Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

SECT. V. Inventio Orbium ubi umbilicus neuter datur.

Lemma XVII.

Si a datae conicae sectionis puncto quovis P, ad Trapezii alicujus ABCD, in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite producta AB, CD, AC, DB, totidem rectae PQ, PR, PS, PT in datis angulis ducantur, sin∣gulae

[illustration]

ad singula: rectangu∣lum ductarum ad opposita duo latera PQ×PR, erit ad rectangulum ductarum ad a∣lia duo latera opposita PS×PT in data ratione.

Cas. 1. Ponamus imprimis lineas ad opposita latera duct∣as parallelas esse alterutri re∣liquorum laterum, puta PQ & PR lateri AC, & PS ac PT lateri AB. Sint{que} insuper latera duo ex oppositis, puta AC & BD, parallela. Et recta quae bise∣cat parallela illa latera erit una ex diametris Conicae sectionis, & bisecabit etiam RQ. Sit O punctum in quo RQ bisecatur, & erit PO ordinatim applicata ad diametrum illam. Produc PO ad K ut sit OK aequalis PO, & erit OK ordinatim applicata ad con∣trarias partes diametri. Cum igitur puncta A, B, P & K sint ad Conicam sectionem, & PR secet AB in dato angulo, erit (per Prop. 17 & 18 Lib. III Apollonii) rectangulum PQK ad rectan∣gulum AQB in data ratione. Sed QK & PR aequales sunt, ut∣pote aequalium OK, OP, & OQ, OR differentiae, & inde etiam

rectangula PQK & PQ×PR aequalia sunt; at{que} adeo rectan∣gulum PQ×PR est ad rectangulum AQB, hoc est ad rectangu∣lum PS×PT in data ratione. Q.E.D.

Cas. 2. Ponamus jam Trapezii latera opposita AC & BD non esse parallela. Age Bd parallelam AC & occurrentem tum rectae ST in t, tum Conicae sectioni in d. Junge Cd secantem PQ in r, & ipsi PQ parallelam age DM

[illustration]

secantem Cd in M & AB in N. Jam ob similia triangula BTt, DBN, est Bt seu PQ ad Tt ut DN ad NB. Sic & Rr est ad AQ seu PS ut DM ad AN. Er∣go ducendo antecedentes in an∣tecedentes & consequentes in consequentes, ut rectangulum PQ in Rr est ad rectangulum Tt in PS, ita rectangulum N∣DM est ad rectangulum ANB, & (per Cas. 1) ita rectangu∣lum QPr est ad rectangulum SP••, ac divisim ita rectangulum QPR est ad rectangulum PS×PT.Q.E.D.

Cas. 3. Ponamus deni{que} line∣as

[illustration]

quatuor PQ, PR, PS, PT non esse parallelas lateribus AC, AB, sed ad ea utcun{que} inclina∣tas. Earum vice age Pq, Pr pa∣rallelas ipsi AC; & Ps, Pt pa∣rallelas ipsi AB; & propter da∣tos angulos triangulorum PQq, PRr, PSs, PTt, dabuntur ra∣tiones PQ ad Pq, PR ad Pr, PS ad Ps & PT ad Pt, at{que} adeo rationes compositae PQ in PR ad Pq in Pr, & PS in PT ad Ps in Pt. Sed, per superi••••s demonstrata, ratio Pq. in Pr ad Ps in Pt data est: Ergo & ratio PQ in PR ad PS in PT.Q.E.D.

Lemma XVIII.

Iisdem posit is, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera Tra∣pezii PQ×PR sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera PS×PT in data ratione; punctum P, a quo lineae ducuntur, tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.

Per puncta A, B, C, D & aliquod infinitorum punctorum P, puta p, concipe Conicam sectionem describi: dico punctum P hane semper tangere. Si ne∣gas,

[illustration]

junge AP secantem hanc Conicam sectionem alibi quam in P si fieri potest, pu∣ta in b. Ergo si ab his punct∣is p & b ducantur in datis an∣gulis ad latera Trapezii rectae pq, pr, ps, pt & bk, br, bs, bd, erit ut bk×br ad bd×bs ita (per Lemma XVII) pq×pr ad ps×pt & ita (per hypoth.) PQ×PR ad PS×PT. Est & propter similitudinem Trapeziorum bkAs, PQAS, ut bk ad bs ita PQ ad PS. Qua∣re applicando terminos prioris propositionis ad terminos corres∣pondentes hujus, erit br ad bd ut PR ad PT. Ergo Trapezia ae∣quiangula Drbd, DRPT similia sunt, & eorum diagonales Db, DP propterea coincidunt. Incidit ita{que} b in intersectionem rect∣arum AP, DP adeo{que} coincidit cum puncto P. Quare punctum P, ubicun{que} sumatur, incidit in assignatam Conicam sectionem. Q.E.D.

Corol. Hinc si rectae tres PQ, PR, PS a puncto communi P ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, singulae ad sin∣gulas, in datis angulis ducantur, sit{que} rectangulum sub duabus duct∣is PQ×PR ad quadratum tertii, PS quad. in data ratione: punctum

P, a quibus rectae ducuntur, locabitur in sectione Conica quae tangit lineas AB, CD in A & C & contra. Nam coeat linea BD cum linea AC manente positione trium AB, CD, AC; de∣in coeat etiam linea PT cum linea PS: & rectangulum PS×PT evadet PS quad. rectae{que} AB, CD quae curvam in punctis A & B, C & D secabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non am∣plius secare possunt sed tantum tangent.

Scholium.

