Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Lemma XIX.

Invenire punctum P, a quo si rectae quatuor PQ, PR, PS, PT ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, BD singulae ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis, PQ×PR, sit ad rectangulum sub aliis duabus, PS×PT, in data ratione.

Lineae AB, CD, ad quas rectae duae PQ, PR, unum rectan∣gulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus po∣sitione

[illustration]

datis lineis in punctis A, B, C, D. Ab eorum a∣liquo A age rectam quam∣libet AH, in qua velis punc∣tum P reperiri. Secet ea lineas oppositas BD, CD, nimirum BD in H & CD in I, & ob datos omnes an∣gulos figurae, dabuntur rati∣ones PQ ad PA & PA ad PS, adeo{que} ratio PQ ad PS. Auferendo hanc a da∣ta ratione PQ×PR ad PS×PT, dabitur ratio PR ad PT, & addendo datas rationes PI ad PR, & PT ad PH dabitur ratio PI ad PH at{que} adeo punctum P.Q.E.I.

Corol. 1. Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum P punc∣tum quodvis D tangens duci potest. Nam chorda PD ubi punc∣ta P ac D conveniunt, hoc est, ubi AH ducitur per punctum D, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium IP & PH invenietur ut supra. Ipsi igitur AD duc parallelam CF, occurrentem BD in F, & in ea ultima ratione sectam in E,

& DE tangens erit, propterea quod CF & evanescens IH pa∣rallelae sunt, & in E & P similiter sectae.

Corol. 2. Hinc etiam Locus punctorum omnium P definiri po∣test. Per quodvis punctorum A, B, C, D, puta A, duc Loci tangentem AE, & per aliud quodvis punctum B duc tangenti

[illustration]

parallelam BF occurrentem Lo∣co in F. Invenietur autem punc∣tum F per Lemma superius. Biseca BF in G, & acta AG di∣ameter erit ad quam BG & FG ordinatim applicantur. Haec AG occurrat Loco in H, & erit AH latus transversum, ad quod latus rectum est ut BGq. ad AG∣H. Si AG nullibi occurrit Loco, linea AH existente infinita, Lo∣cus erit Parabola & latus rectum ejus BGq./AG Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi puncta A & H sita sunt ad easdem partes ipsius G: & Ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte an∣gulus AGB rectus sit & insuper BG quad. aequale rectangulo AGH, quo in casu circulus habebitur.

At{que} ita Problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide in∣caepti & ab Apollonio continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem Veteres quaerebant, in hoc Corollario ex∣hibetur.