Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

SECT. III. De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.

Prop. XI. Prob. VI.

Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetae tenden∣tis ad umbilicum Ellipseos.

Esto Ellipseos superioris umbilicus S. Agatur SP secans Ellip∣seos tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in ×, & compleatur parallelogrammum Q×PR. Patet EP ae∣qualem esse semi∣axi

[illustration]

majori AC, eo quod acta ab altero Ellipseos umbilico H linea HI ipsi EC parallela, (ob ae∣quales CS, CH) aequentur ES, EI, a∣deo ut EP semisum∣ma sit ipsarum PS, PI, id est (ob pa∣rallelas HI, PR & angulos aequales IP R, HPZ) ipso∣rum PS, PH, quae conjunctim axem totum 2 AC adaequant. Ad SP demittatur perpendicularis QT, & Ellipseos latere recto principali (seu 2BC / AC quad.) dicto L, erit L×QR ad L×Pv ut QR ad Pv; id est ut PE (seu AC) ad PC: & L×Pv ad GvP ut L ad Gv;

& GvP ad Qv ••uad. ut CP quad. ad CD quad; & (per Lem. VIII.) Qv quad. ad Qx quad. punctis Q & P coeuntibus, est ratio aequa∣litatis, & Qx quad. seu Qv quad. est ad QT quad. ut EP quad. ad PF quad, id est ut CA quad. ad PF quad. sive (per Lem. XII.) ut CD quad. ad CB quad. Et conjunctis his omnibus rationi∣bus, L×QR sit ad QT quad. ut AC ad PC+L ad Gv+CPq ad CDq+CDq. ad CBq. id est ut AC×L (seu 2 CBq.)×C∣Pq. ad PC×Gv×CBq. sive ut 2 PC ad Gv. Sed punctis Q & P coeuntibus, aequantur 2 PC & Gv. Ergo & his proportio∣nalia L×QR & QT quad. aequantur. Ducantur haec a qualia in SPq./QR & fiet L×SPq. aequale SPq.×QTq./QK Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L×SPq. id est recipro∣ce in ratione duplicata distantiae SP.Q.E.I

Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabo∣lam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignita∣tem Problematis & usum ejus in sequentibus, non pigebit casu∣caeteros demonstratione confirmare.

Prop. XII. Prob. VII.

Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetae tenden∣tis ad umbilicum figurae.

Sunto ••A, CB semi-axes Hyperbolae; PG, KD diametri conjugatae; PF, Qt perpendicula ad diametros; & Qv ordina∣tim applicata ad diametrum GP. Agatur SP secans tum diame∣trum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in ×, & comple∣atur parallelogrammum QRPx. Patet EP aequalem esse semi∣axi transverso AC, eo quod, acta ab altero Hyperbolae umbilico H linea HI ipsi EC parallela, ob aequales CS, CH, aequentur ES, EI; adeo ut EP semidifferentia sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HI, PR & angulos aequales IPR, HPZ) ipsarum PI, PH, quarum differentia axem totum 2 AC adaequat. Ad SP

demittatur perpendicularis QT. Et Hyperbolae latere recto principali (seu 2BCq / AC) dicto L, erit L×QR ad L×Pv ut QR ad Pv, id est, ut PE (seu AC) ad PC; Et L×Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qvq. ut CPq.

[illustration]

ad CDq; & (per Lem. VIII.) Qvq. ad Qxq, punctis Q & P coeuntibus fit ratio aequalitatis; & Qxq. seu Qvq. est ad QTq. ut EPq. ad PFq, id est ut CAq. ad PFq, sive (per Lem. XII.) ut CDq. ad CBq: & conjunctis his om∣nibus rationibus L×QR fit ad QTq. ut AC ad PC+L ad Gv+CPq. ad CDq.+CDq. ad CBq: id est ut AC×L (seu 2 BCq.)×P∣Cq. ad PC×Gv×CB quad. sive ut 2 PC ad Gv, sed punctis Q & P coeuntibus ae∣quantur 2 PC & Gv. Ergo & his proportionalia L×QR & QTq. aequantur. Ducantur haec aequalia in SPq./QR & fiet L×SPq. aequale SPq×QTq / QR Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L×SPq, id est in ratione duplicata distantiae SP.Q.E.I.

Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.

Lemma XIII.

Latus rectum Parabolae ad verticem quemvis pertinens, est quadru∣plum distantiae verticis illius ab umbilico figurae. Patet ex Conicis.

Lemma XIV.

Perpendiculum quod ab umbilico Parabolae ad tangentem ejus demit∣titur, medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus & a vertice principali figurae.

Sit enim APQ Parabola, S umbilicus ejus, A vertex princi∣palis, P punct∣um

[illustration]

contact∣us, PO ordi∣natim applica∣ta ad diame∣trum princi∣palem, PM tangens dia∣metro princi∣pali occur∣rens in M, & SN linea perpendicularis ab umbilico in tangentem. Jungatur AN, & ob aequales MS & SP, MN & NP, MA & AO, parallelae erunt rectae AN & OP, & inde triangulum SAN rectangulum erit ad A & simile triangulis aequalibus SMN, SPN, Ergo PS est ad SN ut SN ad SA.Q.ED.

Corol. 1. PSq. est ad SNq. ut PS ad SA.

Corol. 2. Et ob datam SA, est SNq. ut PS.

Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis PM cum recta SN quae ab umbilico in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam AN, quae Parabolam tangit in vertice principali.

Prop. XIII. Prob. VIII.

Moveatur corpus in perimetro Parabolae: requiritur Lex vis centripe∣tae tendentis ad umbilicum hujus figurae.

Maneat constructio Lemmatis, sit{que} P corpus in perimetro Para∣bolae, & a loco Q in quem corpus proxime movetur, age ipsi SP Parallelam QR & perpendicularem QT, necnon Qv tangenti pa∣rallelam & occurentem tum diametro YPG in v, tum distantiae SP in x. Jam ob similia triangula Pxv, MSP & aequalia unius latera SM, SP, aequalia sunt alterius latera Px seu QR & Pv. Sed, ex Conicis, quadratum ordinatae Qv aequale est rectangulo sub latere recto & segmento diametri Pv, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4 PS×Pv seu 4 PS×QR; & punctis P & Q coeun∣tibus, ratio Qv ad Qx (per Lem. 8.) fit aequalitatis. Ergo Q×q. eo in

[illustration]

casu, aequale est rectangu∣lo 4 PS×QR. Est au∣tem (ob ae∣quales angu∣los Q×T, MPS, PMO) Qxq. ad QTq. ut PSq. ad SNq. hoc est (per Corol. I. Lem. XIV.) ut PS ad AS, id est ut 4 PS×QR ad 4 AS×QR, & inde (per Prop. 9. Lib. V Elem.) QTq. & 4 AS×QR aequantur. Ducantur haec aequalia in SPq./QR, & fiet SPq.×QTq./QR aequale SPq.×4 AS: & propterea (per Corol. Theor. V.) vis centripeta est recipro∣ce ut SPq.×4 AS, id est, ob datam 4 AS, reciproce in dupli∣cata ratione distantiae SP.Q.E.I.

Corol. I. Ex tribus novissimis Propositionibus consequens est, quod si corpus quodvis P, secundum lineam quamvis rectam PR, quacun{que} cum velocitate exeat de loco P, & vi centripeta quae sit reciproce proportionalis quadrato distantiae a centro, simul agite∣tur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbi∣licum habente in centro virium; & contra.

Corol. II. Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit, qua lineola PR in minima aliqua temporis particula describi po∣ssit, & vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem move∣re per spatium QR: movebitur hoc corpus in Conica aliqua sect∣ione cujus latus rectum est quantitas illa QTq./QR quae ultimo sit ubi lineolae PR, QR in infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, & casum excipio ubi corpus recta descendit ad centrum.