Nomen Conicae sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita ut sectio tam rectilinea per verticem Coni transiens, quam circu∣laris basi parallela includatur. Nam si punctum p incidi•• in rectam, qua quaevis ex punctis quatuor A, B, C, D junguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas, quarum una est recta illa in quam punctum p incidit, & altera recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi si∣mul sumpti aequentur duobus rectis, & lineae quatuor PQ, PR, PS, PT ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angu∣lis quibusvis aequalibus, sit{que} rectangulum sub duabus ductis PS×PR aequale rectangulo sub duabus aliis PS×PT, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si lineae quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis PQ×PR sit ad rect∣angulum sub aliis duabus PS×PT ut rectangulum sub sinubus angulorum S, T, in quibus duae ultimae PS, PT ducuntur, ad rect∣angulum sub sinubus angulorum Q, R, in quibus duae primae PQ, PR ducuntur. Caeteris in casibus Locus puncti P erit aliqua tri∣um sigurarum quae vulgo nominantur Sectiones Conicae. Vice autem Trapezii ABCD substitui potest quadrilaterum cujus late∣ra duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed & e punctis quatuor A, B, C, D possunt unum vel duo abire in in∣finitum, eo{que} pacto latera figurae quae ad puncta illa convergunt,

evadere parallela: quo in casu sectio conica transibit per caete∣ra puncta, & in plagas parallelarum abibit in infinitum.

Lemma XIX.

Invenire punctum P, a quo si rectae quatuor PQ, PR, PS, PT ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, BD singulae ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis, PQ×PR, sit ad rectangulum sub aliis duabus, PS×PT, in data ratione.

Lineae AB, CD, ad quas rectae duae PQ, PR, unum rectan∣gulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus po∣sitione

[illustration]

datis lineis in punctis A, B, C, D. Ab eorum a∣liquo A age rectam quam∣libet AH, in qua velis punc∣tum P reperiri. Secet ea lineas oppositas BD, CD, nimirum BD in H & CD in I, & ob datos omnes an∣gulos figurae, dabuntur rati∣ones PQ ad PA & PA ad PS, adeo{que} ratio PQ ad PS. Auferendo hanc a da∣ta ratione PQ×PR ad PS×PT, dabitur ratio PR ad PT, & addendo datas rationes PI ad PR, & PT ad PH dabitur ratio PI ad PH at{que} adeo punctum P.Q.E.I.

Corol. 1. Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum P punc∣tum quodvis D tangens duci potest. Nam chorda PD ubi punc∣ta P ac D conveniunt, hoc est, ubi AH ducitur per punctum D, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium IP & PH invenietur ut supra. Ipsi igitur AD duc parallelam CF, occurrentem BD in F, & in ea ultima ratione sectam in E,

& DE tangens erit, propterea quod CF & evanescens IH pa∣rallelae sunt, & in E & P similiter sectae.

Corol. 2. Hinc etiam Locus punctorum omnium P definiri po∣test. Per quodvis punctorum A, B, C, D, puta A, duc Loci tangentem AE, & per aliud quodvis punctum B duc tangenti

[illustration]

parallelam BF occurrentem Lo∣co in F. Invenietur autem punc∣tum F per Lemma superius. Biseca BF in G, & acta AG di∣ameter erit ad quam BG & FG ordinatim applicantur. Haec AG occurrat Loco in H, & erit AH latus transversum, ad quod latus rectum est ut BGq. ad AG∣H. Si AG nullibi occurrit Loco, linea AH existente infinita, Lo∣cus erit Parabola & latus rectum ejus BGq./AG Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi puncta A & H sita sunt ad easdem partes ipsius G: & Ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte an∣gulus AGB rectus sit & insuper BG quad. aequale rectangulo AGH, quo in casu circulus habebitur.

At{que} ita Problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide in∣caepti & ab Apollonio continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem Veteres quaerebant, in hoc Corollario ex∣hibetur.

Lemma XX.

Si parallelogrammum quodvis ASPQ angulis duobus oppositis A & P tangit sectionem quamvis Conicam in punctis A & P, & lateribus unius angulorum illorum infinite productis AQ, AS occurrit eidem sectioni Conicae in B & C; a punctis autem occur∣suum

B & C ad quintum quodvis sectionis Conicae punctum D agantur rectae duae B D, C D occurrentes alteris duobus infinite pro∣ductis parallelogrammi lateribus PS, PQ in T & R: erunt sem∣per abscissae latcrum partes PR & PT ad invicem in data ratione. Et contra, si partes illae abscissae sunt ad invicem in data ratione, punctum D tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor A, B, P, C transeuntem.

Cas. 1. Jungantur BP, CP & a puncto D agantur rectae duae

[illustration]

DG, DE, quarum prior DG ipsi AB parallela sit & occurrat PB, PQ, CA in H, I, G; altera DE pa∣rallela sit ipsi AC & occur∣rat PC, PS, AB in F, K, E: & erit (per Lemma XVII.) rectangulum DE×DF ad rectangulum DG×DH in ratione data. Sed est PQ ad DE seu IQ, ut PB ad HB, adeo{que} ut PT ad DH; & vicissim PQ ad PT ut DE ad DH. Est & PR ad DF ut RC ad DC, adeo{que} ut IG vel PS ad DG, & vicissim PR ad PS ut DF ad DG; & conjunctis rationibus sit rectangulum PQ×PR ad rectangulum PS×PT ut rectangulum DE×DF ad rectangulum DG×DH, at{que} adeo in data ratione. Sed dantur PQ & PS & propterea ratio PR ad PT datur. Q.E.D.

Cas. 2. Quod si PR & PT ponantur in data ratione ad invi∣cem, tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangu∣lum DE×DF ad rectangulum DG×DH in ratione data, ade∣o{que} punctum D (per Lemma XVIII.) contingere Conicam sec∣tionem transeuntem per puncta A, B, P, C.Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si agatur BC secans PQ in r, & PT capiatur Pt in ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens

Conicae sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D co∣ire cum puncto B ita ut, chorda BD evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt▪

Corol. 2. Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Coni∣cae sectionis punctum D conveniant BD, CD; erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR ad PT ut Pr ad Pt, conve∣nient BD, CD ad Conicae sectionis punctum aliquod D.

Corol. 3. Conica sectio non secat Conicam sectionem in punc∣tis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duae Conicae sectiones per quin{que} puncta A, B, C, D, P, eas{que} secet recta BD in punctis D, d, & ipsam PQ secet recta Cd in r. Ergo PR est ad PT ut Pr ad PT, hoc est, PR & Pr sibi invi∣cem aequantur, contra Hypothesin.

