suum (per Legum Corol. 5) ut & Globi de cursu rectilineo uniformiter tracti (per Legum Corol. 6.) Accedat au∣tem corpus Q, & ab ipsius inaequabili attractione mox turbabi∣tur Aqua. Etenim major erit attractio aquae propioris, minor ea remotioris. Vis autem LM trahet aquam deorsum in Quadra∣turis, faciet{que} ipsam descendere us{que} ad Syzygias; & vis KL trahet eandem sursum in Syzygiis, sistet{que} descensum ejus & faciet ip∣sam ascendere us{que} ad Quadraturas.
Corol. 20. Si annulus jam rigeat & minuatur Globus, cessa∣bit motus fluendi & refluendi; sed Oscillatorius ille inclinationis motus & praecessio Nodorum manebunt. Habeat Globus eun∣dem axem cum annulo, gyros{que} compleat iisdem temporibus, & superficie sua contingat ipsum interius, ei{que} inhaereat; & partici∣pando motum ejus, compages utrius{que} Oscillabitur & Nodi regre∣dientur. Nam Globus, ut mox dicetur, ad suscipiendas im∣pressiones omnes indifferens est. Annuli Globo orbati maximus inclinationis angulus est ubi Nodi sunt in Syzygiis. Inde in pro∣gressu Nodorum ad Quadraturas conatur is inclinationem suam minuere, & isto conatu motum imprimit Globo toti. Retinet Globus motum impressum us{que} dum annulus conatu contrario
motum hunc tollat, imprimat{que} motum novum in contrariam par∣tem: At{que} hac ratione maximus decrescentis inclinationis motus fit in Quadraturis Nodorum, & minimus inclinationis angulus in Octantibus post Quadraturas; dein maximus reclinationis mo∣tus in Syzygiis & maximus angulus in Octantibus proximis. Et eadem est ratio Globi annulo nudati, qui in regionibus aequatoris vel altior est paulo quam juxta polos, vel constat ex materia pau∣lo densiore. Supplet enim vicem annuli iste materiae in aequa∣toris regionibus excessus. Et quanquam, aucta utcun{que} Globi hu∣jus vi centripeta, tendere supponantur omnes ejus partes deorsum, ad modum gravitantium partium telluris, tamen Phaenomena hujus & praecedentis Corollarii vix inde mutabuntur.
Corol. 21. Eadem ratione qua materia Globi juxta aequatorem redundans efficit ut Nodi regrediantur, at{que} adeo per hujus in∣crementum augetur iste regressus, per diminutionem vero dimi∣nuitur & per ablationem tollitur; si materia plusquam redun∣dans tollatur, hoc est, si Globus juxta aequatorem vel depressior reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum in consequentia.
Corol. 22. Et inde vicissim ex motu Nodorum innotescit con∣stitutio Globi. Nimirum si Globus polos eosdem constanter ser∣vat & motus fit in antecedentia, materia juxta aequatorem re∣dundat; si in consequentia, deficit. Pone Globum uniformem & perfecte circinatum in spatiis liberis primo quiscere; dein im∣petu quocun{que} oblique in superficiem suam facto propelli, & motum inde concipere partim circularem, partim in directum. Quoniam Globus iste ad axes omnes per centrum suum transe∣untes indifferenter se habet, ne{que} propensior est in unum axem, unumve axis situm, quam in alium quemvis; perspicuum est quod is axem suum axis{que} inclinationem vi propria nunquam muta∣bit. Impellatur jam Globus oblique in eadem illa superficiei parte qua prius, impulsu quocun{que} novo; & cum citior vel serior impulsus effectum nil mutet, manifestum est quod hi duo impul∣sus
successive impressi eundem producent motum ac si simul im∣pressi fuissent, hoc est eundem ac si Globus vi simplici ex utro∣{que} (per Legum Corol. 2.) composita impulsus fuisset, at{que} adeo simplicem, circa axem inclinatione datum. Et par est ratio im∣pulsus secundi facti in locum alium quemvis in aequatore motus primi; ut & impulsus primi facti in locum quemvis in aequatore motus, quem impulsus secundus abs{que} primo generaret; at{que} a∣deo impulsuum amborum factorum in loca quaecun{que}: Genera∣bunt hi eundem motum circularem ac si simul & semel in locum intersectionis aequatorum motuum illorum, quos seorsim genera∣rent, fuissent impressi. Globus igitur homogeneus & perfectus non retinet motus plures distinctos, sed impressos omnes componit & ad unum reducit, & quatenus in se est, gyratur semper motu simplici & uniformi circa axem unicum inclinatione semper inva∣riabili datum. Sed nec vis centripeta inclinationem axis, aut rota∣tionis velocitatem mutare potest. Si Globus plano quocun{que} per centrum suum & centrum in quod vis dirigitur transeunte dividi intelligatur in duo hemisphaeria, urgebit semper vis illa u∣trum{que} hemiphaerium aequaliter, & propterea Globum quoad motum rotationis nullam in partem inclinabit. Addatur vero a∣licubi inter polum & aequatorem materia nova in formam mon∣tis cumulata, & haec, perpetuo conatu recedendi a centro sui mo∣tus, turbabit motum Globi, faciet{que} polos ejus errare per ipsius superficiem, & circulos circum se punctum{que} sibi oppositum per∣petuo describere. Ne{que} corrigetur ista vagationis enormitas, nisi locando montem illum vel in polo alterutro, quo in Casu, per Corol. 21, Nodi aequatoris progredientur; vel in aequatore, qua ratione, per Corol. 20, Nodi regredientur; vel deni{que} ex altera axis parte addendo materiam novam, qua mons inter movendum libretur: & hoc pacto Nodi vel progredientur, vel recedent, per∣inde ut mons & haecce nova materia sunt vel polo vel aequatori propiores.
Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius Q, circa interiorum P, S commune Gravitatis centrum C, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis ma∣gis accedentem, quam circa corpus intimum & maximum S, radi∣is ad ipsum ductis, describere potest.
Nam corporis Q attractiones versus S & P componunt ipsius attractionem absolutam, quae magis dirigitur in corporum S & P commune gravitatis centrum C, quam in corpus maximum S, quae∣{que} quadrato distantiae QC magis est proportionalis reciproce, quam quadrato distantiae QS: ut rem perpendenti facile con∣stabit.
Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius Q cir∣ca interiorum P & S commune gravitatis centrum C, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportio∣nales, & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, si corpus intimum & maximum his attractionibus perinde at{que} caetera agitetur, quam si id vel non at∣tractum quiescat, vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis aut multo minus agitetur.
Demonstratur eodem fere modo cum Prop. LXVI, sed argu∣mento prolixiore, quod ideo praetereo. Suffecerit rem sic aesti∣mare. Ex demonstratione Propositionis novissimae liquet cen∣trum in quod corpus Q conjunctis viribus urgetur, proximum es∣se communi centro gravitatis illorum duorum. Si coincideret hoc centrum cum centro illo communi, & quisceret commune centrum gravitatis corporum trium; describerent corpus Q ex u∣na
parte, & commune centrum aliorum duorum ex altera par∣te, circa commune omnium centrum quiescens, Ellipses accuratas. Liquet hoc per Corollarium secundum Propositionis LVIII. col∣latum cum demonstratis in Prop. LXIV. & LXV. Perturbatur iste motus Ellipticus aliquantulum per distantiam centri duorum a centro in quod tertium Q attrahitur. Detur praeterea motus communi trium centro, & augebitur perturbatio. Proinde mi∣nima est perturbatio, ubi commune trium centrum quiescit, hoc est ubi corpus intimum & maximum S lege caeterorum attrahi∣tur: sit{que} major semper ubi trium commune illud centrum, mi∣nuendo motum corporis S, moveri incipit & magis deinceps ma∣gis{que} agitatur.
