Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

SECT. IV. De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolico∣rum ex umbilico dato.

Lemma XV.

Si ab Ellipseos vel Hyperbolae cujusvis umbilicis duobus S, H, ad punct∣um quodvis tertium V inflectantur rectae duae SV, HV, quarum u∣na HV aequalis fit axi transverso figurae, altera SV a perpendicu∣lo TR in se d••••isso bisecetur in T; perpendiculum illud TR sec∣tionem Conicam alicubi tangit: &

[illustration]

contra, si tangit, erit VH aequalis axi figurae.

Secet enim VH sectionem coni∣cam in R, & jungatur SR. Ob ae∣quales rectas TS, TV, aequales e∣runt anguli TRS, TRV. Bisecat ergo RT angulum VRS & propte∣rea figuram tangit: & contra. Q.E.D.

Prop. XVIII. Prob. X.

Datis umbilico & axibus transversis describere Trajectorias Ellipti∣cas & Hyperbolicas, quae transibunt per puncta data, & rectas po∣sitione datas contingent.

Sit S communis umbilicus figuraram; AC longitudo axis trans∣versi Trajectoriae cujusvis; P punctum per quod Trajectoria debet transire; & TR recta quam debet tangere. Centro P intervallo AB−SP, si orbita sit Ellipsis, vel AB+SP, si ea sit Hyperbola, describatur circulus HG. Ad tangentem TR demittatur per∣pendiculum

ST, & producatur ea ad V, ut sit TV aequalis ST; centro{que} V & intervallo AC describatur circulus FH. Hac me∣thodo

[illustration]

sive dentur duo puncta P, p, sive duae tangentes TR, tr, sive punctum P & tan∣gens TR, describendi sunt circuli duo. Sit H eorum intersectio communis, & um∣bilicis S, H, axe illo dato describatur Trajectoria. Di∣co factum. Nam Trajecto∣ria descripta (eo quod PH+SP in Ellipsi, & PH−SP in Hyperbola aequatur axi) transibit per punctum P, & (per Lemma superius) tanget rectam TR. Et eodem argu∣mento vel transibit eadem per puncta duo P, p, vel tanget rectas duas TR, tr. Q.E.F.

Prop. XIX. Prob. XI.

Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, quae tran∣sibit per puncta data, & rectas positione datas continget.

Sit S umbilicus, P punctum & TR tangens trajectoriae descri∣bendae.

[illustration]

Centro P, intervallo PS describe circulum FG. Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularem ST, & produc e∣am ad V, ut fit TV aequalis ST. Eodem modo describendus est alter circulus fg, si da∣tur alterum punctum p; vel inveniendum alterum punctum v, si datur altera tangens tr; dein ducenda recta IF quae tangat du∣os circulos FG, fg si dantur duo puncta P,

p; vel transeat per duo puncta V, v, si dantur duae tangentes TR, tr, vel tangat ci••culum PG & transeat per punctum V, si da∣tur punctum P & tangens TR. Ad FI d••mitte perpendicula∣rem SI, eam{que} biseca in K, & axe SK, vertice principali K de∣scribatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob aequales SK & IK, SP & FP transibit per punctum P; & (per Lemma∣tis XIV. Corol. 3.) ob aequales ST & TV & angulum rectum STR, tanget rectam TR.Q.E.F.

Prop. XX. Prob. XII.

Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describe∣re, quae per data puncta transibit & rectas tanget positione da∣tas.

Cas. 1. Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria ABC per puncta duo B, C. Quoniam Trajectoria datur specie, da∣bitur

[illustration]

ratio axis transversi ad distantiam umbilicorum. In ea ratione cape KB ad BS, & LC ad CS. Centris B, C, interval∣lis BK, CL, describe▪ circulos duos, & ad rectam KL, quae tangat eosdem in K & L, de∣mitte perpendiculum SG, idem{que} seca in A & a, ita ut sit SA ad AG & Sa ad aG, ut est SB ad BK, & axe Aa, verticibus A, a, describatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim Humbilicus al∣ter figurae descriptae, & cum sit SA ad AG ut Sa ad aG, erit di∣visim Sa−SA seu SH ad aG−AG seu Aa in eadem ratione, adeo{que} in ratione quam habet axis transversus figurae describen∣dae ad distantiam umbilicorum ejus; & propterea figura descrip∣ta est ejusdem speciei cum describenda. Cum{que} sint KB ad BS & LC ad CS in eadem ratione, transibit haec Figura per puncta B, C, ut ex Conicis manifestum est.

