Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. XCIII. Theor. XLVII.

Si solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus infini∣tum, constet ex particulis aequalibus aequaliter attractivis, quarum vires in recessu a solido decrescunt in ratione potestatis cujusvis di∣stantiarum plusquam quadraticae, & vi solidi totius corpusculum ad utramvis plani partem constitutum trahatur: dico quod solidi vis illa attractiva, in recessu ab ejus superficie plana, decrescet in ratione potestatis, cujus latus est distantia corpusculi a plano, & Index ternario minor quam Index potestatis distantiarum.

Cas. 1. Sit LGl planum quo Solidum terminatur. Jaceat autem solidum ex parte plani hujus versus I, in{que} plana innume∣ra mHM, nIN &c. ipsi GL

[illustration]

parallela resolvatur. Et pri∣mo collocetur corpus attrac∣tum C extra solidum. Aga∣tur autem CGHI planis il∣lis innumeris perpendicularis, & decrescant vires attracti∣vae punctorum solidi in rati∣one potestatis distantiarum, cujus index sit numerus n ternario non minor. Ergo (per Co∣rol. 3. Prop. XC) vis qua planum quodvis mHM trahit punctum C est reciproce ut CH^{n −2}. In plano mHM capiatur longitu∣do HM ipsi CH^{n −2} reciproce proportionalis, & erit vis illa ut HM. Similiter in planis singulis lGL, nIN, oKO &c, capi∣antur

longitudines GL, IN, KO &c. ipsis CG^{n −2}, CI^{n −2}, CK^{n −2} &c. reciproce proportionales; & vires planorum eo∣rundem erunt ut longitudines captae, adeo{que} summa virium ut summa longitudinum, hoc est, vis solidi totius ut area GLOK in infinitum versus OK producta. Sed area illa per notas quadra∣turarum methodos est reciproce ut CG^{n −3}, & propterea vis solidi totius est reciproce ut CG^{n −3} Q.E.D.

Cas. 2. Collocetur jam corpusculum C ex parte plani lGL intra solidum, & capiatur

[illustration]

distantia CK aequalis distan∣tiae CG. Et solidi pars LGloKO, planis parallelis lGL, oKO terminata, cor∣pusculum C in medio situm nullam in partem trahet, con∣trariis oppositorum puncto∣rum actionibus se mutuo per aequalitatem tollentibus. Proinde corpusculum C sola vi solidi ultra planum OK siti trahitur. Haec autem vis (per Casum primum) est reciproce ut CK^{n −3}, hoc est (ob aequales CG, CK) reciproce ut CG^{n −3}. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si solidum LGIN planis duobus infinitis pa∣rallelis LG, IN utrin{que} terminetur; innotescit ejus vis attracti∣va, subducendo de vi attractiva solidi totius infiniti LGKO vim attractivam partis ulterioris NIKO, in infinitum versus KO pro∣ductae.

Corol. 2. Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attrac∣tio ejus collata cum attractione partis citerioris nullius pene est momenti, rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo di∣stantiam decrescet quam proxime in ratione potestatis CG^{n −3}.

Corol. 3. Et hinc si corpus quodvis finitum & ex una parte planum trahat corpusculum e regione medii illius plani, & di∣stantia inter corpusculum & planum collata cum dimensionibus

corporis attrahentis perexigua sit, constet autem corpus attra∣hens ex particulis homogeneis, quarum vires attractivae decres∣cunt in ratione potestatis cujusvis plusquam quadruplicatae distan∣tiarum; vis attractiva corporis totius decrescet quamproxime in ratione potestatis, cujus latus sit distantia illa perexigua, & Index ternario minor quam Index potestatis prioris. De corpore ex∣particulis constante, quarum vires attractivae decrescunt in ratio∣ne potestatis triplicatae distantiarum, assertio non valet, propterea quod, in hoc casu, attractio partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario secundo, semper est infinite major quam attractio partis citerioris.

Scholium.

Si corpus aliquod perpendiculariter versus planum datum tra∣hatur, & ex data lege attractionis quaeratur motus corporis: Sol∣vetur Problema quaerendo (per Prop. XXVII.) motum corpo∣ris recta descendentis ad hoc planum, & (per Legum Corol. 2.) componendo motum istum cum uniformi motu, secundum lineas eidem plano parallelas facto. Et contra, si quaeratur Lex attrac∣tionis in planum secundum lineas perpendiculares factae, ea con∣ditione ut corpus attractum in data quacun& curva linea move∣atur, solvetur Problema operando ad exemplum Problematis tertii.

Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim ap∣plicatas in series convergentes. Ut si ad basem A in angulo quo∣vis dato ordinatim applicetur longitudo B, quae sit ut basis dig∣nitas quaelibet A m / n; & quaeratur vis qua corpus, secundum positio∣nem ordinatim applicatae, vel in basem attractum vel a basi fuga∣tum, moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata ter∣mino suo superiore semper attingit; Suppono basem augeri par∣te

quam minima O, & ordinatim applicatam m / A+On resolvo in Seriem infinitam A m / n+n / m OA m−n / n+mm−mn / 2nn O²A m−2n / n&c. at∣{que} hujus termino in quo O duarum est dimensionum, id est termino mm−mn / 2nn O²A m−2n / n vim proportionalem esse suppono. Est igi∣tur vis quaesita ut mm−mn / nn A m−2n / n, vel quod perinde est, ut mm−mn / nn B m−2n / m. Ut si ordinatim applicata Parabolam at∣tingat, existente m=2, & n=1: fiet vis ut data 2B ⁰, adeo{que} dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemad∣modum Galilaeus demonstravit. Quod si ordinatim applicata Hyperbolam attingat, existente m=0−1, & n=1; feit vis ut 2B ⁻³ seu 2/B cub.: adeo{que} vi, quae sit reciproce ut cubus ordi∣natim applicatae, corpus movebitur in Hyperbola. Sed missis hu∣jusmodi Propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas nondum attigi.