Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XXXV. Theor. XI.

Iisdem positis, dico quod area figurae DES, radio indefinito SD de∣scripta, aequalis sit areae quam corpus, radio dimidium lateris recti figurae DES aequante, circa centrum S uniformiter gyrando, eo∣dem tempore describere potest.

Nam concipe corpus C quam minima temporis particula lineo∣lam Cc cadendo describere, & interea corpus aliud K, uniformi∣ter in circulo OKk circa centrum S gyrando, arcum Kk descri∣bere.

Erigantur perpendicula CD, cd occurrentia figurae DES in D, d. Jungantur SD, SK, Sk & ducatur Dd axi AS occurrens in T, & ad eam demittatur perpendiculum SY.

Cas. 1 Jam si figura DES Circulus est vel Hyperbola, bisece∣tur ejus transversa diameter AS in O, & erit

[illustration]

SO dimidium Lateris recti. Et quoniam est TC ad TD ut Cc ad Dd, & TD ad TS ut CD ad SY, erit ex aequo TC ad TS ut CD×Cc ad SY×Dd. Sed per Corol. Prop. 33. est TC ad ST ut AC ad AO, puta si in coita punct∣orum D, d capiantur linearum rationes ulti∣mae. Ergo AC est ad AO, id est ad SK, ut CD×Cc ad SY×Dd. Porro corporis de∣scendentis velocitas in C est ad velocitatem corporis circulum intervallo SC circa centrum S describentis in dimidiata ratione AC ad A∣O vel SK (per Theor IX.) Et haec veloci∣tas ad velocitatem corporis describentis circu∣lum OKk in dimidiata ratione SK ad SC per Cor. 6. Theor. IV. & ex aequo velocitas pri∣ma ad ultimam, hoc est lineola Cc ad arcum Kk in dimidiata ratione AC ad SC, id est in ratione AC ad CD. Quare est CD×Cc aequale AC×Kk, & propterea AC ad SK ut AC×Kk ad SY×Dd, inde{que} SK×Kk aequale SY×Dd, & ½ SK×Kk aequale ½ SY×Dd, id est area KSk aequalis areae SDd. Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulae KSk, SDd, quae, si magnitudo earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent aequalitatis, & propterea (per Corollarium Lemmatis IV) areae totae simul geni∣tae sunt semper aequales. Q.E.D.

Cas. 2. Quod si figura DES Parabola sit, invenietur ut supra CD×Cc esse ad SY×Dd ut TC ad ST, hoc est ut 2 ad 1, a∣deo{que} ¼ CD×Cc aequalem esse ½ SY×Dd. Sedcorporis caden∣tis

velocitas in C aequalis est ve∣locitati

[illustration]

qua circulus intervallo ½SC uniformiter describi possit. (per Theor. X.) Et haec velocitas ad ve∣locitatem qua circulus radio SK describi possit, hoc est, lineola Cc ad arcum Kk est in dimidiata ra∣tione SK ad ½ Sc, id est, in ratione SK ad ½ CD, per Corol. 6. The∣orem. IV. Quare est ½ SK×Kk aequale ¼ CD×Cc, adeo{que} aequale •• SY×Dd, hoc est, area KSk ae∣qualis Areae SDd, ut supra. Quod erat demonstrandum.