Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XCIV. Theor. XLVIII.

Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrin{que} terminato, di∣stinguantur ab invicem, & corpus in transitu per hoc spatium at∣trahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alteru∣trum, ne{que} ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attrac∣tio, in aequalibus ab utro{que} plano distantiis ad eandem ipsius par∣tem captis, ubi{que} eadem: dico quod sinus incidentiae in planum alterutrum erit ad sinum emergentiae ex plano altero in ratione data.

Cas. 1. Sunto Aa, Bb plana duo parallela. Incidat corpus

[illustration]

in planum prius Aa se∣cundam lineam GH, ac toto suo per spatium in∣termedium transitu attra∣hatur vel impellatur ver∣sus medium incidentiae, ea{que} actione describat li∣neam curvam HI, & e∣mergat secundum lineam IK. Ad planum emer∣gentiae Bb erigatur per∣pendiculum IM, occur∣rens tum lineae inciden∣tiae GH productae in M, tum plano incidentiae Aa in R; & linea emergentiae KI producta occurrat HM in L. Centro L inter∣vallo

LI describatur circulus, secans tam HM in P & Q, quam MI productam in N; & primo si attractio vel impulsus ponatur uniformis, erit (ex demonstatis Galilaei) curva HI Parabola, cu∣jus haec est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto & linea IM aequale sit HM quadrato; sed & linea HM bisecabitur

[illustration]

in L. Unde si ad MI de∣mittatur perpendiculum LO, aequales erunt MO, OR; & additis aequalibus IO, ON, fient totae aequa∣les MN, IR. Proinde cum IR detur, datur e∣tiam MN, est{que} rectan∣gulum NMI ad rectangu∣lum sub latere recto & IM, hoc est, ad HMq., in data ratione. Sed rect∣angulum NMI aequale est rectangulo PMQ, id est, differentiae quadratorum MLq. & PLq. seu LIq.; & HMq. datam rationem habet ad sui ipsius quartam partem LMq.: ergo datur ratio MLq.−LIq. ad MLq., & divisim, ratio LIq. ad MLq., & ratio di∣midiata LI ad ML. Sed in omni triangulo LMI, sinus angulo∣rum sunt proportionales lateribus oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incidentiae LMR ad sinum anguli emergentiae LIR. Q.E.D.

Cas. 2. Transeat jam corpus successive per spatia plura paral∣lelis planis terminata, Aa bB, Bb cC &c. agitetur vi quae sit in singulis separatim uniformis, at in diversis diversa; & per jam demonstrata, sinus incidentiae in planum primum Aa erit ad si∣num emergentiae ex plano secundo Bb, in data ratione; & hic si∣nus, qui est sinus incidentiae in planum secundum Bb, erit ad si∣num

emergentiae ex plano tertio Cc, in data ratione; & hic sinus ad sinum emergentiae ex plano quarto Dd, in data ratione; & sic in infinitum: & ex aequo sinus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex plano ultimo in data ratione. Minuatur jam planorum intervalla

[illustration]

& augeatur numerus in infinitum, eo ut attracti∣onis vel impulsus actio secundum legem quam∣cun{que} assignatam conti∣nua reddatur; & ratio si∣nus incidentiae in planum primum ad sinum emer∣gentiae ex plano ultimo, semper data existens, e∣tiamnum dabitur. Q.E.D.