Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

SECT. XIV. De motu corporum minimorum, quae viribus centripetis ad singulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur.

Prop. XCIV. Theor. XLVIII.

Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrin{que} terminato, di∣stinguantur ab invicem, & corpus in transitu per hoc spatium at∣trahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alteru∣trum, ne{que} ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attrac∣tio, in aequalibus ab utro{que} plano distantiis ad eandem ipsius par∣tem captis, ubi{que} eadem: dico quod sinus incidentiae in planum alterutrum erit ad sinum emergentiae ex plano altero in ratione data.

Cas. 1. Sunto Aa, Bb plana duo parallela. Incidat corpus

[illustration]

in planum prius Aa se∣cundam lineam GH, ac toto suo per spatium in∣termedium transitu attra∣hatur vel impellatur ver∣sus medium incidentiae, ea{que} actione describat li∣neam curvam HI, & e∣mergat secundum lineam IK. Ad planum emer∣gentiae Bb erigatur per∣pendiculum IM, occur∣rens tum lineae inciden∣tiae GH productae in M, tum plano incidentiae Aa in R; & linea emergentiae KI producta occurrat HM in L. Centro L inter∣vallo

LI describatur circulus, secans tam HM in P & Q, quam MI productam in N; & primo si attractio vel impulsus ponatur uniformis, erit (ex demonstatis Galilaei) curva HI Parabola, cu∣jus haec est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto & linea IM aequale sit HM quadrato; sed & linea HM bisecabitur

[illustration]

in L. Unde si ad MI de∣mittatur perpendiculum LO, aequales erunt MO, OR; & additis aequalibus IO, ON, fient totae aequa∣les MN, IR. Proinde cum IR detur, datur e∣tiam MN, est{que} rectan∣gulum NMI ad rectangu∣lum sub latere recto & IM, hoc est, ad HMq., in data ratione. Sed rect∣angulum NMI aequale est rectangulo PMQ, id est, differentiae quadratorum MLq. & PLq. seu LIq.; & HMq. datam rationem habet ad sui ipsius quartam partem LMq.: ergo datur ratio MLq.−LIq. ad MLq., & divisim, ratio LIq. ad MLq., & ratio di∣midiata LI ad ML. Sed in omni triangulo LMI, sinus angulo∣rum sunt proportionales lateribus oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incidentiae LMR ad sinum anguli emergentiae LIR. Q.E.D.

Cas. 2. Transeat jam corpus successive per spatia plura paral∣lelis planis terminata, Aa bB, Bb cC &c. agitetur vi quae sit in singulis separatim uniformis, at in diversis diversa; & per jam demonstrata, sinus incidentiae in planum primum Aa erit ad si∣num emergentiae ex plano secundo Bb, in data ratione; & hic si∣nus, qui est sinus incidentiae in planum secundum Bb, erit ad si∣num

emergentiae ex plano tertio Cc, in data ratione; & hic sinus ad sinum emergentiae ex plano quarto Dd, in data ratione; & sic in infinitum: & ex aequo sinus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex plano ultimo in data ratione. Minuatur jam planorum intervalla

[illustration]

& augeatur numerus in infinitum, eo ut attracti∣onis vel impulsus actio secundum legem quam∣cun{que} assignatam conti∣nua reddatur; & ratio si∣nus incidentiae in planum primum ad sinum emer∣gentiae ex plano ultimo, semper data existens, e∣tiamnum dabitur. Q.E.D.

Prop. XCV. Theor. XLIX.

Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae.

Capiantur AH, Id aequales, & erigantur perpendicula AG, dK occurrentia lineis incidentiae & emergentiae GH, IK, in G & K. In GH capiatur TH aequalis IK, & ad planum Aa de∣mittatur normaliter Tv. Et per Legum Corol. 2. distinguatur motus corporis in duos, unum planis Aa, Bb, Cc &c. perpen∣dicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel im∣pulsus agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum parallelas, & propterea corpus hoc motu conficiet ae∣qualibus temporibus aequalia illa secundum parallelas intervalla, quae sunt inter lineam AG & punctum H, inter{que} punctum I & lineam dK; hoc est, aequalibus temporibus describet lineas GH,

IK. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post emergentiam, ut GH ad IK vel TH, id est, ut AH vel Id ad vH, hoc est (respectu radii TH vel IK) ut sinus emergentiae ad sinum incidentiae. Q.E.D.

Prop. XCVI. Theor. L.

Iisdem positis & quod motus ante incidentiam velocior sit quam post∣ea: dico quod corpus, inclinando lineam incidentiae, reflectetur tan∣dem, & angulus reflexionis fiet aequalis angulo incidentiae.