Corol. Et hinc si corpora plura minora revolvantur circa max∣imum, colligere licet
In Systemate corporum plurium A, B, C, D &c. si corpus aliquod A trahit caetera omnia B, C, D &c. viribus acceleratricibus quae sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente; & corpus ali∣ud B trahit etiam caetera A, C, D &c. viribus quae sunt recipro∣ce ut quadrata distantiarum a trahente: erunt absolutae corporum trahentium A, B vires ad invicem, ut sunt ipsa corpora A, B, quo∣rum sunt vires.
Nam attractiones acceleratrices corporum omnium B, C, D versus A, paribus distantiis, sibi invicem aequantur ex hypothesi, & similiter attractiones acceleratrices corporum omnium versus B, paribus distantiis, sibi invicem aequantur. Est autem absolu∣ta vis attractiva corporis A ad vim absolutam attractivam corporis B, ut attractio acceleratrix corporum omnium versus A ad attrac∣tionem acceleratricem corporum omnium versus B, paribus distan∣tiis; & ita est attractio acceleratrix corporis B versus A, ad attrac∣tionem acceleratricem corporis A versus B. Sed attractio acce∣leratrix corporis B versus A est ad attractionem acceleratricem corporis A versus B, ut massa corporis A ad massam corporis B; propterea quod vires motrices, quae (per Definitionem secun∣dam, septimam & octavam) ex viribus acceleratricibus in corpo∣ra attracta ductis oriuntur, sunt (per motus Legem tertiam) sibi invicem aequales. Ergo absoluta vis attractiva corporis A est ad absolutam vim attractivam corporis B, ut massa corporis A ad massam corporis B.Q.E.D.
Corol. 1. Hinc si singula Systematis corpora A, B, C, D, &c. seorsim spectata trahant caetera omnia viribus acceleratricibus quae sint reciproce ut Quadrata distantiarum a trahente; erunt corporum illorum omnium vires absolutae ad invicem ut sunt ip∣sa corpora.
Corol. 2. Eodem argumento, si singula Systematis corpora A, B, C, D &c. seorsim spectata trahant caetera omnia viribus ac∣celeratricibus quae sunt vel reciproce vel directe in ratione dig∣nitatis cujuscun{que} distantiarum a trahente, quaeve secundum le∣gem quamcun{que} communem ex distantiis ab unoquo{que} trahente definiuntur; constat quod corporum illorum vires absolutae sunt ut corpora.
Corol. 3. In Systemate corporum, quorum vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum, si minora circa maximum in El∣lipsibus umbilicum communem in maximi illius centro habentibus quam fieri potest accuratissimis revolvantur, & radiis ad maxi∣mum illud ductis describant areas temporibus quam maxime pro∣portionales: erunt corporum illorum vires absolutae ad invicem, aut accurate aut quamproxime in ratione corporum; & contra. Patet per Corol. Prop. LXVIII. collatum cum hujus Corol, 1.
His Propositionibus manuducimur ad analogiam inter vires cen∣tripetas & corpora centralia, ad quae vires illae dirigi solent. Ra∣tioni enim consentaneum est, ut vires quae ad corpora diriguntur pendeant ab eorundem natura & quantitate, ut sit in Magneti∣cis. Et quoties hujusmodi casus incidunt, aestimandae erunt cor∣porum attractiones, assignando singulis eorum particulis vires pro∣prias, & colligendo summas virium. Vocem attractionis hic ge∣neraliter usurpo pro corporum conatu quocun{que} accedendi ad invicem, sive conatus iste fiat ab actione corporum vel se mutuo petentium, vel per Spiritus emissos se invicem agitantium, sive is ab actione Aetheris aut Aeris mediive cujuscun{que} seu corporei seu incorporei oriatur corpora innatantia in se invicem utcun{que} impellentis. Eodem sensu generali usurpo vocem impulsus, non species virium & qualitates physicas, sed quantitates & propor∣tiones Mathematicas in hoc Tractatu expendens: ut in Defi∣nitionibus
explicui. In Mathesi investigandae sunt virium quan∣titates & rationes illae, quae ex conditionibus quibuscun{que} po∣sitis consequentur: deinde ubi in Physicam descenditur, con∣ferendae sunt hae rationes cum Phaenomenis, ut innotescat quae∣nam virium conditiones singulis corporum attractivorum gene∣ribus competant. Et tum demum de virium speciebus, causis & rationibus physicis tutius disputare licebit. Videamus igitur qui∣bus viribus corpora Sphaerica, ex particulis modo jam exposito attractivis constantia, debeant in se mutuo agere, & quales mo∣tus inde consequantur.
Si ad Sphaericae superficiei puncta singula tendant vires aequales cen∣tripetae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus nullam in partem attrahitur.
Sit HIKL superficies illa Sphaerica, & P corpusculum intus constitutum. Per P agantur ad hanc superficiem lineae duae HK, IL, arcus quam minimos HI, KL intercipientes; & ob triangu∣la HPI, LPK (per Corol. 3. Lem. VII.) similia, arcus illi e∣runt distantiis HP, LP proportionales, & superficiei Sphaericae par∣ticulae quaevis, ad HI & KL rectis per punctum P transeuntibus undi{que} terminatae, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires
harum particularum in corpus P exercitae sunt inter se aequales. Sunt enim ut particulae directe & quadrata distantiarum inverse. Et hae duae rationes componunt ra∣tionem
Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphaericam superficiem constitutum attrahitur ad centrum Sphaerae, vi reciproce proportiona∣li quadrato distantiae suae ab eodem centro.
Sint AHKB, ahkb aequales duae superficies Sphaericae, centris S, s, diametris AB, ab descriptae, & P, p corpuscula sita extrin∣secus in diametris illis productis. Agantur a corpusculis lineae
SD, sd secent PL, pl in F & f. Demittantur etiam ad dia∣metros perpendicula IQ, iq; & ob aequales DS & ds, ES & es, & angulos evanescentes DPE & dpe, lineae PE, PF & pe, pf & lineolae DF, df pro aequalibus habeantur: quippe qua∣rum ratio ultima, angulis illis DPE, dpe simul evanescentibus, est aequalitatis. His ita{que} constitutis, erit PI ad PF ut RI ad DF, & pf ad pi ut DF vel df ad ri; & ex aequo PI×pf ad PF×pi ut RI ad ri, hoc est (per Corol. 3. Lem. VII.) ut ar∣cus IH ad arcum ih. Rursus PI ad PS ut IQ ad SE, & ps ad pi ut SE vel se ad iq; & ex aequo PI×ps ad PS×pi ut IQ ad iq. Et conjunctis rationibus PI quad.×pf×ps ad pi quad.×PF
×PS, ut IH×IQ ad ih×iq; hoc est, ut superficies circularis, quam arcus IH convolutione semicirculi AKB circa diametrum AB describet, ad superficiem circularem, quam arcus ih convolu∣tione semicirculi akb circa diametrum ab describet. Et vires, qui∣bus hae superficies secundum lineas ad se tendentes attrahunt cor∣puscula P & p, sunt (per Hypothesin) ut ipsae superficies appli∣catae ad quadrata distantiarum suarum a corporibus, hoc est, ut pf×ps ad PF×PS. Sunt{que} hae vires ad ipsarum partes obliquas quae (facta per Legum Corol. 2 resolutione virium) secundum lineas PS, ps ad centra tendunt, ut PI ad PQ, & pi ad pq; id est (ob similia triangula PIQ & PSF, piq & psf) ut PS ad PF & ps ad pf. Unde ex aequo fit attractio corpusculi hujus P versus S ad attractionem corpusculi p versus s, ut PF×pf×ps / PS ad
[illustration]
pf×PF×PS / ps, hoc est ut ps quad. ad PS quad. Et simili argu∣mento vires, quibus superficies convolutione arcuum KL, kl de∣scriptae trahunt corpuscula, erunt ut ps quad. ad PS quad.; in∣{que} eadem ratione erunt vires superficierum omnium circularium in quas utra{que} superficies Sphaerica, capiendo semper sd=SD & se=SE, distingui potest. Et per Compositionem, vires tota∣rum superficierum Sphaericarum in corpuscula exercitae erunt in eadem ratione. Q.E.D.