Lemma XXI.

Si rectae duae mobiles & infinitae BM, CM per data puncta B, C,

[illustration]

ceu polos ductae, concursu suo M de∣scribant tertiam positione datam rectam MN; & aliae duae infinitae rectae BD, CD cum prioribus du∣abus ad puncta illa data B, C da∣tos angulos MBD, MCD efficientes ducantur; dico quod hae duae BD, CD concursu suo D describent sec∣tionem

Conicam. Et vice versa, si rectae BD, CD concursu suo D describant Sectionem Conicam per puncta B, C, A transeuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod A, cum alierae duae BM, CM coincidunt cum linea BC, punctum M con∣tinget rectam positione datam.

Nam in recta MN detur punctum N, & ubi punctum mobile M incidit in immotum N, incidat punctum mobile D in immo∣tum P. Junge CN,

[illustration]

BN, CP, BP, & a puncto P age rectas PT, PR occurren∣tes ipsis BD, CD in T & R, & faci∣entes angulum BPT aequalem angulo B∣NM & angulum CPR aequalem an∣gulo CNM. Cum ergo (ex Hypo∣thesi) aequales sint anguli MBD, NBP, ut & anguli MCD, NCP: aufer com∣munes NBD & MCP, & restabunt aequales NBM & PBT, NC∣M & PCR: adeo{que} triangula NBM, PBT similia sunt, ut & triangula NCM, PCR. Quare PT est ad NM ut PB ad NB, & PR ad NM ut PC ad NC. Ergo PT & PR datam habent rationem ad NM, proinde{que} datam rationem inter se, at{que} adeo, per Lemma XX, punctum P (perpetuus rectarum mobilum BT & CR concursus) contingit sectionem Conicam. Q.E.D.

Et contra, si punctum D contingit sectionem Conicam transe∣untem per puncta B, C, A, & ubi rectae BM, CM coincidunt cum recta BC, punctum illud D incidit in aliquod sectionis punctum

A; ubi vero punctum D incidit successive in alia duo quavis sec∣tionis puncta p, P, punctum mobile M incidit successive in punc∣ta immobilia n, N: per eadem n, N agatur recta nN, & haec e∣rit Locus perpetuus puncti illius mobilis M. Nam, si fieri potest, versetur punctum M in linea aliqua curva. Tanget ergo punc∣tum D sectionem Conicam per puncta quin{que} C, p, P, B, A tran∣seuntem, ubi punctum M. perpetuo tangit lineam curvam. Sed & ex jam demonstratis tanget etiam punctum D sectionem Co∣nicam per eadem quin{que} puncta C, p, P, B, A transeuntem, ubi punctum M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duae sectiones Conicae transibunt per eadem quin{que} puncta, contra Corol. 3. Lem. XX. Igitur punctum M versari in linea curva absurdum est. Q.E.D.

Prop. XXII. Prob. XIV.

Trajectoriam per data quin{que} puncta describere.

Dentur puncta quin{que} A, B, C, D, P. Ab eorum aliquo A ad alia duo quaevis B, C, quae poli nominentur, age rectas AB, AC his{que} parallelas TPS,

[illustration]

PRQ per punctum quartum P. Dein∣de a polis duobus B, C age per punc∣tum quintum D in∣finitas duas BDT, CRD, novissime duc∣tis TPS, PRQ (priorem priori & posteriorem posteri∣ori) occurentes in T & R. Deni{que} de rectis PT, PR, acta recta tr ipsi TR parallela, abscinde quas∣vis

Pt, Pr ipsis PT, PR proportionales, & si per earum termi∣nos t, r & polos B, C actae Bt, Cr concurrant in d, locabitur punctum illud d in

[illustration]

Trajectoria quaesita. Nam punctum illud d (per Lem. XX) versatur in Conica Sectione per puncta quatuor A, B, P, C transeunte; & line∣is Rr, Tt evanescen∣tibus, coit punctum d cum puncto D. Transit ergo sectio Conica per puncta quin{que} A, B C, D, P. Q.E.D.

Idem aliter.

E punctis datis jun∣ge

[illustration]

tria quaevis A, B, C, & circum duo eorum B, C ceu polos, ro∣tando angulos magni∣tudine datos ABC, ACB, applicentur cru∣ra BA, CA primo ad punctum D, deinde ad punctum P, & no∣tentur puncta M, N in quibus altera crura BL, CL casu utro{que} se decussant. Agatur recta insinita MN, & rotentur anguli illi mobiles circum polos suos B, C, ea lege ut

crurum BA, CA, vel BD, CD intersectio, quae jam sit d, Tra∣jectoriam quaesitam PADdB delineabit. Nam punctum d per Lem. XXI continget sectionem Conicam per puncta B, C trans∣euntem & ubi punctum m accedit ad puncta L, M, N, punctum d (per constructionem) accedet ad puncta A, D, P. Describetur ita{que} sectio Conica transiens per puncta quin{que} A, B, C, D, P. Q.E.F.

Corol. 1. Hinc rectae expedite duci possunt quae trajectoriam in punctis quibusvis datis B, C tangent. In casu utrovis accedat punctum d ad punctum C & recta Cd evadet tangens quaesita.

Corol. 2. Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri & la∣tera recta inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX

Schol.

Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo BP, & in ea si opus est producta, capiendo Bp ad BP ut est PR ad PT, & per p agendo rectam insinitam pD ipsi SPT pa∣rallelam, in{que} ea capiendo semper pD aequalem Pr, & agendo rectas BD, Cr concurrentes in d. Nam cum sint Pr ad Pt, PR ad PT, pB ad PB, pD ad Pt in eadem ratione, erunt pD & Pr semper aequales. Hac methodo puncta Trajectoriae inveni∣untur expeditissime, nisi mavis Curvam, ut in casu secundo, de∣scribere Mechanice.