Prop. XIV. Theor. VI.

Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centri∣peta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt.

Nam per Corol. II. Prob. VIII. Latus rectum L aequale est quantitati QTq./QR quae ultimo fit ubi coeunt puncta P & Q. Sed linea minima QR, dato tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce ut SPq. Ergo QTq./QR est ut QTq.×SPq. hoc est, latus rectum L in duplicata ratione a∣reae QT×SP.Q.E.D.

Corol. Hinc Ellipseos area tota, ei{que} proportionale rectangu∣lum sub axibus, est in ratione composita ex dimidiata ratione late∣ris recti & integra ratione temporis periodici.

Prop. XV. Theor. VII.

Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in rati∣one sesquiplicata transversorum axium.

Nam{que} axis minor est medius proportionalis inter axem ma∣jorem (quem transversum appello) & latus rectum, at{que} adeo rectangulum sub axibus est in ratione composita ex dimidiata rati∣one lateris recti & sesquiplicata ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione pe∣riodici temporis. Dematur utrobi{que} dimidiata ratio lateris recti & manebit sesquiplicata ratio axis transversi aequalis rationi peri∣odici temporis. Q.E.D.

Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis, quorum diametri aequantur majoribus axibus El∣lipseon.

Prop. XVI. Theor. VIII.

Iisdem positis, & actis ad corpora lineis rectis, quae ibidem tangant orbitas, demissis{que} ab umbilico communi ad has tangentes perpen∣dicularibus: dico quod velocitates corporum sunt in ratione compo∣sita ex ratione perpendiculorum inverse & dimidiata ratione late∣rum rectorum directe. VideFig. Prop. X. & XI.

Ab umbilico S ad tangentem PR demitte perpendiculum SY & velocitas corporis P erit reciproce in dimidiata ratione quanti∣tatis SYq./L Nam velocitas illa est ut arcus quam minimus PQ in data temporis particula descriptus, hoc est (per Lem. VII.) ut tangens PR, id est (ob proportionales PR ad QT & SP ad SY) ut SP×QT / SY, sive ut SY reciproce & SP×QT directe; est{que}

SP×QT ut area dato tempore descripta, id est, per Theor. VI. in dimidiata ratione lateris recti Q.E.D.

Corol. 1. Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum.

Corol. 2. Velocitates corporum in maximis & minimis ab um∣bilico communi distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distantiarum inverse & dimidiata ratione laterum rectorum di∣recte. Nam perpendicula jam sunt ipsae distantiae.

Corol. 3. Ideo{que} velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a cen∣tro distantia, in dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam.

Corol. 4. Corpurum in Ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus distantiis ab umbilico communi sunt eaedem quae cor∣porum gyrantium in circulis ad easdem distantias, hoc est (per Corol. VI. Theor. IV.) reciproce in dimidiata ratione distantia∣rum. Nam perpendicula jam sunt semi-axes minores, & hi sunt ut mediae proportionales inter distantias & latera recta. Compo∣natur haec ratio inverse cum dimidiata ratione laterum rectorum directe, & fiet ratio dimidiata distantiarum inverse.

Corol. 5. In eadem vel aequalibus figuris, vel etiam in figuris inaequalibus, quarum latera recta sunt aequalia, velocitas corpo∣ris est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tan∣gentem

Corol. 6. In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ra∣tione distantiae corporis ab umbilico figurae, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam (per Corol. 2 Lem. XIV.) perpendiculum demissum ab umbilico ad tangen∣tem Parabolae est in dimidiata ratione distantiae.