Nam concipe corpus inter plana parallela Aa, Bb, Cc &c. describere arcus Parabolicos, ut supra; sint{que} arcus illi HP, PQ, QR, &c. Et sit ea lineae incidentiae GH obliquitas ad planum primum Aa, ut sinus incidentiae sit ad radium circuli, cujus est si∣nus, in ea ratione quam habet idem sinus incidentiae ad sinum e∣mergentiae ex plano Dd, in spatium DdeE: & ob sinum emer∣gentiae jam factum aequalem radio, angulus emergentiae erit rect∣us, adeo{que} linea emergen∣tiae

[illustration]

coincidet cum plano Dd. Perveniat corpus ad hoc planum in puncto R; & quoniam linea emer∣gentiae coincidit cum eo∣dem plano, perspicuum est quod corpus non potest ultra pergere versus planum Ee. Sed nec potest idem pergere in linea emergentiae Rd, propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur versus medium incidentiae. Re∣vertetur ita{que} inter plana Cc, Dd describendo arcum Parabolae QRq, cujus vertex principalis (juxta demonstrata Galilaei) est in R; secabit planum Cc in eodem angulo in q, ac prius in Q; dein pergendo in arcubus parabolicis qp, ph &c. arcubus priori∣bus QP, PH similibus & aequalibus, secabit reliqua plana in iisdem angulis in p, h &c. ac prius in P, H &c. emerget{que} tan∣dem eadem obliquitate in h, qua incidit in H. Concipe jam pla∣norum

Aa, Bb, Cc, Dd, Ee intervalla in infinitum minui & nu∣merum augeri, eo ut actio attractionis vel impulsus secundum legem quamcun{que} assignatam continua reddatur; & angulus e∣mergentiae semper angulo incidentiae aequalis existens, eidem eti∣amnum manebit aequalis. Q.E.D.

Scholium.

Harum attractionum haud multum dissimiles sunt Lucis reflex∣iones & refractiones, factae secundum datam Secantium rationem, ut invenit Snellius, & per consequens secundum datam Sinuum rationem, ut exposuit Cartesius. Nam{que} Lucem successive propa∣gari & spatio quasi decem minutorum primorum a Sole ad Ter∣ram venire, jam constat per Phaenomena Satellitum Iovis, Ob∣servationibus diversorum Astronomorum confirmata. Radii au∣tem in aere existentes (ubi dudum Grimaldus, luce per foramen in tenebrosum cubiculum admissa, invenit, & ipse quo{que} expertus sum) in transitu suo prope corporum vel opacorum vel perspi∣cuorum angulos (quales sunt nummorum

[illustration]

ex auro, argento & aere cusorum ter∣mini rectanguli circulares, & cultrorum, lapidum aut fractorum vitrorum acies) incurvantur circum corpora, quasi at∣tracti in eadem; & ex his radiis, qui in transitu illo propius accedunt ad corpo∣ra incurvantur magis, quasi magis attrac∣ti, ut ipse etiam diligenter observavi. In figura designat s aci∣em cultri vel cunei cujusvis AsB; & gowog, fnvnf, emtme, dlsld sunt radii, arcubus owo, nvn, mtm, lsl versus cultrum incurvati; id{que} magis vel minus pro distantia eorum a cultro. Cum autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum, de∣bebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in a∣ere quam cultrum attingunt. Et par est ratio incidentium in

vitrum. Fit igitur refractio, non in puncto incidentiae, sed pau∣latim per continuam incurvationem radiorum, factam partim in aere antequam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, post∣quam illud ingressi sunt: uti in radiis ckzkc, biyib, ahxha incidentibus ad r, q, p, & inter k & z,

[illustration]

i & y, h & x incurvatis, delineatum est. Igitur ob analogiam quae est inter pro∣pagationem radiorum lucis & progres∣sum corporum, visum est Propositiones sequentes in usus opticos subjungere; in∣terea de natura radiorum (utrum sint corpora necne) nihil omnino disputans, sed trajectorias corporum trajectoriis radiorum persimiles solum∣modo determinans.

Prop. XCVII. Prob. XLVII.

Posito quod sinus incidentiae in superficiem aliquam sit ad sinum emer∣gentiae in data ratione, quod{que} incurvatio viae corporum juxta su∣perficiem illam fiat in spatio brevissimo, quod ut punctum considera∣ri possit; determinare superficiem quae corpuscula omnia de loco da∣to successive manantia convergere faciat ad alium locum datum.