Prop. XXIII. Prob. XV.

Trajectoriam describere quae per data quatour puncta transibit, & rectam contingent positione datam.

Cas. 1. Dentur tangens HB, punctum contactus B, & alia tria puncta C, D, P. Junge BC, & agendo PS parallelam

BH, & PQ parallelam BC, comple parallelogrammum BSPQ. Age BD secantem SP in

[illustration]

T, & CD secantem PQ in R. Deni{que} agendo quam∣vis tr ipsi TR parallelam, de PQ, PS abscinde Pr, Pt ipsis PR, PT propor∣tionales respective; & acta∣rum Cr, Bt concursus d (per Corol. 2. Lem. XX) incidet semper in Trajec∣toriam describendam.

Idem aliter.

Revolvatur tum angulus magnitudine datus CBH circa polum B, tum radius

[illustration]

quilibet rec∣tilineus & u∣trin{que} pro∣ductus DC circa polum C. Notentur puncta M, N in quibus an∣guli crus BC secat radium illum ubicrus alterum BH concurrit cum eodem radio in punctis D & P. Diende ad actam infinitam MN con∣currant perpetuo radius ille CP vel CD & anguli crus CB, &

cruris alterius BH concursus cum radio delineabit Trajectoriam quaesitam.

Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctum A ad punctum B, lineae CA & CB coincident, & linea AB in ultimo suo situ fiet tangens BH, at{que} adeo constructi∣ones ibi positae evadent eaedem cum constructionibus hic descrip∣tis Delineabit igitur cruris BH concursus cum radio sectionem Conicam per puncta C, D, P transeuntem, & rectam BH tan∣gentem in puncto B. Q.E.F.

Cas. 2. Dentur puncta quatuor B, C, D, P extra tangentem HI sita. Junge bin a BD, CP concurrentia in G, tangenti{que} oc∣currentia in H & I. Se∣cetur

[illustration]

tangens in A, ita ut sit HA ad AI, ut est rect∣angulum sub media pro∣portionali inter BH & H∣D & media proportionali inter CG & GP, ad rect∣angulum sub media pro∣portionali inter PI & IC & media proportionali in∣ter DG & GB, & erit A punctum contactus. Nam si rectae PI parallela HX trajectoriam secet in punctis quibusvis X & Y: erit (ex Conicis) HA quad. ad AI quad. ut rectangulum XHY ad rectangulum BHD (seu rectangulum CGP ad rectangulum DGB) & rect∣angulum BHD ad rectangulum PIC conjunctim. Invento autem contactus puncto A, describetur Trajectoria ut in casu primo. Q.E.F. Capi autem potest punctum A vel inter puncta H & I, vel extra; & perinde Trajectoria dupliciter describi.

Prop. XXIV. Prob. XVI.

Trajectoriam describere quae transibit per data tria puncta & rectas duas positione datas continget.

Dentur tangentes HI, KL & puncta B, C, D. Age BD tangentibus occurrentem in punctis H, K, & CD tangentibus occurrentem in punctis I, L. Actas ita seca in R & S, ut sit HR ad KR ut est media propor∣tionalis

[illustration]

inter BH & HD ad mediam proportionalem in∣ter BK & KD; & IS ad LS ut est media proportio∣nalis inter CI & ID ad me∣diam proportionalem inter CL & LD. Age RS secan∣tem tangentes in A & P, & erunt A & P puncta contrac∣tus. Nam si per punctorum H, I, K, L quodvis I agatur recta IY tangenti KL paral∣lela & occurrens curvae in X & Y, & in ea sumatur IZ media proportionalis inter IX & IY: erit, ex Conicis, rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad LP quad. ut rectangulum CID ad rectangulum CLD; id est (per con∣structionem) ut SI quad. ad SL quad. at{que} adeo IZ ad LP ut SI ad SL. Jacent ergo puncta S, P, Z in una recta. Porro tan∣gentibus concurrentibus in G, erit (ex Conicis) rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad IA quad. ut GP quad. ad GA quad., adeo{que} IZ ad IA ut GP ad GA. Jacent ergo puncta P, Z & A in una recta, adeo{que} puncta S, P & A sunt in una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta R, P & A sunt in una recta. Jacent igitur puncta contactus A & P in recta SR.

Hisce autem inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris. Q.E.F.

Lemma XXII.

Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.

Transmutanda sit figura quaevis HGI. Ducantur pro subi∣tu rectae duae parallelae AO, BL tertiam quamvis positione da∣tam AB secantes in A

[illustration]

& B, & a figurae punc∣to quovis G, ad rec∣tam AB ducatur GD, ipsi OA parallela. De∣inde a puncto aliquo O in linea OA dato ad punctum D ducatur recta OD, ipsi BL oc∣currens in d; & a punc∣to occursus erigatur recta gd, datum quemvis angulum cum recta BL continens, at{que} eam habens rationem ad Od quam habet GD ad OD; & erit g punctum in figura nova hgi puncto G respondens. Eadem ratione puncta singula figurae primae dabunt puncta totidem fi∣gurae novae. Concipe igitur punctum G motu continuo percur∣rere puncta omnia figurae primae, & punctum g motu itidem con∣tinuo percurret puncta omnia figurae novae & eandem describet. Distinctionis gratia nominemus DG ordinatam primam, dg or∣dinatam novam; BD abscissam primam, Bd abscissam novam; O polum, OD radium abscindentem, OA radium ordinatum primum & Oa (quo parallelogrammum OABa completur) ra∣dium ordinatum novum.

Dico jam quod si punctum G tangit rectam lineam positione datam, punctum g tanget etiam lineam rectam positione datam.

