Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XXXIX. Prob. XXVII.

Posita cujuscun{que} generis vi centripeta, & concessis figurarum curvili∣nearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel de∣scendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.

De loco quovis A in recta ADEC cadat corpus E, de{que} loco ejus E erigatur semper perpendicularis EG, vi centripetae in loco illo ad centrum C tendenti proportiona∣lis:

[illustration]

Sit{que} BFG linea curva quam punc∣tum G perpetuo tangit. Coincidat autem EG ipso motus initio cum perpendicula∣ri AB, & erit corporis velocitas in loco quovis E ut areae curvilineae ABGE la∣tus quadratum. Q.E.I. In EG ca∣piatur EM lateri quadrato areae ABGE reciproce proportionalis, & sit ALM li∣nea curva quam punctum L perpetuo tangit, & erit tempus quo corpus cadendo describit lineam AE ut area curvilinea A∣LME. Quod erat Inveniendum.

Etenim in recta AE capiatur linea quam minima DE datae longitudinis, sit{que} DLF locus lineae EMG

ubi corpus versabatur in D; & si ea sit vis centripeta, ut area A∣BGE latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ip∣sa in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in D & E scribantur V & V+I, erit area ABFD ut V ², & area AB∣GE ut V ²+2VI+I ², & divisim area DFGE ut 2 VI+I ², adeo{que} DFGE / DE ut 2I×V+½I/DE, id est, si primae quantitatum nas∣centium rationes sumantur, longitudo DF ut quantitas 2I×V / DE, adeo{que} etiam ut quantitatis hujus dimidium I×V / DE. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam DE, ut lineola illa directe & velocitas V inverse, est{que} vis ut velocitatis incre∣mentum I directe & tempus inverse, adeo{que} si primae nascentium rationes sumantur, ut I×V / DE, hoc est, ut longitudo DF. Ergo vis ipsi DF proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quae sit ut areae ABGE latus quadratum Q.E.D.

Porro cum tempus, quo quaelibet longitudinis datae lincola DE describatur, sit ut velocitas, adeo{que} ut areae ABFD latus qua∣dratum inverse; sit{que} DL, at{que} adeo area nascens DLME, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus ut area DLME, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est (per Corol. Lem. IV.) tempus totum quo linea AE describitur ut area tota AME. Q.E.D.

Corol. 1. Si P sit locus de quo corpus cadere debet, ut, ur∣gente aliqua uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponi∣tur gravitas) velocitatem acquirat in loco D aequalem velocitati quam corpus aliud vi quacun{que} cadens acquisivit eodem loco D, & in perpendiculari DF capiatur DR, quae sit ad DF ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, & compleatur rectangulum PDRQ, ei{que} aequalis abscindatur area ABFD; erit A locus de quo corpus alterum cecidit. Nam{que} completo rectangulo

EDRS, cum sit area ABFD ad aream DFGE ut VV ad 2 V×I, adeo{que} ut ½V ad I, id est, ut semissis velocitatis totius ad in∣crementum velocitatis corporis vi inaequabili cadentis; & simili∣ter area PQRD ad aream DRSE ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis

[illustration]

uniformi vi cadentis; fint{que} incremen∣ta illa (ob aequalitatem temporum na∣scentium) ut vires generatrices, id est ut ordinatim applicatae DF, DR, ade∣o{que} ut areae nascentes DFGE, DRSE; erunt (ex aequo) areae totae ABFD, PQRD ad invicem ut semisses tota∣rum velocitatum, & propterea (ob ae∣qualitatem velocitatum) aequantur.

Corol. 2. Unde si corpus quodlibet de loco quocun{que} D data cum veloci∣tate vel sursum vel deorsum projicia∣tur, & detur lex vis centripetae, inve∣nietur velocitas ejus in alio quovis loco e, erigendo ordinatam eg, & capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco D ut est latus quadra∣tum rectanguli PQRD area curvilinea DFge vel aucti, si locus e est loco D inferior, vel diminuti, si is superior est, ad latus qua∣dratum rectanguli solius PQRD, id est ut 〈 math 〉〈 math 〉 ad √PQRD.

Corol. 3. Tempus quo{que} innotescet erigendo ordinatam em re∣ciproce proportionalem lateri quadrato ex PQRD+vel−DF∣ge, & capiendo tempus quo corpus descripsit lineam De ad tem∣pus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a P & cadendo per∣venit ad D, ut area curvilinea DLme ad rectangulum 2 PD×DL. Nam{que} tempus quo corpus vi uniformi descendens de∣scripsit lineam PD est ad tempus quo corpus idem descripsit li∣neam PE in dimidiata ratione PD ad PE, id est (lineola DE

jamjam nascente) in ratione PD ad PD+½DE seu 2 PD ad 2 PD+DE, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam DE ut 2 PD ad DE, adeo{que} ut rectangulum 2 PE×DL ad aream DLME; est{que} tempus quo corpus utrum{que} de∣scripsit lineolam DE ad tempus quo corpus alterum inaequabili motu descripsit lineam De ut area DLME ad aream DLme, & ex aequo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2 PD×DL ad aream DLme.