Si ad Sphaerae cujusvis puncta singula tendant vires aequales centripe∣tae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, ac de∣tur ratio diametri Sphaerae ad distantiam corpusculi a centro ejus; dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semi∣diametro Sphaerae.
Nam concipe corpuscula duo seorsim a Sphaeris duabus attra∣hi, & distantias a centris proportionales esse diametris, Sphaeras autem resolvi in particulas similes & similiter positas ad corpus∣cula. Hinc attractiones corpusculi unius, factae versus singulas par∣ticulas Sphaerae unius, erunt ad attractiones alterius versus analo∣gas totidem particulas Sphaerae alterius, in ratione composita ex ratione particularum directe & ratione duplicata distantiarum in∣verse. Sed particulae sunt ut Sphaerae, hoc est in ratione tripli∣cata diametrorum, & distantiae sunt ut diametri, & ratio prior directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc si corpuscula in circulis circa Sphaeras ex mate∣ria aequaliter attractiva constantes revolvantur, sint{que} distantiae a centris Sphaerarum proportionales earundem diametris; tem∣pora periodica erunt aequalia.
Corol. 2. Et vice versa, si tempora periodica sunt aequalia; distantiae erunt proportionales diametris. Constant haec duo per Corol. 3. Theor. IV.
Si ad sphaerae alicujus datae puncta singula tendant aequales vires cen∣tripetae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: di∣co quod corpusculum intra Sphaeram constitutum attrahitur vi pro∣portionali distantiae suae ab ipsius centro.
In Sphaera ABCD, centro S descripta, locetur corpusculum P, & centro eodem S intervallo SP concipe Sphaeram interiorem PEQF describi. Manifestum est, per
Superficies ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure Mathematicae, sed Orbes adeo tenues ut eorum crassitudo instar nihili sit; nimirum Orbes evanescentes ex quibus Sphaera ultimo constat, ubi Orbium illorum numerus augetur & crassitudo minu∣itur in infinitum, juxta Methodum sub initio in Lemmatis genera∣libus expositam. Similiter per puncta, ex quibus lineae, superfici∣es & solida componi dicuntur, intelligendae sunt particulae aequa∣les magnitudinis contemnendae.
Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphaeram constitutum at∣trahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiae suae ab ipsius centro.
Nam distinguatur Sphaera in superficies Sphaericas innumeras concentricas, & attractiones corpusculi a singulis superficiebus o∣riundae erunt reciproce proportionales quadrato distantiae corpus∣culi a centro, per Theor. XXXI. Et componendo, fiet summa attractionum, hoc est attractio Sphaerae totius, in eadem ratione. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc in aequalibus distantiis a centris homogenearum Sphaerarum, attractiones sunt ut Sphaerae. Nam per Theor. XXXII. si distantiae sunt proportionales diametris Sphaerarum, vires erunt ut diametri. Minuatur distantia major in illa ratio∣ne, & distantiis jam factis aequalibus, augebitur attractio in dupli∣cata illa ratione, adeo{que} erit ad attractionem alteram in triplica∣ta illa ratione, hoc est in ratione Sphaerarum.
Corol. 2. In distantiis quibusvis attractiones sunt ut Sphaerae applicatae ad quadrata distantiarum.
Corol. 3. Si corpusculum extra Sphaeram homogeneam posi∣tum trahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiae suae ab ipsius centro, constet autem Sphaera ex particulis attractivis; de∣crescet vis particulae cujus{que} in duplicata ratione distantiae a par∣ticula.
Si ad Sphaerae datae puncta singula tendant vires aequales centripetae decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, dico quod Sphaera quaevis alia similaris attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiae centrorum.
Nam particulae cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distantiae ejus a centro Sphaerae trahentis, (per Theor. XXXI,) &
propterea eadem est ac si vis tota attrahens manaret de corpus∣culo unico sito in centro hujus Sphaerae. Haec autem attractio tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a singulis Sphaerae attractae particulis eadem vi trahe∣retur qua ipsas attrahit. Foret autem illa corpusculi attractio (per Theor XXXIV) reciproce proportionalis quadrato di∣stantiae ejus a centro Sphaerae; adeo{que} huic aequalis attractio Sphae∣rae est in eadem ratione. Q.E.D.
Corol. 1. Attractiones Sphaerarum, versus alias Sphaeras homo∣geneas, sunt ut Sphaerae trahentes applicatae ad quadrata dis∣tantiarum centrorum suorum a centris earum quas attrahunt.
Corol. 2. Idem valet ubi Sphaera attracta etiam attrahit. Nam∣{que} hujus puncta singula trahent singula alterius, eadem vi qua ab ipsis vicissim trahuntur, adeo{que} cum in omni attractione urgea∣tur (per Legem 3.) tam punctum attrahens, quam punctum attractum, geminabitur vis attractionis mutuae, conservatis pro∣portionibus.
Corol. 3. Eadem omnia, quae superius de motu corporum cir∣ca umbilicum Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphaera attrahens locatur in umbilico & corpora moventur extra Sphaeram.
Corol. 4. Ea vero quae de motu corporum circa centrum Co∣nicarum Sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peragun∣tur intra Sphaeram.
Si Sphaerae in progressu a centro ad circumferentiam (quod materiae densitatem & vim attractivam) utcun{que} dissimilares, in progres∣su vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt un∣di{que} similares, & vis attractiva puncti cujus{que} decrescit in dupli∣cata ratione distantiae corporis attracti: dico quod vis tota qua hu∣jusmodi Sphaera una attrahit aliam sit reciproce proportionalis qua∣drato distantiae centrorum.
Sunto Sphaerae quotcun{que} concentricae similares AB, CD, EF &c. quarum interiores additae exterioribus componant materiam densiorem versus centrum, vel subductae relinquant tenuiorem; & hae, per Theor. XXXV, trahent Sphaeras alias quotcun{que} con∣centricas similares GH, IK, LM, &c. singulae singulas, viribus reciproce proportionalibus quadrato distantiae SP. Et compo∣nendo vel dividendo, summa virium illarum omnium, vel ex∣cessus aliquarum supra alias, hoc est, vis qua Sphaera tota ex con∣centricis quibuscun{que} vel concentricarum differentiis composita AB, trahit totam ex concentricis quibuscun{que} vel concentrica∣rum differen∣tiis
Corol. 1. Hinc si ejusmodi Sphaerae complures sibi invicem per omnia similes se mutuo trahant; attractiones acceleratrices sin∣gularum in singulas erunt in aequalibus quibusvis centrorum dis∣tantiis ut Sphaerae attrahentes.
Corol. 2. In{que} distantiis quibusvis inaequalibus, ut Sphaerae attra∣hentes applicatae ad quadrata distantiarum inter centra.
Corol. 3. Attractiones vero motrices, seu pondera Sphaerarum in Sphaeras erunt, in aequalibus centrorum distantiis, ut Sphaerae at∣trahentes & attractae conjunctim, id est, ut contenta sub Sphaeris per multiplicationem producta.
Corol. 4. In{que} distantiis inaequalibus, ut contenta illa applicata ad quadrata distantiarum inter centra.
Corol. 5. Eadem valent ubi attractio oritur a Sphaerae utrius{que} virtute attractiva, mutuo exercita in Sphaeram alteram. Nam vi∣ribus ambabus geminatur attractio, proportione servata.
Corol. 6. Si hujusmodi Sphaerae aliquae circa alias quiescentes revolvantur, singulae circa singulas, sint{que} distantiae inter centra revolventium & quiescentium proportionales quiescentium dia∣metris; aequalia erunt tempora periodica.
Corol. 7. Et vicissim, si tempora periodica sunt aequalia, dis∣tantiae erunt proportionales diametris.
