Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XIII. Prob. VIII.

Moveatur corpus in perimetro Parabolae: requiritur Lex vis centripe∣tae tendentis ad umbilicum hujus figurae.

Maneat constructio Lemmatis, sit{que} P corpus in perimetro Para∣bolae, & a loco Q in quem corpus proxime movetur, age ipsi SP Parallelam QR & perpendicularem QT, necnon Qv tangenti pa∣rallelam & occurentem tum diametro YPG in v, tum distantiae SP in x. Jam ob similia triangula Pxv, MSP & aequalia unius latera SM, SP, aequalia sunt alterius latera Px seu QR & Pv. Sed, ex Conicis, quadratum ordinatae Qv aequale est rectangulo sub latere recto & segmento diametri Pv, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4 PS×Pv seu 4 PS×QR; & punctis P & Q coeun∣tibus, ratio Qv ad Qx (per Lem. 8.) fit aequalitatis. Ergo Q×q. eo in

[illustration]

casu, aequale est rectangu∣lo 4 PS×QR. Est au∣tem (ob ae∣quales angu∣los Q×T, MPS, PMO) Qxq. ad QTq. ut PSq. ad SNq. hoc est (per Corol. I. Lem. XIV.) ut PS ad AS, id est ut 4 PS×QR ad 4 AS×QR, & inde (per Prop. 9. Lib. V Elem.) QTq. & 4 AS×QR aequantur. Ducantur haec aequalia in SPq./QR, & fiet SPq.×QTq./QR aequale SPq.×4 AS: & propterea (per Corol. Theor. V.) vis centripeta est recipro∣ce ut SPq.×4 AS, id est, ob datam 4 AS, reciproce in dupli∣cata ratione distantiae SP.Q.E.I.

Corol. I. Ex tribus novissimis Propositionibus consequens est, quod si corpus quodvis P, secundum lineam quamvis rectam PR, quacun{que} cum velocitate exeat de loco P, & vi centripeta quae sit reciproce proportionalis quadrato distantiae a centro, simul agite∣tur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbi∣licum habente in centro virium; & contra.

Corol. II. Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo P, ea sit, qua lineola PR in minima aliqua temporis particula describi po∣ssit, & vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem move∣re per spatium QR: movebitur hoc corpus in Conica aliqua sect∣ione cujus latus rectum est quantitas illa QTq./QR quae ultimo sit ubi lineolae PR, QR in infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, & casum excipio ubi corpus recta descendit ad centrum.