Si punctum G tangit Conicam sectionem, punctum g tanget eti∣am conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annu∣mero. Porro si punctum G tangit lineam tertii ordinis Analytici, punctum g tanget li∣neam

[illustration]

tertii itidem or∣dinis; & sic de curvis lineis superiorum ordi∣num: Lineae duae e∣runt ejusdem semper ordinis Analytici quas puncta G, g tangunt. Etenim ut est ad ad OA ita sunt Od ad OD, dg ad DG, & AB ad AD; adeo{que} AD aequalis est OA×AB / ad & DG aequa∣lis est OA×dg / ad. Jam si punctum D tangit rectam lineam, at{que} adeo in aequatione quavis, qua relatio inter abscissam AD & or∣dinatam DG habetur, indeterminatae illae AD & DG ad uni∣cam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac aequatione OA×AB / ad pro AD, & OA×dg / ad pro DG, producetur aequatio nova, in qua abscissa nova ad & ordinata noua dg ad unicam tan∣tum dimensionem ascendent, at{que} adeo quae designat lineam rec∣tam. Sin AD & DG (vel earum alterutra) ascendebant ad duas dimensiones in aequatione prima, ascendent itidem ad & dg ad duas in aequatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus di∣mensionibus. Indeterminatae ad, dg in aequatione secunda & AD, DG in prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea lineae, quas puncta G, g tangunt, sunt e∣jusdem ordinis Analytici.

Dico praeterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in

figura prima; haec recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra. Nam si Curvae puncta quaevis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima, puncta eadem translata co∣ibunt in figura nova, at{que} adeo rectae, quibus haec puncta jun∣guntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utra{que}. Com∣poni possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico. Sed brevitati consulo.

Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sussicit rectarum intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta, tangentes & aliae rectae quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc Lemma solutioni dif∣ficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rectae quaevis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo AO lineam quam∣vis rectam, quae per concursum convergentium transit: id adeo quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum, lineae autem pa∣rallelae sunt quae ad punctum infinite distans tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas operati∣ones transmutetur haec figura in figuram primam, habebitur So∣lutio quaesita.

Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problema∣tum. Nam quoties duae sectiones conicae obvenerint, quarum in∣tersectione Problema solvi potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item & sectio Conica in constructione plano∣rum problematum vertuntur in rectam & circulum.

Prop. XXV. Prob. XVII.

Trajectoriam describere quae per data duo puncta transibit & rectas tres continget positione datas.

Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, & concursum tangentis tertiae cum recta illa, quae per puncta duo

data transit, age rectam infinitam; ea{que} adhibita pro radio ordina∣to primo, transmutetur figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes illae duae evadent parallelae, & tangens tertia fiet parallela rectae

[illustration]

per puncta duo transeunti. Sun∣to hi, kl tangentes duae paral∣lelae, ik tangens tertia, & hl recta huic parallela transiens per puncta illa a, b, per quae Conica sectio in hac figura nova transire debet, & parallelogrammum hi∣kl complens. Secentur rectae hi, ik, kl in c, d & e, ita ut sit hc ad latus quadratum rect∣anguli ahb, ic ad id, & ke ad kd ut est summa rectarum hi & kl ad summam trium linearum quarum prima est recta ik, & alterae duae sunt latera quadrata rectangulorum ahb & alb: Et erunt c, d, e puncta contactus. Etenim, ex Conicis, sunt hc quadratum ad rectangulum ahb, & ic quadratum ad id quadratum, & ke quadratum ad kd qua∣dratum, & el quadratum ad alb rectangulum in eadem ratione, & propterea hc ad latus quadratum ipsius ahb, ic ad id, ke ad kd & el ad latus quadratum ipsius alb sunt in dimidiata illa ra∣tione, & composite, in data ratione omnium antecedentium hi & kl ad omnes consequentes, quae sunt latus quadratum rectangu∣li ahb & recta ik & latus quadratum rectanguli alb. Haben∣tur igitur ex data illa ratione puncta contactus c, d, e, in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis novissimi transferan∣tur haec puncta in figuram primam & ibi, per casum primum Pro∣blematis XIV, describetur Trajectoria. Q.E.F. Caeterum per∣inde ut puncta a, b jacent vel inter puncta h, l, vel extra, de∣bent puncta c, d, e vel inter puncta h, i, k, l capi, vel extra. Si punctorum a, b alterutrum cadit inter puncta h, l, & alterum ex∣tra, Problema impossibile est.

Prop. XXVI. Prob. XVIII.

Trajectoriam describere quae transibit per punctum datum & rectas quatuor positione datas continget.

Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem communem reliquarum duarum agatur recta infinita, & eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmu∣tetur figura (per Lem. XXII) in figuram novam, & Tangentes binae, quae ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent paral∣lelae. Sunto illae hi & kl, ik & hl continentes parallelogrammum hikl. Sit{que} p punctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato respondens. Per figurae centrum O agatur pq, & existente Oq aequali Op, erit q punctum alterum per quod sec∣tio Conica in hac figura nova transire debet. Per Lemmatis XXII operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram pri∣mam, & ibi habebuntur puncta duo per quae Trajectoria descri∣benda est. Per eadem vero describi potest Trajectoria illa per Prob. XVII. Q.E.F.

Lemma XXIII.

Si rectae duae positione datae A∣C,

[illustration]

BD ad data puncta A, B terminentur, datam{que} ha∣beant rationem ad invicem, & recta CD, qua puncta indeterminata C, D jungun∣tur, secetur in ratione data in K: dico quod punctum K locabitur in recta positione data.

Concurrant enim rectae, AC, BD in E, & in BE capiatur BG ad AE ut est BD ad AC, sit{que} FD aequalis EG, & erit EC ad

GD, hoc est ad EF ut AC ad BD, adeo{que} in ratione data, & prop∣terea dabitur specie ttiangulum EFC. Secetur CF in L in rati∣one CK ad CD, & dabitur

[illustration]

etiam specie triangulum EF∣L, proinde{que} punctum L lo∣cabitur in recta EL positione data. Junge LK, & ob da∣tam FD & datam rationem LK ad FD, dabitur LK. Huic aequalis capiatur EH, & erit ELKH parallelogram∣mum. Locatur igitur punc∣tum K in parallelogrammi latere positione dato HK.Q.E.D.

Lemma. XXIV.

