Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XLIV. Theor. XIV.

Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, & corpus aliud in eodem Orbe revolvente aequaliter moveri possunt, est in triplicata ratione communis altitudinis inverse.

Partibus orbis quiescentis VP, PK sunto similes & aequales orbis revolventis partes vp, pk. A puncto k in rectam pC de∣n•••••• perpendiculum kr, idem{que} produc ad m, ut sit mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP. Quoniam corporum altitu∣dines PC & pC, KC & kC semper aequantur, manifestum est quod si corporum in locis P & p existentium distinguantur mo∣tus singuli (per Legum Corol. 2.) in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum lineas PC, pC; alteri prioribus trans∣versi secundum lineas ipsis PC, pC perpendiculares determinantur) motus versus centrum erunt aequales, & motus transversus corporis p erit ad motum transversum corporis P, ut motus angularis lineae pC ad motum angularem lineae PC, id est ut angulus VCp ad angulum VCP. Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo utro{que} pervenit ad punctum K, corpus p aequali in centrum mo∣tu aequaliter movebitur a P versus C, adeo{que} completo illo tem∣pore reperietur alicubi in linea mkr, quae per punctum k in li∣neam pC perpendicularis est; & motu transverso acquiret dis∣tantiam a linea pC, quae sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a linea PC, ut est hujus motus transversus ad motum

transversum alterius. Quare cum kr aequalis sit distantiae quam corpus alterum acquirit a linea pC, sit{que} mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP, hoc est, ut motus transversus corporis p ad motum transversum corporis P, manifestum est quod corpus p completo illo tempore reperietur in loco m. Haec ita se habe∣bunt ubi corpora P & p aequaliter secundum lineas pC & PC mo∣ventur, adeo{que} aequalibus viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus pCn ad angulum pCk ut est angulus V∣Cp ad angulum VCP, sit{que} nC aequalis kC, & corpus p comple∣to illo tempore revera reperietur in n; adeo{que} vi majore urgetur, si modo angulus mCp

[illustration]

angulo kCp major est, id est si orbis Vpk mo∣vetur in consequentia, & minore, si orbis regredi∣tur; est{que} virium diffe∣rentia ut locorum inter∣vallum mn, per quod corpus illud p ipsius ac∣tione, dato illo tempo∣ris spatio transferri de∣bet. Centro C interval∣lo Cn vel Ck describi in∣telligetur circulus secans lineas mr, mn productas in s & t, & erit rectangulum mn×mt aequale rectangulo mk×ms, adeo{que} mn aequale mk×ms / mt. Cum autem triangula pCk, pCn dentur magnitudine, sunt kr & mr, earum{que} differentia mk & summa ms reciproce ut altitudo pC, adeo{que} rectangulum mk×ms est reciproce ut quadratum altitudi∣nis pC. Est & mt directe ut ½ mt, id est ut altitudo pC. Hae sunt primae rationes linearum nascentium; & hinc fit mk×ms / mt, id

est lineola nascens mn, ei{que} proportionalis virium differentia re∣ciproce ut cubus altitudinis pC. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc differentia virium in locis P & p vel K & k est ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset ab r ad k, eodem tempore quo corpus P in orbe immobili describit arcum PK, ut mk×ms ad rk quadratum; hoc est si capiantur datae quantita∣tes F, G in ea ratione ad invicem quam habet angulus VCP ad angulum VCp, ut Gq.−Fq. ad Fq. Et propterea, si centro C intervallo quovis CP vel Cp describatur Sector circularis aequalis areae toti VPC, quam corpus P tempore quovis in orbe immobi∣li revolvens radio ad centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpus P in orbe immobili & corpus p in orbe mobili re∣volvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo descripta sit area VPC, uniformiter describere potuisset, ut Gq.−Fq. ad Fq. Nam{que} sector ille & area pCk sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur.

Corol. 2. Si orbis VPK Ellipsis sit umbilicum habens C & Ap∣sidem summam V; ei{que} similis & aequalis ponatur Ellipsis vpk, ita ut sit semper pc aequalis PC, & angulus VCp sit ad angulum VCP in data ratione G ad F; pro altitudine autem PC vel pc scribatur A, & pro Ellipseos latere recto ponatur 2 R: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. & contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipsi per quantitatem Fq./Aq., & vis in V erit Fq./CV quad.. Vis au∣tem qua corpus in circulo ad distantiam CV ea cum velocitate revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in V, est ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Apside V, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrum CV, adeo{que} valet RFq./CV cub.: & vis quae sit ad hanc ut Gq.−Fq.

ad Fq., valet RGq.−RFq./CV cub.: est{que} haec vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium quibus corpus P in Ellipsi immota VPK, & corpus p in Ellipsi mobili vpk revolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudine A sit ad se∣ipsam in altitudine CV ut 1/A cub. ad 1/CV cub., eadem differentia in omne altitudine A valebit RGq.−RFq./A cub.. Igitur ad vim Fq./Aq. qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili VPK, addatur ex∣cessus RGq.−RFq./A cub. & componetur vis tota Fq./Aq.+RGq.−RFq./A cub. qua corpus in Ellipsi mobili vpk iisdem temporibus revolvi possit.

Corol. 3. Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immo∣bilis VPK Ellipsis sit centrum habens in virium centro C; ei{que} similis, aequalis & concentrica ponatur Ellipsis mobilis vpk, sit∣{que} 2 R Ellipseos hujus latus rectum, & 2 T latus transversum, at{que} angulus VCp semper sit ad angulum VCP ut G ad F; vires qui∣bus corpora in Ellipsi immobili & mobili temporibus aequali∣bus revolvi possunt, erunt ut Fq.A / T cub. & Fq.A / T cub.+RGq.−RFq./A cub. respective.

Corol. 4. Et universaliter, si corporis altitudo maxima CV no∣minetur T, & radius curvaturae quam Orbis VPK habet in V, id est radius circuli aequaliter curvi, nominetur R, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacun{que} immobili VPK revolvi po∣test, in loco V dicatur Fq./Tq. V, at{que} aliis in locis P indefinite di∣catur X, altitudine CP nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli VCp ad angulum VCP: erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem Trajectoria vpk circula∣riter

mota temporibus iisdem peragere potest, ut summa virium X+VRGq.−VRFq./A cub.

Corol. 5. Dato igitur motu corporis in Orbe quocun{que} immo∣bili, augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur.

Corol. 6. Igitur si ad rectam CV positione datam erigatur per∣pendiculum VP longitudinis indeterminatae, jungatur{que} PC, & ipsi aequalis agatur Cp, constituens angulum VCp, qui sit ad angulum VCP in data ratione; vis qua corpus

[illustration]

gyrari potest in Curva illa Vpk quam punctum p perpetuo tangit, erit reci∣proce ut cubus altitudinis Cp. Nam corpus P, per vim inertiae, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi potest in recta VP. Addatur vis in centrum C, cubo altitudinis CP vel Cp reci∣proce proportionalis, & (per jam de∣monstrata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam Vpk. Est autem haec Curva Vpk eadem cum Curva illa VPQ in Corol. 3. Prop. XLI inventa, in qua ibi diximus corpora hujus∣modi viribus attracta oblique ascendere.