Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XVII. Prob. IX.

Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distan∣tiae a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita; re∣quiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data velo∣citate secundum datam rectam egrediens.

Vis centripeta tendens ad punctum Sea sit quae corpus p in orbita quavis data pq gyrare faciat, & cognoscatur hujus veloci∣tas in loco p. De loco P secundum lineam PR exeat corpus P cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflect∣at illud in Conisectionem PQ. Hanc igitur recta PR tanget in P. Tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq in p, & si ab S ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1. Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus rect∣um

orbitae datae, in ratione composita ex duplicata ratione per∣pendiculorum & duplicata ratione velocitatum, at{que} adeo datur. Sit istud L. Datur

[illustration]

praeterea Conisecti∣onis umbilicus S. Anguli RPS com∣plementum ad du∣os rectos fiat angu∣lus RPH, & dabi∣tur positione linea PH, in qua umbilicus alter H locatur. Demisso ad PH perpen∣diculo SK, & erecto semiaxe conjugato BC, est SPq.−2 KPH+PHq. (per Prop. 13. Lib. II. Elem.)=SHq.=4 CHq.=4 BHq.−4 BCq.=SP+PH quad.−L×SP+PH=SPq.+2 SPH+PHq.−L×SP+PH. Addantur utrobi{que} 2 KPH+L×SP+PH−SPq.−PHq. & fiet L×SP+PH=2 SPH+2 K••PH, seu SP+PH ad PH ut 2 SP+2 KP ad L. Unde datur PH tam longitudine quam positione. Nimirum si ea sit corpo∣ris in P velocitas, ut latus rectum L minus fuerit quam 2 SP+2 KP, jacebit PH ad eandem partem tangentis PR cum linea PS, adeo{que} figura erit Ellipsis, & ex datis umbilicis S, H, & axe prin∣cipali SP+PH, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut la∣tus rectum L aequale fuerit 2 SP+2 KP, longitudo PH infinita erit, & propterea figura erit Parabola axem habens SH parallel∣um lineae PK, & inde dabitur. Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo P exeat, capienda erit longitudo PH ad alteram partem tangentis, adeo{que} tangente inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem aequa∣lem differentiae linearum SP & PH, & inde dabitur. Q.E.I.

Corol. 1 Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principa∣li D, latere recto L, & umbilico S, datur umbilicus alter H ca∣piendo DH ad DS ut est latus rectum ad differentiam inter la∣tus

rectum & 4 DS. Nam proportio SP+PH ad PH ut 2 SP ad L, in casu hujus Corollarii, fit DS+DH ad DH ut 4 DS ad L, & divisim DS ad DH ut 4 DS−L ad L.

Corol. 2. Unde si datur corporis velocitas in vertice principa∣li D, invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam distantiam DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datae ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam DS gyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.) dein DH ad DS ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4 DS.

Corol. 3. Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacun∣{que} Conica, & ex orbe suo impulsu quocun{que} exturbetur; cog∣nosci potest orbis in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem im∣pulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.

Corol. 4. Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa con∣tinuo perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas vis illa in punctis quibusdam inducit, & ex se∣riei analogia, mutationes continuas in locis intermediis aestiman∣do.