Si rectae tres tangant quamcun{que} conisectionem, quarum duae paralle∣lae sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallela,

[illustration]

sit media propor∣tionalis inter ha∣rum segmenta, punctis contactu∣um & tangenti tertiae interjecta.

Sunto AF, GB parallelae duae Co∣nisectionem ADB tangentes in A & B; EF recta ter∣tia Conisectionem tangens in I, & occurrens prioribus tangentibus in F & G; sit{que} CD semidiameter Figurae tangentibus parallela: Dico quod AF, CD, BG sunt continue proportionales.

Nam si diametri conjugatae, AB, DM tangenti FG occurrant in E & H, se{que} mutuo secent in C, & compleatur parallelogrammum IKCL; erit ex natura sectionum Conicarum, ut EC ad CA ita CA ad LC, & ita divisim EC−CA ad CA−CL seu EA ad AL, & composite EA ad EA+AL seu EL ut EC ad EC+C∣A seu EB; adeo{que} (ob similitudinem triangulorum EAF, EL∣I, ECH, EBG) AF ad LI ut CH ad BG. Est itidem ex natura sectionum Conicarum LI seu CK ad CD ut CD ad CH, at{que} adeo ex aequo perturbate AF ad CD ut CD ad BG. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si tangentes duae FG, PQ tangentibus paralle∣lis AF, BG occurrant in F & G, P & Q, se{que} mutuo secent in O, erit (ex aequo perturbate) AF ad BQ ut AP ad BG, & divi∣sim ut FP ad GQ, at{que} adeo ut FO ad OG.

Corol. 2. Unde etiam rectae duae PG, FQ per puncta P & G, F & Q ductae, concurrent ad rectam ACB per centrum fi∣gurae & puncta contactuum A, B transeuntem.

Lemma XXV.

Si parallelogrammi latera quatuor infinite producta tangant sectionem quamcun{que} Coni∣cam,

[illustration]

& abscin∣dantur ad tangen∣tem quamvisquin∣tam; sumantur au∣tem abscissae ter∣minatae ad angu∣los oppositos pa∣rallelogrammi: di∣co quod abscissa unius lateris sit ad latus illud, ut pars lateris con∣termini inter punctum contactus & latus tertium, ad abscissam la∣teris hujus contermini.

Tangant parallelogrammi MIKL latera quatuor ML, IK,

KL, MI sectionem Conicam in A, B, C, D, & secet tangens quinta FQ haec latera in F, Q, H & E: dico quod sit ME ad MI ut BK ad KQ,

[illustration]

& KH ad KL ut AM ad MF. Nam per Corollarium Lemmatis superio∣ris, est ME ad EI ut AM seu BK ad BQ, & componen∣do ME ad MI ut BK ad KQ.Q.E.D. Item KH ad HL ut BK seu AM ad AF, & dividendo KH ad KL ut AM ad MF. QE.D.

Corol. 1. Hinc si parallelogrammum IKLM datur, dabitur rectangulum KQ×ME, ut & huic aequale rectangulum KHצMF. Aequantur enim rectangula illa ob similitudinem triangu∣lorum KQH, MFE.

Corol. 2. Et si sexta ducatur tangens eq tangentibus KI, MI occurrens in e & q, rectangulum KQ×ME aequabitur rectangu∣lo Kq×Me, erit{que} KQ ad Me ut Kq ad ME, & divisim ut Qq ad Ee.

Corol. 3. Unde etiam si Eq, eQ jungantur & bisecentur, & recta per puncta bisectionum agatur, transibit haec per centrum Sectionis Conicae. Nam cum sit Qq ad Ee ut KQ ad Me, transibit eadem recta per medium omnium Eq, eQ, MK; (per Lemma XXIII) & medium rectae MK est centrum Sectionis.

Prop. XXVII. Prob. XIX.

Trajectoriam describere quae rectas quin{que} positione datas continget.

Dentur positione tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA. Figurae quadrilaterae sub quatuor quibusvis contentae AB

FE diagonales AF, BE biseca, & (per Cor. 3. Lem. XXV) recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum Trajec∣toriae. Rursus figurae quadrilaterae BGDF, sub alijs quibusvis quatuor

[illustration]

tangenti∣bus con∣tentae, dia∣gonales (ut ita di∣cam) B∣D, GF bi∣seca, & recta per puncta bi∣sectionum acta transi∣bit per cen¦trum secti∣onis. Dabitur ergo centrum in concursu bisecantium. Sit illud O. Tangenti cui∣vis BC parallelam age KL, ad eam distantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur, & acta KL tanget trajectoriam describendam. Secet haec tangentes alias quasvis duas CD, FD∣E in L & K. Per tangentium non parallelarum CL, FK cum parallelis CF, KL concursus C & K, F & L age CK, FL con∣currentes in R, & recta OR ducta & producta secabit tangentes parallelas CF, KL in punctis contactuum. Patet hoc per Co∣rol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet alia con∣tactuum puncta, & tum demum per Casum 1. Prob. XIV. Trajectoriam describere. Q.E.F.

Schol.

Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymp∣toti, includuntur in praecedentibus. Nam datis punctis & tangen∣tibus una cum centro, dantur alia totidem puncta aliae{que} tangentes a centro ex altera ejus parte aequaliter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens verte∣tur in Asymptoton, at{que} constructiones Problematis XV & Casus primi Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti dantur.

Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbili∣cos ejus hac methodo. In constructione & Figura Lemmatis XXI,

[illustration]

fac ut angulorum mobi∣lium PBN, PCN cru∣ra BP, CP quorum concursu Trajectoria de∣scribebatur sint sibi in∣vicem parallela, eum{que} servantia situm revol∣vantur circa polos suos B, C in figura illa. In∣terea vero describant altera angulorum illo∣rum crura CN, BN, con∣cursu suo K vel k, cir∣culum IBKGC. Sit circuli hujus centrum O. Ab hoc centro ad Regulam MN, ad quam altera illa crura CN, BN interea concurrebant dum Trajectoria describebatur, demit∣te normalem OH circulo occurrentem in K & L. Et ubi cru∣ra

illa altera CK, BK concurrunt ad punctum istud K quod Regulae propius est, crura prima CP, BP parallela erunt axi majori; & contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad punctum remotius L. Unde si detur Trajectoriae centrum, da∣buntur axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.

