Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. IV. Theor. IV.

Corporum quae diversos circalos aequabili motu describunt, vires cen∣tripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum ra∣dios.

Corpora B, b in circumferentiis circulorum BD, bd gyran∣tia, simul describant arcus BD, bd. Quoniam sola vi insita de∣scriberent tangentes BC, bc his arcubus aequales, manifestum est quod vires centripetae sunt quae

[illustration]

perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias circulorum, at{que} adeo hae sunt ad invicem in ratione prima spa∣tiorum nascentium CD, cd: ten∣dunt vero ad centra circulo∣rum per Theor. II, propterea quod areae radiis descriptae po∣nuntur temporibus proportiona∣les. Fiat figura tkb figurae DCB similis, & per Lemma V, lineola CD erit ad lineolam kt ut arcus BD ad arcum bt: nec non, per Lemma XI; lineola nascens tk ad lineolam nascentem dc ut bt quad. ad bd quad. & ex ae∣quo lineola nascens DC ad lineolam nascentem dc ut BD×bt ad bd quad. seu quod perinde est, ut BD×bt / Sb ad bd / Sb quad. a∣deo{que} (ob aequales rationes bt / Sb & BD / SB) ut BD quad./SB ad bd/Sb quad. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc vires centripetae sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.

Corol. 2. Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum ap∣plicata

ad radios ita sunt hae vires inter se. Id est (ut cum Ge∣ometris loquar) hae vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.

Corol. 3. Unde si tempora periodica aequantur, erunt tum vi∣res centripetae tum velocitates ut radii, & vice versa.

Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetae sunt aequales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.

Corol. 5. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut qua∣drata radiorum, vires centripetae sunt reciproce ut radii, & ve∣locitates aequales: Et vice versa.

Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi ra∣diorum, vires centripetae sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.

Corol. 7. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcun{que} similium, centra{que} similiter posita habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione praecedentium ad hosce casus applicata.

Scholium

Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus caelestibus (ut se∣orsum colligerunt etiam nostrates Wrennus, Hockius & Halleus) & propterea quae spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris decrevi susius in sequenti∣bus exponere.

Porro praecedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetae ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium CD, quod ipso motus initio aequale est quadrato arcus illius BD ad circuli diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam

continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum de∣scribit, efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spati∣um quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato aequale; adeo{que} est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi Proposi∣tionibus Hugenius, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillato∣rio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.

Demonstrari etiam possunt praecedentia in hunc modum. In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcun{que} Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis re∣flexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeo{que} summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus re∣flexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem appli∣cata ad Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius ap∣plicatum ad Radium; adeo{que} si Polygonum lateribus infinite dimi∣nutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Haec est vis qua corpus urget circ••lum, & huic aequalis est vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum versus.