Corol. 8. Eadem omnia, quae superius de motu corporum cir∣ca umbilicos Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphaera attrahens, formae & conditionis cujusvis jam descrip∣tae, locatur in umbilico.
Corol. 9. Ut & ubi gyrantia sunt etiam Sphaerae attrahentes, conditionis cujusvis jam descriptae.
Si ad singula Sphaerarum puncta tendant vires centripetae proportiona∣les distantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis composita, qua Sphaerae duae se mutuo trahent, est ut distantia inter centra Sphaerarum.
Cas 1. Sit ABCD Sphaera, S centrum ejus, P corpusculum attractum, PASB axis Sphaerae per centrum corpusculi transiens, EF, ef plana duo quibus Sphaera secatur, huic axi perpendicula∣ria, & hinc inde aequaliter distantia a centro Sphaerae; Gg inter∣sectiones planorum & axis, & H punctum quodvis in plano EF.
Puncti H vis centripeta in corpusculum P secundum lineam PH exercita est ut distantia PH, & (per Legum Corol. 2.) secun∣cundum lineam PG, seu versus centrum S, ut longitudo PG. Igi∣tur punctorum omnium in plano EF, hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut numerus punctorum ductus in distantiam PG: id est ut contentum sub plano ipso EF & distantia illa PG. Et similiter vis plani ef, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut planum il∣lud ductum in distantiam suam Pg; sive ut huic aequale planum EF ductum in distantiam illam Pg; & summa virium plani utri∣us{que} ut planum EF ductum in
Cas. 2. Trahat jam corpusculum P Sphaeram ACBD. Et codem argumento probabitur quod vis, qua Sphaera illa trahitur, erit ut distantia PS.Q.E.D.
Cas 3. Componatur jam Sphaera altera ex corpusculis innu∣meris P; & quoniam vis, qua corpusculum unumquod{que} trahitur, est ut distantia corpusculi a centro Sphaerae primae ducta in Sphae∣ram eandem, at{que} adeo eadem est ac si prodiret tota de corpus∣culo unico in centro Sphaerae; vis tota qua corpuscula omnia in Sphaera secunda trahuntur, hoc est, qua Sphaera illa tota trahitur, eadem erit ac si Sphaera illa traheretur vi prodeunte de corpus∣culo
unico in centro Sphaerae primae, & propterea proportionalis est distantiae inter centra Sphaerarum. Q.E.D.
Cas. 4. Trahant Sphaerae se mutuo, & vis geminata propor∣tionem priorem servabit. Q.E.D.
Cas, 5. Locetur jam corpusculum p intra Sphaeram ACBD, & quoniam vis plani ef in corpusculum est ut contentum sub plano illo & distantia pg; & vis contraria plani EF ut contentum sub plano illo & distantia pG; erit vis ex utra{que} composita ut differentia contentorum, hoc est, ut summa aequalium planorum ducta in. semissem differentiae distantiarum, id est, ut summa illa ducta in pS, distantiam
Cas. 6. Et si ex corpusculis innumeris p componatur Sphae∣ra nova intra Sphaeram priorem ACBD sita, probabitur ut prius, quod attractio, sive simplex Sphaerae unius in alteram, si∣ve mutua utrius{que} in se invicem, erit ut distantia centrorum pS.Q.E.D.
Si Sphaerae in progressu a centro ad circumferentiam sint utcun{que} dis∣similares & inaequabiles, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sint undi{que} similares; & vis attractiva puncti cujus{que} sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphaerae duae se mutuo trahunt sit proportionalis di∣stantiae inter centra Sphaerarum.
Demonstratur ex Propositione praecedente, eodem modo quo Propositio LXXVII. ex Propositione LXXV. demonstrata fuit.
Corol. Quae superius in Propositionibus X. & LXIV. de motu corporum circa centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sphaericorum, conditionis jam descriptae, sunt{que} corpora attracta Sphaerae con∣ditionis ejusdem.
Attractionum Casus duos insigniores jam dedi expositos; ni∣mirum ubi vires centripetae decrescunt in duplicata distantiarum ratione, vel crescunt in distantiarum ratione simplici; efficientes in utro{que} Casu ut corpora gyrentur in Conicis Sectionibus, & componentes corporum Sphaericorum vires centripetas eadem le∣ge in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum seipsis. Quod est notatu dignum. Casus caeteros, qui conclusiones mi∣nus elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset: Ma∣lim cunctos methodo generali simul comprehendere ac determi¦nare, ut sequitur.
Si describantur centro S circulus quilibet AEB, (Vide Fig. Prop. sequentis) & centro P circuli duo EF, ef, secantes priorem in E, e, lineam{que} PS in F, f; & ad PS demittantur perpendicula ED, ed: dico quod si distantia arcuum EF, ef in infinitum mi∣nui intelligatur, ratio ultima lineae evanescentis Dd ad lineam evanescentem Ff ea sit, quae lineae PE ad lineam PS.
Nam si linea Pe secet arcum EF in q; & recta Ee, quae cum arcu evanescente Ee coincidit, producta occurrat rectae PS in T; & ab S demittatur in PE normalis SG: ob similia triangula EDT, edt, EDS; erit Dd ad Ee ut DT ad ET seu DE ad
ES, & ob triangula Eqe, ESG (per Lem. VIII. & Corol. 3. Lem. VII.) similia, erit Ee ad qe seu Ff, ut ES ad SG, & ex aequo Dd ad Ff ut DE ad SG; hoc est (ob similia triangula PDE, PGS) ut PE ad PS.Q.E.D.
Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescens EFfe, convolutione sui circa axem PS, describat solidum Sphae∣ricum concavo-convexum, ad cujus particulas singulas aequales ten∣dant aequales vires centripetae: dico quod vis, qua solidum illud trahit corpusculum situm in P, est in ratione composita ex ratione solidi DEq.×Ff & ratione vis qua particula data in loco Ff traheret idem corpusculum.
Nam si primo consideremus vim superficiei Sphaericae FE, quae convolutione arcus FE generatur, & linea de ubivis secatur in r; erit superfi∣ciei
minor, in ratione PD ad PE, adeo{que} ut PD×Dd. Di∣vidi jam intelligatur linea DF in particulas innumeras aequales, quae singulae nominentur Dd; & superficies FE dividetur in totidem aequales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium PD×Dd, hoc est, cum lineolae omnes Dd sibi invicem aequentur, adeo{que} pro datis haberi possint, ut summa omnium PD ducta in Dd, id est, ut ½ PFq.−½ PDq. sive ½ PEq.−½ PDq. vel ½ DEq. ductum in Dd; hoc est, si negligatur data ½ Dd, ut DE quad. Ducatur jam superficies FE in altitudinem Ff; & fiet solidi EFfe vis ex∣ercita in corpusculum P ut DEq.×Ff: puta si detur vis quam particula aliqua data Ff in distantia PF exercet in corpusculum P. At si vis illa non detur, fiet vis solidi EFfe ut solidum DEq.×Ff & vis illa non data conjunctim. Q.E.D.
Si ad Sphaerae alicujus AEB, centro S descriptae, particulas singulas ae∣quales tendant aequales vires centripetae, & ad Sphaerae axem AB, in quo corpusculum aliquod P locatur, erigantur de punctis singulis D perpendicula DE, Sphaerae occurentia in E, & in ipsis capiantur longitudines DN, quae sint ut quantitas DEq.×PS / PE & vis quam Sphaerae particula sita in axe ad distantiam PE exercet in cor∣pusculum P conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum P trahitur versus Sphaeram, est ut area comprehensa sub axe Sphaerae AB & linea curva ANB, quam punctum N perpetuo tangit.