Sit A locus a quo corpuscula divergunt; B locus in quem convergere debent; CDE curva linea quae circa axem AB revo∣luta describat superficiem quaesitam; D, E curvae illius puncta duo quaevis; & EF, EG perpendicula in corporis vias AD, DB demissa. Accedat punctum D ad punctum E; & lineae DF qua AD augetur, ad lineam DG qua DB diminuitur, ratio ultima erit eadem quae sinus incidentiae ad sinum emergentiae. Datur ergo ratio incrementi lineae AD ad decrementum lineae DB; & propterea si in axe AB sumatur ubivis punctum C, per quod curva CDE transire debet, & capiatur ipsius AC incrementum CM, ad ipsius BC decrementum CN in data ratione; centris{que} A,

B, & intervallis AM, BN describantur circuli duo se mutuo se∣cantes in D: punctum illud D tanget curvam quaesitam CDE, eandem{que} ubivis tangendo determinabit. Q.E.I.

Corol. 1. Faciendo autem ut punctum A vel B nunc abeat in infinitum, nunc migret ad

[illustration]

alteras partes puncti C, habebuntur figurae illae omnes quas Cartesius in Optica & Geometria ad refractiones exposuit. Quarum inventionem cum Cartesius maximi fecerit & studiose celaverit, visum fuit hic propositione exponere.

Corol. 2. Si corpus in superficiem quamvis CD, secundum lineam rectam AD lege quavis ductam incidens, emergat secun∣dum aliam quamvis rectam

[illustration]

DK, & a puncto C duci intelligantur lineae curvae CP, CQ ipsis AD, DK semper perpendiculares: e∣runt incrementa linearum PD, QD, at{que} adeo lineae ipsae PD, QD, incremen∣tis istis genitae, ut sinus in∣cidentiae & emergentiae ad invicem: & contra.

Prop. XCVIII. Prob. XLVIII.

Iisdem positis, & circa axem AB descripta superficie quacun{que} attracti∣va CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato A exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam attracti∣vam EF, quae corpora illa ad locum datum B convergere faciat.

Juncta AB secet superficiem primam in C & secundam in E,

puncto D utcun{que} assumpto. Et posito sinu incidentiae in super∣ficiem primam ad sinum emergentiae ex eadem, & sinu emergen∣tiae e superficie secunda ad sinum incidentiae in eandem, ut quanti∣tas aliqua data M ad aliam datam N; produc tum AB ad G ut sit BG ad CE ut M−N ad N, tum AD ad H ut sit AH aequalis AG, tum etiam DF ad K ut sit DK ad DH ut N ad M. Jun∣ge KB, & centro D intervallo DH describe circulum occurren∣tem KB productae in L, ipsi{que} DL parallelam age BF: & punc∣tum F tanget lineam EF, quae circa axem AB revoluta descri∣bet superficiem quaesitam. Q.E.F.

Nam concipe lineas CP, CQ ipsis AD, DF respective, & li∣neas ER, ES ipsis FB, FD ubi{que} perpendiculares esse, adeo{que} QS ipsi CE semper aequalem; & erit (per Corol. 2. Prop. XCVII.) PD ad QD ut

[illustration]

M ad N, adeo{que} ut DL ad DK vel FB ad FK; & divisim ut DL−FB seu PH−PD−FB ad FD seu FQ−QD; & compo∣site ut HP−FB ad FQ, id est (ob aequales HP & CG, QS & CE) CE+BG−FR ad CE−FS. Verum (ob pro∣portionales BG ad CE & M−N ad N) est etiam CE+BG ad CE ut M ad N: adeo{que} divisim FR ad FS ut M ad N, & prop∣terea per Corol. 2. Prop. XCVII. superficies EF cogit corpus in se secundum lineam DF incidens pergere in linea FR, ad locum B. Q.E.D.

Scholium.

Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. Ad usus autem Opticos maxime accommodatae sunt figurae Sphae∣ricae. Si Perspicillorum vitra Objectiva ex vitris duobus Sphaeri∣ce

figuratis & Aquam inter se claudentibus conflentur, fieri po∣test ut a refractionibus aquae errores refractionum, quae fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Ta∣lia autem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis praefe∣renda sunt, non solum quod facilius & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accu∣ratius refringant. Verum tamen diversa diversorum radiorum re∣frangibilitas impedimento est, quo minus Optica per figuras vel Sphaericas vel alias quascun{que} perfici possit. Nisi corrigi possint errores illinc oriundi, labor omnis in caeteris corrigendis imperite collocabitur.