Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Lemma XXVIII.

Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit per aequationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri.

Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punc∣tum mobile de polo, pergat{que} semper ea cum velocitate, quae sit ut rectae illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam si area Oualis per finitam aequationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem aequationem distantia puncti a polo, quae huic areae proportiona∣lis est, adeo{que} omnia Spiralis puncta per aequationem finitam in∣veniri possunt: & propterea rectae cujusvis positione datae inter∣sectio cum spirali inveniri etiam potest per aequationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis nu∣mero infinitis, & aequatio, qua incersectio aliqua duarum linearum in venitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem,

adeo{que} ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones. Quo∣niam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenitur nisi per aequationem duarum dimensionum, qua in∣tersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per aequationem quatuor dimensi∣onum, qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones illae seorsim quaerantur, quoniam eadem est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquo{que} & propterea eadem semper concsusio, quae igitur debet omnes intersectiones simul complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum Conicarum & curvarum tertiae potestatis, eo quod sex esse pos∣sunt, simul prodeunt per aequationes sex dimensionum, & inter∣sectiones duarum curvarum tertiae potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per aequationes dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia Soli∣da ad Plana, & plusquam solida ad solida. Eadem de causa intersectiones binae rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per aequationes duarum dimensionum; ternae rectarum & curvarum tertiae potestatis per aequationes trium, quaternae rec∣tarum & curvarum quartae potestatis per aequationes dimensio∣num quatuor, & sic in infinium. Ergo intersectiones numero infini∣tae rectarum, propterea quod omnium eadem est lex & idem calculus, requirunt aequationes numero dimensionum & radicum infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rect∣am illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum u∣na cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis trans∣ibunt in se mutuo, quae{que} prima erat seu proxima, post unam revo∣lutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps: nec interea mutabitur a quatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates illae post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, aequatio re∣dibit ad formam primam, adeo{que} una eadem{que} exhibebit intersecti∣ones

omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rectae & spiralis per aequationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla ex∣tat Ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem ae∣quationem generaliter exhiberi.

Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur, capiatur Ovalis perimetro abscissae proportionale, pro∣bari potest quod longitudo perimetri nequit per finitam aequati∣onem generaliter exhiberi.

Corollarium.

Hinc area Ellipseos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per ae∣quationem finitam, & propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometri∣ce rationales appello quarum puncta omnia per longitudines ae∣quationibus definitas, id est, per longitudinum rationes compli∣catas, determinari possunt; caeteras{que} (ut Spirales, Quadratrices, Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines quae sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice rationales vel irratio∣nales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.