Etenim stantibus quae in Lemmate & Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem Sphaerae AB dividi in particulas innumeras aequales Dd, & Sphaeram totam dividi in totidem laminas Sphaericas concavo-convexas EFfe; & erigatur perpen∣diculum dn. Per Theorema superius, vis qua lamina EFfe trahit corpusculum P est ut DEq.×Ff & vis particulae unius ad distantiam PE vel PF exercita conjunctim. Est autem per Lem∣ma
novissimum, Dd ad Ff ut PE ad PS, & inde Ff aequalis PS×Dd / PE; & DEq.×Ff aequale Dd in DEq.×PS / PE, & propte∣rea vis laminae EFfe est ut Dd in DEq.×PS / PE & vis particulae ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut DN×Dd, seu area evanescens DNnd. Sunt igitur lamina∣rum omnium vires in corpus P exercitae, ut areae omnes DNnd, hoc est Sphaerae vis tota ut area tota ABNA.Q.E.D.
Corol. 1. Hinc si vis centripeta ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiat DN ut DEq.×PS / PE: erit vis tota qua corpusculum a Sphaera attrahitur, ut area ABNA.
Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distan∣tia corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq.×PS / PEq.: erit vis qua corpusculum P a Sphaera tota attrahitur ut area ABNA.
Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiae corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq.×PS / PEqq.: erit vis qua corpusculum a tota Sphaera attrahitur ut area ABNA.
Corol. 4. Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphaerae particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat au∣tem DN ut DEq.×PS / PE×V; erit vis qua corpusculum a Sphaera to∣ta attahitur ut area ABNA.
Stantibus jam positis, mensuranda est area ABNA.
A puncto P. ducatur recta PH Sphaeram tangens in H, & ad axem PAB demissa Normali HI, bisecetur PI in L; & erit
(per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) PEq. aequale PSq.+SEq.+ 2 PSD. Est autem SEq. seu SHq. (ob similitudinem triangu∣lorum SPH, SHI) aequale rectangulo PSI. Ergo PEq. aequale est contento
Exempl. 1. Si vis centripeta ad singulas Sphaerae particulas tendens sit reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam PE, dein 2 PS×LD pro PEq., & fiet DN ut SL−½ LD−ALB/2LD
Pone DN aequalem duplo ejus 2 SL−LD−ALB / LD: & ordinatae pars data 2 SL ducta in longitudinem AB describet aream rect∣angulam 2 SL×AB; & pars indefinita LD ducta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel descrescendo aequetur semper longitu∣dini LD, describet aream LBq.−LAq./2, id est, aream SL×AB; quae subducta de area priore 2 SL×AB relinquit aream SL×AB. Pars autem tertia ALB / LD ducta itidem per motum localem normaliter in eandem longitudinem, describet aream Hyperboli∣cam; quae subducta de area SL×AB relinquet aream quaesitam ABNA. Unde talis emergit Proble∣matis
Exempl. 2. Si vis centripeta ad sin∣gulas Sphaerae particulas tendens sit re∣ciproce ut cubus distantiae, vel (quod perinde est) ut cubus il∣le applicatus ad planum quodvis datum; scribe PE cub./2 ASq. pro V, dein 2 PS×LD pro Pq.; & fiet DN ut SL×ASq./PS×LD−ASq./2PS−ALB×ASq./2 PS×LDq. id est (ob continue proportionales PS, AS, SI) ut LSI / LD−½ SI−ALB×SI/2 LDq.. Si ducantur hujus partes
tres in longitudinem AB, prima LSI / LD generabit aream Hyperbo∣licam; secunda ½ SI aream ½ AB×SI; tertia ALB×SI/2 LDq. aream ALB×SI/2 LA−ALB×SI/2 LB, id est ½ AB×SI. De prima subduca∣tur summa secundae ac tertiae, &
Exempl. 3. Si Vis centripeta, ad singulas Sphaerae particulas tendens, decrescit in quadruplicata ratione distantiae a particulis, scribe PE 4/2AS 3 pro V, dein √2PS×LD pro PE, & fiet DN ut SL×SI½ / √2×LD3/2−SI3/2/2 √2×LD½−ALB×SI½ / 2 √2×LD½. Cujus tres par∣tes ductae in longitudinem AB, producunt Areas totidem, viz. √2×SL×SI 3/2/LA½−√2×SL×SI 3/2/LB½, LB ½×SI 3/2−LA½×SI½ / √2 & ALB×SI32/3 √2×LA3/2−ALB×SI3/2/3 √2×LB3/2. Et hae post debitam reductio∣nem, subductis posterioribus de priori, evadunt 8 SI cub./3 LI. Igi∣tur vis tota, qua corpusculum P in Sphaerae centrum trahitur, est ut SI cub./PI, id est reciproce ut PS cub.×PI.Q.E.I.
Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphaeram, sed expeditius per Theorema sequens.
In Sphaera centro S intervallo SA descripta, si capiantur SI, SA, SP continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphaeram in loco quovis I attractio est ad attractionem ipsius extra Sphaeram in loco P, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro IS, PS & dimidiata ratione virium centripetarum, in lo∣cis illis P & I, ad centrum tendentium.
Ut si vires centripetae particularum Sphaerae sint reciproce ut distantiae corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in I trahitur a Sphaera tota, erit ad vim qua trahitur in P, in ratio∣ne composita
semidiametrum SA: Si vires illae sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum, attractiones in I & P erunt ad invicem ut SP quad. ad SA quad.; si in quadruplicata, ut SP cub. ad SA cub. Unde cum attractio in P, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce ut PS cub.×PI, attractio in I erit reciproce ut SA cub.×PI, id est (ob datum SA cub.) reciproce ut PI. Et similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.
Stantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovis P, ordinatim applicata DN inventa fuit ut DEq.×PS / PE×V. Ergo si agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, mu∣tatis mutandis, evadet ut DEq.×IS / IE×V. Pone vires centripetas, e Sphaerae puncto quovis E manantes, esse ad invicem in distantiis IE, PE, ut PEn ad IEn, (ubi numerus n designet indicem potestatum PE & IE) & ordinatae illae fient ut DEq.×PS / PE×PEn & DEq.×IS / IE×IEn, quarum ratio ad invicem est ut PS×IE×IEn ad IS×PE×PEn. Quoniam ob similia triangula SPE, SEI, fit IE ad PE ut IS ad SE vel SA; pro ratione IE ad PE scribe rationem IS ad SA; & ordinatarum ratio evadet PS×IEn ad SA×PEn. Sed PS ad SA dimidiata est ratio distantiarum PS, SI; & IEn ad PEn dimidiata est ratio virium in distanti∣is PS, IS. Ergo ordinatae, & propterea areae quas ordinatae describunt, his{que} proportionales attractiones, sunt in ratione com∣posita ex dimidiatis illis rationibus. Q.E.D.
Invenire vim qua corpusculum in centro Sphaerae locatum ad ejus segmentum quodcun{que} attrahitur.
Sit P corpus in centro Sphaerae, & RBSD segmentum ejus plano RDS & superficie Sphaerica RBS contentum. Superficie Sphaerica EFG centro P descripta
Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sphaerae in axe segmen∣ti cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.
A segmento EBK trahatur corpus P (Vide Fig. Prop. 79.80.81.) in ejus axe ADB locatum. Centro P intervallo PE
describatur superficies Sphaerica EFK, qua distinguatur segmen∣tum in partes duas EBKF & EFKD. Quaeratur vis partis prioris per Prop. LXXXI. & vis partis posterioris per Prop. LXXXIII.; & summa virium erit vis segmenti totius EBKD.Q.E.I.
Explicatis attractionibus corporum Sphaericorum, jam perge∣re liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particu∣lis attractivis similiter constantium corporum; sed ista particula∣tim tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit Propositio∣nes quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, de{que} motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis aliqua∣lem usum, subjungere.
Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe fortior sit, quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem: vires particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt in ra∣tione plusquam duplicata distantiarum a particulis.
Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a particulis; attractio versus corpus Sphaericum, propterea quod (per Prop. LXXIV.) sit reciproce ut quadratum distantiae at∣tracti
corporis a centro Sphaerae, haud sensibiliter augebitur ex contactu; at{que} adhuc minus augebitur ex contactu, si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore. Patet igi∣tur Propositio de Sphaeris attractivis. Et par est ratio Orbium Sphaericorum concavorum corpora externa trahentium. Et mul∣to magis res constat in Orbibus corpora interius constituta tra∣hentibus, cum attractiones passim per Orbium cavitates ab at∣tractionibus contrariis (per Prop. LXX.) tollantur, ideo{que} vel in ipso contactu nullae sunt. Quod si Sphaeris hisce Orbibus{que} Sphaericis partes quaelibet a loco contactus remotae auferantur, & partes novae ubivis addantur: mutari possunt figurae horum cor∣porum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additae vel subductae, cum sint a loco contactus remotae, augebunt notabi∣liter attractionis excessum qui ex contactu oritur. Constat igi∣tur Propositio de corporibus figurarum omnium. Q.E.D.
Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam tri∣plicata ratione distantiarum a particulis: attractio longe fortior e∣rit in contactu, quam cum attrahens & attractum intervallo vel minimo separantur ab invicem.
Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi Sphaeram trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem Problematis XLI. in Exemplo secundo ac tertio exhibitam. I∣dem, per Exempla illa & Theorema XLI inter se collata, facile colligitur de attractionibus corporum versus Orbes concavo-con∣vexos, sive corpora attracta collocentur extra Orbes, sive intra in eorum cavitatibus. Sed & addendo vel auferendo his Sphaeris & Orbibus ubivis extra locum contactus materiam quamlibet at∣tractivam, eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis as∣signatam, constabit Propositio de corporibus universis. Q.E.D.
Si corpora duo sibi invicem similia & ex materia aequaliter attracti∣va constantia seorsim attrahant corpuscula sibi ipsis proportionalia & ad se similiter posita: attractiones acceleratrices corpusculorum in corpora tota erunt ut attractiones acceleratrices corpusculorum in eorum particulas totis proportionales & in totis similiter posi∣tas.
Nam si corpora distinguantur in particulas, quae sint totis pro∣portionales & in totis similiter sitae; erit, ut attractio in particu∣lam quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam cor∣respondentem in corpore altero, ita attractiones in particulas sin∣gulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas singulas correspondentes; & componendo, ita attractio in totum pri∣mum corpus ad attractionem in totum secundum. Q.E.D.
Corol. 1. Ergo si vires attractivae particularum, augendo distan∣tias corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis distantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora directe & distantiarum dignitates illae inverse. Ut si vires particularum decrescant in ratione duplicata distanti∣arum a corpusculis attractis, corpora autem sint ut A cub. & B cub. adeo{que} tum corporum latera cubica, tum corpusculorum attracto∣rum distantiae a corporibus, ut A & B: attractiones acceleratri∣ces in corpora erunt ut A cub./A quad. & B cub./B quad. id est, ut corporum la∣tera illa cubica A & B. Si vires particularum decrescant in ra∣tione triplicata distantiarum a corpusculis attractis; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut A cub./A cub. & B cub./B cub. id est a∣quales. Si vires decrescunt in ratione quadruplicata, attractio∣nes in corpora erunt ut A cub./Aqq. & B cub./Bqq. id est reciproce ut latera cubica A & B. Et sic in caeteris.
Corol. 2. Unde vicissim, ex viribus quibus corpora similia tra∣hunt corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decre∣menti virium particularum attractivarum in recessu corpusculi at∣tracti; si modo decrementum illud sit directe vel inverse in ra∣tione aliqua distantiarum.
Si particularum aequalium corporis cujuscun{que} vires attractivae sint ut distantiae locorum a particulis: vis corporis totius tendet ad ipsius centrum gravitatis; & eadem erit cum vi globi ex materia consi∣mili & aequali constantis & centrum habentis in ejus centro gra∣vitatis.
Corporis RSTV particulae A, B trahant corpusculum aliquod Z viribus quae, si particulae aequantur inter se, sint ut distantiae AZ, BZ; sin particulae statu∣antur
Eodem argumento si adjungatur particula tertia C; & com∣ponatur hujus vis cum vi A+B×GZ tendente ad centrum G, vis inde oriunda tendet ad commune centrum gravitatis globi il∣lius G & particulae C; hoc est, ad commune centrum gravitatis trium particularum A, B, C; & eadem erit ac si globus & parti∣cula C consisterent in centro illo communi, globum majorem ibi componentes. Et sic pergitur in infinitum. Eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujuscun{que} RSTV ac si corpus illud, servato gravitatis centro, figuram globi indueret. Q.E.D.
Corol. Hinc motus corporis attracti Z idem erit ac si corpus attrahens RSTV esset Sphaericum: & propterea si corpus illud attrahens vel quiescat, vel progrediatur uniformiter in directum, corpus attractum movebitur in Ellipsi centrum habente in attra∣hentis centro gravitatis.
Si corpora sint plura ex particulis aequalibus constantia, quarum vi∣res sunt ut distantiae locorum a singulis; vis ex omnium viribus composita, qua corpusculum quodcun{que} trahitur, tendet ad trahen∣tium commune centrum gravitatis, & eadem erit ac si trahentia illa, servato gravitatis centro communi, coirent & in globum for∣marentur.
Demonstratur eodem modo, at{que} Propositio superior.
Corol. Ergo motus corporis attracti idem erit ac si corpora trahentia, servato communi gravitatis centro, coirent & in globum formarentur. Ideo{que} si corporum trahentium commune gravi∣tatis centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in linea recta, corpus attractum movebitur in Ellipsi, centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis.
Si ad singula circuli cujuscun{que} puncta tendant vires centripetae de∣crescentes in quacun{que} distantiarum ratione: invenire vim qua cor∣pusculum attrahitur ubivis in recta quae ad planum circuli per cen∣trum ejus perpendicularis consistit.
Centro A intervallo quovis AD, in plano cui recta AP per∣pendicularis est, describi intelligatur circulus; & invenienda sit vis qua corpus quodvis P in eundem attrahitur. A circuli punc∣to quovis E ad corpus attractum P agatur recta PE: In recta PA capiatur PF ipsi PE aequalis,
Etenim in AE capiatur linea quam minima Ee. Jungatur Pe, & in PA capiatur Pf ipsi Pe aequalis. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis E trahit ad se corpus P, ponitur esse ut FK, & inde vis qua punctum illud trahit corpus P versus A est ut AP×FK / PE, & vis qua annulus totus trahit corpus P versus A, ut annulus & AP×FK / PE conjunctim; annulus autem iste est ut rect∣angulum sub radio AE & latitudine Ee, & hoc rectangulum (ob proportionales PE & AE, Ee & cE) aequatur rectangulo PE
×cE seu PE×Ff; erit vis qua annulus iste trahit corpus P versus A ut PE×Ff & AP×FK / PE conjunctim, id est, ut conten∣tum Ff×AP×FK, sive ut area FKkf ducta in AP. Et prop∣terea summa virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro A & intervallo AD describitur, trahunt corpus P versus A, est ut area tota AHIKL ducta in AP. Q.E.D.
Corol. 1. Hinc si vires punctorum descrescunt in duplicata di∣stantiarum ratione, hoc est, si sit FK ut 1/Pf quad., at{que} adeo a∣rea AHIKL ut 1/PA=1/PH; erit attractio corpusculi P in circu∣lum ut 1−PA / PH, id est, ut AH / PH.
Corol. 2. Et universaliter, si vires punctorum ad distantias D sint reciproce ut distantiarum dignitas quaelibet Dn, hoc est, si sit FK ut 1/Dn, adeo{que} area AHIKL ut 1/PAn −1=1/PHn −1; e∣rit attractio corpusculi P in circulum ut 1/PAn −1−PA / PHn −1.