Axium vero quadrata sunt ad invicem ut KH ad LH, & inde facile est Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta de∣scribere. Nam si duo ex punctis datis constituantur poli C, B, tertium dabit angulos mobiles PCK, PBK. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratio OH ad OK, centro{que} O & in∣tervallo OH describendo circulum, & per punctum quartum a∣gendo rectam quae circulum illum tangat, dabitur regula MN cu∣jus ope Trajectoria describetur. Unde etiam vicissim Trapezi∣um specie datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) in data quavis sectione Conica inscribi potest.

Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriae specie datae datis punctis & tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per punctum quodvis positione datum du∣catur, quae datam Conisectionem in punctis duobus intersecet, & intersectionum intervallum bisecetur, punctum bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, at{que} axes ha∣bentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis uti∣lia.

Lemma XXVI.

Trianguli specie & magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem positione datas, quae non sunt omnes parallelae, singulos ad singulas ponere.

Dantur positione tres rectae infinitae AB, AC, BC, & opor∣tet triangulum DEF ita locare, ut angulus ejus D lineam AB,

angulus E lineam AC, & angulus F lineam BC tangat. Super DE, DF & EF describe tria circulorum segmenta DRE, DGF,

[illustration]

EMF, quae capiant angu∣los angulis BAC, ABC, ACB aequales respective. Describantur autem haec segmenta ad eas partes linearum DE, DF, EF ut literae DRED eodem ordine cum literis BAC∣B, literae DGFD eo∣dem cum literis ABCA, & literae EMFE eodem cum literis ACBA in orbem redeant: deinde compleantur haec segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo in G,

[illustration]

sint{que} centra eorum P & Q. Junctis GP, PQ, cape Ga ad AB ut est GP ad P∣Q, & centro G, in∣tervallo Ga describe circulum, qui secet circulum primum D∣GE in a. Jungatur tum aD secans circu∣lum secundum DFG in b, tum aE secans circulum tertium G∣Ec in c. Et com∣pleatur figura abc∣DEF similis & aequa∣lis figurae ABCdef. Dico factum.

Agatur enim Fc ipsi aD occurrens in n. Jungantur aG,

bG, PD, QD & producatur PQ ad R. Ex constructione est angulus EaD aequalis angulo CAB, & angulus EcF aequalis an∣gulo ACB, adeo{que} triangulum anc triangulo ABC aequiangu∣lum. Ergo angulus anc seu FnD angulo ABC, adeo{que} angulo FbD aequalis est, & propterea punctum n incidit in punctum b. Porro angulus GPQ, qui dimidius est anguli ad centrum G∣PD, aequalis est angulo ad circumferentiam GaD; & angulus G∣QR, qui dimidius est complementi anguli ad centrum GQD, aequalis est angulo ad circumferentiam GbD, adeo{que} eorum com∣plementa PQG, abG aequantur, sunt{que} ideo triangula GPQ, Gab similia, & Ga est ad ab ut GP ad PQ; id est (ex construc∣tione) ut Ga ad AB. Aequantur ita{que} ab & AB & propterea triangula abc, ABC, quae modo similia esse probavimus, sunt etiam aequalia. Unde cum tangant insuper trianguli DEF angu∣li D, E, F trianguli abc latera ab, ac, bc respective, compleri potest figura ABC def figurae abc DEF similis & aequalis, at{que} eam complendo solvetur Problema. Q.E▪F.

Corol. Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datae rectis tribus positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF, puncto D ad latus EF accedente, & lateribus DE, DF in di∣rectum positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data DE, rec∣tis positione datis AB, AC, & pars data DF rectis positione da∣tis AB, BC interponi debet; & applicando constructionem prae∣cedentem ad hunc casum solvetur Problema.

Prop. XXVIII. Prob. XX.

Trajectoriam specie & magnitudine datam describere, cujus partes datae rectis tribus positione datis interjacebunt.

Describenda sit Trajectoria quae sit similis & aequalis lineae cur∣vae DEF, qua{que} a rectis tribus AB, AC, BC positione datis, in

partes datis hujus partibus DE & EF similes & aequales secabitur.

Age rectas DE, EF, DF, & trianguli hujus DEF pone angu∣los

[illustration]

D, E, F ad rectas illas positione datas: (per Lem. XXVI) Dein circa triangulum describe Trajectoriam curvae DEF simi∣lem & aequalem. Q.E.F.

Lemma XXVII.

Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor po∣sitione datas (quae ne{que} omnes parallelae sunt, ne{que} ad commune punctum convergunt) singuli ad singulas consistent.

Dentur positione rectae quatuor ABC, AD, BD, CE, qua∣rum prima secet secundam in A, tertiam in B, & quartam in C: & describendum sit Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile, & cujus angulus f, angulo dato F aequalis, tangat rectam A∣BC, caeteri{que} anguli g, h, i caeteris angulis datis G, H, I aequales tangant caeteras lineas AD, BD, CE respective. Jungatur FH, & super FG, FH, FI describantur totidem 〈…〉〈…〉ulorum segmenta FSG, FTH, FVI; quorum primum FSG capiat angulum aequa∣lem angulo BAD, secundum FTH capiat angulum aequalem an∣gulo CBE; ac tertium FVI capiat angulum aequalem angulo AC∣E.

Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum FG, FH, FI, ut literarum FSGF idem sit ordo circularis qui litera∣rum BADB, ut{que} literae FTHF eodem ordine cum literis CB∣EC, & literae FVIF eodem cum literis ACEA in orbem rede∣ant. Compleantur segmenta in circulos, sir{que} P centrum circuli primi FSG, & Q centrum secundi FTH. Jungatur & utrin{que}

[illustration]

producatur PQ, & in ea capiatur QR in ea ratione ad PQ quam habet BC ad AB. Capiatur autem QR ad eas partes puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo circularis at{que} literarum A, B, C: centro{que} R & intervallo RF describatur circulus quartus F∣Nc secans circulum tertium FVI in c. Jungatur Fc secans cir∣culum primum in a & secundum in b. Agantur aG, bH, cI, & figurae abcFGHI similis constituatur figura ABCfghi: Erit{que} Trapezium fghi illud ipsum quod constituere oportuit.

Secent enim circuli duo primi FSG, FTH se mutuo in K. Jungantur PK, QK, RK, aK, bK, cK & producatur QP ad

L. Anguli ad circumferentias FaK, FbK, FcK sunt semisses angulorum FPK, FQK, FRK ad centra, adeo{que} angulorum illorum dimidiis LPK, LQK, LRK aequales. Est ergo figura PQRK figurae abcK aequiangula & similis, & propterea ab est ad bc ut PQ ad QR, id est ut AB ad BC. Angulis insuper F∣aG, FbH, FcI aequantur fAg, fBh, fCi per constructionem.

[illustration]

Ergo figurae abc FGHI figura similis ABCfghi compleri potest. Quo facto Trapezium fghi constituetur simile Trapezio FGHI & angulis suis f, g, h, i tanget rectas AB, AD, BD, CE.Q.E.F.

Corol. Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor posi∣tione datis dato ordine interjectae, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli FGH, GHI us{que} eo, ut rectae FG, GH, HI in directum jaceant, & in hoc casu construendo Proble∣ma, ducetur recta fghi cujus partes fg, gh, hi, rectis quatuor po∣sitione datis AB & AD, AD & BD, BD & CE interjectae, e∣runt ad invicem ut linea FG, GH, HI, eundem{que} servabunt ordi∣nem inter se. Idem vero sic fit expeditius.

Producantur AB ad K, & BD ad L, ut sit BK ad AB ut HI ad GH; & DL ad BD ut GI ad FG; & jungatur KL occurrens rectae CE in i. Producatur iL ad M, ut sit LM ad iL ut GH ad HI, & agatur tum MQ ipsi LB parallela rectae{que} AD occur∣rens in g, tum gi secans AB, BD in f, h. Dico factum.

Secet e∣nim

[illustration]

Mg rec∣tam AB in Q, & AD rectam KL in S, & aga∣tur AP, quae sit ipsi BD parallela & occurat iL in P, & e∣runt Mg ad Lh (Mi ad Li, gi ad hi, AK ad BK) & AP ad B∣L in eadem ratione. Secetur DL in R ut sit DL ad RL in eadem illa ra¦tione, & ob proportionales gS ad gM, AS ad AP, & DS ad DL, erit ex aequo ut gS ad Lh ita AS ad BL & DS ad RL; & mixtim, BL−RL ad Lh−BL ut AS−DS ad gS−AS. Id est BR ad Bh ut AD ad Ag, adeo{que} ut BD ad gQ. Et vicis∣sim BR ad BD ut Bh ad gQ seu fh ad fg. Sed ex constructi∣one est BR ad BD ut FH ad FG. Ergo fh est ad fg ut FH ad FG. Cum igitur sit etiam ig ad ih ut Mi ad Li, id est, ut IG ad IH, patet lincas FI, fi in g & h, G & H similiter sectas esse. Q.E.F.

In constructione Corollarii hujus postquam ducitur LK secans

CE in i, producere licet iE ad V, ut sit EV ad iE ut FH ad HI, & agere Vf parallelam ipsi BD. Eodem recidit si centro i, in∣tervallo IH describatur circulus secans BD in X, producatur iX ad Y, ut sit iY aequalis IF, & agatur Yf ipsi BD parallela.

Prop. XXIX. Prob. XIX.

Trajectoriam specie datam describere, quae a rectis quatuor positione da∣tis in partes secabitur, ordine, specie & proportione datas.

Describenda sit Trajectoria fghi, quae similis sit lineae curvae FGHI, & cujus partes fg, gh, hi illius partibus FG, GH, HI similes &

[illustration]

propor∣tionales, rectis A∣B & AD AD & BD, B∣D & EC positione datis, prima primis, secun∣da secundis, tertia tertiis interjace∣ant. Actis rectis FG, GH, HI, FI, describatur Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile & cujus anguli f, g, h, i tangant rec∣tas illas positione datas AB, AD, BD, CE singuli singulas dicto or∣dine. Dein (per Lem. XXVII) circa hoc Trapezium describatur Trajectoria curvae lincae FGHI consimilis.

Scholium.

Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis FG, GH, HI, FI produc GF ad V, junge{que} FH, IG, & angulis FGH, VFH fac angulos CAK, DAL aequales. Concurrant AK, AL cum recta BD in K & L, & inde agantur KM, LN, quarum KM constituat angulum AKM aequalem angulo GHI, sit{que} ad AK ut est HI ad GH; & LN constituat angulum AL∣N aequalem angulo FHI, sit{que} ad AL ut HI ad FH. Ducantur autem AK, KM, AL, LN ad eas partes linearum AD, AK, AL, ut literae CAKMC, ALK, DALND eodem ordine cum literis FGHIF in orbem redeant, & acta MN occurrat rectae

[illustration]

CE in i. Fac angulum iEP aequalem angulo IGF, sit{que} PE ad Ei ut FG ad GI; & per P agatur QPf, quae cum recta AED contineat angulum PQE aequalem angulo FIG, rectae{que} AB oc∣currat in f, & jungatur fi. Agantur autem PE & PQ ad eas partes linearum CE, PE, ut literarum PEiP & PEQP idem sit ordo circularis qui literarum FGHIF, & si super linea fi eodem quo{que} literarum ordine constituatur Trapezium fghi Trapezio FGHI simile, & circumscribatur Trajectoria specie data, solve∣tur Problema.

Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corpo∣rum in orbibus inventis determinemus.