Cas. 2. Dato umbilico S, describenda sit Trajectoria quae rect∣as duas TR, tr alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes de∣mitte perpendicula ST, St & produc eadem ad V, v, ut sint TV, tv aequales TS, ts. Biseca Vv

[illustration]

in O, & erige perpendiculum in∣finitum OH, rectam{que} VS infi∣nite productam seca in K & k ita, ut sit VK ad KS & Vk ad kS ut est Trajectoriae describen∣dae axis transversus and umbilico∣rum distantiam. Super diame∣tro Kk describatur circulus se∣cans rectam OH in H; & umbi∣licis S, H, axe transverso ipsam VH aequante, describatur Tra∣jectoria. Dico factum. Nam biseca Kk in X, & junge HX, HS, HV, Hv. Quoniam est VK and KS ut Vk ad kS; & composite ut VK+Vk ad KS+kS; divisim{que} ut Vk−VK ad kS−KS id est ut 2 VX ad 2 KX & 2 KX ad 2 SX, adeo{que} ut VX ad HX & HX ad SX, similia erunt triangula VXH, HXS, & propterea VH erit ad SH ut VX ad XH, adeo{que} ut VK ad KS. Habet igitur Trajectoria descriptae axis transver∣sus VH eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam SH, quam habet Trajectoriae describendae axis transversus ad ipsius umbilico∣rum distantiam, & propterea ejusdem est speciei. Insuper cum VH, vH aequentur axi transverso, & VS, vS a rectis TR, tr perpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas Trajectoriam descriptam tangere. Q.E.F.

Cas. 3. Dato umbilico S describenda sit Trajectoria quae rect∣am TR tanget in puncto dato R. In rectam TR demitte per∣pendicularem ST, & produc eandem ad V, ut sit TV aequalis ST. Junge VR, & rectam VS infinite productam seca in K & k, ita ut sit VK ad SK & Vk ad Sk ut Ellipseos describendae axis trans∣versus ad distantiam umbilicorum; circulo{que} super diametro Kk

descripto, secetur producta recta VR in H, & umbilicis S, H, axe transverso rectam HV aequante, describatur Trajectoria. Di∣co

[illustration]

factum. Nam{que} VH esse ad SH ut VK ad SK, at{que} a∣deo ut axis transversus Tra∣jectoriae describendae ad dist∣antiam umbilicorum ejus, pa∣tet ex demonstratis in Casu se∣cundo, & propterea Trajec∣toriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda: rectam vero TR qua angulus VRS bisecatur, tangere Trajectoriam in puncto R, patet ex Conicis Q.E.F.

Cas. 4. Circa umbilicum S describenda jam sit Trajectoria APB, quae tangat rectam TR, transeat{que} per punctum quodvis P extra tangentem datum, quae{que} similis sit figurae apb, axe

[illustration]

transverso ab & umbilicis s, h descriptae. In tangentem TR de∣mitte perpendiculum ST, & produc idem ad V, ut sit TV aequalis ST. Angulis autem VSP, SVP fac angulos hsq, shq aequa∣les; centro{que} q & intervallo quod sit ad ab ut SP ad VS describe

circulum secantem figuram apb in p. Junge sp & age SH quae sit ad sh ut est SP ad sp, quae{que} angulum PSH angulo psh & angulum VSH angulo psq aequales constituat. Deni{que} umbi∣licis S, H, axe distantiam VH aequante, describatur sectio conica.

[illustration]

Dico factum. Nam si agatur sv quae sit ad sp ut est sh ad sq, quae{que} constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh an∣gulo psq aequales, triangula svh, spq erunt similia, & propte∣rea vb erit ad pq ut est sh ad sq, id est (ob similia triangula VSP, hsq) ut est VS ad SP seu ab ad pq. Aequantur ergo vh & ab. Porro ob similia triangula VSH, vsh, est VH ad SH ut vh ad sh, id est, axis Conicae sectionis jam descriptae ad il∣ius umbilicorum intervallum, ut axis ab ad umbilicorum inter∣vallum sh, & propterea figura jam descripta similis est figurae a∣pb. Transit autem haec figura per punctum P, co quod trian∣gulum PSH simile sit triangulo psh; & quia VH a quatur ip∣sius axi & VS bisecatur perpendiculariter a recta TR, tangit ea∣dem rectam TR.Q.E.F.