Corol. 3. Et si diameter circuli augeatur in infinitum, & nu∣merus n sit unitate major; attractio corpusculi P in planum to∣tum infinitum erit reciproce ut PAn −2, propterea quod termi∣nus alter PA / PHn −1 evanescet.
Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus puncta sin∣gula tendunt vires centripetae in quacun{que} distantiarum ratione de∣crescentes.
In solidum ADEFG trahatur corpusculum P, situm in ejus axe AB. Circulo quolibet RFS ad hunc axem perpendicula∣ri secetur hoc solidum, & in ejus diametro FS, in plano aliquo PALKB per axem transeunte, capiatur (per Prop. XC.) lon∣gitudo FK vi qua corpusculum P in circulum illum attrahitur proportionalis. Tangat autem
Corol. 1. Unde si solidum Cylindrus sit, parallelogrammo ADEB circa axem AB revolu∣to descriptus, & vires centripetae in singula ejus puncta tenden∣tes sint reciproce ut quadrata distantiarum a punctis: erit attrac∣tio corpusculi P in hunc Cylindrum ut BA−PE+PD. Nam ordinatim applicata FK (per Corol. 1. Prop. XC) erit ut 1−PF / PR. Hujus pars 1 ducta in longitudinem AB, describit are∣am 1×AB; & pars altera PF / PR ducta in longitudinem PB, descri∣bit aream 1 in PE−AD (in quod ex curvae LKI quadratura facile ostendi potest:) & similiter pars eadem ducta in longitu∣dinem PA describit aream 1 in PD−AD, ducta{que} in ipsarum PB, PA differentiam AB describit arearum differentiam 1 in PE−PD. De contento primo 1×AB auferatur contentum postremum 1 in PE−PD, & restabit area LABI aequalis 1 in AB−PE+PD. Ergo vis huic areae proportionalis est ut AB−PE=PD.
Corol. 2. Hinc etiam vis innotescit qua Sphaerois AGBCD at∣trahit
corpus quodvis P, exterius in axe suo AB situm. Sit NK∣RM Sectio Conica cujus ordinatim applicata ER, ipsi PE per∣pendicularis, aequetur semper longitudini PD, quae ducitur ad punctum illud D, in quo applicata ista Sphaeroidem secat. A Sphaeroidis verticibus A, B ad ejus axem AB erigantur perpen∣dicula AK, BM ipsis
Corol. 3. Quod si corpusculum intra Sphaeroidem in data qua∣vis ejusdem diametro collocetur; at∣tractio
transeat per corpus P & secet rectas DE & FG in B & C, post∣erior secet easdem rectas in H, I & K, L. Habeant autem Sphae∣roides omnes axem communem, & erunt rectarum partes hinc inde interceptae DP & BE, FP & CG, DH & IE, FK & LG sibi mutuo aequales; propterea quod rectae DE, PB & HI bisecantur in eodem puncto, ut & rectae FG, PC & KL. Con∣cipe jam DPF, EPG designare Conos oppositos, angulis verti∣calibus DPF, EPG infinite parvis descriptos, & lineas etiam DH, EI infinite parvas esse; & Conorum particulae Sphaeroidum superficiebus abscissae DHKF, GLIE, ob aequalitatem linea∣rum DH, EI, erunt ad invicem ut
Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium cen∣tripetarum in ejus puncta singula tendentium.
E corpore dato formanda est Sphaera vel Cylindrus aliave figu∣ra
regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi con∣gruens (per Prop. LXXX. LXXXI. & XCI.) inveniri potest. Dein factis experimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & lex attractionis in totum inde patefacta dabit ratio∣nem decrementi virium partium singularum, quam invenire opor∣tuit.
Si solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infini∣tum, constet ex particulis aequalibus aequaliter attractivis, quarum vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujusvis di∣stantiarum plusquam quadraticae, & vi solidi totius corpusculum ad utramvis plani partem constitutum trahatur: dico quod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, & Index ternario minor quam Index potestatis distantiarum.
Cas. 1. Sit LGl planum quo Solidum terminatur. Jaceat autem solidum ex parte plani hujus versus I, in{que} plana innume∣ra mHM, nIN &c. ipsi GL
longitudines GL, IN, KO &c. ipsis CGn −2, CIn −2, CKn −2 &c. reciproce proportionales; & vires planorum eo∣rundem erunt ut longitudines captae, adeo{que} summa virium ut summa longitudinum, hoc est, vis solidi totius ut area GLOK in infinitum versus OK producta. Sed area illa per notas quadra∣turarum methodos est reciproce ut CGn −3, & propterea vis solidi totius est reciproce ut CGn −3 Q.E.D.
Cas. 2. Collocetur jam corpusculum C ex parte plani lGL intra solidum, & capiatur
Corol. 1. Hinc si solidum LGIN planis duobus infinitis pa∣rallelis LG, IN utrin{que} terminetur; innotescit ejus vis attracti∣va, subducendo de vi attractiva solidi totius infiniti LGKO vim attractivam partis ulterioris NIKO, in infinitum versus KO pro∣ductae.
Corol. 2. Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attrac∣tio ejus collata cum attractione partis citerioris nullius pene est momenti, rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo di∣stantiam decrescet quam proxime in ratione potestatis CGn −3.
Corol. 3. Et hinc si corpus quodvis finitum & ex una parte planum trahat corpusculum e regione medii illius plani, & di∣stantia inter corpusculum & planum collata cum dimensionibus
corporis attrahentis perexigua sit, constet autem corpus attra∣hens ex particulis homogeneis, quarum vires attractivae decres∣cunt in ratione potestatis cujusvis plusquam quadruplicatae distan∣tiarum; vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in ratione potestatis, cujus latus sit distantia illa perexigua, & Index ternario minor quam Index potestatis prioris. De corpore ex∣particulis constante, quarum vires attractivae decrescunt in ratio∣ne potestatis triplicatae distantiarum, assertio non valet, propterea quod, in hoc casu, attractio partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario secundo, semper est infinite major quam attractio partis citerioris.
Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum tra∣hatur, & ex data lege attractionis quaeratur motus corporis: Sol∣vetur Problema quaerendo (per Prop. XXVII.) motum corpo∣ris recta descendentis ad hoc planum, & (per Legum Corol. 2.) componendo motum istum cum uniformi motu, secundum lineas eidem plano parallelas facto. Et contra, si quaeratur Lex attrac∣tionis in planum secundum lineas perpendiculares factae, ea con∣ditione ut corpus attractum in data quacun& curva linea move∣atur, solvetur Problema operando ad exemplum Problematis tertii.
Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim ap∣plicatas in series convergentes. Ut si ad basem A in angulo quo∣vis dato ordinatim applicetur longitudo B, quae sit ut basis dig∣nitas quaelibet A m / n; & quaeratur vis qua corpus, secundum positio∣nem ordinatim applicatae, vel in basem attractum vel a basi fuga∣tum, moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata ter∣mino suo superiore semper attingit; Suppono basem augeri par∣te
quam minima O, & ordinatim applicatam m / A+On resolvo in Seriem infinitam A m / n+n / m OA m−n / n+mm−mn / 2nn O2A m−2n / n&c. at∣{que} hujus termino in quo O duarum est dimensionum, id est termino mm−mn / 2nn O2A m−2n / n vim proportionalem esse suppono. Est igi∣tur vis quaesita ut mm−mn / nn A m−2n / n, vel quod perinde est, ut mm−mn / nn B m−2n / m. Ut si ordinatim applicata Parabolam at∣tingat, existente m=2, & n=1: fiet vis ut data 2B 0, adeo{que} dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemad∣modum Galilaeus demonstravit. Quod si ordinatim applicata Hyperbolam attingat, existente m=0−1, & n=1; feit vis ut 2B −3 seu 2/B cub.: adeo{que} vi, quae sit reciproce ut cubus ordi∣natim applicatae, corpus movebitur in Hyperbola. Sed missis hu∣jusmodi Propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas nondum attigi.
Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrin{que} terminato, di∣stinguantur ab invicem, & corpus in transitu per hoc spatium at∣trahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alteru∣trum, ne{que} ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attrac∣tio, in aequalibus ab utro{que} plano distantiis ad eandem ipsius par∣tem captis, ubi{que} eadem: dico quod sinus incidentiae in planum alterutrum erit ad sinum emergentiae ex plano altero in ratione data.
Cas. 1. Sunto Aa, Bb plana duo parallela. Incidat corpus
LI describatur circulus, secans tam HM in P & Q, quam MI productam in N; & primo si attractio vel impulsus ponatur uniformis, erit (ex demonstatis Galilaei) curva HI Parabola, cu∣jus haec est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto & linea IM aequale sit HM quadrato; sed & linea HM bisecabitur
Cas. 2. Transeat jam corpus successive per spatia plura paral∣lelis planis terminata, Aa bB, Bb cC &c. agitetur vi quae sit in singulis separatim uniformis, at in diversis diversa; & per jam demonstrata, sinus incidentiae in planum primum Aa erit ad si∣num emergentiae ex plano secundo Bb, in data ratione; & hic si∣nus, qui est sinus incidentiae in planum secundum Bb, erit ad si∣num
emergentiae ex plano tertio Cc, in data ratione; & hic sinus ad sinum emergentiae ex plano quarto Dd, in data ratione; & sic in infinitum: & ex aequo sinus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex plano ultimo in data ratione. Minuatur jam planorum intervalla
Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae.
Capiantur AH, Id aequales, & erigantur perpendicula AG, dK occurrentia lineis incidentiae & emergentiae GH, IK, in G & K. In GH capiatur TH aequalis IK, & ad planum Aa de∣mittatur normaliter Tv. Et per Legum Corol. 2. distinguatur motus corporis in duos, unum planis Aa, Bb, Cc &c. perpen∣dicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel im∣pulsus agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum parallelas, & propterea corpus hoc motu conficiet ae∣qualibus temporibus aequalia illa secundum parallelas intervalla, quae sunt inter lineam AG & punctum H, inter{que} punctum I & lineam dK; hoc est, aequalibus temporibus describet lineas GH,
IK. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post emergentiam, ut GH ad IK vel TH, id est, ut AH vel Id ad vH, hoc est (respectu radii TH vel IK) ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae. Q.E.D.
Iisdem positis & quod motus ante incidentiam velocior sit quam post∣ea: dico quod corpus, inclinando lineam incidentiae, reflectetur tan∣dem, & angulus reflexionis fiet aequalis angulo incidentiae.
Nam concipe corpus inter plana parallela Aa, Bb, Cc &c. describere arcus Parabolicos, ut supra; sint{que} arcus illi HP, PQ, QR, &c. Et sit ea lineae incidentiae GH obliquitas ad planum primum Aa, ut sinus incidentiae sit ad radium circuli, cujus est si∣nus, in ea ratione quam habet idem sinus incidentiae ad sinum e∣mergentiae ex plano Dd, in spatium DdeE: & ob sinum emer∣gentiae jam factum aequalem radio, angulus emergentiae erit rect∣us, adeo{que} linea emergen∣tiae
Aa, Bb, Cc, Dd, Ee intervalla in infinitum minui & nu∣merum augeri, eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem quamcun{que} assignatam continua reddatur; & angulus e∣mergentiae semper angulo incidentiae aequalis existens, eidem eti∣amnum manebit aequalis. Q.E.D.
Harum attractionum haud multum dissimiles sunt Lucis reflex∣iones & refractiones, factae secundum datam Secantium rationem, ut invenit Snellius, & per consequens secundum datam Sinuum rationem, ut exposuit Cartesius. Nam{que} Lucem successive propa∣gari & spatio quasi decem minutorum primorum a Sole ad Ter∣ram venire, jam constat per Phaenomena Satellitum Iovis, Ob∣servationibus diversorum Astronomorum confirmata. Radii au∣tem in aere existentes (ubi dudum Grimaldus, luce per foramen in tenebrosum cubiculum admissa, invenit, & ipse quo{que} expertus sum) in transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspi∣cuorum angulos (quales sunt nummorum
vitrum. Fit igitur refractio, non in puncto incidentiae, sed pau∣latim per continuam incurvationem radiorum, factam partim in aere antequam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, post∣quam illud ingressi sunt: uti in radiis ckzkc, biyib, ahxha incidentibus ad r, q, p, & inter k & z,
Posito quod sinus incidentiae in superficiem aliquam sit ad sinum emer∣gentiae in data ratione, quod{que} incurvatio viae corporum juxta su∣perficiem illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum considera∣ri possit; determinare superficiem quae corpuscula omnia de loco da∣to successive manantia convergere faciat ad alium locum datum.
Sit A locus a quo corpuscula divergunt; B locus in quem convergere debent; CDE curva linea quae circa axem AB revo∣luta describat superficiem quaesitam; D, E curvae illius puncta duo quaevis; & EF, EG perpendicula in corporis vias AD, DB demissa. Accedat punctum D ad punctum E; & lineae DF qua AD augetur, ad lineam DG qua DB diminuitur, ratio ultima erit eadem quae sinus incidentiae ad sinum emergentiae. Datur ergo ratio incrementi lineae AD ad decrementum lineae DB; & propterea si in axe AB sumatur ubivis punctum C, per quod curva CDE transire debet, & capiatur ipsius AC incrementum CM, ad ipsius BC decrementum CN in data ratione; centris{que} A,
B, & intervallis AM, BN describantur circuli duo se mutuo se∣cantes in D: punctum illud D tanget curvam quaesitam CDE, eandem{que} ubivis tangendo determinabit. Q.E.I.
Corol. 1. Faciendo autem ut punctum A vel B nunc abeat in infinitum, nunc migret ad
Corol. 2. Si corpus in superficiem quamvis CD, secundum lineam rectam AD lege quavis ductam incidens, emergat secun∣dum aliam quamvis rectam
Iisdem positis, & circa axem AB descripta superficie quacun{que} attracti∣va CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato A exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam attracti∣vam EF, quae corpora illa ad locum datum B convergere faciat.
Juncta AB secet superficiem primam in C & secundam in E,
puncto D utcun{que} assumpto. Et posito sinu incidentiae in super∣ficiem primam ad sinum emergentiae ex eadem, & sinu emergen∣tiae e superficie secunda ad sinum incidentiae in eandem, ut quanti∣tas aliqua data M ad aliam datam N; produc tum AB ad G ut sit BG ad CE ut M−N ad N, tum AD ad H ut sit AH aequalis AG, tum etiam DF ad K ut sit DK ad DH ut N ad M. Jun∣ge KB, & centro D intervallo DH describe circulum occurren∣tem KB productae in L, ipsi{que} DL parallelam age BF: & punc∣tum F tanget lineam EF, quae circa axem AB revoluta descri∣bet superficiem quaesitam. Q.E.F.
Nam concipe lineas CP, CQ ipsis AD, DF respective, & li∣neas ER, ES ipsis FB, FD ubi{que} perpendiculares esse, adeo{que} QS ipsi CE semper aequalem; & erit (per Corol. 2. Prop. XCVII.) PD ad QD ut
Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. Ad usus autem Opticos maxime accommodatae sunt figurae Sphae∣ricae. Si Perspicillorum vitra Objectiva ex vitris duobus Sphaeri∣ce
figuratis & Aquam inter se claudentibus conflentur, fieri po∣test ut a refractionibus aquae errores refractionum, quae fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Ta∣lia autem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis praefe∣renda sunt, non solum quod facilius & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accu∣ratius refringant. Verum tamen diversa diversorum radiorum re∣frangibilitas impedimento est, quo minus Optica per figuras vel Sphaericas vel alias quascun{que} perfici possit. Nisi corrigi possint errores illinc oriundi, labor omnis in caeteris corrigendis imperite collocabitur.