Corol. 7. In Parabola, velocitas ubi{que} est ad velocitatem corpo∣ris revolventis in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione numeri binarii ad unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbola ma∣jor

quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium secun∣dum, velocitas in vertice Parabolae est in hac ratione, & per Co∣rollaria sexta hujus & Theorematis quarti, servatur eadem pro∣portio in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubi{que} aequalis est velocitati corporis revolventis in circulo ad di∣midiam distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major.

Corol. 8. Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad ve∣locitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sect∣ionis, ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangen∣tem Sectionis demissum. Patet per Corollarium quintum.

Corol. 9. Unde cum (per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quo∣vis alio, reciproce in dimidiata ratione distantiarum; fiet ex ae∣quo velocitas gyrantis in Conica sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media proportionalis inter distan∣tiam illam communem & semissem lateris recti sectionis, ad per∣pendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis de∣missum.

Prop. XVII. Prob. IX.

Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distan∣tiae a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita; re∣quiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data velo∣citate secundum datam rectam egrediens.

Vis centripeta tendens ad punctum Sea sit quae corpus p in orbita quavis data pq gyrare faciat, & cognoscatur hujus veloci∣tas in loco p. De loco P secundum lineam PR exeat corpus P cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflect∣at illud in Conisectionem PQ. Hanc igitur recta PR tanget in P. Tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq in p, & si ab S ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1. Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus rect∣um

orbitae datae, in ratione composita ex duplicata ratione per∣pendiculorum & duplicata ratione velocitatum, at{que} adeo datur. Sit istud L. Datur

[illustration]

praeterea Conisecti∣onis umbilicus S. Anguli RPS com∣plementum ad du∣os rectos fiat angu∣lus RPH, & dabi∣tur positione linea PH, in qua umbilicus alter H locatur. Demisso ad PH perpen∣diculo SK, & erecto semiaxe conjugato BC, est SPq.−2 KPH+PHq. (per Prop. 13. Lib. II. Elem.)=SHq.=4 CHq.=4 BHq.−4 BCq.=SP+PH quad.−L×SP+PH=SPq.+2 SPH+PHq.−L×SP+PH. Addantur utrobi{que} 2 KPH+L×SP+PH−SPq.−PHq. & fiet L×SP+PH=2 SPH+2 K••PH, seu SP+PH ad PH ut 2 SP+2 KP ad L. Unde datur PH tam longitudine quam positione. Nimirum si ea sit corpo∣ris in P velocitas, ut latus rectum L minus fuerit quam 2 SP+2 KP, jacebit PH ad eandem partem tangentis PR cum linea PS, adeo{que} figura erit Ellipsis, & ex datis umbilicis S, H, & axe prin∣cipali SP+PH, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut la∣tus rectum L aequale fuerit 2 SP+2 KP, longitudo PH infinita erit, & propterea figura erit Parabola axem habens SH parallel∣um lineae PK, & inde dabitur. Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo P exeat, capienda erit longitudo PH ad alteram partem tangentis, adeo{que} tangente inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem aequa∣lem differentiae linearum SP & PH, & inde dabitur. Q.E.I.

Corol. 1 Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principa∣li D, latere recto L, & umbilico S, datur umbilicus alter H ca∣piendo DH ad DS ut est latus rectum ad differentiam inter la∣tus

rectum & 4 DS. Nam proportio SP+PH ad PH ut 2 SP ad L, in casu hujus Corollarii, fit DS+DH ad DH ut 4 DS ad L, & divisim DS ad DH ut 4 DS−L ad L.

Corol. 2. Unde si datur corporis velocitas in vertice principa∣li D, invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam distantiam DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datae ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam DS gyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.) dein DH ad DS ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4 DS.

Corol. 3. Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacun∣{que} Conica, & ex orbe suo impulsu quocun{que} exturbetur; cog∣nosci potest orbis in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem im∣pulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.

Corol. 4. Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa con∣tinuo perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas vis illa in punctis quibusdam inducit, & ex se∣riei analogia, mutationes continuas in locis intermediis aestiman∣do.