Lemma XVI.

A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentiae vel dan•••••• vel nullae sunt.

Cas. 1. Sunto puncta illa data A, B, C & punctum quartum Z, quod invenire oportet: Ob datam differentiam linearum AZ▪ BZ, locabitur punctum Z in Hyperbola cujus umbilici sunt A & B, & axis transversus differentia illa data. Sit axis ille MN. Ca∣pe PM ad MA ut est MN ad AB, & erecto PR perpendicular ad AB, demisso{que} ZR perpendiculari ad PR, erit ex natura hujus Hyperbolae ZR ad AZ ut est MN ad AB. Simili discur∣su punctum Z locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici sunt A, C & axis transversus differentia inter AZ & CZ, duci{que} potest QS ipsi AC perpendicularis, ad quam si ab Hyperbolae hujus puncto quovis Z demittatur normalis ZS, haec fuerit ad AZ ut est differentia inter AZ & CZ ad AC. Dantur ergo rationes ipsarum ZR & ZS ad AZ, & idcirco datur earundem ZR & ZS ratio ad invicem; adeo{que}

[illustration]

rectis RP, SQ concurrentibus in T, locabitur punctum Z in rec∣ta TZ positione data. Eadem Methodo per Hyperbolam ter∣tiam, cujus umbilici sunt B & C & axis transversus differentia rectarum BZ, CZ, inveniri po∣test alia recta in qua punctum Z locatur. Habitis autem duobus locis rectilineis, habetur punct∣um quaesitum Z in earum intersectione. Q.E.I.

Cas. 2. Si duae ex tribus lineis, puta AZ & BZ aequantur, punctum Z locabitur in perpendiculo bisecante distantiam AB, & locus alius rectilineus invenietur ut supra. Q.E.I.

Cas. 3. Si omnes tres aequantur, locabitur punctum Z in cen∣tro circuli per puncta A, B, C transeuntis. Q.E.I.

Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. Tacti∣onum Apollonii a Vieta restitutum.

Prop. XXI. Prob. XIII.

Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quae transibit per puncta data & rectas positione datas continget.

Detur umbilicus S, punctum P, & tangens TR, & invenien∣dus sit umbilicus alter H. Ad tangentem demitte perpendiculum ST, & produc idem ad Y, ut sit TY aequalis ST, & erit YH aequalis axi transverso. Junge SP, HP, & erit SP differentia in∣ter HP & axem transversum. Hoc modo si dentur plures tan∣gentes TR, vel plura puncta P, devenietur semper ad lineas toti∣dem YH, vel PH, a dictis punctis Y vel P ad umbilicum H ductas, quae vel aequantur axibus, vel datis longitudinibus SP differunt ab iisdem, at{que} adeo quae vel aequan∣tur

[illustration]

sibi invicem, vel datas habent diffe∣rentias; & inde, per Lemma superius, datur umbilicus ille alter H. Habitis autem umbilicis una cum axis longitu∣dine (quae vel est YH, vel si Trajecto∣ria Ellipsis est, PH+SP; sin Hy∣perbola, PH−SP) habetur Trajectoria. Q.E.I.

Scholium.

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C, D. Junctas BC, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC, & FC ad FD ut SC ad SD. Ad EF ductam & productam demitte normales SG, BH, in{que} GS infinite produc∣ta cape GA ad AS & Ga ad aS ut est HB ad BS; & erit A

vertex, & Aa axis transversus Trajectoriae: quae, perinde ut GA minor, aequalis vel major fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto

[illustration]

a in primo casu ca∣dente ad eandem partem lineae GK cum puncto A; in secundo casu abeun∣in infinitum; in tertio cadente ad contrari∣am partem lineae GK. Nam si demittantur ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HB ut EC ad EB, hoc est ut SC ad SB; & vicissim IC ad SC ut HB ad SB, seu GA ad SA. Et simili argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacent ergo puncta B, C, D in Conisectione circa umbilicum S ita descripta, ut rectae omnes ab umbilico S ad singula Sectionis puncta ductae, sint ad perpendicula a punctis iis∣dem ad rectam GK demissa in data illa ratione.

Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit Clarissimus Geometra De la Hire, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop XXV.