Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Lemma XX.

Si parallelogrammum quodvis ASPQ angulis duobus oppositis A & P tangit sectionem quamvis Conicam in punctis A & P, & lateribus unius angulorum illorum infinite productis AQ, AS occurrit eidem sectioni Conicae in B & C; a punctis autem occur∣suum

B & C ad quintum quodvis sectionis Conicae punctum D agantur rectae duae B D, C D occurrentes alteris duobus infinite pro∣ductis parallelogrammi lateribus PS, PQ in T & R: erunt sem∣per abscissae latcrum partes PR & PT ad invicem in data ratione. Et contra, si partes illae abscissae sunt ad invicem in data ratione, punctum D tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor A, B, P, C transeuntem.

Cas. 1. Jungantur BP, CP & a puncto D agantur rectae duae

[illustration]

DG, DE, quarum prior DG ipsi AB parallela sit & occurrat PB, PQ, CA in H, I, G; altera DE pa∣rallela sit ipsi AC & occur∣rat PC, PS, AB in F, K, E: & erit (per Lemma XVII.) rectangulum DE×DF ad rectangulum DG×DH in ratione data. Sed est PQ ad DE seu IQ, ut PB ad HB, adeo{que} ut PT ad DH; & vicissim PQ ad PT ut DE ad DH. Est & PR ad DF ut RC ad DC, adeo{que} ut IG vel PS ad DG, & vicissim PR ad PS ut DF ad DG; & conjunctis rationibus sit rectangulum PQ×PR ad rectangulum PS×PT ut rectangulum DE×DF ad rectangulum DG×DH, at{que} adeo in data ratione. Sed dantur PQ & PS & propterea ratio PR ad PT datur. Q.E.D.

Cas. 2. Quod si PR & PT ponantur in data ratione ad invi∣cem, tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangu∣lum DE×DF ad rectangulum DG×DH in ratione data, ade∣o{que} punctum D (per Lemma XVIII.) contingere Conicam sec∣tionem transeuntem per puncta A, B, P, C.Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si agatur BC secans PQ in r, & PT capiatur Pt in ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens

Conicae sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D co∣ire cum puncto B ita ut, chorda BD evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt▪

Corol. 2. Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Coni∣cae sectionis punctum D conveniant BD, CD; erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR ad PT ut Pr ad Pt, conve∣nient BD, CD ad Conicae sectionis punctum aliquod D.

Corol. 3. Conica sectio non secat Conicam sectionem in punc∣tis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duae Conicae sectiones per quin{que} puncta A, B, C, D, P, eas{que} secet recta BD in punctis D, d, & ipsam PQ secet recta Cd in r. Ergo PR est ad PT ut Pr ad PT, hoc est, PR & Pr sibi invi∣cem aequantur, contra Hypothesin.