Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. LXXVII. Theor. XXXVII.

Si ad singula Sphaerarum puncta tendant vires centripetae proportiona∣les distantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis composita, qua Sphaerae duae se mutuo trahent, est ut distantia inter centra Sphaerarum.

Cas 1. Sit ABCD Sphaera, S centrum ejus, P corpusculum attractum, PASB axis Sphaerae per centrum corpusculi transiens, EF, ef plana duo quibus Sphaera secatur, huic axi perpendicula∣ria, & hinc inde aequaliter distantia a centro Sphaerae; Gg inter∣sectiones planorum & axis, & H punctum quodvis in plano EF.

Puncti H vis centripeta in corpusculum P secundum lineam PH exercita est ut distantia PH, & (per Legum Corol. 2.) secun∣cundum lineam PG, seu versus centrum S, ut longitudo PG. Igi∣tur punctorum omnium in plano EF, hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut numerus punctorum ductus in distantiam PG: id est ut contentum sub plano ipso EF & distantia illa PG. Et similiter vis plani ef, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut planum il∣lud ductum in distantiam suam Pg; sive ut huic aequale planum EF ductum in distantiam illam Pg; & summa virium plani utri∣us{que} ut planum EF ductum in

[illustration]

summam distantiarum PG+Pg, id est, ut planum illud ductum in duplam centri & corpusculi distantiam PS, hoc est, ut duplum planum EF ductum in distantiam PS, vel ut summa aequalium planorum EF+ef ducta in distantiam eandem. Et simili argumento, vires omnium planorum in Sphae∣ra tota, hinc inde aequaliter a centro Sphaerae distantium, sunt ut summa planorum ducta in distantiam PS, hoc est, ut Sphaera to∣ta ducta in distantiam centri sui Sa corpusculo P.Q.E.D.

Cas. 2. Trahat jam corpusculum P Sphaeram ACBD. Et codem argumento probabitur quod vis, qua Sphaera illa trahitur, erit ut distantia PS.Q.E.D.

Cas 3. Componatur jam Sphaera altera ex corpusculis innu∣meris P; & quoniam vis, qua corpusculum unumquod{que} trahitur, est ut distantia corpusculi a centro Sphaerae primae ducta in Sphae∣ram eandem, at{que} adeo eadem est ac si prodiret tota de corpus∣culo unico in centro Sphaerae; vis tota qua corpuscula omnia in Sphaera secunda trahuntur, hoc est, qua Sphaera illa tota trahitur, eadem erit ac si Sphaera illa traheretur vi prodeunte de corpus∣culo

unico in centro Sphaerae primae, & propterea proportionalis est distantiae inter centra Sphaerarum. Q.E.D.

Cas. 4. Trahant Sphaerae se mutuo, & vis geminata propor∣tionem priorem servabit. Q.E.D.

Cas, 5. Locetur jam corpusculum p intra Sphaeram ACBD, & quoniam vis plani ef in corpusculum est ut contentum sub plano illo & distantia pg; & vis contraria plani EF ut contentum sub plano illo & distantia pG; erit vis ex utra{que} composita ut differentia contentorum, hoc est, ut summa aequalium planorum ducta in. semissem differentiae distantiarum, id est, ut summa illa ducta in pS, distantiam

[illustration]

corpusculi a centro Sphaerae. Et simili argumento attractio planorum omnium EF, ef in Sphaera tota, hoc est attractio Sphaerae totius, est ut summa planorum omnium, seu Sphae∣ra tota, ducta in pS distantiam corpusculi a centro Sphaerae. Q.E.D.

Cas. 6. Et si ex corpusculis innumeris p componatur Sphae∣ra nova intra Sphaeram priorem ACBD sita, probabitur ut prius, quod attractio, sive simplex Sphaerae unius in alteram, si∣ve mutua utrius{que} in se invicem, erit ut distantia centrorum pS.Q.E.D.