Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XXI. Prob. XIII.

Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quae transibit per puncta data & rectas positione datas continget.

Detur umbilicus S, punctum P, & tangens TR, & invenien∣dus sit umbilicus alter H. Ad tangentem demitte perpendiculum ST, & produc idem ad Y, ut sit TY aequalis ST, & erit YH aequalis axi transverso. Junge SP, HP, & erit SP differentia in∣ter HP & axem transversum. Hoc modo si dentur plures tan∣gentes TR, vel plura puncta P, devenietur semper ad lineas toti∣dem YH, vel PH, a dictis punctis Y vel P ad umbilicum H ductas, quae vel aequantur axibus, vel datis longitudinibus SP differunt ab iisdem, at{que} adeo quae vel aequan∣tur

[illustration]

sibi invicem, vel datas habent diffe∣rentias; & inde, per Lemma superius, datur umbilicus ille alter H. Habitis autem umbilicis una cum axis longitu∣dine (quae vel est YH, vel si Trajecto∣ria Ellipsis est, PH+SP; sin Hy∣perbola, PH−SP) habetur Trajectoria. Q.E.I.

Scholium.

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C, D. Junctas BC, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC, & FC ad FD ut SC ad SD. Ad EF ductam & productam demitte normales SG, BH, in{que} GS infinite produc∣ta cape GA ad AS & Ga ad aS ut est HB ad BS; & erit A

vertex, & Aa axis transversus Trajectoriae: quae, perinde ut GA minor, aequalis vel major fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto

[illustration]

a in primo casu ca∣dente ad eandem partem lineae GK cum puncto A; in secundo casu abeun∣in infinitum; in tertio cadente ad contrari∣am partem lineae GK. Nam si demittantur ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HB ut EC ad EB, hoc est ut SC ad SB; & vicissim IC ad SC ut HB ad SB, seu GA ad SA. Et simili argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacent ergo puncta B, C, D in Conisectione circa umbilicum S ita descripta, ut rectae omnes ab umbilico S ad singula Sectionis puncta ductae, sint ad perpendicula a punctis iis∣dem ad rectam GK demissa in data illa ratione.

Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit Clarissimus Geometra De la Hire, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop XXV.